Su dung tinh chat nghiem cua da thuc chung minh BDT

Bài toán này có thể giải bằng dồn biến, hàm số,...Bài này thì tác giả xin giới thiệu tới các bạn một cách chứng minh khác từ một hằng đẳng thức.. Đẳng thức xảy ra khi nào?[r]

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ta mở đầu bằng một ví dụ như sau:

Ví dụ 1: Cho a b c d, , , là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau:

 a b c d     ab bc cd    da ac bd      6 abc bcd   cda dab  

Lời giải: Trước hết ta có BĐT sau:  x   y z  xy  yz  zx   9 xyz đúng với x y z, , 0,   *

Trở lại bài toán, ta đặt p   a b c d, qabbccddaacbd, r  abc bcd   cda dab  ,

s  abcd

Theo giả thiết thì ta cần chứng minh pq6r

Mặt khác, theo định lí Viete đảo ta có các số a b c d, , , là nghiệm của đa thức biến t sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử a    b c d Do P a    P b    P c    P d   nên theo định lí Rolle tồn tại các số x y z, , là nghiệm thực của P t'   4 t3 3 pt2 2 qt  r thỏa a     x b y c z d

Áp dụng định lí Viete cho ' 

x  y z xyyzzx xyz Theo   * thì ta có 3 9

p q r

pq r

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau

Ta tiếp tục đi đến một BĐT thức khác

Ví dụ 2: Cho a b c d, , , là các số thực không âm Chứng minh bất đẳng thức sau:

4 ab bc cddaacbd 9 a  b c d abcbcdcdadab

Lời giải: Cũng làm tương tự như trên,

Ta đặt p   a b c d, qabbccddaacbd, r  abc bcd   cda dab  , s  abcd

Theo định lí Viete đảo ta có các số a b c d, , , là nghiệm của đa thức biến t sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử a    b c d Do P a    P b    P c    P d   nên theo định lí Rolle tồn tại các số x y z, , là nghiệm thực của P t'   4 t3 3 pt2 2 qt  r thỏa a     x b y c z d

Áp dụng định lí Viete cho ' 

x  y z xyyzzx xyz

4q 9pr xyyzzx 3xyz x y z

Ta có thể dễ dàng chứng minh BĐT trên

Vậy ta có BĐT cần phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau

Nhận xét: Bạn cũng có thể làm tương tự như trên để sang tạo ra các bất đẳng thức mới.Chẳng hạn như:

3

3

a  b c d  ab bc cddaac bd

Từ  3

27

16

a  b c d  abcbcdcdadab

2 x y z 9xyz7 x y z xyyzzx ta có

27 a  b c d 72 abcbcdcdadab 84 a  b c d abbccddaacbd

Bài tập 1: [Hồng Phát]

Cho a b c d, , , là các số thực dương thỏa a b c d     4

Chứng minh: 3  ab bc cd    da ac bd     abc bcd   cda dab   14

Gợi ý: Cũng làm tương tự như trên ta đưa về x  y z 3 và cần phải chứng minh

3 x y z 4xyz13

Bài toán này có thể giải bằng dồn biến, hàm số, Bài này thì tác giả xin giới thiệu tới các bạn một cách chứng minh khác từ một hằng đẳng thức

4 x y z xyyzzx  x y z 8xyz x y z y z x z x y

Với điều kiện ban đầu, kết hợp a     x b y c z d ta cũng có x y z, , dương

Ta sẽ chứng minh  x   y z  y   z x  z   x y   xyz với x y z, , dương

Ta không thể áp dụng AM-GM đề đánh giá    2

x   y z y   z x  y vì đề bài không cho gì liên quan đến 0

x  y z cả Nhưng thật may, BĐT trên vẫn đúng với x y z, , dương mà không cần sử dụng đến AM-GM Thật vậy, ta chứng minh lại

Nếu trong 3 số a b c b,  c a c,  a b đều là 3 số âm thì VT   0 VP

Nếu trong 3 số a b c b,  c a c,  a b có 2 số âm thì không ấm tính tổng quát giả sử a b c    0 và

0

b c a    Khi đó 2 b  0 (Vô lý)

Nếu trong 3 số a b c b,  c a c,  a b có 1 số âm thì VT   0 VP

Nếu trong 3 số không có số âm nào, ta có:

( a b c b c a   )(   )  b   ( a c )  b

( b c a c   )(    a b ) c   ( b a )  c

( c   a b a b c )(    ) a   ( c b )  a

Suy ra: [( a b c b c a c   )(   )(   a b )]2 a b c2 2 2

Hay (a b c b)(  c a c)(  a b)abc (vì a b c, , 0)

Xong !

4 x y z xyyzzx  x y z 9xyz Từ x  y z 3 ta thu được

xyyzzx   xyz xyyzzx  xyz  x y z  xyz x y z

Hay 3x2y2z24xyz13

Bài tập 2: VMO 1996 Bảng A

Cho 4 số thực không âm a b c d, , , thỏa 2  ab bc cd    da ac bd     abc bcd   cda dab   16

3

a   b c d ab bc cddaac bd

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Gợi ý: Sử dụng BĐT sau:

Với xyyzzxxyz4 thì ta có x    y z xy  yz  zx

Chứng minh dành cho bạn đọc, dấu bằng xảy ra ở BĐT trên khi x  y z 1hoặc x y 2;y0 và các hoán vị

Bài tập 3: Cho 4 số thực không âm a b c d, , , ,

3

a  b c d  ab bc cddaac bd

Gợi ý, bài này ta có thể áp dụng Viete cho ' 

3

x y z  xyyzzx như trên hay ta cũng có thể xét '' 

P x rồi áp dụng Viete cho 2 số cộng them việc sử dụng BĐT  2

4

xy  xy

.Bài tập 4: Cho a b c d, , , 0.Chứng minh:

3

ab ac ad    bc bd   cd abc bcd   acd  abd



Trước đây, việc chứng minh BĐT này hầu như là đa số ai cũng chuẩn hóa để chứng minh Mặc dù chuẩn hóa đôi khi giúp chúng ta giải những bài toán gọn hơn nhưng bên cạnh đó cũng nên đí tìm một cách giải khác mà không sử dụng chuẩn hóa

Cũng tương tự như trên Ta có BĐT cần chứng minh tương đương 3

4 6

q  r với

qabacadbcbdcd, r  abc bcd   acd  abd

Mũ 6 hai vế , thu được 3 27 2

2

q  r , Từ các ví dụ trên ta có q  2  xy  yz  zx r  ;  4 xyz

Vậy ta quy về việc chứng minh  3 2 2 2

27

xyyzzx  x y z

Chứng minh cái này dễ dàng bằng AM-GM nên ta có đpcm

Bài tập 5: [Võ Thành Văn]

Cho a b c d, , , 0 thỏa 4

3

a   b c d Chứng minh:

15

4 abc bcd cda dab

ab bc cd da ac bd     

Bài tập 6: [Dương Đức Lâm] Đây là một bài có điều kiện giống như VMO 1996

Cho 4 số thực không âm a b c d, , , thỏa 2  ab bc cd    da ac bd     abc bcd   cda dab   16

9 a  b c d 20 abcbcdcdadab 16 abbccddaacbd

Bài tập 7: [Trần Nam Dũng]

9 a  b c d 16 ab bc cddaacbd 144 Chứng minh 6  a b c d       abc bcd   cda dab    40

Bài tập 8:[Vasile Cirtoaje]

Cho 4 số thực không âm a b c d, , , thỏa abc bcd   cda  dab  4

1

a b c d ab bc cd da ac bd

Bài tập 9:

Cho 5 số thực a b c d e, , , , không âm

2

a   b c d e  ab bc cddeeaacadbdbece

Bài tập 10: [Võ Quốc Bá Cẩn]

Cho 4 số thực không âm a b c d, , , thỏa ab bc cd    da ac bd    3  abc bcd   cda  dab   18

Chứng minh a b c d     abc bcd   cda dab   8

Bài 11:[Hồng Phát]

Cho 4 số thực không âm a b c d, , ,

9 a  b c d 8 abcbcdcdadab 16 32 ab bc cddaacbd

Bài 12: [Mathscope]

Cho các số thực a b c d, , , thỏa mãn a b c d     0.Chứng minh rằng

2

2 2 2 2

2

a b c d

abc bcd cda dab

Dấu bằng xảy ra khi 3 biến bằng 1một biến bằng 3

Ta đưa về x y z, , thực thỏa x  y z 0

3 6

xyyzzx   xyz

Nếu có 1 số bằng 0 thì BĐT hiển nhiên đúng

Trong trường hợp còn lại, phải có 2 số cùng dấu với nhau, giả sử là x và y

Thay z  y x vào và biến đổi, ta cần chứng minh x4 y4 3 x y2 2 2 x y3  2 xy3   3 4 ( xy x  y ) Nếu x0,y0 thì hiển nhiên đúng

Nếu x0,y0 thì ta cần chứng minh a4 b4 3 a b2 2 2 a b3  2 ab3  3 4 ( ab a b  ) với a0,b0 Nhưng điều này đúng theo AM-GM:

2

a b  a b ab  a b   ab a b  ab ab ab  ab ab ab