Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình laplace

12 CHƯƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE .... LỜI CẢM ƠN Sau một khoảng thời gian học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn chỉ đạo của thầy Nguyễn Duy T

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.1.1 Kí hiệu các hàm số 4

1.1.2.Kí hiệu về đạo hàm 6

1.1.3.Các không gian hàm 7

1.1.4.Hàm vectơ 8

1.2.Một số vấn đề về giải tích thực 9

1.2.1.Biên 9

1.2.2.Định lý Gauss-Green 10

1.2.3.Tọa độ cực, công thức đổi miền 12

CHƯƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE 15

2.1.Nghiệm cơ bản 16

2.2.Công thức giá trị chính 19

2.3.Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 22

2.3.1.Nguyên lý cực đại (mạnh), tính duy nhất 22

2.3.2.Tính chính quy 26

2.3.3.Đánh giá địa phương của hàm điều hòa 29

2.3.4.Định lý Liouville 32

2.3.5 Tính giải tích 33

2.3.6 Bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa (không âm) 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

LỜI CẢM ƠN

Sau một khoảng thời gian học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn chỉ đạo của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, đến nay khóa luận tốt nghiệp “Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình Laplace” của em đã được hoàn thành Cho phép em được gởi đến thầy lời cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ của thầy đối với em không chỉ trong khoảng thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em trong khoảng thời gian làm khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho

em trong quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, em xin cảm ơn tất cả bạn bè, người thân đã động viên, giúp đỡ em trong khoảng thời gian vừa qua

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong toán học, phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được tên theo người khám phá – Pierre Simon Laplace Nghiệm của phương trình Laplace đóng vai trò khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học Và một trong những nghiệm của phương trình Laplace là hàm điều hòa

Đặc biệt, lý thuyết hàm điều hòa và các tính chất của nó cho ta rất nhiều ứng dụng, phải kể đến đó là các tính chất như giá trị trung bình, nguyên lý cực trị (giá trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên),…Trong giải tích phức, các hàm điều hòa có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình Việc định nghĩa và xét các tính chất của hàm điều hòa phải thông qua các hàm nửa liên tục

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của hàm điều hòa và phương trình Laplace, nhằm đáp ứng nguyện vọng nghiên cứu của bản thân, đồng thời nhận được sự gợi ý và động viên của giáo viên hướng dẫn – TS Nguyễn Duy Thái Sơn, em đã lựa chọn:

“ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE”

làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận của mình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Hàm điều hòa và phương trình Laplace

Phạm vi nghiên cứu: Một số tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình Laplace

4 Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thông tin và trình bày

nội dung phục vụ cho yêu cầu của đề tài

5 Nội dung đề tài:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này giới thiệu các ký hiệu thường dùng và trình bày vắn tắt các kiến thức

cơ sở sẽ được sử dụng trong Chương 2

Chương 2: Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình Laplace

Chương này sẽ đề cập đến khái niệm và các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình Laplace như nghiệm cơ bản, công thức giá trị chính, …

Kết luận

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

u v để nói rằng u được định nghĩa bằng v Giá của hàm u kí hiệu là spt u

iii Với u U:  ,u x( ) :maxu x( ),0 , u x( ) : minu x( ),0 , uuu,u uu

vi Trung bình tích phân:

Nếu U là một tập đo đƣợc, bị chặn và f U:  là một hàm khả tích thì ta kí hiệu:

1:

U

U

 

và gọi là giá trị trung bình của hàm f trên U.

Ở đây U U n là độ đo Lebesgue n – chiều của U.

viii Hàm liên tục Lipschitz

Hàm u U:  đƣợc gọi là liên tục Lipschitz trên U nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số

0, 

L  sao cho u x( )u y( ) L xy (1)

với mọi x y U, 

Hằng số L0, bé nhất sao cho (1) đúng với mọi x y, U đƣợc gọi là hằng số

Lipschitz của hàm u và đƣợc kí hiệu là: Lip u 

iv Kí hiệu đa chỉ số:

a Một vectơ  ( , 1 2, ,n) n mà mọi thành phần i (1 i n) của nó đều là các số nguyên không âm thì đƣợc gọi là một đa chỉ số Cấp của đa chỉ số  đƣợc

kí hiệu là  và đƣợc định nghĩa là

1

n i i

c Nếu k là một số nguyên không âm, ta kí hiệu: D u x k ( )

là tập hợp tất cả các đạo hàm riêng cấp k Ta có thể coi D u x k ( ) là một vectơ trong không gian n k Nếu u có tất cả các đạo hàm riêng cấp k liên tục thì ta có thể xem:

được gọi là toán tử Laplace của u tại x

vi Ta dùng các chỉ số dưới gắn với các kí hiệu 2

D u x y  u x y u x y u x y là vectơ gradient của hàm u theo biến x

*D u x y2y ( , ) là ma trận Hessian của hàm u theo bộ biến x

C U  u U  D u tồn tại và liên tục đều với mọi đa chỉ số  mà  k}

Do đó: Nếu uC U k( ) thì D u có thác triển liên tục lên U với mọi đa chỉ số mà

(Mỗi uC U( ) đƣợc gọi là một hàm trơn trên U).

iii C U c( ) u C U( ) |u có giá compact } u C U( ) | sptu U

đƣợc gọi là ma trận gradient của hàm vectơ u

Khi m 1, hàm vectơ trở thành hàm nhận giá trị thực, và ma trận gradient trở thành vectơ gradient

Khi m n , hàm 1 2

( ,u u , ,u n) :U n n

Khi đó, ma trận gradient Du là một ma trận vuông và ta định nghĩa:

C U  u u u u u C U với mỗi chỉ số 1 i m}

 1 2 ( , ) : ( , , , ) | ( )

Định nghĩa 1.2.1.1: Ta nói biên của U thuộc lớp C kvà viết  U C k(với k *) nếu và chỉ nếu: với mọi x0U tồn tại r(0, ) và hàm số 1

  Khi đó tại mỗi xU tồn tại vectơ pháp tuyến đơn vị     ( )x

có gốc tại x và có hướng đi ra ngoài U sao cho v( )x phụ thuộc liên tục vào x

    đó còn được gọi là pháp vectơ đơn vị hướng ngoại

ii Ngoài ra, giả sử có hàm uC U1( ) Khi đó, tại mỗi xU , đạo hàm của hàm u

Định lý 1.2.3.1 (Công thức tích phân với tọa độ cực)

i Cho : n

f  là một hàm liên tục khả tổng Khi đó,

Định lý 1.2.3.2 (Công thức đổi miền)

Cho f : n  là một hàm liên tục khả tổng, và cho u: n  là một hàm

liên tục Lipschitz sao cho với hầu hết r , tập u x( ) r: x n| ( )u x rlà một siêu mặt trơn Khi đó:

  được gọi là Laplacian của hàm u

Phương trình  u 0 (2.1) được gọi là phương trình Laplace và phương trình

uC U thỏa (2.1) tại mọi

x U sẽ được gọi là một hàm điều hòa trên U

Ý nghĩa vật lý của phương trình Laplace (2.1):

trong đó,  chỉ pháp vectơ đơn vị hướng ngoại dọc theo biên V của V.

Áp dụng đinh lý phân tán (Divergence Theorem), một hệ quả của định lý 1.2 (Gauss –Green), ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng:

V

div f dx



Trong nhiều bài toán thực tế (của vật lý) các trường vectơ f thường có dạng:

f  cDu với c 0 là một hằng số và uu x( ) là một hàm nhận giá trị thực của xU.

Suy ra u là một nghiệm hàm của phương trình Laplace

2.1 Nghiệm cơ bản

Vì phương trình Laplace  u 0 (2.1)

đối xứng nên ta thử tìm một nghiệm của nó dưới dạng:

n i i

1 ( 1)ln ( 1)ln ln 1 1

( )

r

s r s

n ds

*Ghi chú: Ở đây ta chỉ cần xét n 2 vì khi n 1 thì phương trình Laplace trở

thành phương trình vi phân thường: u  0, có nghiệm là các hàm bậc nhất

(với mọi x n\ 0 )  được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace

*Ghi chú: Nghiệm cơ bản là trường hợp đặc biệt của hàm v r( )tìm được ở trên với c: 0 

và

1 khi 2 2

:

1

khi 2 ( 2) ( )

n b

với ( )n là thể tích n – chiều của quả cầu đơn B(0,1) n

Việc chọn giá trị như thế cho hằng số b là để ta có:

Định lý 2.1.3: (Nghiệm của phương trình Poisson)

 Ta thừa nhận, không chứng minh định lý 2.1.3

 Nhờ chọn giá trị của b nhƣ trên mà (ii) đúng (nếu thay đổi b thì  u f)

 Công thức (2.3) còn đƣợc gọi là công thức Poisson

với mọi x U và với mọi r (0, )  mà B x r( , ) U.

Vậy, phần thứ nhất của công thức giá trị chính đã đƣợc chứng minh

Để chứng minh phần thứ hai, ta dùng công thức đổi miền (công thức tọa độ cực trong tích phân bội)

B x r( , )

Và sử dụng kết quả của phần 1 ta tiếp tục có:

1 0

Định lý 2.2.1 đƣợc chứng minh hoàn toàn

Đinh lý 2.2.2: (Phần đảo của công thức giá trị chính)

    vô lý! Mâu thuẫn đó chứng tỏ rằng u điều hòa trong U.

2.3 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa

2.3.1 Nguyên lý cực đại (mạnh), tính duy nhất

maxu maxu





(ii) (Nguyên lý cực đại mạnh)

Giả sử thêm rằng U liên thông và  x U u x, ( ) maxu

Giả sử  x0 U u x, ( )0 M. Lấy tùy ý 0  r d x( ,0 U)

Ta thấy  x B x r( , )0 U u x, ( ) M (theo đúng nghĩa của M)

Tóm lại, V là một tập con vừa mở vừa đóng, không rỗng của U.

Vậy V U (vì U liên thông)

Ta có điều phải chứng minh

(i) Hiển nhiên

U U

(iii) (Nguyên lí cực tiểu) min min

U





(iv) (Nguyên lí cực tiểu mạnh)

Nếu U liên thông và 0 , ( 0) min

Hơn nữa, nếu U liên thông và tồn tại x1U để g x( )1  0thì u x( )    0, x U (2)

Hơn nữa       u u1 u2 ( f) (  f)  0trong U.

Nên u là hàm điều hòa trong U.

Ngoài ra , trên U thì u u1 u2  g g 0

Theo nguyên lý cực đại và nguyên lý cực tiểu thì:

U ax ax ax 0 0 min min min 0 0

Định lý 2.3.2.1: (Về độ trơn của hàm điều hòa)

Nếu uC U( ) là một hàm thỏa mãn công thức giá trị chính trên tập mở n

tức là:

( )

u x  u y dS( )  u y dy( ) (2.4) B x r( , ) B x r( , )

với mọi x U và với mọi r (0, )  mà B x r( , ) U,thì uC U( ).

i i

Với mỗi x U , trong đó U: x U d x u| ( , ) 

Ghi chú: u *u đƣợc gọi là các trơn hóa của hàm u

1 0

n

r dr C

4 Cuối cùng, vì   0 đã được tùy ý nên kết luận: uC U( ).

2.3.3 Đánh giá địa phương của hàm điều hòa

có cấp

1

:

n i i

0 ( ( , ))

2 ( , ) 2

2

2 ( ) ( )

D u  D u

Cũng nhƣ trên, uC U( ) và  (D u ) D(  u) 0 nên D u điều hòa trong U.

Vậy D u x ( )0  D u x dx( )

B x( , )

n

i x

n k

n n

1

1 ( ( , ))( , )

1

k

L B x k

C

k r k

Vậy (2.6) cũng đúng cho đa chỉ số  có  k

Nguyên lý quy nạp cho ta điều phải chứng minh

Đinh lý 2.3.4.2: (Công thức biểu diễn)

Cho f C C2( n) với n 3 Mọi nghiệm giới nội của phương trình Poisson

Suy ra u giới nội

Gọi u là một nghiệm giới nội bất kì của phương trình Poisson trên khắp n.

Và đặt:

Suy ra w là một hàm điều hòa trên khắp n.

Hơn nữa, u và u giới nội nên w giới nội

Vậy, theo định lý Lioville thì w là một hàm hằng

Từ đó, u x( ) u x( )  w( )x u x( )    C  (x y f y) ( ) C (  x n).

Trong đó, C là một hằng số

2.3.5 Tính giải tích

Định lý 2.3.5.1: (Tính giải tích của hàm điều hòa)

Cho u là một hàm điều hòa trong miền U  n Khi đó, u là một hàm giải tích (chỉnh hình) trong U.

1

( ( ,2 )) ( ( , ))

(2 ) ( )

u M

!

k

k n

( ) ( )

( )

!

N N

Cho u là một hàm điều hòa không âm trên tập mở n

U Khi đó với mọi tập mở liên thông V U , tồn tại hằng số C 0 chỉ phụ thuộc vào V (không phụ thuộc vào

hàm số u ) sao cho: sup inf

V

uC u (1)

Ghi chú:

1 Bất đẳng thức (1) tương đương với:

1 , , ( ) ( ) ( )

Thay đổi vai trò giữa x và y, ta có: u y( ) Cu x( ) 1u y( ) u x( )

C

2 Bất đẳng thức (1) nói rằng nếu u là hàm điều hòa không âm trên U và V Ulà

liên thông thì u không thể quá lớn tại 1 điểm x V nhưng lại quá bé tại một điểm yV

Hàm u chỉ lớn (tương ứng bé) tại một điểm nếu và chỉ nếu nó lớn đều (tương ứng bé đều)

tại mọi điểm Điều này giải thích tên gọi hàm “điều hòa”

N i i

Đặt x0:x, lấy x1 B1 B2 tùy ý, x2B2B3 tùy ý,…,

Cuối cùng x M: y Ta được 1 dãy ( )x i i M0 gồm M+1 điểm mà:

Chứng minh: Vì hàm u điều hòa nên nó thỏa mãn công thức giá trị chính Hơn

KẾT LUẬN

Đề tài “ Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và phương trình Laplace” đã giải quyết được các vấn đề sau:

+ Hệ thống lại các kiến thức cơ sở của hàm điều hòa và phương trình Laplace

+ Trình bày các định lý quan trọng liên quan đến các tính chất của hàm điều hòa và phương trình Laplace

Ngoài ra, chúng em đã cố gắng làm chi tiết hóa các chứng minh mà trong sách

“Partial Differential Equation” của Lawrence C.Evans chỉ hướng dẫn ngắn gọn

Trên đây là nội dung chính của đề tài Em đã cố gắng hoàn thành luận văn một cách tốt nhất có thể Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp và hạn chế của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi được các thiếu sót Em rất mong nhận được các ý kiến nhận xét, đánh giá từ quý thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004

[2] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo riêng, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2001 [3] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình Đạo hàm riêng Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2003

[4] Nguyễn Hoàng, Bài giảng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, Đaị học Huế, 2006

[5] Lawrence C.Evans, Partial Differential Equation, AMS Press, 1998

[6] Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp Tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2009