Chuyên đề Nhị thức Niu Tơn

Tài liệu là toàn bộ kiến thức về Nhị thức Niu ton bao gồm các bài tập cơ bản và nâng cao, giúp học sinh và giáo viên có thêm tài liệu để bồi dưỡng và nghiên cứu. Tài liệu giúp học sinh làm quen với các dạng bài tập hay có trong các đề kiểm tra và đề thi

NHỊ THỨC NIUTON A- LÝ THUYẾT

Tam giác Paxcan –

3. Xác định hệ số khai triển của một

số hạng chứa xk

I Vấn đề 1 : Khai triển nhị thức Niu tơn.

Ghi ch ú : Khi khai triển (a b) n, ta cần nắm được kĩ năng như sau:

Số hạng tổng quát trong khai triển là : C a bk n k kn  (0  k  n).

Từ đó ta có các số hạng trong khai triển như sau:

2a b C (2a) C (2a) b C (2a) b C (2a) b C 2ab C b

= 32a 80a b 80a b 40a b 10ab b

Nhận xét: Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), tuy nhiên trong một số khaitriển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng hệ số khai triển nhị thức trongtam giác Pax – can để khai triển như:

Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa 5 là:



 

Bài tập áp dụng: Tìm số hạng được chỉ ra trong khai triển

1) Thứ 6 (1 2y) 212) 2) Thứ 13 của 33 215 3) Thứ tám của

Nhận xét: Khi gặp đề bài có yêu cầu như trong ví dụ 2, học sinh cần chú ý : a 0 =1, a > 0

Bài tập vận dụng Tìm số hạng không chứa x của khai triển

1 xx

Vấn đề 3 : Tìm hệ số của một biểu thức nào đó trong khai triển

Phương pháp: Khai triển Niu ton tổn quát, sau đó từ lũy thừa yêu cầu tìm ra k Từ đó xác định

hệ số cần xác định

Ví dụ: Tìm hệ số của x2 trong khai triển của

8 2

Nhận xét: Trong một biểu thức đại số viết dưới dạng khai triển cĩ dạng:

n

ak b k

k 0

a x 



là các số nguyên thỏa đk bài tốn ) Thì hệ số của x ak +b là a k và điều kiện để cĩ x m là : a.k + b

= m ( với a, b, k phải thỏa điều kiện nào đĩ của bài tốn).

- Trong ví dụ 2, nếu học sinh chú ý một chút thì thấy được x 4 chỉ cĩ trong các khai triển

Bài tập áp dụng Tìm hệ số của xk trong các khai triển

1) Của x7 trong (2 – x)10 2) Của x6 trong 1x28

3) Của x3 trong (1 x)  2  (1 x)  3  (1 x)  4  (1 x)  5 4) Của x9 trong (1 x)  9  (1 x)  10  (1 x)   14

Ví dụ 2: Xác định hệ số của x11 trong khai triển

n

2 1xx

 Hệ số khai triển của x11 là : C103 120

Bài tập áp dụng: Tìm hệ số của xk trong các khai triển

1) của x11 trong khai triển

n

2 1xx

 Tổng các hệ số trong khai triển trên là: S a 0 a a1 2  a 10 310

- Dĩ nhiên khi học sinh không nắm được kiến thức về nhị thức Niutơn học

sinh có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A và B, tuy nhiên trong trường hợp n lớn thì việc tính như vậy là khơng khả thi.

- Để vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn (a + b) n để tính các giá trị như tổng A và

B học sinh cần chú ý: trong cơng thức khai triển thì lủy thừa của a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa của b tăng từ lủy thừa 0 đến n Từ đĩ ta suy ra giá trị a, b, n cần

b) P C 106 C107 C108 C109 C1010

Từ khai triển nhị thức Newton (a b) 10

 Cho a = 1, b = 1 ta có:

1 1 10 210 C100 C110C102 C103  C 109 C1010

Do C100 C ;C1010 110 C ;C109 102 C ;C108 310 C ;C107 104 C106

 P = 210 - C = 772105

Nhận xét:

- Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu được rằng đề bài đưa ra khơng nhất

thiết là tình tổng tất cả các hệ số trong cơng thức khai triển, mà cĩ thể tính một số giá trị nào đĩ của khai triển, khi đĩ ta phải tìm ra qui luật tổng quát của tổng, từ

đĩ vận dụng kiến thức một cách linh hoạt

- Cần chú ý tới chỉ số C để nắm được qui luật của tổng.kn

 điều phải chứng minh

Bài tập tương tự:

Tính các tổng sau

Chứng minh rằng: C0n  C1n C2n  C3n  ( 1) C  p pn  ( 1) Cp pn 1

C MỘT SỐ BÀI TỐN MỞ RỘNG

Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn cĩ dạng khĩ hơn và bài tốn mà kiếnthức lớp 11 ( theo chương trình hiện ) khơng giải được :

1 Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b cĩ số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.

2 Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng

3 Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

4 Các bài tốn chứng minh cĩ liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn

5 Các bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn

6 Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn

I VẤN ĐỀ 1 : Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b cĩ số mũ là

Vậy số hạng phải tìm là: T15 C 3 214 2 224 36C1424

Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa căn của các khai triển.

Vậy số hạng chứa x7 là

16 1 2

Vậy hệ số của x8 là : C128 495

Bài tập tương tự: Tìm hệ số của xk trong các khai triển

1) Của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n 28



biết hệ số của số

hạng thứ ba trong khai triển là 105 HD:

HD: Tổng hệ chẵn, lẻ bằng nhau  a8 = –264

Ví dụ 3: Xác định x để số hạng thứ tư trong khai triển nhị thức:

Giải: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển

Bài tập tương tự:

1) Xác định n để trong khai triển nhị thức (1 x) n mà các hệ số của:

a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành một cấp số cộng

b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành một cấp số cộng

HD: Hệ số nhị thức a, b, c là một cấp số cộng  a + c

3) Tìm x để trong khai triển

12xx

x 1

3 2

cho biết C3n 5C1n và số hạng thứ tư bằng

20n Tìm x và n (Khối A/2002) ĐS: n = 7, x = 4.

Ví dụ 4 :Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển  243100

Giải:

Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển  243100 là: k 100 k2 k4

k 1 100

T  C 2  3 Để Tk+1 là số hữu tỉ, cần phải có: 100 k 2m  

Do đó k = 4p, với p = 0, 1, , 25.

Hay ta có k = 0, 4, 8, 12, , 100

Vậy có 26 số hạng hữu tỉ trong khai triển của  243100

Bài tập tương tự: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong các khai triển.

Ví dụ:Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1 2 x 3x28

Giải:

Ta thấy (1 2x 3x )  2 8 1 (2x 3x )  2  8

Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2

Ta cĩ số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là:

k 2 k k i k i 2 i k i i k i k i

T C (2x 3x ) C C (2x) ( 3x ) 2 ( 3) C C x 

Để x9 xuất hiện là k + i = 9, với 0  i  k  8

Suy ra: Hêệ số của x9 trong khai triển là:

2 3.C C 2 9C C 2 27C C 2.81C C 30288

Chú ý: Khi giải bài tốn trên ta cĩ thể áp dụng cho a = 1 + 2x, b = -3x 2

Bài tập tương tự: Tìm hệ số của:

1) x4 trong khai triển 1 x x  24 ĐS: a5 = 19

2) x trong khai triển 5 1 x x  25 ĐS: a6 = –51

3) x trong khai triển 5 2 x x  26 ĐS: a6 = –266

4) x trong khai triển 7 1 x 2x  210 ĐS: a8 = –19440

5) x trong khai triển 17 2 x 4x715 ĐS: i, k không tồn tại nên a = 0.

6) x trong khai triển 8 1 x (1 x) 2  8

  (Khối A/2004) ĐS: a5 = 238

7) Cho n  gọi * an 3 là hệ số của x3n 3  trong khai triển thành đa thức của

(x 1) (x 2)  Tìm n để an 3 26n (Khối D/2003).

HD: an 3 2 C C3 0n 3n2C C1 1n n  n 5

Hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn.

Ví dụ 1: Trong các hệ số C của khai triển (a + b)kn n ( n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 chotrước , k là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n ) Tìm hệ số khai triển C lớn nhấtkn

Vậy hệ số lớn nhất là a9 C 2128 8 126720

Bài tập tương tự:

1) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

HD: (1 x) 2n cho x =  3 rồi cộng vế.

Bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn:

ĐS: 1

n 12) Tính B = C0n 1Cn 1C2n 1C3n 1 Ckn 1 Cnn

Bài 5: Tính tổng C05  2 C15  22C25  23C35  24C45  25C55

Bài 6: Chứng minh rằng :

n C 1 n

3 n C 3 2 n C 2 1 n C

n n

C

3 1

3 n C 2 1

2 n C 1 1

1 n C 0

n x

Bài 14: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 8 1x21 x 8

Bài 15: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 2 n 2 2 2 3 3 n 3 100

4

1

x x



  với x > 0

Bài 17: Tính giá trị của

x x



  bằng 1024 Tìm hệ số của x6 Bài 25: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

20 3

101

x x

Bài 32: Tìm tất cả các số hạng hữu tỷ trong khai triển  23 320

Bài 33: Tính giá trị của biểu thức

3 18

x x

Bài 34: Giải bất phương trình A x2C x2120

Bài 35: Trong khai triển 1

n x x



  , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai

là 35 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nói trên

Bài 36: Cho tập A gồm n phần tử, n 7 Tìm n biết số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A

Bài 37: Biết  100 2 100

2x a a x a x  a x C/minh a2 a3 Với giá trị nào của k 0 k 99 thì a k a k1 (Đ76)

Bài 38: Biết rằng trong khai triển 1

n x x

2 2016

12

2

n nx

Câu 6: Tổng số C n0 C n1C n2  ( 1)n n C n có giá trị bằng:

trường hợp

I Gồm có 7 số hạng II Số hạng thứ 2 là 6x III Hệ số của x5 là 5





x x

  không chứa x Tìm x biết rằng số hạng này bằng

số hạng thứ hai của khai triển 1 x 330

Câu 26: Trong khai triển (1+x)n biết tổng các hệ số 1 2 3 1

n 2 n 1 n 0

A:6435x31y7 B:6435x29y8 C:6435x31y7 và 6435x29y8 D:6435x29y7 và 6435x29y8

2.Trong khai triển (x-2)100 = a0+a1x1+…+a100x100

.1.A Hệ số a97 là:

A:9 B:8 C:6 D: Không có giá trị nào thỏa cả

4.Trong khai triển ( 3 45)124có bao nhiêu số hạng hữu tỉ

8 3 6

1 x x

1 3

1 3

x và 56

1 4

x



C:56

1 4

22 Trong một hộp đựng 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, tính xác suất

để được ít nhất 2 bi vàng được lấy ra

ĐÁP ÁN

1.C 2 1.A B 1.B A 1,C D 3 C 4 A 5 A 6.C 7.D 8.C 9.B

11.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.D 19.B 20.A 21.C 22.A

2016

3 2016

2 2016

6 C

12 5

16 Số hạng có chứa y6 trong khai triển (x – 2y2)4 là:

A)32xy 6 B) 24x y 2 6 C) 32xy 6 D)  24x y 2 6