Tài liệu Các phương pháp giải phương trình vô tỷ 2 docx

5.Phương pháp tọa độPhương pháp tọa độ là phương pháp hay để chứng minh BĐT và trong giải phương trình cũng vậy.Chúng ta thử xét 3 ví dụ sau: Ví dụ 12:Giải phương trình Lời giải:Xét tron

5.Phương pháp tọa độ

Phương pháp tọa độ là phương pháp hay để chứng minh BĐT và trong giải phương trình cũng

vậy.Chúng ta thử xét 3 ví dụ sau:

Ví dụ 12:Giải phương trình

Lời giải:Xét trong không gian tọa độ Oxyz của các véc tơ

Suy ra:

PT(1) =| |.| | //

Lời giải:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét các véc tơ:

+ =(3x+2,5) thì Suy ra PT(1) | + |= | | + | |

=k (k>0)

Vậy PT(1) có nghiệm duy nhất x=

Ví dụ 14:Giải phương trình + = (1)

Lời giải:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét các véc tơ:

+ =(-2,5) thì Suy ra PT(1) | + |= | | + | |

=k (k>0)

Vậy PT(1) có nghiệm duy nhất x=

Bài Viết6.Phương pháp đổi biến lượng giác

Khi gặp những phương trình vô tỉ mà ĐK:|x| 1 thì ta nên nghĩ ngay đến PP này.Chắc chăn đây là một

PP hay và đưa lại những giải ngăn gọn nhưng cũng cần chú ý(dễ mắc sai lầm)

Ví dụ 15:Giải phương trình sau [ - ] =2+

Lời giải: ĐK: |x| 1 Ta đặt x = cosa và bỏ dấu căn ta sẽ có:

Biến đổi tiếp ta có:

(1+sina/2)cosa=1+sina/2 hay ( cosa-1)(1+sina/2)=0 cosa= /2 Vậy x= /2

Ví dụ 16:Giải phương trình + =

Lời giải: ĐK: |x| < 1

Đặt x=cost , 0< t < Thay vào phương trình ta có:

+ = (Vì 0 < t/2 < /2 nên sin > 0 )

Bởi vậy x = cost =1 - 2 = 1/4

Ví dụ 17:Giải phương trình sau + =

Lời giải: Vì 0 < |x| < 1, nên có thể đặt x=cost ( 0 < t < , t )

Thay vào phương trình ta có :

+ = (Vì sint>0 khi 0<t< )

Từ đó ta có: cost+sint= cost.sint = sin2t

Đặt cost+sint=y

Khi đó : sin2t= - 1 và phương trình cuối có thể viết

y=

Giải ra : = 7/5 , =-5/7

Từ cost+sint=y cos(t- /4)= y/ < 1

Đặt y/ = cosa ta có t- /4 = a + k2

t = /4 a (k=0 vì 0 < t < )

Vậy x = cost = ( /4 a) = (cosa sina)

* cosa = / =

= 3/5 , =4/5

* cosa = / =

Ví dụ 18(Olympic30-4,2001) Giải phương trình 64 - 112 + 56 - 7 = 2 (1)

Lời giải: Ta có : cos3a = 4 a - 3cosa

Đặt x=cost với t [0; ] , (1) trở thành :

64 t - 112 t+56 t - 7 = 2 (với cost 0)

64 t -112 t+56 t - 7cost = 2sint.cost cos7t = sin2t cos7t = sin( - 2t)

(t = +k ) v (t = - + l ) (k,l Z)

Vì cost 0 nên PT(1) có 6 nghiệm:

x = cos v x = cos v x = cos v x = cos v x = cos v x = cos

7.Phương pháp dùng biểu thức liên hợp

Ta đã biết ( + )( - ) = a - b với a,b 0

trong đó + , - là 2 biểu thức liên hợp nhau.Thực chất của phương pháp này nếu nhân một biểu thức dạng với biểu thức liên hợp để xuất hiến nhân tử chung.Sau đó đưa về phương trình ở dạng đơn giản hơn

Ví dụ 19:Giải phương trình - = (1)

Lời giải:

ĐK: x x+3 > 0

Nhận xét thấy (4x + 1) - (3x - 2) = x + 3

Nếu nhân cả 2 vế của phương trình (1) với biểu thức liên hợp với vế trái(biểu thức này lớn hơn 0) thì xuất hiện nhân tử chung là x + 3 ta có:

+ - 5 = 0 (Do x + 3 > 0)

PT cuối có thể giải bằng cách bình phương 2 vế hoặc so sánh giá trị của VT với 5 khi x < 2 và x > 2

để tìm thấy nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 20:Giải phương trình + = 2x + 4 (1)

Lời giải:

ĐK:

x - 4 - , - 4 + x -1 , x 1

Ta có :

Thử thấy x = 1 là nghiệm của PT(2).Giả sử 1 ta có:

Từ (2) ta có

Cộng từng vế 2 PT này ta được :

4(x+1) = 3( - 1)

hay (x + 1)(4 - 3x + 3) = 0

Từ đó ta có nghiệm = - 1

Tiếp tục giải phương trình 4 = 3x - 3 bằng cách bình phương 2 vế ta tìm được nghiệm = 1 và

= - (Không thỏa 3(x - 1) _ L)Thử lại ta có phương trình (1) có 2 nghiệm x = 1

Ví dụ 21: Giải phương trình - = (1)

Lời giải:

ĐK: x -1

Trừ theo từng vế 2 PT trên ta được:

7x - 1 = 2 Bình phương 2 vế rồi giải PT ta tìm được nghiệm là

= 3 và = - Thử lại PT chỉ có nghiệm duy nhất x = 3

8.Phương pháp đánh giá

Cái đặc biệt của PP này là có thể giải các PT vô tỉ có căn bậc lớn.Chủ yếu của cách làm này là tìm

nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.Sau đây là một số ví dụ

Ví dụ 22: Giải phương trình sau = x (n dấu căn)

Lời giải:

ĐK: x 0 Đặt = ; = ; ; = ( 0) khi đó PT có dạng = x (*) Nếu x > thì > nên > Tương tự ta có:

> > > = x (mt)

Nếu x < thì < < < = x (mt)

Vậy nghiệm của phương trình của (*) phải thỏa mãn x = hay x =

Nghiệm của PT sẽ là = 0, = 3

Ví dụ 23(THTT6-2005) Giải phương trình = 5 (1)

Lời giải: ĐK:x 5

Đặt = t (x t 0) thì (1) trở thành

= 5

Nếu t < 5 x-t > x - 5 0 >

x - < x - < hay 5 < t vô lý

Nếu t > 5 0 x - t < x - 5

< x- > x -

> hay 5 > t (vô lý)

Vậy t = 5 do đó = 5 x - 25 =

x = 30 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 30

Ví dụ 24:Giải phương trình + = 6 (1)

Lời giải: ĐK; x < 2

Dễ dàng nhận ra nghiệm x = Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất.Thật vậy

Với x < ta có < 2 và < 4.

Do đó + < 6 (mt)

Với < x < 2 chứng mnh tương tự ta có + > 6 (mt)

Suy ra (1) có nghiệm duy nhất x =

Ví dụ 25:Giải phương trình + = a với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Lời giải:

Với a =0 ta có + = 0 Khi đó nếu n chẵn thì x = 0 Nếu n lẻ thì mọi x đều là nghiệm

Với a 0, Đặt y = và a - y = z thì ta có hệ

(*)

Ta thấy ngay

hoặc

là nghiệm của (*)

Khi đó = 2 hoặc =

Ta chứng minh ngoài 2 nghiệm trên hệ (*) không có nghiệm nào khác với a 0, y 0, z 0

Thật vậy nếu (y,z,a) thỏa mãn (*) thì (-y,-z,a) cũng thỏa mãn nên ta có thể giả sử a>0 và y z

* Nếu z > 0 thì + = không xãy ra với n > 1

*Nếu z < 0 , ta đặt z = - t

Với n chẵn ta có ngay

Vì y > a , nên > và + > (mt)

Với n lẻ

nên a^ {n} + t^ {n} = y ^{n}}" />

tương tự trên ta có + < (mt)

Do vai trò của y và z giống nhau trong hệ phương trình nên khi y > 0 và y < 0 ta cũng có điề mâu thuẫn như trên

Vậy trong mọi trường hợp , nếu (*) có nghiệm khác 2 nghiệm trên thì suy ra mâu thuẫn như trên Vậy

Với n lẻ và a 0 ta có nghiệm = a , = a Nếu a = 0

thì mọi x đều cô nghiệm

Với n chẵn và a > 0 thì ta có nghiệm = a , = a Nếu a = 0 thì x = 0 là nghiệm

9.Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp này nhìn chung là không sử dụng nhiều

Ví dụ 26:Giải phương trình + = - (1)

Lời giải:

ĐK: x 1

= (Do x+34 > x-1 >0 với x 1 nên - >0)

Ta nhận thấy f(x) là 1 hàm đồng biến khi x 1 và x=2 là 1 nghiệm của (1) , do đó (1) có nghiệm duy nhất x=2

10.Phương pháp đưa về các dạng đặc biệt

* =

Sau đây là một số ví dụ cụ thể

Chúng ta thử giải ví dụ 7 bằng cách đưa về dạng =0

Lời giải: ĐK:x 1 (*)

(1) 13[(x-1) - + ]+3[(x+1) - 3 + ] = 0

x= (thoả(*))

Vậy PT(1) có nghiệm duy nhất x=

Ví dụ 27: Giải phương trình + = 2006 (1)

Lời giải:

Giải ra và kết hợp loại nghiệm ta được x =

Ví dụ 28:Giải phương trình

x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6 (1)

Lời giải: