Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 1 TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN A. Lý thuyết: I. TỔ HỢP: 1. Định nghĩa: Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần tử 2. Số tổ hợp n chập r là   )!(! ! 3.2.1 )1) .(3)(2(1 rnr n r rnnnnn C r n     3. Tính chất: a) CC rn n r n   b) 1 0  CC n nn , n CC n nn  11 c) CCC r n r n r n 1 11    d) CC r n r n r rn 1 1 1     e) 2 210 n n nnnn CCCC  II. NHỊ THỨC NIUTƠN     bCbaCaCaC ba nn n n n n n n n n n b 1 . 222110    (1) Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1) - Số hạng tử là n+1. - Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (qui ước a 0 = b 0 = 1). - Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. - Số hạng tử thứ k+1 la T k+1 = C n k a n – k b k Chú ý: a = b = 1 ta có CCCCCC n n n n k nnnn n  1210 2 a=1; b= -1 ta có 0     CCCCC n n n k n k nnn 11 210   B. BÀI TẬP Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton Phương pháp: Ta có :   baC ba iin n i i n n      0 Khi đó: Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 2 Hệ số của số hạng tử thứ i là C i n Số hạng tử thứ i là baC iini n  Ta có:       xC xx C xx iin n i i n iin n i i n n          )( 00 Khi đó: Hệ số của x k là C i n trong đó I là nghiệm của phương trình : kiin   )( Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 3 BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN  Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Bài 1: a)   5 2ba  =    5 0 5 5 .)2.( k kkk abC = 500 5 .)2.( abC + 411 5 .)2.( abC + … + 055 5 .)2.( abC = 5 a + 4 10ba + 32 40 ab + 23 80 ab + ab 4 80 + 5 32b Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển   8 23 x =    5 0 8 5 )2.()3.( k kkk xC Bài 3: Tính a) S= 5 5 52 5 21 5 0 5 . CxCxxCC  Ta có: 2433 2 .223 2 .22)21( .)1( 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5     S CCCC CCCC CxCxxCCx c) C = 0 n C + 2 1 n C + … + 1n C n n   dxx n   1 0 1 =   dxxCxCC nn nnn   1 0 10 . = 1 0 1 1 )1(    n x n = 1 12 1    n n Vậy C = 1 12 1    n n d) D = 1 n C - 2 2 n C + … + 1 )1(   n . n. n n C   ')1( n x =     nn n n nnnn xCxCxCxCC 1 . 332210  -n 1 )1(   n x =   12321 1 .32   nn n n nnn xnCxCxCC Chọn n 1 )11(   n = D  D = 0 Bài 4: Rút gọn biểu thức: A = 12 2 3 2 1 2 .   n nnn CCC B = n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 . Ta có A + B = 12 2 3 2 1 2 .   n nnn CCC + n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 . = n )11(  = n 2 (1) Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 4 và A - B = 12 2 3 2 1 2 .   n nnn CCC -   n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 . = n )11(  = 0 (2) Từ (1) và (2), ta có 12 2   n BA Bài 5: Giải phương trình: 10921 .   x x c x x x x x CCCC = 1023 )10( x  109210 . xxxxx CCCCC  = 1024  x 2 = 10 2  x = 10 Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển   15 3 23  Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là T kkk k C )2.()3.( 15 3 151    Theo giả thuyết T  1k T 13  k+1 = 13  k = 12 Khi đó T 123 3 12 1513 )2.()3.(C = 87360. Vậy T 13 = 87360 Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển 13 3 1        z z , số hạng nào chứa z với mũ số tự nhiên. Giải Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131     Theo giả thuyết T  1k T 5 k+1 = 5 k = 4 Khi đó T 4 3 94 135 ) 1 .(. z zC   = 715. 3 8 z z Vậy T 5 = 715. 3 8 z z Mặt khác, ta có: T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131     k k k zC )1.(. 3 439 13   Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13)      k k 439 34  Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 5            9 6 3 0 k k k k + Với k=0 T 1 = 13 z + Với k=3 T 4 = - 93 13 .zC = -286 9 z + Với k=6 T 7 = 56 13 .zC = 1716 5 z + Với k=9 T 10 = - 19 13 .zC = -175 z Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là T 1 = 13 z , T 3 = -286 9 z , T 7 = 1716 5 z , T 10 = -175 z Bài 3: Viết lại P(x) =   x1 + 2   2 1 x + … + 20   20 1 x dưới dạng P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 2 x + … + a 20 20 x . Tìm a 9 Giải Ta có: P(x) =   x1 + 2   2 1 x + … + 20   20 1 x = (1 + 2 0 2 C + 3 0 3 C + … + 20 0 20 C ) + (1 + 2 1 2 C + 3 1 3 C + … + 20 1 20 C ) x + (2 2 2 C + 3 2 3 C + … + 20 2 20 C ) 2 x + … + 20 20 20 C 20 x  a 9 = 9 9 9 C + 10 9 10 C + … + 20 9 20 C Bài 4: Trong khai triển n xxx           15 28 3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết: n n C + 1n n C + 2n n C = 79 Giải Ta có n n C + 1n n C + 2n n C = 79  1 + n +   2 1nn = 79  2 n + n - 156 = 0       13 12 n n  n = 12 Số hạng thứ k + 1 là T   k kn k k xxxC             15 28 3 81 =   5 16 3 4 . kn k n xC  Số hạng không phụ thuộc biến  5 16 3 4 kn  = 0  k = 5  5 12 C = 792 Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển n x x          4 2 1 có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển trên. Giải Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 6 Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có: Số hạng thứ nhất là : C 0 n  1. Số hạng thứ hai là : C       2 1 . 1 n 2 n  . Số hạng thứ ba là : C 2 2 2 1 .       n   8 1  nn Theo đề bài ta có :   n nn    8 1 1 089 2  nn       8 1 n n . Với n = 8 ta có T 1k = kk k xxC                   4 1 8 2 1 8 2 1 = k k k xC 4 3 4 8 2 1        .  Xét x k 4 3 4 để hữu tỷ thì 0 4 3 4  k 3 16  k . Do k nguyên dương nên ta chọn k = 6, 7, 8. k = 6 ta được T 7 = x xC 16 7 2 1 2 1 6 8 6                 . k = 7 ta có T 8 = 4 3 16 xx . k = 8 ta cũng có T 9 = 2 256 1 x .  Xét k       2 1 . k C 8 . Ta có : k = 0 T 4 1 x (loại) k = 1 T 4 3 2 4 xx (loại) k = 2 T xx 2 3 7 (loại) k= 3 T 4 3 4 7 xx (loại) k = 4 T x 8 35 5  (nhận) k = 5 T 4 6 4 7 x (nhận) Vậy trong khai triển n x x          4 2 1 khi ba số hạng đầu tiên liên tiếp lập thành cấp số cộng thì ta có các hạng tử hữu tỷ là 4 2 1 x , x16 7 , 4 3 16 xx , 2 256 1 x , x 8 35 , 4 4 7 x . Bài 7 : Tìm hệ số của 99101 yx trong khai triển   200 32 yx  . Giải Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 7 Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T   1019999 200 99 10199 200100 3.2 3.2. CC  . Bài 8 : Tính hệ số của 85 yx trong khai triển   13 yx  . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 1287 8 139  C . Bài 9 : Tìm hệ số của x 9 trong khai triển   19 2 x Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T   945950722.1.2. 109 19 9 109 1910  CC . Bài 10 : Tìm hệ số của x 7 trong khai triển   15 23 x . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T   787 15 7 87 158 2.3.2.3. CC  . Bài 11 : Tìm hệ số của 1025 yx trong khai triển   15 3 xyx  . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T     kkk k k k k yxCxyxC 245 15 15 3 151     . Để tìm hệ số của 1025 yx thì      10 25245 k k . Vậy hệ số của 1025 yx trong khai triển   15 3 xyx  là T 3003 10 1511  C . Bài 12 : Biết hệ số của x 2n trong khai triển n x        4 1 là 31. Tìm n Giải Hạng tử chứa x 2n trong khai triển là hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề bài ta có phương trình : 31 4 1 2 2         n C   32.311  nn       31 32 0992 2 n n nn .ta nhận n = 32. Vậy hệ số của x 2n trong khai triển n x        4 1 là 31 thì n = 32. Bài 13 : Biết hệ số x 2 trong khai triển   n x31 là 90. Tìm n. Giải Theo đề bài ta có phương trình : C 02090)3.( 22 2  nn n       4 5 n n (loại n = -4) Vậy hệ số x 2 trong khai triển   n x31 là 90 thì n = 5. Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 8 Bài 14 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 8 3 1        x x . Giải Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T   kk k k k k xC x xC 424 8 8 3 81 . 1            Để tìm số hạng không chứa x thì 60224  kk . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển 8 3 1        x x là C   281. 6 6 8  . Dạng 5: Sử dụng khai triển Niu-tơn chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức: Bài 1: Ta có:   n x1 =   n k kk n xC 0 . = 00 .xC n + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Thay x = 4, ta được:   n 41 =   n k kk n C 0 4.  n 5 = 00 4. n C + 4. 1 n C + 22 4. n C + … + nn n C 4. (đpcm !) Bài 2: Ta có:   n x1 = 00 .xC n + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC .    n 11 = 0 n C + 1 n C + 2 n C + … + n n C (1) và   n x1 = 00 .xC n - xC n . 1 + 22 .xC n - 33 .xC n + … + nn n n xC )1(    n 11 = 0 n C - 1 n C + 2 n C - 3 n C + … + n n n C.)1( (2) Lấy (1) + (2), ta được: n 2 = 2( 0 n C + 2 n C + 4 n C + …)  1 2 n = 0 n C + 2 n C + 4 n C + … Lấy (1) - (2), ta được: n 2 = 2( 1 n C + 3 n C + 5 n C + …)  1 2 n = 1 n C + 3 n C + 5 n C + … Vậy 0 n C + 2 n C + 4 n C + … = 1 n C + 3 n C + 5 n C + … = 1 2 n Bài 3: 1) CMR: 0 n C + 2 1 n C + … + 1n C n n = 1 12 1    n n Giải Ta có:   dxx n   1 0 1 = 1 0 1 1 )1(    n x n = 1 12 1    n n Mặt khác:   n x1 = 0 n C + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Lấy tích phân 2 vế ta được: 1 12 1    n n = 0 n C + 2 1 n C + … + 1n C n n (đpcm!) Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 9 2) CMR: 0 n C - 2 1 n C + … + n )1( 1n C n n = 1 1 n Giải Ta có:   dxx n    0 1 1 = 0 1 1 1 )1(     n x n = 1 1 n Mặt khác:   n x1 = 0 n C - xC n . 1 + 22 .xC n + … + n )1( nn n xC . Lấy tích phân 2 vế ta được: 0 n C - 2 1 n C + … + n )1( 1n C n n = 1 1 n (đpcm!) Bài 4: Với n là số nguyên dương. CMR: n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) ≤ n! Giải Ta có:   n x1 = 0 n C + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n   1 1   n x = 1 n C + 2 22 n Cx + … +n n n n Cx 1 Cho x = 1, ta được: n   1 11   n = 1 n C + 2. 22 1 n C + … +n n n n C 1 1.  n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) = 1 2 n Mặt khác: 1 2 n ≤ 1.2.3…n = n! Vậy n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) ≤ n! . triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Trang 3 BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN  Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức. 210   B. BÀI TẬP Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức Dạng 3: Giải phương