Sử dụng phần mềm toán học maple thiết kế bài giảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp Có thể nói rằng việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học với sự hỗ trợ của CNTT, mà cụ thể là ứng dụng máy tính hay phần mềm m

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ngày nay, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật trên thế giới đang trên đà phát

triển với những bước tiến vượt bậc và các thành tựu của chúng, nhất là trong lĩnh

vực công nghệ thông tin (CNTT), đã nhanh chóng được ứng dụng vào nhiều mặt

của đời sống xã hội, trong đó bao gồm cả hoạt động giáo dục và đào tạo Với ngành

giáo dục, CNTT đang tạo ra một cuộc cách mạng về nhiều lĩnh vực chẳng hạn như

giáo dục mở, giáo dục từ xa… trong đó phải kể đến vai trò không thể phủ nhận của

CNTT trong việc đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy Đây là vấn đề xu thế tất yếu của dạy học hiện đại

Nắm bắt kịp thời xu thế ấy, từ thập niên 90 của thế kỷ XX, Đảng, Nhà nước và

ngành giáo dục nước ta đã đặc biệt quan tâm đến vấn đề ứng dụng CNTT nhằm thúc

đẩy quá trình đổi mới phương pháp dạy học và góp phần nâng cao hiệu quả giáo

dục và đào tạo Sự quan tâm trên thể hiện rõ trong tinh thần của nghị quyết TW II,

Khóa VIII: “Đổi mới phương pháp giáo dục – đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một

chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các

phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học” Tinh thần

này đã được cụ thể hóa trong các Chỉ thị 58-CT/TW của Bộ Chính trị (17/10/2000)

và Chỉ thị 29/2001/CTBGD&ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo dục đào tạo (30/7/2001)

về việc tăng cường giảng dạy, đào tạo và ứng dụng công nghệ thông tin trong ngành

giáo dục giai đoạn 2001 – 2005 Trong đó nhấn mạnh “Ứng dụng và phát triển

CNTT trong giáo dục và đào tạo sẽ tạo ra một bước chuyển cơ bản trong quá trình

đổi mới nội dung, chương trình, phương pháp giảng dạy, học tập và quản lý giáo

dục…Phấn đấu thực hiện đẩy mạnh ứng dụng CNTT trong giáo dục và đào tạo ở tất

cả các cấp học, bậc học, ngành học theo hướng sử dụng CNTT như là một công cụ

hỗ trợ đắc lực cho đổi mới phương pháp giảng dạy, học tập ở tất cả các môn học”

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

Có thể nói rằng việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học với sự hỗ trợ của

CNTT, mà cụ thể là ứng dụng máy tính hay phần mềm máy tính vào dạy học chính

là xu hướng chính trong công nghệ dạy học và học hay công nghệ giáo dục trong

thời gian tới

Sử dụng phần mềm máy tính vào dạy học có nhiều ưu điểm, trong đó có hai

tính cách vượt trội hẳn so với cách dạy truyền thống: cung cấp thông tin phong phú,

sinh động hơn; tăng cường mối tương tác trong giảng dạy, chuyển tải và khai thác

khối lượng kiến thức tới học sinh dễ dàng hơn Hơn nữa, việc ứng dụng phần mềm

máy tính vào dạy học sẽ nâng cao tính tích cực, tự thân vận động trong người học

và khi thầy dạy “thầy dạy bằng đa phương tiện, trò học bằng đa giác quan” thì vai

trò người thầy lúc này chỉ giữ chức năng định hướng, tư vấn; còn người học tùy vào

năng lực, điều kiện và nhu cầu của bản thân sẽ đầu tư một khoảng thời gian và công

sức hợp lý để đạt được mục đích mà mình mong muốn

Đặc điểm tư duy của thanh thiếu niên rất phong phú với máy tính, họ có thể

nhanh chóng nắm vững kĩ năng sử dụng máy tính và phần mềm máy tính để áp

dụng cho việc học tập Giờ dạy học với máy tính nếu được thiết kế hợp lí có thể

giúp đạt được những mục tiêu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay như: Việc

học tập của học sinh thực sự được diễn ra trong hoạt động và bằng hoạt động Tạo

ra hứng thú, tính độc lập, tính tích cực học tập cho người học Đồng thời rèn luyện

tư duy toán học… Ngoài ra, việc sử dụng phần mềm Toán học vào dạy học có thể

tạo ra những hiệu quả mà cách dạy học truyền thống khó có thể tạo ra được như:

Việc dễ dàng thay đổi giá trị tham số trong các câu lệnh hay việc sử dụng khả năng

chuyển đổi của đồ thị giúp người học rất dễ nhận biết được những yếu tố không đổi

Đó chính là khái niệm, tính chất mà người dạy cần truyền tải tới người học Giáo

viên có thể giúp học sinh tạo ra những ví dụ trực quan sinh động găn liền toán học

với thực tiễn, làm cho các khái niệm toán học trừu tượng trở nên gần gũi, dễ hiểu

Phần mềm dạy học cho phép thực hiện những tính toán và vẽ đồ thị phức tạp, đồ sộ

mà bằng công cụ giấy, bút khó có thể thực hiện được Đồng thời phần mềm dạy học

làm tăng khả năng cảm thụ vẻ đẹp của toán học

Hàm số là một chủ đề không dễ dạy và nó luôn được xem là then chốt, kiến

thức về hàm tạo thành một tuyến chủ yếu trong chương trình toán học phổ thông

Hơn nữa vẽ và khảo sát hàm số luôn là bài toán quan trọng và là phần không thể

thiếu trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh đại học Học sinh không phải lúc

nào cũng gặp những hàm số đơn giản, để có thể vẽ và khảo sát một cách dễ dàng

Chính vì vậy, một thiết bị hỗ trợ đối với học sinh trong việc học tập và giáo viên

trong việc giảng dạy ở lĩnh vực này là rất cần thiết

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi giúp các thầy cô giáo và các bạn học sinh trong

việc dạy và học bộ môn này, chúng tôi đã nghiên cứu đề tài “Sử dụng phần mềm

toán học thiết kế bài giảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” Đề tài này ngoài việc

bảo vệ luận văn tốt nghiệp cuối khóa học, thì nó còn là một trở thủ đắc lực cho

chúng tôi trong việc giảng dạy sau này

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Phần mềm này với mục đích là hướng vào hai đối tượng chính đó là thầy giáo

dạy toán và học sinh học toán

Đối với giáo viên dạy toán thì nó là một công cụ hỗ trợ đắc lực giúp cho người

thầy giáo giảng dạy môn toán ( với chủ đề khảo sát hàm số ), đồng thời nó giúp để

giải quyết một số lượng lớn các bài tập ngay tại lớp mà các phương pháp dạy truyền

thống trước đây không có được Nó không những tiết kiệm được thời gian ghi chép

ở trên bảng mà còn có thể giành được nhiều thời gian hơn cho việc minh họa các ví

dụ, mở rộng bài toán, giảng giải được nhiều bài tập hơn nhằm đem lại hứng thú,

sinh động trực quan và dễ hiểu

Đối với học sinh học toán thì nó có thế giúp cho các em tự học, tự nghiên cứu

phần bài tập ở nhà để củng cố thêm kiến thức, nó còn giúp cho các em giải bài tập

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp một cách nhanh chóng, chính xác với một khối lượng lớn các bài tập ở nhà để qua

đó tạo cho các em thêm niềm tin và không còn cảm giác sợ học toán nữa Ngoài ra,

phần mền này còn có thể dành cho những ai quan tâm đến học toán ở bậc trung học

phổ thông

Chương trình gồm có 2 chức năng cơ bản: chức năng thứ nhất là giới thiệu

phần lý thuyết cơ bản của bài giảng, chức năng thứ hai là giải các bài tập và vẽ đồ

thị Đây là chức năng quan trọng của chương trình và cũng là mục đích cần hướng

đến của việc dạy học và học toán theo xu hướng hiện đại, đó là “ học toán là để làm

bài tập còn dạy toán là dạy cách làm bài tập”

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Tập trung nghiên cứu vào phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm

số của chương trình lớp 12 Chúng tôi nghiên cứu sâu vào các dạng khảo sát hàm

bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức bậc một trên một và bậc hai trên một

Còn các dạng khác thì chương trình sẽ thông báo “Không phải chương trình cần

khảo sát”

4 CÔNG CỤ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Hiện nay có không ít phần mềm chuyên dụng có khả năng hỗ trợ hiệu quả giáo

viên, học sinh, sinh viên trong dạy học toán Maple là một trong những ví dụ điển

hình Với những khả năng tính toán và biểu diễn hiện có, Maple đã có thể đáp ứng

phần lớn nhu cầu hỗ trợ cho giảng dạy và học tập của cả thầy lẫn trò Maple là công

cụ hỗ trợ cho thầy trình bày các minh họa với chất lượng cao, giảm bớt thời gian

làm những công việc thủ công, vụn vặt, dễ nhầm lẫn… để có điều kiện đi sâu vào

các vấn đề bản chất của bài giảng Có thể nói Maple là trợ thủ đắc lực trong nhà

trường Chính vì vậy, chúng tôi đã sử dụng phần mềm toán học Maple để thực hiện

đề tài của mình

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE 1.1 SƠ LƯỢC VỀ MAPLE

Bộ phần mềm Maple có nguồn gốc là của công ty hỗn hợp hợp tác giữa

Canada và Đức Hiện nay, Maple đã có đến Version 16, Maple là bộ phần mềm

phục vụ cho việc hỗ trợ dạy toán và học toán từ sơ cấp đến cao cấp Bao hàm phần

lớn các lĩnh vực của toán học hiện đại và cổ điển, cho phép lập trình để liên kết các

kết quả tính toán với giao diện thân thiện

Nếu như máy tính bỏ túi chỉ tính toán với số cụ thể, Maple lại thực hiện được

tính toán số lẫn tính toán hình thức Từ rút gọn biểu thức, tính giớn hạn, vẽ đồ thị

hàm số, lấy đạo hàm hàm số tại điểm bất kỳ, tìm nguyên hàm ở phổ thông, cho đến

khai triển Taylor, tìm nghiệm giải tích của phương trình vi phân (dạng cơ bản), tính

định thức, giải hệ phương trình tuyến tính (có tham số) ở đại học

Còn về vẽ hình, Maple minh họa xuất sắc đồ thị hai chiều lẫn mặt cong trong

không gian ba chiều, đồ thị tọa độ cực, tham số, hàm ẩn Hơn nữa, Maple còn có

khả năng cho hình chạy sống động

Thực tế, Maple đang làm thay đổi cách suy nghĩ, dạy và học Toán ở nhà

trường trong thời đại mới

1.2 MỘT SỐ CHỨC NĂNG TÍNH TOÁN TRÊN MAPLE

1.2.1 Phép đơn giản biểu thức:

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp



Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>simplify((2*x^2-3*x-5)/(x+1)); và nhấn

dấu Enter Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

1.2.2 Giải phương trình:

1.2.2.1 Cú pháp chung:

solve(equations, variables)

Trong đó :equatons là phương trình hay các phương trình, variables là biến hay là

1.2.3 Tính đạo hàm của hàm số một biến:

1.2.3.1 Cú pháp chung:

diff(f, [x1$n]) Trong đó: f là hàm số

x1 là biến

n là bậc

1.2.3.2 Ví dụ minh họa :

Tính đạo hàm bậc nhất: x33x27x5

Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>diff(x^3-3*x^2+7*x-5,x$1); và nhấn

dấu Enter Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>diff((x^3-5*x-7)/(x^2-5),x$2); và

nhấn dấu Enter Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

plot(expr, range,option) Trong đó: expr: là biểu thức biểu diễn một hay nhiều hàm số cần vẽ

range: là tham biến xác định vùng vẽ đồ thị

option: là tổ hợp của những tùy chọn hết sức phong phú, cụ thể là cho

ẩn hoặc hiển thị các trục của hệ tọa độ, chọn kiểu và màu cho đồ thị, chọn số lượng

trong khoảng [0,2] với màu lần lượt

là đỏ và xanh, kiểu biểu diễn đồ thị lần lượt là kiểu điểm và đường

Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>solve(x^2+4*x+3,x); và nhấn dấu Enter

Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

with(plots):

plot([sin(x),x-x^3/6],x=0 2,color=[red,blue],style=[point,line]);

1.2.5 Vận động của đồ thị:

Đây thực chất là sự biến thiên của đồ thị theo hàm số

Để vẽ đồ thị hàm số y=t*sin(t*x) khi x nhận giá trị trong khoảng [-П П] và t thay

đổi trong khoảng [-2 2] ta thực hiện lệnh:

Animate(t*sin(x*t),x=-Pi Pi,t=-2 2, color=blue)

1.3 LẬP TRÌNH TRÊN MAPLE

1.3.1 Lệnh điều kiện if:

1.3.1.1 Cấu trúc cú pháp:

if <conditional expression> then <statement sequence>

| elif <conditional expression> then <statement sequence>|

| else <statement sequence> |

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

end if;

1.3.1.2 Chức năng:

Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện <conditional expression> là đúng thì

chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu trái lại thì điều kiện <conditional

expression> sau từ khoá elif sẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì chuỗi lệnh tương

ứng sau then được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện <conditional

expression> đều không thỏa mãn, thì các biểu thức sau lệnh else được thực hiện

Các biểu thức điều kiện conditional expression được sử dụng trong câu lệnh if

phải được tạo thành từ cá bất đẳng thức, các đẳng thức ( các phép toán quan hệ ),

các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị logic Nếu không

Vòng lặp while cho phép lặp chuỗi các câu lệnh giữa do và od khi mà điều

kiện conditional expression vẫn còn đúng Điều kiện conditional expression được

kiểm tra ngay tại đầu mỗi vòng lặp, nếu nó thỏa mãn thì các câu lệnh <sequention

expressions> bên trong được thực hiện, sau đó lại tiếp tục kiểm tra điều kiện

conditional expression cho đến khi điều kiện không còn thỏa mãn nữa

Vòng lặp while thường được sử dụng khi số lần lặp một hay một chuỗi biểu

thức là không xác định rõ ràng, đồng thời ta muốn các biểu thức đó cần được lặp

trong khi một điều kiện nào đó còn được thỏa mãn

Điều kiện conditional expression trong vòng lặp phải là biểu thức boolean, tức

là giá trị của nó có thể đúng hoặc sai, nếu không sẽ sinh lỗi

Trong trường hợp muốn thoát khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể thực hiện bằng

cách dùng các câu lệnh RETUN, break hoặc quit

od;

1.3.3.2 Chức năng:

Vòng lặp for được dùng để lặp một chuỗi các biểu thức được đặt giữa do và

od, mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ số name đứng sau

từ khóa for Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ số Nếu giá trị của biến

name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗi lệnh nằm giữa do và od được thực

hiện, sau đó biến name được gán giá trị tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá

trị change ( name:= name + change) Sau đó, biến name được so sánh với finish

để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có được tiếp tục nữa không Quá trính

so sánh biến chỉ số name và thực hiện chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

trị của biến name lớn hơn giá trị finish Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị

vượt quá finish đầu tiên

Chú ý: nếu các từ khóa from start hoặc by change bị bỏ qua thì mặc định

from 1 by 1 được dùng

Vòng lặp for – in – do – od thực hiện việc lặp với mỗi giá trị mà biến chỉ số

name lấy tự biểu thức expression đã cho Chẳng hạn vòng lặp này được sử dụng

hiệu quả khi mà giá trị của biến name là một phần tử của một tập hợp hoặc dánh

sách

Trong trường hợp muốn thoát khỏi từ giữa vòng lặp, ta có thể dùng các câu

lệnh break,quit, RETUN giống như vòng lặp while

1.3.4 Thiết lập một thủ tục:

Chúng ta có thể làm việc với Maple bằng hai chế độ khác nhau: Chế độ tương

tác trực tiếp thông qua việc nhập từng dòng lệnh đơn lẻ ngay tại dấu nhắc và nhận

được ngay kết quả của lệnh đó Chế độ thủ tục được thực hiện bằng việc đóng gói

một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào trong một thủ tục (Procedure) duy

nhất, sau đó ta chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh có trong

chu trình đó một cách tuần tự và trả lại kết quả cuối cùng

Trong đó:

parameter_sequence: là một dãy các kí hiệu, ngăn cách nhau bởi các dấu phẩy,

chứa các tham biến truyền cho thủ tục

local_sequence: là dãy các tên biến được khai báo là biến cục bộ trong thủ tục

global_sequence: là dãy các tên biến toàn cục có giá trị sử dụng ngay cả bên

ngoài thủ tục

options_sequence: là dãy các tùy chọn cho một thủ tục

statement_sequence: là dãy các câu lệnh do người lập trình đưa vào

1.4 THIẾT KẾ GIAO DIỆN TRÊN MAPLE

Bắt đầu từ Version 8, Maple hỗ trợ phần viết giao diện thân thiện bằng cách

nạp chức năng chuyên dụng gọi là Maplet như sau: with(Maplets)

Gói Maplets bao gồm nhiều gói con là: Elements, Tools, Examples và một

hàm cấp cao là Display

Elements chứa các thành phần: Window Body Elements, Layout Elements,

Menubar Elements, Toolbar Elements, Command Elements…

 MenuBar Elements: dùng để thiết kế menu

 Toolbar Elements: dùng để thiết kế thanh công cụ

 Command Elements: gồm các hành động để đáp ứng lại các hành động

của người sử dụng (click chuột, nhập giá trị hay thay đổi giá trị trong

khung nhập…) như: CloseWindow (đóng 1 cửa sổ), RunWindow (xuất

hiện một cửa sổ), ShutDown (đóng chương trình)…

 Window Body Elements: dùng để thiết kế Window (cửa sổ), Button

(nút lệnh), CheckBox (ô chọn), ComboBox, DropDownBox (hộp đổ

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

xuống), Label (nhãn), MathML Viewer (khung hiển thị các biểu thức

toán học), Plotter (khung hiển thị đồ thị)…

 refID: là tên của các thành phần

 opts: chứa các tùy chọn về kích thước (height, width), tiêu đề (title),

 refID: là tên cửa sổ

 opts: chứa các tùy chọn về kích thước (height, width), tiêu đề (title),

cách sắp xếp các thành phần trong cửa sổ (layout)…

 opts: chứa các tùy biến về màu nền (background), tên xuất hiện trên nút

(caption), hành động xảy ra khi nút được nhấn (onclick)…

 Layout Elements: mô tả cách sắp xếp các thành phần trong cửa sổ Có

hai cách sắp xếp là BoxLayout và GridLayout

Cú pháp:

BoxLayout[refID](opts, element_content) hoặc

GridLayout[refID](opts, element_content)

Trong đó:

 refID: là tên của BoxLayout

 opts: chứa các tùy biến về màu nền (background), đóng khung (border),

tiêu đề (caption)…

 element_content: chứa các BoxColumn, hoặc BoxRow Trong đó

BoxColumn bố trí các thành phần theo cột, còn BoxRow bố trí các

thành phần theo dòng

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

2.1.1 Tập xác định:

Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao

cho biểu thức f(x) có nghĩa

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số 23 1

x y

2.1.2 Tính đơn điệu của hàm số:

2.1.2.1 Định nghĩa:

Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y =

f(x) xác định trên khoảng K Ta nói:

 Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) nếu với mọi cặp x 1 , x 2

Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm số đó

đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này

Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là bảng

biến thiên của hàm số

2.1.2.2 Điều kiện đủ của tính đơn điệu:

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

c) Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y= 4

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp y’ = 3

8x y' dương khi x > 0, âm khi x < 0

Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau, gọi là bảng biến thiên

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)

chứa điểm x0 sao cho x( ; )a b  £ và f( x )<f( x0) với mọi x( ; )a b \{x0} Khi đó

f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)

chứa điểm x0 sao cho x( ; )a b  £ và f( x )>f( x0) với mọi x( ; )a b \{x0} Khi đó

f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực trị gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

2.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

x

y

0 -∞

Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0

thì f’(x0) = 0

2.1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :

Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm

trên các khoảng (a; x0) và (x0;b) Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi x( ;a x0) và f’(x) > 0 với mọi x( ; )x b0 thì hàm số f

đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi x( ;a x0) và f’(x) > 0 với mọi x( ; )x b0 thì hàm số f

đạt cực đại tại điểm x0

Nói một cách khác:

a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực

tiểu tại điểm x0

b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực

đại tại điểm x0

Nếu f’(x) > 0 với mọi x( ;a x0) và f’(x) > 0 với mọi x( ; )x b0 thì hàm số f đạt cực

đại tại điểm Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 sau đây để tìm các điểm cực trị của

một hàm số

Quy tắc 1:

1 Tìm f ’(x)

2 Tìm các điểm x i ( i=1,2,…) tại đó hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục

nhưng không có đạo hàm

3 Xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đồi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại

xi

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

x , f x'( )0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmx0

a) Nếu f''( )x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f''( )x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

Quy tắc 2:

1 Tìm f ’(x)

2 Tìm các điểm x i ( i=1,2,…) của phương trình f’(x)=0

3 Tìm f ''( )x và tính f ''( )x i

Nếu f ''( )x i < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f ''( )x i > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

Vì f ''( 1)   4 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x 1, ( 1)f  3

Vì f ''(3) 4 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm 3, (3) 7 2

3

x f  

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x 1, giá trị cực đại của hàm số là f( 1) 3

Hàm số đạt cực đại tại điểm x3, giá trị cực đại của hàm số là (3) 72

3

f  

2.1.4 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2.1.4.1 Định nghĩa:

Giả sử hàm số f được xác định trên tập hợp £ (£¡ )

a) Nếu tồn tại một điểm x0 £ sao cho f x( ) f x( )0 với mọi x£

thì số M f x( )0 được coi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên £, kí hiệu là

x D

M max f(x)



Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp b) Nếu tồn tại một điểm x0 £ sao cho f x( ) f x( )0 với mọi x£

thì số m f x( )0 được coi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên £, kí hiệu là

a) Tìm các điểm x x1, , ,2 x m thuộc (a;b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm

b) Tính f x( ), ( ), , (1 f x2 f x m), ( )f a và ( )f b

c) So sánh các giá trị tìm được: Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn

nhất của 'f trên đoạn  a b; , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của

2.1.5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

2.1.5.1 Tiệm cận ngang, tiệm cận đứng:

Định nghĩa 1: Đường thẳng yy0được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là

tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu

0lim ( )

Cho nên đồ thì hàm số có hai tiệm cận đứng là x1 và x2

Định nghĩa 2: Đường thẳng xx0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là

tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

2.1.5.2 Đường tiệm cận xiên:

Định nghĩa:

Đường thẳng yaxb,a0, được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm

cận xiên ) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

2.2 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

2.2.1 Tìm tập xác định của hàm số

2.2.2 Xét sự biến thiên của hàm số

2.2.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

 Tính đạo hàm

 Tìm các điểm tới hạn

 Xét dấu của đạo hàm

 Suy ra chiểu biến thiên của đạo hàm

2.2.2.2 Tính các cực trị

2.2.2.3 Tìm các giới hạn của hàm số

 Khi x dần tới vô cực

 Khi x dần tới bên trái và bên phải, các giá trị của x tại đó hàm số không xác

định

 Tìm các tiệm cận của đồ thị (nếu có)

2.2.3 Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào bảng biến thiên

2.2.4 Vẽ đồ thị của hàm số

2.2.4.1 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

2.2.4.2 Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị

2.2.4.3 Nhận xét vẽ đồ thị

2.3 KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC

2.3.1 Hàm bậc ba 3 2

(a 0)

2.3.1.1 Tìm tập xác định : D=R

2.3.1.2 Xét sự biến thiên của hàm số

a) Xét sự biến thiên của hàm số:

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

2.3.2 Hàm bậc bốn 4 2

(a 0)

2.3.2.1 Tìm tập xác định: D=R

2.3.2.2 Xét sự biến thiên của hàm số:

a) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Nếu y" = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị có 2 điểm uốn

+ Nếu y" = 0 có 1 nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị không có điểm

uốn

e) Bảng biến thiên:

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

2.3.3.2 Xét sự biến thiên của hàm số:

a) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Nếu D>0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định

+ Nếu D<0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

e) Bảng biến thiên:

 D>0

d c

 D<0

d c

 

2.3.4.2 Xét sự biến thiên của hàm số:

a) Xét chiều biến thiên của hàm số:

c) Tìm các giới hạn , tiệm cận của hàm số:

+ Chia tử cho mẫu ta có:

 

Trần Thị Thắm & Phan Thị Hoàng Linh Luận văn tốt nghiệp

b a