Sử dụng mathcad professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

41Trong chương trình toán Phổ thông trung học thì khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một trong các dạng cơ bản, và được xem là then chốt, kiến thức về hàm số tạo nên một tuyến chủ yếu trong

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 3

1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3

1.2 Các dạng toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 11

1.2.1 Dạng 1: Các bài toán tiếp xúc 11

1.2.2 Dạng 2: Các bài toán về cực trị 12

1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 đi qua 13

1.3 Phần mềm Mathcad Professional 14

1.3.1 Giới thiệu 14

1.3.2 Các phép toán trong Mathcad 14

Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT 19

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD 19

2.1 Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 19

2.1.1 Hàm số bậc 3: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅 19

2.1.2 Hàm số bậc 4: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄 22

2.1.3 Hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙+𝒃 𝒄𝒙+𝒅 24

2.1.4 Hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 𝒅𝒙+𝒆 26

2.2 Các dạng liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 28

2.1.1 Dạng 1: Bài toán tiếp xúc 28

2.1.2 Dạng 2: Bài toán về cực trị 30

2.1.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định của họ đường cong (𝑪𝒎) đi qua 30

2.3 Bài toán tổng hợp 32

2.4 Một số bài toán tham khảo 40 KẾT LUẬN 41

Trong chương trình toán Phổ thông trung học thì khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số là một trong các dạng cơ bản, và được xem là then chốt, kiến thức về hàm số tạo nên một tuyến chủ yếu trong chương trình toán học phổ thông

Nhằm để giúp người dạy cũng như người học có thể giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được dễ dàng và nhanh chóng hơn, tôi đã chọn đề tài “Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích chọn đề tài

Khai thác các tính năng của phần mềm toán học để có thể áp dụng giải các vấn

đề toán học Trung học phổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm toán học Mathcad Professional

 Phạm vi nghiên cứu: Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề liên quan trong Giải tích 12

4 Các phương pháp nghiên cứu

 Thực nghiệm: Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề liên quan thông qua phần mềm toán học Mathcad Professional

5 Nội dung đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết bài, luận văn gồm 2 chương:

 Chương 1: Nghiên cứu tổng quan

Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về lý thuyết khảo sát hàm số cùng các vấn đề liên quan Đồng thời, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về phần mềm toán học Mathcad Professional, về công dụng, tính năng và các phép tính toán được thực hiện của nó

 Chương 2: Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bằng Mathcad

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề liên quan

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xác định

Định nghĩa: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là tập hợp tất cả các số thực 𝑥 sao

cho biểu thức 𝑓(𝑥) có nghĩa

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 =

154

1.3



x x

x

Giải: Biểu thức

154

13





x x

2 Sự biến thiên của hàm số

a Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, 𝑏)

- Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (𝑎, 𝑏) nếu với mọi số thực 𝑥1và 𝑥2thuộc (𝑎, 𝑏) ta có:

𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

- Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (𝑎, 𝑏) nếu với mọi số thực 𝑥1và 𝑥2thuộc (𝑎, 𝑏) ta có:

𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (𝑎, 𝑏) là xét xem hàm số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này

Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là bảng biến thiên của hàm số

Hàm số đồng biến trên (𝑎; 𝑏)

b Tính đơn điệu của hàm số

Định lý: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên khoảng (𝑎; 𝑏)

Nếu 𝑓’(𝑥) 0 (hoặc 𝑓’(𝑥)0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hửu hạn điểm trên khoảng (𝑎; 𝑏 )

Thì hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên khoảng đó

Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số

- 𝑦 ’ > 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 >

25

- 𝑦 ’ < 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 <

25

Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau gọi là bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (

c Điểm tới hạn

Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên các khoảng (𝑎; 𝑏)và 𝑥0

(𝑎; 𝑏) Điểm 𝑥0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó 𝑓’(𝑥) không xác định hoặc bằng 0

Ví dụ: Xét hàm số 𝑦 = 3𝑥 +

x

3+ 5

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎; 𝑏) và điểm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏)

a) Khoảng (𝑥0− ; 𝑥0+) kí hiệu là 𝑉(), trong đó (𝛿 > 0)được gọi là một lân cận của điểm 𝑥0

b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu với mọi x thuộc lân cận 𝑉()(𝑎; 𝑏) của điểm 𝑥0 ta có:

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) (𝑥  𝑥0)

Lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm 𝑥0

- 𝑓(𝑥0) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu 𝑓𝐶𝐷 = 𝑓(𝑥0)

- Điểm 𝑀(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

c) Điểm 𝑥0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu với mọi 𝑥 thuộc lân cận 𝑉()(𝑎; 𝑏) của điểm 𝑥0, ta có:

𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) (𝑥  𝑥0) Lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm 𝑥0

Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm số đã cho

 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Giả thiết hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎; 𝑏) và 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏)

Định lý Fecma ( Pierre De Fermat 1601-1665)

Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 và đạt cực trị tại điểm đó thì

thì 𝑥0 là một điểm cực tiểu của hàm số 𝑓(𝑥)

- Nếu 𝑓′(𝑥) > 0 trên khoảng (𝑥0− 𝛿; 𝑥0);

và 𝑓′(𝑥) < 0 trên khoảng (𝑥0; 𝑥0+ 𝛿)

thì 𝑥0 là một điểm cực đại của hàm số 𝑓(𝑥)

Tóm lại: Nếu khi 𝑥 đi qua 𝑥0, đạo hàm đổi dấu thì 𝑥0 là một điểm cực trị

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số

2

)1.(

Từ bảng biến thiên ta thấy 𝑥 = −1 là điểm cực đại và 𝑥 = 1 là điểm cực tiểu củả hàm số đã cho

 Dấu hiệu 2

Định lý 2: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại 𝑥0 và 𝑓’(𝑥0) = 0, 𝑓’’(𝑥0)  0 thì 𝑥0 là một điểm cực trị của hàm số

Khi đó,

- Nếu 𝑓’’(𝑥0) > 0 thì 𝑥0 là điểm cực tiểu

- Nếu 𝑓’’(𝑥0) < 0 thì 𝑥0là điểm cực đại

Áp dụng dấu hiệu 2 ta có quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số

2

1

là điểm cực đại

Kết luận: 𝑓(𝑥) đạt cực tiểu tại 2 điểm 𝑥 = 0 và 𝑓𝐶𝑇 = 2;𝑥 = 1 và 𝑓𝐶𝑇 = 2;

𝑓(𝑥) đạt cực đại tại điểm 𝑥 =

21

𝑣à 𝑓𝐶𝐷 = −1

3 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

a Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn

Xét đồ thị 𝐴𝐵𝐶 của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) biểu diễn trong hình dưới đây: Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến

Tại mọi điểm của cung 𝐴𝐶 tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung 𝐴𝐶 Ta nói cung 𝐴𝐶 là một cung lồi Nếu 𝑎 là hoành độ của 𝐴, 𝑐 là hoành độ của 𝐶, thì khoảng (𝑎; 𝑐) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị

Tại mọi điểm của cung 𝐶𝐵 tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung 𝐶𝐵 Ta nói cung 𝐶𝐵 là một cung lõm Nếu 𝑐 là hoành độ của 𝐶, 𝑏 là hoành độ của B, thì khoảng (𝑐; 𝑏) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị

Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn Chẳng hạn,

điểm 𝐶 của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn

b Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn

Định lý 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (𝑎; 𝑏)

- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) < 0 với mọi 𝑥(𝑎; 𝑏) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng

đó

- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) > 0 với mọi 𝑥(𝑎; 𝑏) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó

Định lý 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm 𝑥0

và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó

Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi 𝑥 đi qua 𝑥0 thì điểm 𝑀0(𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Ví dụ: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:

𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2+ 𝑥

 Giả sử đồ thị (𝐶) có nhánh vô cực ,cho đường thẳng 𝑑

Kí hiệu 𝑀𝐻 là khoảng cách từ 𝑀(𝑥, 𝑦)  ( 𝐶) đến đường thẳng 𝑑

𝑑 được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( 𝐶) nếu 𝑀𝐻 dần đến 0 khi

𝑀 dần đến  𝑡rên (𝐶)

Nói cách khác, 𝑑 là tiệm cận của ( 𝐶) khi và chỉ khi

lim

Ví dụ: Cho hàm số : 𝑦 =

6.5

4.3



x x x

12

 Tiệm cận xiên

Giả sử 𝑀(𝑥; 𝑦) thuộc đồ thị (𝐶) dẫn đến vô cực khi cả hai tọa độ 𝑥 và 𝑦 đều dần tới vô cực

Giả sử đường thẳng 𝑑 có phương trình là 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏

Định lý: Điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng 𝑑 là một tiệm cận của đồ thị

(𝐶 ) là

lim

𝑥→∞[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

hoặc

lim

𝑥→−∞[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 hoặc

1.2 Các dạng toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1.2.1 Dạng 1: Các bài toán tiếp xúc

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), đồ thị là (𝐶) có 3 loại phương trình tiếp tuyến như sau:

a Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ (𝐶)

- Tính đạo hàm và giá trị 𝑓’(𝑥0 )

- Hệ số góc 𝑘 = 𝑓’(𝑥0 )

- Phương trình tiếp tuyến có dạng: = 𝑘(𝑥 – 𝑥0 ) + 𝑦0

b Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 𝑘

- Giải phương trình 𝑓’(𝑥) = 𝑘, tìm nghiệm 𝑥0 suy ra 𝑦0

- Phương trình tiếp tuyến có dạng: = 𝑘(𝑥 – 𝑥0 ) + 𝑦0

 Chú ý: Cho đường thẳng ∆: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, khi đó:

c Loại 3: Tiếp tuyến của (𝐶) đi qua điểm 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴) (𝐶)

- Gọi 𝑑 là đường thẳng đi qua 𝐴 và có hệ số góc là 𝑘, khi đó (𝑑) :

k x f

)(

)(

)('

Tổng quát: Cho 2 đường cong (𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) và (𝐶’): 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm

(

'

)()

(

x g x

f

x g x

0)('0

0

x f

x f

0)('0

0

x f

x f

thì hàm số đạt cực tiểu tại = 𝑥0 Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp đó là tìm điều kiện của tham số m để thõa mãn yêu cầu bài toán:

- Đối với bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị thì ta sẽ đi giải

hệ phương trình sau: {∆𝑎 ≠ 0

𝑦′> 0 Với ∆𝑦′ là biểu thức Delta có giá trị: ∆𝑦′= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

- Đối với bài toán tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành thì ta đi xét: 𝑦𝐶𝐷 𝑦𝐶𝑇 < 0

- Đối với bài toán tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành thì ta đi xét: 𝑥𝐶𝐷 𝑥𝐶𝑇 < 0

- Đối với bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành ta sẽ đi giải hệ phương trình: {𝑦𝑐𝑑 + 𝑦𝑐𝑡 > 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 > 0

- Đối với bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành ta sẽ đi giải hệ phương trình: {𝑦𝑐𝑑 + 𝑦𝑐𝑡 < 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 < 0

- Đối với bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành thì ta giải phương trình: 𝑦𝐶𝐷 𝑦𝐶𝑇 = 0

1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 đi qua

a Bài toán: Cho họ đường cong (𝐶𝑚 ) có phương trình 𝑓(𝑥, 𝑚), trong đó m là tham số, hãy tìm những điểm cố định khi 𝑚 thay đổi

b Cách giải:

Với mỗi giá trị của tham số 𝑚, ta được một đồ thị của (𝐶𝑚 ) tương ứng Như vậy, khi m thay đổi thì đồ thị (𝐶𝑚 ) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của (𝐶𝑚 ) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của (𝐶𝑚 ) đứng yên khi 𝑚 thay đổi Những điểm đứng yên đó được gọi là những điểm cố định của họ đường cong (𝐶𝑚 )

Đó là những điểm mà mọi đường cong (𝐶𝑚 ) đều đi qua với mọi giá trị của 𝑚

Nếu 𝐴(𝑥0 ; 𝑦0 ) là điểm cố định của đồ thị (𝐶𝑚 ) thì 𝑦0 = 𝑓(𝑥0; 𝑚) thõa mãn với mọi 𝑚 Điều này có nghĩa là phương trình 𝑦0 = 𝑓(𝑥0; 𝑚) vô định theo tham

số 𝑚

Vậy để tìm điểm cố định của họ đường cong (𝐶𝑚 ) ta làm các bước sau:

- Đưa phương trình 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑚) về dạng phương trình theo ẩn m dạng

C B

 Giải các bài toán trong lĩnh vực hóa học, cơ đất đá, cấu trúc dữ liệu, điện, phương pháp số…

Mathcad có thể sử dụng để lập trình giải các bài toán phức tạp không những tính toán trên số mà còn tính toán trên các kí hiệu

Với Mathcad 7.0 ta có thể giao lưu, trao đổi kinh nghiệm với các người dùng khác trên thế giới ( nếu có kết nối internet); Mathcad còn có thể chuyển dữ liệu từ nó sang Excel và ngược lại thông qua MathConnex

1.3.2 Các phép toán trong Mathcad

Mathcad có rất nhiều công thức toán học, nhưng trong khuôn khổ đề tài này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về các công thức được sử dụng trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

a Giải phương trình và bất phương trình

- Gõ Ctrl-L hoặc Ctrl-A hay Ctrl-B

- Điền biểu thức, biến, trị vào

- Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate / Symbolically

 Ví dụ

Tìm giới hạn bên phải của hàm số 𝑦 = 𝑥−1

𝑥+2 tại 𝑥 = 2

2x

- Gõ biểu thức và dấu hiệu đạo hàm

- Chọn biểu thức gồm cả dấu hiệu đạo hàm

- Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically

 Ví dụ

- Nhấp biểu tượng , chọn , hoặc gõ Ctrl- Shift-?

- Điền vào các lổ trống, ấn Ctrl-., Enter

 Ví dụ

2

x

3x2 4x 5d

Để tạo vùng vẽ có thể thực hiện theo các cách sau:

- Từ thanh công cụ : chọn Insert/Graph/X-Y Plot

- Từ thanh Math : nhấp vào biểu tượng

- Từ bàn phím : nhấn @

Hình1 vùng thể hiện đồ thị

- Trong khung trống nằm dưới trục hoành (trục x) nhập giá trị đồ thị

muốn dựa theo Giá trị này là thang đo đã xác định trước đó Nếu không

xác định trước, Mathcad tự động xác định thang đo từ -10 đến 10

- Trong khung trống nằm bên cạnh trục tung (trục y), nhập biểu thức

muốn vẽ

 Lưu ý

Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác, để chúng có thể dùng chung giá trị độc lập Ngoài ra còn thể hiện được nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị

 Hiệu chỉnh đồ thị

Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:

- Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot

- Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh

Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình 2)

Hình 2

Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:

- Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vuông góc thông thường ,nếu chọn None thì

- Nếu chọn Equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau

- Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)

o Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ

o Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of Grids- đó là

số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn sửa số 5 nghĩa là trong khoảng 0 10 có 5 đoạn chia

- Nhấp Apply-OK

 Đưa các tiêu đề vào đồ thị

- Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị

- Menu Format / Graph / X-Y Plot

 Chọn labels sau đó nhấp vào các cột như hình dưới đây:

- Title : đặt tên cho hình biểu diễn trên đồ thị, khi đó phải chọn để thể hiện

Bạn có thể đặt tên ở trên () hoặc ở dưới đồ thị ()

- Axis labels : gán chú thích trên mỗi trục

Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD

Trong chương này, chúng ta sẽ giải một số các dạng bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bằng Mathcad Ở mỗi dạng, chúng ta sẽ chỉ giải một vài bài tập mẫu, còn các bài tương tự thì ta chỉ việc thay các tham số tương ứng vào thì sẽ được kết quả Ở cuối chương sẽ có một số bài toán tổng hợp và bài toán tham khảo để giúp chúng ta có thể hiểu rõ hơn và có thể áp dụng Mathcad để tự giải

2.1 Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞)

Hàm số nghịch biển trên khoảng (−2; 0)

y x( )