Luận văn sư phạm hông gian phân lá tạo bởi các k quỹ đạo chiều cựu đại của một vài md5

KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K–QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT VÀI MD5–NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN NGUYỄN CÔNG TRÍ... Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov xem [Ki], năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp

KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K–QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT VÀI MD5–NHÓM LIÊN THÔNG

ĐƠN LIÊN

NGUYỄN CÔNG TRÍ

MỤC LỤC

BẢNG CHỈ DẪN CÁC THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU 0

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I 6

LỚP MD–NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE 6

§ 1 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM LIE 6

1.1 Định Nghĩa 6

1.2 Các Ví Dụ 7

1.3 Tập Con Liên Thông – Phủ Đơn Liên 8

1.4 Một Vài Tính Chất 8

§ 2 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ LIE 9

2.1 Định Nghĩa 9

2.2 Các Ví Dụ 10

2.3 Đồng Cấu Đại Số Lie 11

2.4 Biểu Diễn Chính Quy Của Đại Số Lie 12

2.5 Đại Số Lie Giải Được Và Đại Số Lie Lũy Linh 13

§ 3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA NHÓM LIE VÀ ĐẠI SỐ LIE 15

3.1 Đại Số Lie Tương Ưùng Với Một Nhóm Lie Đã Cho 15

3.2 Nhóm Lie Liên Thông Đơn Liên Tương Ưùng Với Đại Số Lie 16

3.3 Aùnh Xạ Mũ Exp 17

§ 4 BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K-BIỂU DIỄN LỚP MD-NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE 18

4.1 K-Biểu Diễn Của Một Nhóm Lie 19

4.2 Các MD−Nhóm Và MD−Đại Số 20

CHƯƠNG II 22

VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5–NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 22

§ 1 NHẮC LẠI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K−QUỸ ĐẠO 22

1.1 Nhắc Lại Khái Niệm K–Quỹ Đạo Của Nhóm Lie 22

1.2 Bổ Đề 23

1.3 Bổ Đề 25

1.4 Mệnh Đề (Xem [Sa] Hoặc [Bo]) 25

§ 2 VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5–NHÓM LIE LIÊN THÔNG

ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 26

2.1 Liệt Kê Vài MD5–Đại Số Và MD5–Nhóm 26

2.2 Bức Tranh Hình Học Các K–Quỹ Đạo Của Các MD5–Nhóm Đã Xét 28

2.3 Hệ quả 2 46

CHƯƠNG III 47

KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD–NHÓM LIE 47

§ 1 PHÂN LÁ – PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC 47

1.1 Phân Bố Khả Tích Trên Đa Tạp Vi Phân 47

1.2 Phân Lá 48

1.3 Tôpô Phân Lá 50

1.4 Phân Lá Đo Được 52

1.5 Sự Liên Hệ Giữa Độ Đo Hoành Và Độ Đo Thông Thường 54

§ 2 CÁC MD5 – PHÂN LÁ LIÊÂN KẾT VỚI CÁC MD5–NHÓM ĐÃ XÉT 55

2.1 Định Lý 3 56

2.2 Chú Yù 56

2.3 Phép Chứng Minh Định Lý 2 56

2.4 Tôpô Phân Lá Của Các MD5–Phân Lá Đã Xét 59

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

BẢNG CHỈ DẪN CÁC THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU

Chữ cái đầu Thuật ngữ (ký hiệu) Trang đầu tiên xuất hiện

Biễu diễn phụ hợp (K –biểu diễn, biểu diễn Kirollov) K 19

Đại số Lie L, G 6

Độ đo hoành (đối với phân lá) ∧ 51

Phân lá cho bởi phân thớ p: V→B 48 Phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie 48

MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie thực, lớp các nhóm Lie và đại số Lie giải được đóng một vai trò quan trọng Cấu trúc các nhóm Lie và đại số Lie giải được dường như là đơn giản, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để

Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov (xem [Ki]), năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K–quỹ đạo (quỹ đạo Kirillov) Đó là lớp các MD–nhóm và MD–đại số Một nhóm Lie thực giải được mà các K–quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiều

cực đại được gọi là MD–nhóm Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MD –nhóm Đại số Lie của một MD–nhóm (tương ứng, MD – nhóm) được gọi là MD–đại số (tương ứng,

MD – đại số)

Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So–Vi]) đã phân loại triệt để lớp các

MD– đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n–chiều n (n ≥ 1), đại số Lie 2–chiều aff và đại số Lie 4–chiều aff

Việc phân loại lớp các MD–đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD–nhóm và MD–đại số theo số chiều Tức là xét các lớp con MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm các MD–nhóm (và MD–đại số ) n–chiều Vì tất cả các đại số Lie dưới 4–chiều đã

được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn–nhóm và MDn–đại số với n≥4

Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4–đại số Đến năm 1990, lớp các MD4–đại số được Lê Anh Vũ (xem [Vu2], Vu4], Vu5]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Gần đây, năm 2003, Lê Anh Vũ (xem[Vu6]) đã giới thiệu ba ví dụ đặc sắc về các MD5–đại số Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ

Về phương diện hình học, không gian các K–quỹ đạo của mỗi MD–nhóm khá đơn giản Theo số chiều, mỗi MD–nhóm chỉ gồm hai tầng các K–quỹ đạo: tầng các quỹ đạo 0–chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng các quỹ đạo chiều cực đại của một MD–nhóm liên thông, ta thấy các quỹ đạo là các đa tạp liên thông, đôi một rời nhau và có cùng số chiều Điều này gợi cho ta nghĩ đến một phân lá

Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát lời giải của một hệ khả tích các phương trình vi phân thường Kể từ công trình của Reeb (xem [Re]) năm 1952, các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành mạnh của

hình học vi phân Đó là lý thuyết tôpô phân lá

Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp đối với việc nghiên cứu các phân lá, nhất là các phân lá định hướng được Khi đã được trang bị một độ đo hoành, phân lá sẽ được gọi là

phân lá đo được

Bản luận văn nhằm mục đích kết hợp việc nghiên cứu các MD5–nhóm và MD5–đại số với tôpô của các phân lá đo được Cụ thể, bài toán cơ bản mà luận văn đề cập bao gồm các bước sau đây

• Bước 1: Liệt kê ra một số MD5–đại số hoàn toàn mới

• Bước 2: Mô tả bức tranh hình học các K–quỹ đạo của mỗi

MD5–nhóm liên thông đơn liên ứng với MD5–đại số đã liệt kê

• Bước 3: Nghiên cứu tôpô phân lá của các phân lá đo được liên

kết với mỗi MD5–nhóm đã xét

Bởi thế luận văn được mang tên “không gian phân lá tạo bởi các K–quỹ đạo chiều cực đại của một vài MD5–nhóm liên thông đơn liên”

Về nội dung, luận văn gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận Phần mở đầu nêu xuất xứ vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu Chương I giới thiệu các khái niệm cơ bản cần thiết về nhóm Lie, đại số Lie và lớp MD–nhóm, MD–đại số Chương II và chương III là phần chính của luận văn trong đó trình bày tỷ mỉ lần lượt ba bước 1, 2, 3 vừa kể trên cùng các kết quả mới đạt được với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ Phần kết luận sau cùng là nhận xét về những vấn đề mở gợi lên cần phải tiếp tục nghiên cứu

Các kết quả chính nhận được trong luận văn là:

1 Liệt kê được bốn MD5–đại số và một họ vô hạn các MD5–đại

số phụ thuộc một tham số thực khác 0 và 1 Tất cả các MD5–đại số này đều không đẳng cấu (xem chương II; §2, mục 2.1 và hệ quả 2)

2 Mô tả bức tranh hình học các K–quỹ đạo của tất cả các MD5–

nhóm liên thông, đơn liên ứng với các MD5–đại số đã liệt kê (xem chương II, §2, mục 2.2, định lý 1)

3 Chứng tỏ được rằng, đối với mỗi MD5–nhóm liên thông đơn

liên đã xét, họ các K–quỹ đạo chiều cực đại lập thành một phân lá đo được Các phân lá tạo thành được gọi là các MD5–phân lá Đồng thời mô tả chi tiết tôpô phân lá của các MD5–phân lá đó (xem chương III, §2, định lý 3, định lý 4 và mục 2.4)

Việc liệt kê ra các MD5–đại số và mô tả tôpô phân lá của các MD5–phân lá là những tính toán thuần túy đại số và giải tích dựa trên những dự cảm trực giác hình học

Phương pháp mô tả hình học các K–quỹ đạo của các MD5–nhóm đã xét là phương pháp đã được giới thiệu đầy đủ trong tài liệu [Vu2]

Các kết quả chính của luận văn nêu trong định lý 1, định lý 3, định lý

4 và hệ quả 2 là hoàn toàn mới và sẽ được công bố trên một tạp chí chuyên ngành trong thời gian tới

Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn hoặc là các ký hiệu thông dụng, hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem bảng chỉ dẫn thuật ngữ và ký hiệu) Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi cũng dùng những ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn xem [So–Vi, Theorem 4] có nghĩa là xem định lý 4 của tài liệu [So–Vi]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy và nghiêm khắc của tiến syÕ Lê Anh Vũ Tác giả xin chân thành biết ơn thầy vì

sự hướng dẫn nhiệt tình, chỉ dẫn thấu đáo mọi vấn đề mà tác giả chưa hiểu rõ hoặc chưa biết

Tác giả xin chân thành cám ơn tiến syÕ Nguyễn Thái Sơn, tiến sỹ Nguyễn Hà Thanh, PGS tiến syÕ Bùi Tường Trí, PGS tiến syÕ Lê Hoàn Hóa, PGS tiến syÕ Nguyễn Bích Huy, tiến syÕ Trần Huyên, GS tiến syÕ Trần Văn Tấn thuộc Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao kiến thức chuyên môn

Tác giả xin chân thành cám ơn tiến sỹ Bùi Phúc Trung, chủ nhiệm Khoa Toán–Thống Kê, thạc sỹ Hoàng Ngọc Nhậm, tổ trưởng bộ môn Toán Kinh Tế, anh Phạm Xuân Long, phòng tư liệu Khoa Toán–Thống Kê thuộc Trường Đại Học Kinh Tế Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong sinh hoạt học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cám ơn tiến sỹ Trần Minh Thuyết, thạc sỹ Huỳnh Văn Đức cùng các bạn đồng nghiệp thân thiết đã liên tục động viên, nhiệt tình giúp đỡ tác giả về phương pháp nghiên cứu trong suốt quá trình sinh hoạt, học tập

Luận văn được hoàn thành còn có phần đóng góp lớn của Ban Giám Hiệu, phòng Tổ Chức Hành Chánh, phòng Tài Vụ của Trường Đại Học Kinh Tế Thành Phố Hồ Chí Minh; của Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán – Tin Học, phòng Khoa Học Công Nghệ Và Sau Đại Học, phòng Tài Vụ của Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các bạn đồng môn Lê Minh Hòa và Hoàng Công Phúc Một lần nữa, tác giả xin chân thành cám ơn tất cả mọi người đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành bản luận văn này

CHƯƠNG I

LỚP MD–NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE

Chương này giới thiệu lớp MD-nhóm và lớp MD–đại số Lie mà chúng

ta sẽ quan tâm nghiên cứu các nhóm Lie và đại số Lie 5–chiều thuộc các lớp đó Nhưng trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực)

Tất cả các mệnh đề đều được phát biểu không chứng minh Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về nhóm Lie và đại số Lie xin xem thêm các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch]

§ 1 Nhắc Lại Khái Niệm Cơ Bản Về Nhóm Lie

1.1 ĐỊNH NGHĨA

1.1.1 Tập hợp G được gọi là nhóm Lie thực nếu nó vừa là một

nhóm (với phép toán nhân (.)) vừa là một đa tạp thực khả vi; đồng thời các ánh xạ sau đây đều khả vi

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G vì rằng, theo định lý Gleason–Montgomery–Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C0 có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp Cω tương thích với cấu trúc nhóm

1.1.2 Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu chính phép toán

nhân (.) giao hoán

1.2 CÁC VÍ DỤ

1.2.1 Đường thẳng thực với phép (+) hiển nhiên là một nhóm

Lie (giao hoán)

1.2.2 Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (Xem S1 như là tập các số phức với modun bằng 1) cũng hiển nhiên là một nhóm Lie (giao hoán)

1.2.3 Tập hợp GL(n, ) tập hợp các ma trận vuông cấp n không

suy biến (xét như một miền mở trong 2

n ) với phép toán nhân

ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n≥ 2) Đặc biệt khi n=1 thì GL(1, )= *=( \{0}; )

1.2.4 Nếu G1, G2 là hai nhóm Lie thì tích G1×G2 cũng là nhóm Lie Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie Nói riêng ta có các nhóm Lie với phép cộng n= × ×…× ; và xuyến n–chiều

Tn=S1× S1×…× S1, (n=1,2,3,…)

1.2.5 Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực

với tôpô tự nhiên cũng là nhóm Lie Nhóm này được ký hiệu là Aff Cụ thể nhóm này là:AffR≡{ ( )a b a, / ∈ * ,b∈ }

1.3 TẬP CON LIÊN THÔNG – PHỦ ĐƠN LIÊN

Giả sử G là một nhóm Lie, ký hiệu G0 là thành phần liên thông đường của phần tử đơn vị e∈G Tức là G0 bằng tập hợp tất cả các phần tử thuộc G mà có thể nối với e bởi một đường liên tục trong G Khi đó G0 là tập con

liên thông vừa đóng vừa mở trong G

Nếu G liên thông nhưng không đơn liên thì có thể xây dựng một

nhóm Lie liên thông đơn liên duy nhất mà gọi là phủ đơn liên hay phủ

phổ dụng của G, lúc đó chính G lại trở thành một nhóm thương của

§ 2 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ LIE

Khái niệm đại số Lie xuất hiện khi nghiên cứu nhóm Lie nhưng sau đó trở thành một ngành riêng biệt

2.1 ĐỊNH NGHĨA

Một đại số Lie trên trường … hay …-đại số Lie là một không gian

vectơ L trên … được cung cấp một phép toán bổ sung [.,.] (mà được gọi là

móc Lie hay hoán tử) thỏa mãn các tiêu đề sau:

i) [.,.] song tuyến tính, nghĩa là:

ii) [.,.] phản đối xứng, nghĩa là: [x, x]=0, ∀x∈L

iii) [.,.] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:

Các hệ số c ij (1 ≤ < ≤i j n k 1,n), = được gọi là các hằng số cấu trúc của

đại số Lie L

Khi …= , đại số Lie trên … được gọi là đại số Lie thực Suốt phần

còn lại của bản luận văn, ta chỉ xét các đại số Lie thực Do đó ta sẽ dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực nếu không sợ nhầm lẫn

gọi là đại số Lie giao hoán

2.2.3 Cho A là một đại số kết hợp trên trường … Với mọi

(x,y)∈A, ta định nghĩa [x,y]=xy – yx, khi đó A trở thành đại số Lie Nói riêng ta có đại số Lie Mat(n, …) các ma trận vuông cấp

n trên … là một đại số Lie với móc Lie: [A,B]= AB – BA; mọi A, B∈Mat(n; …)

2.2.4 Đặc biệt xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên

…-không gian vectơ V khi đó A trở thành đại số Lie với móc Lie như sau

[A,B]=AοB – BοA

2.2.5 Cho A là một đại số trên … (không nhất thiết kết hợp)

toán tử tuyến tính D A: →A được gọi là toán tử vi phân

trên A nếu:

( ) = ( ) − ( )

2.2.6 Ký hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên

A Khi đó Der(A) là đại số kết hợp trên … Der (A) sẽ trở thành

một đại số Lie trên … với móc Lie định nghĩa như sau:

[D D, ] =D D −D D1.

2.3 ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ LIE

2.3.1 Các đại số Lie trên trường … lập thành một phạm trù với

các cấu xạ là các đồng cấu đại số Lie Cho L1, L2 là hai đại số Lie trên …, một xạ tuyến tính ϕ: L1 →L2 được gọi là một đồng

cấu đại số Lie nếu ϕ bảo toàn móc Lie, tức là

( )x y, ( ) ( )x , y x y, 1

ϕ = ⎡⎣ϕ ϕ ⎤⎦ ∀ ∈L

2.3.2 Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ: L1 →L2 còn được gọi là biểu

diễn của L1 trong L2 Nói riêng khi L2=End(V) là đại số Lie của các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie ϕ: L1 →End( )V được gọi là biểu diễn tuyến tính của L1 trong không gian vectơ V Từ tuyến tính đôi khi được lược bỏ cho

đơn giản Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là

biểu diễn khớp

2.3.3 Mệnh đề (định lý Ado)

Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều

Định lý quan trọng này cho phép qui tất cả các phép chứng minh các định lý của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận

2.4 BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA ĐẠI SỐ LIE

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của L Hạt nhân

của biểu diễn này là Ker(ad)={x∈L/ adx≡0} chính là tâm của L

2.5 ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC VÀ ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH

2.5.1 Đại số con và ideal

Cho L là một đại số Lie và M là không gian con của L Ta bảo M

là đại số con (tương ứng, ideal) của L nếu:

Dễ thấy rằng các không gian con này đều là các ideal của L Hơn nữa ta có các dãy bao hàm thức sau đây:

n n

Đại số Lie L được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu

L∞={0} (tương ứng, L∞={0}) Chỉ số n nhỏ nhất để Ln={0} (tương ứng, Ln={0}) được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) L

2.5.5 Mệnh đề (định lý Lie)

Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được L trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số … Khi

ϕ(x) ∈ T(n, …), ∀x ∈ L

2.5.6 Hệ quả

Nếu L là đại số Lie giải được thì L 1 = L 1 = [L, L] là đại số Lie lũy linh

Tên gọi lũy linh được giải thích bởi mệnh đề sau đây

2.5.7 Mệnh đề (định lý Engel)

Đại số Lie L là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x∈ L, ad x là toán tử lũy linh (tức là tồn tại n∈N * sao cho (ad x ) n = 0)

Đại số Lie giải được dù cấu trúc có vẻ đơn giản nhưng cho đến nay việc phân loại chúng vẫn còn là một bài toán mở

§ 3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA NHÓM LIE VÀ ĐẠI SỐ LIE

3.1 ĐẠI SỐ LIE TƯƠNG ỨNG VỚI MỘT NHÓM LIE

ĐÃ CHO

3.1.1 Cho G là nhóm Lie Ký hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e∈G Không gian này thường được ký

hiệu lại là G Khi đó G trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[X, Y] = XY − YX ; ∀X, Y ∈ G

Tức là:

[X, Y]ƒ= X(Yƒ) − Y(Xƒ); ∀X, Y∈G; ∀f∈C∞(G);

ở đó C∞(G) là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực

Như vậy, mỗi nhóm Lie G xác định duy nhất một đại số Lie G G

được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G

3.1.2 Ngoài cách mô tả đại số Lie G như trên, còn có thể xem G

như đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G

3.1.3 Ví dụ

Xét G = GL(n, ): nhóm Lie các ma trận thực không suy biến cấp

n Khi đó đại số Lie G của G chính là đại số Mat(n, ) các ma trận thực vuông cấp n

3.1.4 Cho G1, G2 là hai nhóm Lie và G 1, G 2 là các đại số Lie của chúng Giả sử ϕ: G1 → G2 là một đồng cấu nhóm Lie (tức là một ánh xạ khả vi đồng thời là một đồng cấu nhóm) Khi đó ϕ cảm sinh ra đồng cấu đại số Lie ϕ*: G 1→ G 2

3.2 NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG VỚI ĐẠI SỐ LIE

3.2.1 Ta đã thấy mỗi nhóm Lie xác định một đại số Lie duy

nhất Ngược lại ta có mệnh đề dưới đây

3.2.2 Mệnh đề

Mỗi đại số Lie G tương ứng với một nhóm Lie liên thông đơn liên

G duy nhất mà đại số Lie của G chính là G Mọi nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie đều là nhóm thương của nhóm G

3.2.3 Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh)

nếu đại số Lie G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh)

3.3 ÁNH XẠ MŨ EXP

3.3.1 Đóng vai trò lớn trong nghiên cứu mỗi nhóm Lie G là các

nhóm con một tham số, tức là các nhóm con {x(t)} của nhóm Lie phụ thuộc vào tham số t∈ Tham số t có thể được chọn sao cho

x(0) = e ; x(t) x(s) = x(t + s) (1)

Vì x(t) là đường cong trơn nên nó xác định vectơ tiếp xúc

x = x/(0) ∈ G (đại số Lie của G) (2)

Giả sử G là nhóm Lie và G là đại số Lie của nó, với mỗi X∈G, theo mệnh đề 3.3.2 trên, tồn tại duy nhất đường cong x(t) thỏa mãn điều kiện (1) và (2)

Ta định nghĩa ánh xạ mũ exp: G → G như sau

expX= x(1)

3.3.4 Mệnh đề

Ánh xạ mũ exp có tính chất tự nhiên Tức là biểu đồ sau đây giao hoán

Với mọi đồng cấu đại số Lie ϕ: G 1→ G 2 Nói cách khác ta có:

ϕo exp = exp oϕ*

ϕ* G2

G1exp

ϕG1

expG2

3.3.5 Hệ quả

Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các đại số Lie và các nhóm Lie liên thông đơn liên

3.3.6 Nhóm Lie exponential

Nhóm Lie G được gọi là exponential nếu ánh xạ mũ exp là một vi

phôi G lên G

§ 4 BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K-BIỂU DIỄN

LỚP MD-NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE

4.1 K-BIỂU DIỄN CỦA MỘT NHÓM LIE

4.1.1 Cho G là một nhóm Lie tùy ý và G là đại số Lie của nó

Giả sử G tác động lên G bởi Ad: G → AutG định nghĩa như dưới đây

Ad(g)=(L g.R g−1)*: G → G, ∀g∈G;

ở đó Lg (tương ứng Rg−1) là phép tịnh tiến trái (tương ứng phải) của G theo phân tử g∈G (tương ứng g−1∈G)

Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G

4.1.2 Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Khi

đó biểu diễn Ad cảm sinh ra một tác động K: G → AutG* của G lên G* theo cách sau đây:

< K(g)F, X > = < F, Ad(g−1)X >, ∀X∈ G, ∀F ∈ G*, ∀g∈G;

ở đây, ký hiệu < F, X >, F∈G*, X∈G, chỉ giá trị của dạng tuyến tính F∈G* tại trường vectơ (bất biến trái) X∈G

Tác động K được gọi là K−biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp

của G trong G* Mỗi quỹ đạo ứng với K−biểu diễn được gọi là

K−quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G*)

4.1.3 Mỗi K−quỹ đạo của G luôn là một G−đa tạp vi phân thuần

nhất với số chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G

Ký hiệu O(G) là tập hợp các K−quỹ đạo của G và trang bị cho nó

tôpô này khá xấu: nó có thể không tách, thậm chí không nửa tách

4.2 CÁC MD−NHÓM VÀ MD−ĐẠI SỐ

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G*

4.2.1 Định nghĩa

Nhóm G gọi là có tính chất MD hay MD−nhóm nếu các K−quỹ

đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có số chiều cực đại (tất nhiên không vượt quá số chiều của nhóm)

Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hayMD−nhóm

Đại số Lie thực giải được G ứng với MD−nhóm (tương ứng

MD−nhóm) được gọi là MD−đại số (tương ứng MD−đại số)

4.2.2 Thuật ngữ MD−nhóm, MD−đại số được dùng lần đầu tiên

bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980 Ngay sau đó, lớp các MD−đại số và MD−đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu việt xét năm 1982 xét (xem [So-Vi]) Hồ Hữu việt đã phân loại triệt để lớp MD−đại số: Các MD−đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi Affin của đường thẳng thực hoặc phức (xem [So-Vi, Théorème 1]) Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD−đại số Đó là mệnh đề sau đây

4.2.3 Mệnh đề (xem [So-Vi, Theorem4])

Giả sử G là một MD−đại số Khi đó G = [[G, G],[ G, G]] là một đại số con giao hoán trong G

4.2.4 Như đã nói trong phần mở đầu, toàn bộ lớp MD–đại số

4–chiều được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem [Tra]) và được phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) bởi Lê Anh Vũ (xem [Vu2], [Vu3], [Vu4], [Vu5]) vào năm 1990

4.2.5 Năm 2003, Lê Anh Vũ tiếp tục đưa ra 3 ví dụ đặc sắc về

MD–nhóm và MD–đại số 5–chiều (xem [Vu6]) Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu thêm một số ví dụ đáng chú ý khác về MD5–nhóm và MD5–đại số; mô tả bức tranh các K–quỹ đạo của các MD5–nhóm này; đồng thời xét tôpô các MD5–phân lá liên kết với chúng

CHƯƠNG II

VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5–NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN

LIÊN TƯƠNG ỨNG

Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ đáng lưu ý và hoàn toàn mới về các MD5–đại số Lie đồng thời mô tả bức tranh hình học các K–quỹ đạo của các MD5–nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng

§ 1 NHẮC LẠI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ

CÁC K−QUỸ ĐẠO

Mục này dành cho việc nhắc lại phương pháp mô tả các K–quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu2]

1.1 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM K–QUỸ ĐẠO

CỦA NHÓM LIE

Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của

G thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi:

< K(g)F, X > = < F, Ad(g−1) X >, ∀g∈G, ∀X∈ G, ∀F∈G* Như vậy, với mỗi F trong G*, K−quĩ đạo ΩF của G qua F được xác định bởi:

ΩF = { K(g)F / g∈G } (1.1)

Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K−quỹ đạo ΩF của G, ∀F∈ G* Hơn nữa, chúng ta muốn có một phương pháp mô tả ΩF trong trường hợp luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc của đại số Lie G của G Khi đó ánh xạ mũ expG: G

→ G và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối với chúng ta

Ký hiệu expG: G → G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG → AutRGlà ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG các tự đẳng cấu −tuyến tính của G Nhắc lại rằng vi phân Ad* = ad: G → EndR G của biểu diễn phụ hợp của G trong G được xác định bởi công thức đơn giản:

adU (X) = [U, X] , ∀U, X ∈G

Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình vuông giao hóan sau đây:

Tức là: Ad.expG = exp.ad

Với mỗi U∈G, mỗi F∈G*, ta xác định phần tử trong G*, ký hiệu là FU như sau:

Ad

expAutRGG

Hơn nữa, nếu exp G là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Chứng minh Với mỗi U∈G, đặt g= expG(−U)∈G Khi đó ta có:

< FU, X > = < F, exp (adU)X > = < F, Ad(expG(U)) X >

= < F, Ad(g−1)X > = < K(g)F, X > , ∀X ∈ G

Do đó Fu=K(g)F và nói riêng FU∈ ΩF (theo công thức (1.1))

Tức là {FU/ U∈G}⊂ ΩF

Giả thiết thêm rằng expG là toàn ánh Bấy giờ, với mỗi g∈G luôn tồn tại Uo∈G để g−1 = exp(Uo) Khi đó ta có:

1.3 BỔ ĐỀ

Giả sử rằng G liên thông Hơn nữa, họ các ΩF (G), F∈ G * , lập thành phân hoạch của G * và mọi ΩF / (G), F /∈ΩF đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong ΩF , F∈ G * Khi đó ΩF (G) = ΩF , ∀F∈ G *

Chứng minh: Vì G liên thông nên mỗi K−quỹ đạo ΩF cũng liên thông (trong G*), F∈G* Nhớ rằng các K−quỹ đạo lập thành phân hoạch trong G* Giả thiết rằng có F∈G* nào đó để ΩF ≠ ΩF(G) Khi đó tồn tại họ {Fi}i∈I các phiếm hàm trong G*chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho

Vì hợp này gồm các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong ΩF nên không thể liên thông Mâu thuẫn này chứng tỏ

ΩF = ΩF(G), ∀∈ G* Phép chứng minh kết thúc

1.4 MỆNH ĐỀ (XEM [SA] HOẶC [BO])

Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G đại số Lie của nó Khi đó các khẳng định sau đây tương đương

i) exp G : G → G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm exponential)

ii) ∀X∈G , ad X không có một giá trị riêng (trong ) thuần ảo nào

1.5 HỆ QUẢ

Nếu G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề (1.4) thì ánh xạ mũ exp G : G → G là toàn ánh

§ 2 VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH

HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5– NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG

2.1 LIỆT KÊ VÀI MD5–ĐẠI SỐ VÀ MD5–NHÓM

Suốt phần còn lại của chương này, G luôn là ký hiệu để chỉ một nhóm Lie liên thông 5 chiều với G là đại số Lie của G Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ thực 5–chiều, G ≡ 5 bởi một cơ sở (X1, X2, X3, X4, X5) đã chọn cố định trong G Không gian đối ngẫu của G được ký hiệu là G* Đương nhiên G*≡ 5 bởi cơ sở đối ngẫu

( * * * * *)

X X X X X của cơ sở (X1, X2, X3, X4, X5) trong G

Ta xét các đại số Lie G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1, G5,2,2(λ) (λ∈ \{0,1}) Tất cả chúng đều là các đại số Lie thực 5–chiều sinh bởi (X1, X2, X3, X4, X5) và các móc Lie được cho lần lượt dưới đây

2.1.1 G5,1,1: [X4, X5]= X5, tất cả các móc Lie còn lại đều bằng không

2.1.2 G5,1,2: [X3, X4]= X5, tất cả các móc Lie còn lại đều bằng không

2.1.3 G5,1,3: [X1, X2]= X5; [X3, X4]= X5, tất cả các móc Lie còn lại đều bằng không

2.1.4 G5,2,1: [X3, X4]= X4, [X3, X5]= X5, tất cả các móc Lie còn lại đều bằng không

2.1.5 G5,2,2(λ)[X3, X4]= X4, [X3, X5]= λX5, tất cả các móc Lie còn lại đều bằng không (λ∈ \{0, 1})

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu G∈{G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3} thì G có đại số Lie dẫn xuất thứ nhất G1 = <X5>≡ Còn nếu G∈{G5,2,1, G5,2,2(λ)}(λ∈ \{0, 1}) thì G1=< X4, X5>≡ 2 Do đó, mỗi G∈{G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1,

G5,2,2(λ)}(λ∈ \{0, 1}), đều có đại số Lie dẫn xuất thứ hai G 2

=0 Nói cách khác, cả các đại số Lie kể trên đều thỏa mãn điều kiện cần của một MD–đại số được nêu trong mệnh đề 4.2.3 của chương I Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh rằng tất cả các đại số Lie nêu trên đều là MD5–đại số Muốn vậy, trước hết ta cần mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của

các nhóm Lie liên thông đơn liên ứng với các đại số Lie kể trên Để tiện các nhóm Lie này được ký hiệu lần lượt là G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1, G5,2,2(λ) (λ∈ \{0, 1})

2.2 BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO

CỦA CÁC MD5–NHÓM ĐÃ XÉT

Gọi G là một nhóm tùy ý thuộc {G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1, G5,2,2(λ)} (λ∈ \{0, 1}) và G là đại số Lie tương ứng thuộc{G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1,

G5,2,2(λ)}(λ∈ \{0, 1}) Gọi G * là không gian đối ngẫu của đại số Lie G của

G Mỗi X∈G có tọa độ (a, b, c, d, f) trong cơ sở {X1, X2, X3, X4, X5}, mỗi F∈G* có toạ độ (α, β, γ, δ, σ) trong cơ sở đối ngẫu

{X1∗, X2∗,X3∗, X4∗, X5∗}của{X1, X2, X3, X4, X5} ΩF là K–quỹ đạo của G trong

G* chứa F Định lý sau đây nói về bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các nhóm G5,1,1, G5,1,2, G5,1,3, G5,2,1, G5,2,2(λ), (λ∈ \{0, 1})

2.2.1 Định lý 1 (về bức tranh hình học các K-quỹ đạo)

Giữ nguyên các ký hiệu nêu trên Khi đó ΩF được mô tả trong từng trường hợp cụ thể như sau

(1) G=G 5,1,1

i Nếu σ= 0 thì ΩF = {F(α, β, γ, δ, 0)}: quỹ đạo 0–chiều

ii Nếu σ≠ 0 thì ΩF = {(α, β, γ, t, s)/ t,s ∈ ; σs > 0}: quỹ đạo là một nửa mặt phẳng (2 –chiều)

(2) G=G 5,1,2

i Nếu σ= 0 thì ΩF = {F(α, β, γ, δ, 0)}: quỹ đạo 0–chiều

ii Nếu σ≠ 0 thì ΩF = {(α, β, z, t, σ)/ z, t ∈ }: quỹ đạo là một mặt phẳng (2–chiều)

(3) G=G 5,1,3

i Nếu σ= 0 thì ΩF = {F(α, β, γ, δ, 0)}: quỹ đạo 0–chiều

ii Nếu σ≠ 0 thì ΩF = {(x, y, z, t,σ)/ x,y,z,t ∈ }: quỹ đạo là một siêu phẳng có phương trình s=σ (≠ 0) trong G*≅ 5 (4-chiều)

(4) G=G 5,2,1

i Nếu δ=σ= 0 thì ΩF ={F(α, β, γ, 0, 0)}: quỹ đạo 0–chiều

ii Nếu δ= 0; σ≠ 0 thì ΩF ={(α, β, z, 0, s)/ z, s ∈ ; σs > 0}: quỹ đạo là một nửa mặt phẳng (2–chiều)

iii Nếu δ≠ 0; σ= 0 thì ΩF = {(α, β, z, t, 0)/ z, t ∈ ; δt > 0}: quỹ đạo là một nửa mặt phẳng (2–chiều)

iv Nếu δ≠ 0 và σ≠ 0 thì ΩF = {(α, β, z, t, s)/ z, t, s ∈ ; σt -

δs= 0, δt >0, δs> 0}: quỹ đạo là một mặt trụ (2–chiều)