SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
Modul bất khả qui trung thành
M được gọi là R-modul trung thành nếu từ M.r = (0) suy ra r = 0
Kí hiệu A(M) ={r∈R/M.r = (0) };ta có A(M) là ideal hai phía của R và
Cho M là một R-modul, với a ∈ R, ánh xạ Ta: M → M được định nghĩa bởi mTa = ma, trong đó m ∈ M là đồng cấu nhóm cộng Tập hợp E(M) bao gồm tất cả các đồng cấu nhóm cộng và E(M) được coi là một vành với các phép toán cộng và nhân các đồng cấu nhóm.
Vì Ta+b = Ta+ Tb và Tab = TaTb nên ϕ là đồng cấu vành
Mặt khác : Ker ϕ = A(M) nên R A (M ) ≅ Im ϕ
R A (M) là vành con của vành E(M) Đặc biệt, nếu M là R-modul trung thành, thì A(M) = (0), dẫn đến việc ϕ trở thành đơn cấu và nhúng R vào E(M) như một vành con thông qua đồng nhất a ≡ Ta, với a thuộc R.
Vành giao hoán tử của R trong M là C(M) = { f∈E(M) / Taf = fT a ,∀a∈R}
Rõ ràng C(M) là vành con của vành E(M).Với f∈C(M),∀m∈M,∀a∈R ta có: (ma)f = (mT a )f =m(T a f) =m(fT a ) =(mf)T a =(mf)a ⇒ f là R đồng cấu modul Vậy C(M) = EndRM
M được gọi là R-modul bất khả qui nếu MR≠ (0) và M chỉ có hai modul con tầm thường là (0) và M
Nếu M là R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể
Nếu M là R-modul bất khả qui, thì M đẳng cấu với modul R/ρ, trong đó ρ là ideal phải tối đại của R Tồn tại a∈R sao cho x-ax ∈ρ với mọi x∈R, và ρ được gọi là ideal phải chính qui Ngược lại, nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui, thì R/ρ là R-modul bất khả qui.
Vì M là R-modul bất khả qui nên MR ≠ (0) S = { u∈M/ uR = (0) }là modul con của M và S ≠ M nên S = (0).Do đó với m ≠ 0 thì mR ≠ 0 mà mR là modul con của M nên mR = M
Xét ánh xạ ϕ :R→ M r m.r ϕ là toàn cấu R-modul và kerϕ ={r∈R/mr = 0}= ρ là ideal phải của R
Ta có R/ρ ≅ M, với M là bất khả qui, do đó R/ρ là mô-đun bất khả qui và ρ là ideal phải tối đại Từ mR = M, tồn tại a∈R sao cho ma = m Với mọi x∈R, ta có max = mx, dẫn đến m(x-ax) = 0, suy ra x-ax∈ρ, ∀x∈R Do đó, ρ là ideal phải tối đại chính qui của R Ngược lại, nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui, thì R/ρ là mô-đun bất khả qui.
Nhận xét: Nếu R có đơn vị thì mọi ideal phải tối đại của R đều là ideal phải tối đại chính qui.
Radical của vành
I.2.1 Định nghĩa: Radical Jacobson của vành R,kí hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R linh hoá tất cả các modul bất khả qui trên R Nếu R không có modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R và gọi là vành radical.Theo định nghĩa ta có J(R) = A(M) ( giao lấy trên mọi M bất khả qui) là ideal hai phía của R
I.2.2 Định nghĩa : ρ là ideal phải của R ,kí hiệu (ρ :R) = { x∈R/Rx ⊂ ρ }
I.2.3 Bổ đề : a/Nếu ρ là ideal phải chính qui thì (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ρ b/ Nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì A(M) = (ρ:R) với M = R/ρ
J(R) = ∩(ρ:R) trong đó ρ là các ideal phải tối đại chính qui của R (ρ:R) đại diện cho ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong ρ Áp dụng Bổ đề Zorn, ta có thể đưa ra một bổ đề quan trọng liên quan đến cấu trúc của các ideal trong R.
Nếu ρ là ideal phải chính qui của R (ρ ≠ R) thì ρ nằm trong một ideal phải tối đại chính qui nào đó
J(R) = ∩ρ trong đó ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R Chứng minh:
Theo định lí I.2.4 ta có J(R) = ∩(ρ:R) và (ρ:R) ⊂ ρ nên J(R) ⊂ ∩ρ Đặt
T = ∩ρ và lấy x∈T Ta chứng minh x tựa chính qui tức ∃ w∈R sao cho : x + w + xw = 0 Xét tập A ={xy+y/y∈R} là ideal phải của R
Nếu A ≠ R thì theo bổ đề I.2.5 tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ 0 chứa A (do A là chính qui với a = -x)
Vì x∈ T = ∩ρ nên x∈ ρ0 ⇒ xy∈ ρ0 ,∀y∈R ⇒ y = (xy+y) - xy∈ ρ0, ∀y∈R ⇒ ρ0 = R (vô lí)
Vậy {xy + y/y∈R}= R.Với -x∈R ,∃ w∈R sao cho : xw + w = -x ⇒ x + w + xw = 0.Nếu T⊄ J(R) thì tồn tại modul bất khả qui M sao cho T⊄ A(M) ⇒ M.T ≠ (0) ⇒ ∃m∈M:mT ≠(0).Mà mT là modul con của
M và M là bất khả qui nên mT = M ,khi đó ∃t∈T sao cho mt = -m.Vì t∈T nên
∃s∈R:t + s + ts = 0 ⇒mt + ms + mts = 0 ⇒ mt = 0 ⇒ m = 0(vô lí)
I.2.7 Định nghĩa: a∈R được gọi là tựa chính qui phải nếu
Trong toán học, một phần tử a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a nếu thỏa mãn điều kiện ∃ a / ∈R : a + a / + aa / = 0 Tương tự, chúng ta có khái niệm về tựa chính quy trái và tựa nghịch đảo trái Một ideal phải được gọi là tựa chính quy phải khi mọi phần tử của nó đều là tựa chính quy phải Do đó, J(R) được xác định là ideal phải tựa chính quy phải Kết quả này tương tự như trong chứng minh định lý 1.2.6 với phần T = ρ ⊂ J(R).
I.2.8 Định lý:J(R) là ideal phải tựa chính qui phải và chứa mọi ideal phải tựa chính qui phải,tức là J(R) là ideal phải tựa chính qui phải tối đại duy nhất của R.Ta kí hiệu J r (R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal phải tối đại chính qui phải của
R và J l (R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal trái tối đại chính qui trái của R
Sau đây ta sẽ chứng minh:J r ( R) = J l ( R)
Theo định lý I.2.8, Jl(R) là ideal trái tựa chính quy và là trái tối đại duy nhất của R Giả sử a ∈ Jr(R) vừa tựa chính quy phải vừa tựa chính quy trái, thì tồn tại b, c ∈ R sao cho a + b + ba = 0 và a + c + ac = 0 Từ đó, ta suy ra ba + bc + bac = 0 và ac + bc + bac = 0, dẫn đến ba = ac Từ hai phương trình này, ta có thể kết luận rằng b = c, tức là tựa nghịch đảo trái và phải của a trùng nhau.
Giả sử a∈Jr(R), a tựa chính qui, thì tồn tại a / ∈R sao cho a + a / + aa / = 0, dẫn đến a / = - a – aa / ∈Jr(R) Với a / ∈Jr(R), tồn tại a // ∈R: a / + a // + a / a // = 0, trong đó a và a // là nghịch đảo trái và phải của a / Do đó, a = a // Từ đó suy ra a / + a + a / a = 0, tức là a là tựa chính qui trái Vì vậy, Jr(R) là ideal trái tựa chính qui trái, nên Jr(R) ⊂ Jl(R).
Tương tự J l (R) ⊂ Jr(R), do đó J r (R) = J l (R)
Nhận xét: Tựa nghịch đảo phải (trái) của a là duy nhất.Thật vậy giả sử a +a / +aa / = 0 và a +a // +aa // = 0 , do a có nghịch đảo trái là a / nên a +a / +a / a= 0 từ đó suy ra a / = a //
• Phần tử a∈R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n∈N sao cho a n = 0
• Ideal phải (trái, hai phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái,hai phía) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh
• Ideal phải (trái, hai phía) ρ của R được gọi là lũy linh nếu tồn tại m∈N sao cho a1a2…am = 0 với mọi ai∈ρ,tức tồn tại m∈N sao cho ρ m = 0
Nếu ρ là lũy linh, thì ρ là nil-ideal Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính qui, vì nếu a∈R lũy linh, tồn tại n∈N sao cho a^n = 0 Đặt b = -a + a^2 - a^3 + + (-1)^(n-1) a^(n-1), ta có a + b + ab = 0, suy ra a là tựa chính qui Tương tự, a cũng là tựa chính qui trái J(R) chứa mọi nil-ideal một phía Nếu R có ideal phải lũy linh khác (0), thì R cũng có ideal hai phía lũy linh khác (0).
Radical của một đại số
A được gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau: a/ A là một vành b / A là không gian vectơ trên trường F c / ∀a,b∈A, ∀α∈F thì α(ab) = (αa)b = a(αb)
Nếu A có đơn vị 1 thì α.1 với α∈F nằm trong tâm của A.Thật vậy ta có (α.1)a = α(1.a) = α(a.1) = a(α.1),∀a∈A
A là một đại số trên trường F Khi đó radical Jacobson của đại số A trùng với radical Jacobson của vành A
Giả sử ρ là ideal phải tối đại chính qui của A thì ρ là vành con của A,hơn nữa ρ còn là không gian con của A trên F, tức Fρ⊂ρ
Thật vậy,giả sử Fρ⊄ ρ thì Fρ +ρ =A (do ρ là ideal phải tối đại của A và
Fρ là ideal phải của A).Ta có A 2 = (Fρ+ρ)A ⊂ (Fρ)A+ρA ⊂ρA⊂ρ.Vì ρ là chính qui nên có a∈A sao cho x-ax∈ρ,∀x∈A nhưng ax∈A 2 ⊂ ρ ⇒ x∈ρ,∀x∈A ⇒ ρ = A (vô lí)
Mọi ideal tối đại chính quy của A, khi xem A như một vành, cũng chính là ideal tối đại chính quy của A khi được coi là một đại số.
Vành nửa đơn
I.4.1.Định nghĩa: R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = (0)
I.4.2.Định lý: R là một vành thì R J (R ) là vành nửa đơn
Nếu A là ideal hai phía của R thì J(A) = A ∩ J(R)
I.4.4 Hệ quả : Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng nửa đơn
Chú ý : Kết quả định lý I.4.3 không còn đúng nếu A là ideal một phía
Chẳng hạn lấy R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F R là vành nửa đơn nên J(R) =(0)
0 là ideal phải của R và với β∈F vì x 2 = x lũy linh và
0 là nil ideal phải của A
Kí hiệu R n là vành các ma trận vuông cấp n trên R Khi đó J(R n ) = (J( R)) n
Vành Artin
I.5.1 Định nghĩa: Vành R gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác ∅ các ideal phải đều có phần tử tối tiểu Ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin
Một vành là vành Artin khi và chỉ khi mọi dãy giảm các ideal phải của R ρ1 ⊃ ρ2 ⊃…⊃ ρm ⊃… đều dừng , tức ∃ n∈ N sao cho ρn = ρn+1 =…
- Trường , thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin
- Vành các ma trận vuông cấp n trên một thể là vành Artin
- Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin
- Đại số hữu hạn chiều trên một trường là đại số Artin
- Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin, nên vành thương của vành Artin là vành Artin
Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh
Nếu R là vành Artin thì mọi nil ideal (phải , trái , hai phía) của R là lũy linh
Thật vậy vì mọi nil-ideal đều nằm trong J(R), mà J(R) là lũy linh nên nil-ideal cũng lũy linh
Chúng ta sẽ chứng minh một định lý quan trọng, được áp dụng rộng rãi sau này, do Jacobson và Chevalley đưa ra, đó là định lý dày đặc.
Định lý dày đặc
Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu nó có modul bất khả qui trung thành
Nhận xét : 1/Nếu M là R modul bất khả qui và A(M)={x∈R/Mx = 0 } thì
R A là vành nguyên thủy (bổ đề I.1.2).Đặc biệt nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui của R và nếu M = R ρ thì R ( ρ : R ) là vành nguyên thủy
2) Nếu R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành thì M ≅ R ρ, tức R có ideal phải tối đại chính qui và A(M) = (0)
Khi đó ánh xạ ϕ: R → E ( M ) là đơn cấu nên có thể nhúng R vào
E(M) như vành con (theo bổ đề I.1.3)
3/Vành nguyên thuỷ là vành nửa đơn vì tồn tại ρ là ideal phải tối đại chính qui và (ρ:R) = (0) ⇒ J(R) = ∩(ρ:R) = (0) (theo định lí I.2.4)
R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại một ideal tối đại chính quy ρ của R sao cho (ρ:R) = (0) Trong trường hợp này, R trở thành một vành nửa đơn, và nếu R giao hoán và có đơn vị, thì R được xác định là một trường.
Thật vậy nếu R là vành nguyên thuỷ giao hoán thì (ρ:R) = ρ = (0) là ideal tối đại ⇒ R ≅ R ( 0 ) là một trường
Giả sử R là vành nguyên thủy và M là mô-đun bất khả quy trung thành Gọi Δ = C(M) là giao hoán tử của R trong M Theo bổ đề Schur, Δ được xác định là một thể Do đó, M trở thành một không gian vectơ trên Δ với phép nhân ngoài.
Vành R được coi là tác động dày đặc trên M nếu với mọi n và các vector độc lập tuyến tính v1, v2,…, vn trong M, cùng với bất kỳ n phần tử w1, w2,…, wn trong M, thì tồn tại một r∈R sao cho wi = vi.r (i = 1, 2,…, n) Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều trên Δ và R tác động trung thành và dày đặc trên M, thì R = End Δ M ≅ Δn, với n là chiều của Δ M Δn đại diện cho vành các ma trận vuông cấp n trên Δ.
Thật vậy :Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất r ≡ Tr :M→M với (m)Tr = mr
∀α∈Δ ta có:(mα)Tr = m(αTr) = m(T r α) = (mTr)α ⇒Tr ∈ M
Ngược lại , giả sử v 1 ,…,v n là cơ sở của M trên Δ và f ∈ M
Do R dày đặc trên M nên ∃ r∈R sao cho (vi)f = vi.r (i =1,2,…,n) ⇒
Chúng ta sẽ chứng minh một định lý quan trọng làm nền tảng cho việc chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur, đó là định lý dày đặc Định lý này được xác lập dựa trên khái niệm dày đặc theo nghĩa đại số Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển một tôpô để khái niệm dày đặc trong đại số và dày đặc theo nghĩa tôpô trùng khớp với nhau, cùng với một số tính chất cần thiết để hoàn thiện chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur.
I.6.4 Định lý (Định lý dày đặc)
R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành Nếu Δ = C(M) thì R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ
Để chứng minh rằng R là dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ, ta cần chỉ ra rằng với V là một không gian vectơ con hữu hạn chiều của M trên Δ và m thuộc M nhưng không thuộc V, tồn tại một r thuộc R sao cho V.r = (0) nhưng m.r ≠ 0.
Thật vậy giả sử tìm được r như thế, m.r ≠0 và M là bất khả qui nên mr.R=M, do đó ∀m’∈M ,∃ s∈R:mrs = m’ và Vrs = (0)
Lấy v1,v2,…,vn∈M độc lập tuyến tính trên Δ và w1,w2,…,wn∈M tuỳ ý.Gọi Vi (i =1,2,…,n) là không gian con của M sinh bởi v1,v2,…,vi-1,vi+1,…,vn
Vì v i ∉Vi nên ∃ ti∈R : vi.t i = w i và V i t i = (0) (ở đây t i = rs ở trên) Đặt t = t 1 +t 2 +…+t n thì ta có v i t = w i (i = 1,2,…,n) nên R dày đặc trên M
Giả sử V là không gian con hữu hạn chiều của M trên Δ và m∈M\V Chúng ta cần chứng minh tồn tại r∈R sao cho Vr = (0) nhưng mr ≠0 Chứng minh sẽ được thực hiện bằng phương pháp qui nạp theo số chiều của V trên Δ.
Gọi V=V 0 +ωΔ với dimV0 = dimV-1, ω∉V0 Theo giả thiết qui nạp nếu đặt
A(V 0 ) ={ thì y∉ V0 ⇒∃ r∈A(V0) sao cho yr ≠0 ⇒yA(V0)≠0 Tương đương điều này là :∀r∈A(V0) mà yr = 0 ⇒ y∈V0 tức là nếu m.A(V0)=(0) thì m∈V0
Ta có A(V0) là ideal phải của R , vì ω∉ V 0 nên ω A ( V 0 ) ≠ ( 0 ).Mặt khác )
A V 0 ω là modul con của M bất khả qui nên ω.A(V0) = M
Giả sử phản chứng rằng với m∈M\V mà Vr =(0) thì kéo theo mr = 0, ta tìm sự mâu thuẫn
Ta định nghĩa f:M→M như sau: Với x∈M = ωA(V0) thì x = ωa với a∈A(V0) ta đặt f(x) = ma Giả sử x = ωa = ωa’ ⇒ ω(a-a’) = 0 ⇒ a-a’ linh hoá
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự linh hóa V 0 và ω dẫn đến mối quan hệ a-a’ linh hóa V, từ đó suy ra V(a-a’) = 0 và m(a-a’) = 0, điều này chứng tỏ ma = ma’ Hơn nữa, ta có f(ωa) = f(ωa’), cho thấy f được định nghĩa rõ ràng và f thuộc E(M) Nếu x = ωa với a thuộc A(V0), mà A(V0) là ideal của R, thì ar cũng thuộc A(V0) với mọi r thuộc R Khi đó, ta có xr = (ωa).r = ω(ar) và f(xr) = m(ar) = (ma)r = f(x).r.
Do đó với a∈A(V0) ta có ma = f(ωa) = f(ω).a ⇒ (m-f(ω)).a = 0 ,
∀a∈A(V0) ⇒(m-f(ω))A(V0) = 0 ⇒ m-ωf∈V0 (theo giả thiết qui nạp) ⇒ m∈V0+ωΔ = V (vô lý) Định lý đã được chứng minh
Sau đây ta sẽ xét chiều ngược lại của định lí dày đặc
I.6.5.Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành End D V thỏa điều kiện : với v≠ 0 ,v∈V và ω∈V tồn tại r∈R sao cho ω = v.r thì R là vành nguyên thủy
Chứng minh: V là R modul với phép nhân ngoài: V.R → V
V là R modul bất khả qui vì với 0 ≠ V1 là modul con của V ta có V 1 R⊂ V1
∃ v ≠ 0 ,v∈V1,∀ω∈V:∃r∈R:ω = vr∈V1 ⇒ V=V1 ⇒ V là R modul bất khả qui.Hơn nữa R ⊂ E(V) nên V là R modul bất khả qui trung thành do đó R là vành nguyên thủy
I.6.6 Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành EndDV thỏa điều kiện : Với v1,v2 ∈ V độc lập tuyến tính trên D và ω1, ω2 ∈V tồn tại r∈R sao cho v1r = ω1,v 2 r = ω2 thì R dày đặc trong V và vành giao hoán tử của R trên V trùng với D
Theo định lý I.6.5, R là vành nguyên thủy, do đó R dày đặc trong V, với giao hoán tử của R trên V là C(V) = Δ = EndRV Vì R ⊂ EndDV, mọi phần tử của D giao hoán với mọi phần tử của R, dẫn đến D ⊂ Δ Giả sử D ≠ Δ, nếu f ∈ Δ \ D và 0 ≠ v ∈ V, thì v và vf độc lập tuyến tính trên D Nếu v và vf phụ thuộc tuyến tính, ta có v = vf.α với α ∈ D, dẫn đến 1 - fα = 0, suy ra f = α -1 ∈ D, điều này vô lý Do đó, v và vf độc lập tuyến tính trên D, tồn tại r ∈ R sao cho vr = 0 và (vf)r = v Vì f ∈ Δ = EndRV, ta có (vf)r = (vr)f = 0, dẫn đến v = 0, điều này cũng vô lý Vậy Δ = D Định lý dày đặc cho phép mô tả nhiều kết quả về vành nguyên thủy và mối quan hệ của chúng với vành các ma trận.
Nếu R là vành nguyên thuỷ thì đối với thể Δ = C(M) hoặc R đẳng cấu với Δn vành các ma trận vuông cấp n trên Δ hoặc với mọi m∈N tồn tại vành con
Sm của R sao cho Δm là ảnh đồng cấu của Sm
Theo định lý dày đặc R, các phép tính biến đổi tuyến tính của M trên Δ được xác định Nếu M có chiều hữu hạn trên Δ, thì R = End Δ M ≅ Δ n Trong trường hợp M không có chiều hữu hạn trên Δ, ta có hệ vô hạn các vectơ độc lập tuyến tính v1, v2,…, vm,… của M trên Δ Đặt Vm = v1Δ + v2Δ + … + vmΔ là không gian con của M được sinh bởi các vectơ v1, v2,…, vm.
V m x x φ là toàn cấu do tính dày đặc, thật vậy với x1∈ End Δ V m có tạo ảnh x∈R thoả vix= vi x1 ⇒
S ≅ Δ Vậy Δm là ảnh đồng cấu của S m
Sau đây ta sẽ giới thiệu một lớp các vành chứa lớp các vành nguyên thủy, đó là vành nguyên tố.
Vành nguyên tố
I.7.1 Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = (0)
I.7.2 Bổ đề:Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
1) Linh hoá phải của ideal phải khác 0 của R bằng (0)
2) Linh hoá trái của ideal trái khác 0 của R bằng (0)
3) Nếu A,B là ideal của R và AB=(0) thì A=(0) hoặc B=(0)
Vành nguyên thuỷ là vành nguyên tố
Chứng minh : Giả sử ρ ≠(0) là ideal phải của vành nguyên thuỷ R và ρa = (0) ta chứng minh a = 0
Vì R nguyên thuỷ nên tồn tại M là R modul bất khả qui trung thành Vì từ
Mx = 0 ⇒ x= 0 nên Mρ≠(0).Mρ là modul con của M nên Mρ = M Từ đó suy ra Ma = Mρa = (0) ⇒ a = 0 Vậy R là vành nguyên tố
Nhận xét:Chiều ngược lại của mệnh đề I.7.3 không đúng,chẳng hạn với K là một trường R=K[[x]]= là vành chính nên R là vành nguyên tố Ideal
Hàm sinh bởi x là ideal tối đại duy nhất trong R, vì f(x) không thuộc x, dẫn đến khả nghịch trong R Do đó, R được coi là vành địa phương với J(R) = x khác không Tuy nhiên, R không phải là vành nửa đơn, vì vậy R không phải là vành nguyên thuỷ.
Trong một vành nguyên tố R, phần tử khác 0 trong tâm không phải là ước của 0 Điều này dẫn đến việc nếu tâm Z của vành nguyên tố R có đơn vị khác 0, thì Z sẽ là một miền nguyên.
HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI
Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô
II.1.1 Tôpô trên một tập hợp Tập mở
Cho tập X khác rỗng, ký hiệu ℘(X) là tập hợp tất cả các tập con của X Một họ τ các tập con của X (τ ⊂ ℘(X)) được gọi là một tôpô trên X nếu cả tập hợp X và tập rỗng ∅ đều thuộc τ, và hợp của bất kỳ số lượng nào các tập thuộc τ cũng thuộc τ.
∈τ iii) Giao của hữu hạn tập thuộc τ là tập thuộc τ:
∈τ τ b) Cặp (X, τ) với τ là tôpô trên X gọi là không gian tôpô; mỗi tập G∈τ gọi là tập mở đối với τ hay τ-mở
II.1.1.2 Ví dụ: a) Trên mỗi tập X ≠ ∅ luôn tồn tại các tôpô :
- Tôpô rời rạc τ = ℘(X) b) Cho tập vô hạn X Ta định nghĩa họ τ như sau:
G∈τ khi và chỉ khi G = ∅ hoặc X \ G hữu hạn Họ τ là một tôpô gọi là tôpô bù hữu hạn
Tập hợp dạng X \ G với G∈τ gọi là đóng đối với τ hay τ-đóng
Vậy: F đóng ⇔ X \ F mở Khi đó ta có: i) X , ∅ là các tập đóng ii) F i là tập đóng với mọi i∈I thì ∩ là tập đóng
∈ iii) Fk là tập đóng với k =1,2,…,n thì ∪ n là tập đóng k
II.1.3 Cơ sở của tôpô:
II.1.3.1 Định nghĩa: Cho tôpô τ trên X Họ B gọi là cơ sở của τ nếu :
B ⊂ τ và mỗi G∈τ , G là hợp của một họ các tập con của B
II.1.3.2 Ví dụ: a) Họ các khoảng mở là cơ sở của các tôpô thông thường của R b) Họ các khoảng mở hữu hạn với đầu mút hữu tỉ là cơ sở của tôpô thông thường của R
II.1.3.3 Định lý : Họ B ⊂ τ là cơ sở của tôpô τ khi và chỉ khi nó có tính chất: ∀G∈τ, ∀x∈G, ∃B∈B :x∈B ⊂ G
II.1.3.4 Định lý : Họ B các tập con của X là cơ sở của một tôpô trên X khi và chỉ khi có hai tính chất sau : i) X=∪
II.1.4 Cơ sở lân cận:
II.1.4.1 Định nghĩa: Cho không gian tôpô (X,τ) Tập V ⊂ X gọi là một lân cận của x nếu ∃ G ∈ τ : x ∈ G ⊂ V Họ tất cả các lân cận của x ghi là Ux II.1.4.2 Mệnh đề: Họ Ux có các tính chất : i) ∀V∈ Ux thì x∈V ii) Nếu V 1 ,V 2 ∈ Ux thì V 1 ∩V2∈ Ux iii) Nếu V∈ Ux và V⊂ U thì U∈ Ux iv) ∀V∈ Ux ,∃W∈ Ux sao cho W⊂ V và W∈ Uy,∀y∈W
Tập G là tập mở khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm của nó
II.1.4.4 Định nghĩa : Họ con B x⊂ Ux gọi là một cơ sở lân cận của x nếu:
1 , là một cơ sở lân cận của x trong tôpô thông thường của R
1) Cho không gian tôpô X và với mỗi x∈X ta có B x là một cơ sở lân cận của x Khi đó : i) x∈V với mọi V∈ B x ii) ∀V1,V 2 ∈ B x,∃V∈ B x:V⊂ V1∩V2 iii) ∀V∈ B x,∃W∈ B x:∀y∈W,∃U∈ B y:U⊂ V
2) Ngược lại nếu với mỗi x∈X được gắn với họ B x các tập con của X thoả mãn i) , ii), iii) thì tồn tại duy nhất một tôpô trên X nhận B x là cơ sở lân cận của x
II.1.5 Tôpô cảm sinh –không gian con:
Cho không gian tôpô (X, τ) và tập A⊂ X
Họ τA={ G ∩ A : G ∈ τ } là một tôpô trên A gọi là tôpô cảm sinh của τ trên A Không gian tôpô (A, τA) gọi là không gian tôpô con của (X, τ)
Ví dụ : Nếu τ là tôpô rời rạc trên X và A⊂ X thì τA là tôpô rời rạc trên A
Giả sử τA là tôpô cảm sinh của τ trên A Khi đó : i) D là τA-mở ⇔∃ G là τ-mở:D = G∩A ii) D là τA-đóng ⇔∃F là τ-đóng :D = F∩A iii) D là τA-lân cận của a ⇔∃V∈Ua:D = A∩V
II.1.6 Bao đóng , điểm dính:
II.1.6.1 Định nghĩa: Cho A⊂ X a) Điểm x gọi là điểm dính của tập A nếu ∀V∈Ux thì V∩A ≠∅ b) Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A
II.1.6.2 Định lý : i) A là tập đóng nhỏ nhất chứa A ii) A là tập đóng khi và chỉ khi A = A
Tập B⊂ A gọi là trù mật ( dày đặc) trong A nếu B ⊃ A
Ví dụ: Q trù mật trong R
II.1.7 Ánh xạ liên tục:
Trong không gian tôpô (X,T) và (Y,S), ánh xạ f: X→Y được gọi là liên tục tại điểm a∈X nếu với mọi tập mở V chứa f(a), tồn tại một tập mở W chứa a sao cho f(W) nằm trong V, hoặc tương đương, nếu với mọi tập mở V chứa f(a), thì ảnh ngược f⁻¹(V) cũng là tập mở tại a Nếu f liên tục tại mọi điểm trong X, ta nói rằng f liên tục trên toàn bộ không gian X.
Cho các không gian tôpô X,Y,Z Nếu ánh xạ f:X→Y liên tục tại a, ánh xạ g:Y→Z liên tục tại b = f(a) thì ánh xạ hợp g0f :X→Z liên tục tại a
II.1.7.3 Định lý : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ f:X→Y, các mệnh đề sau là tương đương:
3) f -1 (B) là tập đóng với mọi B đóng
4) f -1 (B) là tập mở với mọi B mở
1)⇒2) Xét tuỳ ý y= f(x)∈f( A ), x ∈ A Ta có : ∀V∈Uy ta có f -1 (V) ∈Ux
2)⇒3) Xét tập đóng B⊂Y, đặt A=f -1 (B), ta chứng minh A đóng Từ 2) suy ra f ( A ) ⊂ f ( A ) = f ( f − 1 ( B )) ⊂ B = B ⇒ f − 1 ( f ( A )) ⊂ f − 1 ( B ) ⇒ A ⊂ A ⇒ A = A Vậy A đóng
Để chứng minh tính liên tục của hàm số f tại điểm x∈X, ta xét một lân cận V của f(x) Tồn tại một tập mở G trong Y sao cho f(x) thuộc G và G nằm trong V Khi đó, ảnh ngược f -1(V) chứa tập mở f -1(G), từ đó suy ra x thuộc f -1(V) Điều này cho thấy f -1(V) là lân cận của x, chứng minh rằng f liên tục tại điểm x.
Hệ quả: Để có 1) chỉ cần có 4) đúng cho mọi B thuộc một cơ sở của tôpô trên Y
II.1.8 Tích của các không gian tôpô:
Cho X ≠∅ và họ các không gian tôpô (Xi,T i ), i∈I, các ánh xạ fi:X→Xi
Họ các tập dạng: ∩ với J⊂ I, J hữu hạn,
= − 1 ( ) G i ∈ T i ( i ∈ I ) là cơ sở của một tôpô trên X, gọi là tôpô đầu xác định bởi họ (fi) , i∈I
Cho không gian tôpô (Xi,Ti),i∈I Xét tập tích X =∏
Tôpô tích trên không gian X được xác định bởi họ ánh xạ chiếu \( p_i: X \rightarrow X_i \) với \( i \in I \) Cơ sở của tôpô tích bao gồm các tập hợp có dạng \( G_J = \bigcap_{i \in J} G_i \), trong đó \( J \subset I \) là tập hữu hạn và \( G_i \in T_i \) cho mọi \( i \in J \).
G Đặc biệt: Nếu I hữu hạn thì cơ sở của tôpô tích trên là họ các tập có dạng: trong đó G i ∈Ti (i =1,2,3,…,n)
Cho các không gian tôpô X i (i∈I) , trên ∏
X xét tôpô tích Giả sử A i ⊂ Xi khi đó :∏ ∏
Chúng ta sẽ xây dựng một tôpô để khái niệm dày đặc trong đại số, xem xét theo nghĩa tôpô và một số tính chất về tính liên tục Điều này sẽ làm cơ sở để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur, liên quan đến tôpô hữu hạn trên tập các ánh xạ từ X vào Y.
Tôpô hữu hạn
Kí hiệu Y X là tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y
Với f∈Y X , xét họ Bf các tập con của Y X là :
Do đó : g ∈ V f ⇔ ∃ A ⊂ X , A hữu hạn: gx i = fx i, , ∀xi∈A
Tồn tại tôpô trên Y X nhận họ B f làm cơ sở lân cận của f
Ta chứng minh Bf thoả i) ii) iii) định lý II.1.4.5 i) Rõ ràng f∈Vf, ∀Vf∈Bf ii) ∀V1,V 2 ∈Bf ta có:
V1={g∈Y X /gxi = fxi ;∀xi∈A; A hữu hạn };
V 2 = {g∈Y X /gx i = fx i ;∀xi∈B; B hữu hạn }
Khi đó V1∩V2={g∈Y X /gxi = fxi;∀xi∈A∪B}∈Bf
Vậy ∀V1,V 2 ∈Bf, ∃V=V1∩V2∈Bf:V⊂V1∩V2 iii) ∀V∈Bf, ∃W=V∈Bf:∀g∈W, ∃U∈Bg:U⊂V
Thật vậy, ∀g∈W thì gxi = fx i ∀xi∈A, A hữu hạn,∃U∈Bg với
Rõ ràng U⊂V vì ∀h∈U hxi = gx i , ∀xi∈A mà
U = / i = i , ∀ i ∈ } gx i = fx i , ∀xi∈A ⇒ hxi = fx i , ∀xi∈A ⇒ h∈V
Vậy theo định lý II.1.4.5 phần 2/ tồn tại duy nhất một tôpô trên trên Y X nhận
B f là cơ sở lân cận của f.Tôpô này gọi là tôpô hữu hạn trên tập Y X
Gọi V là không gian vectơ trên thể Δ và giả sử EndΔV là tập hợp các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ
II.2.2.Mệnh đề: End Δ V là tập đóng trong không gian tôpô V V
Ta chứng minh End Δ V = End Δ V Thật vậy ∀ f ∈ End Δ V ta có :
V f ∅ , ∀ V f ∈ B f ∀x,y∈V ta chứng minh f(x+y)=f(x)+f(y).Với x,y cố định, chọn lân cận Vf của f V f = { g ∈ V V / gx = fx , gy = fy , g ( x + y ) = f ( x + y ) } , V f ∩ End Δ V ≠∅
⇒ End ⇒ hx = fx, hy= fy, h(x+y) = f(x+y).Vì h∈ EndΔV nên h(x+y) = h(x)+h(y) ⇒ f(x+y) = f(x)+f(y).Với ∀ x ∈ V ,α∈ Δ ta chọn
End f ∈ Δ ⇒ Δ = Δ ⇒ End Δ V là tập đóng trong tôpô hữu hạn V V
Tôpô hữu hạn trên V v cảm sinh tôpô trên End Δ V theo mệnh đề II.1.5.2
D là tập mở trong End Δ V khi và chỉ khi tồn tại G mở trong V V sao cho
R tác động dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ khi và chỉ khi R dày đặc ( trù mật) trong End Δ V theo nghĩa tôpô, tức R = End Δ V
(⇒) Giả sử R dày đặc trong EndΔV, khi đó mọi tập hữu hạn x 1 ,…,x n ∈V độc lập tuyến tính trên Δ và y1,y 2 ,…,y n ∈V thì tồn tại r∈R sao cho rxi = y i
- Rõ ràng R ⊂ End Δ V(do R ⊂ End Δ V và End Δ V đóng trong V V )
- ∀f ∈ End Δ V ta chứng minh f∈ R tức V f ∩ R ≠∅,∀ V f ∈ B f ( B f là họ lân cận của f trong tôpô cảm sinh trên End Δ V)
Với V f ∈Bf ta có V f = { g ∈ End Δ V / gx i = fx i , ∀ x i ∈ A },A hữu hạn,A⊂V
Giả sử x 1 ,x 2 ,…,x n là hệ độc lập tuyến tính tối đại trong A thì
V f = ∈ Δ / i = i , = 1 , 2 , , } (Vì nếu thì g(xn+1) f(xn+1)).Với x1,x2,…,xn ∈V là Δ độc lập tuyến tính và f(x1),f(x2),…,f(xn) ∈V
1 α thì ∃r∈R sao cho rxi = fx i , i =1,2,…,n ⇒ r ∈ V f ⇒ V f ∩ R ≠∅ ⇒ f ∈ R Vậy
(⇐) Giả sử R = End Δ V ,ta chứng minh R dày đặc trong theo nghĩa đại số.Giả sử x1,x2,…,xn là
Trong không gian vector V với các phần tử y1, y2,…,yn, chúng ta chứng minh sự tồn tại của ánh xạ tuyến tính f: V → V sao cho f(xi) = yi với i = 1, 2,…, n Gọi V1 là không gian con được sinh ra bởi các phần tử x1, x2,…, xn, do đó V có thể được phân tích thành V = V1 ⊕ V2 Từ đó, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f1: V1 → V sao cho f1(xi) = yi với i = 1, 2,…, n, và chúng ta lựa chọn phép biến đổi tuyến tính f phù hợp.
V 2 f = 0 thì f ∈ End Δ V và f(x i ) = y i i = 1,2,…,n f ∈ End Δ V = R , chọn V f = { g ∈ End Δ V / gx i = fx i , i = 1 , 2 , , n }
Vf ∩ R ≠ ∅ ⇒ ∃r∈ Vf ∩ R ta có rxi = fxi = yi; i= 1,2,…,n.Vậy R dày đặc trong End Δ V theo nghĩa đại số
Nếu L= End Δ V là đại số trên K thì các ánh xạ : (l,m)→ l+m; (l,m)→ lm; l→αl (α∈K) là các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn
Chứng minh: a/ Xét ánh xạ ϕ: L×L→L
Ta chứng minh ϕ liên tục.Mọi lân cận của ϕ(l,m)= l+m:Vϕ(l,m) ta có :
Vl+m ={ h∈L/ hxi = (l+m)(xi) , ∀xi∈A,A hữu hạn }.Khi đó tồn tại các lân cận
V l của l và V m của m : V l ={h1∈L⏐ h1x i = lx i ,∀xi∈A },
Vm={h2∈L⏐ h2xi = mxi ,∀xi∈A } Khi đó V l ×Vm là lân cận của (l,m) và ϕ(Vl×Vm)⊂ Vl+m Thật vậy với h 1 ∈Vl, h 2 ∈Vm thì h 1 x i =lx i ; h 2 x i = mx i ∀xi∈A ⇒(l+m)xi = lx i +mx i = (h 1 +h 2 )x i ,∀xi∈A
⇒h1+h 2 ∈Vl+m ⇒ϕ(h1,h 2 )∈ Vl+m ⇒ ϕ(Vl×Vm) ⊂ Vl+m ⇒ ϕ liên tục b/ Xét ánh xạ ψ: L×L → L
Ta chứng minh ψ liên tục Mọi lân cận của ψ(l,m) = lm :V ψ(l.m) =Vlm Ta có:
V lm ={h∈L/hxi=lmx i ,∀xi∈A,A hữu hạn} Khi đó tồn tại các lân cận
Vl của l và Vm của m:
Khi đó V l ×Vm là lân cận của (l,m) và ψ(Vl×Vm)⊂Vlm.Thật vậy với
(h 1 ,h 2 ) ∈ Vl×Vm ta có : h 1 h 2 x i = h 1 mx i = lmx i ,∀xi ∈A; ⇒ h1h 2 ∈Vlm
⇒ ψ(h1,h2) ∈Vlm ⇒ ψ(Vl×Vm)⊂ Vlm ⇒ ψ liên tục
Tổng quát: ánh xạ biến (l1,…,ln) l1l2…ln là liên tục c) Xét ánh xạ γ : L → L l α l (α∈K)
∀V αl =⎨g∈L/gxi = αlxi,∀xi∈A , A hữu hạn⎬
Khi đó tồn tại lân cận của l:V l = ⎨g/gxi =lx i ,x i ∈A⎬.Khi đó γ( V l ) ⊂ V α l Thật vậy:∀g∈Vl ta có gx i = lx i ∀xi∈A và γ(g)= αg∈Vαl vì αgxi = α.lxi∈Vαl
⇒γ( V l ) ⊂ V α l ⇒ γ liên tục d) Từ a) b) c) suy ra rằng nếu f là đa thức f ∈ K { } L thì ánh xạ: ϕ : L × L × × L → L ( L = End Δ V )
Nếu R là tập con dày đặc trong L = End Δ V và f là đồng nhất thức trên R thì f cũng là đồng nhất thức trên L
( l 1 , l 2 , , l n ) f ( l 1 , l 2 , , l n ) là ánh xạ liên tục trong tôpô hữu hạn Áp dụng tính chất II.1.8.3 và định lý II.1.7.3 ta có ϕ( R n ) =ϕ( R n ) ⊂ϕ( R n )
Vì R dày đặc trong L nên R = L ⇒ R n = L n ⇒ϕ( L n ) ⊂ϕ( R n )
Vì f đồng nhất thức trên R nên f(l 1 ,…,l n ) = 0 ,∀li∈R ⇒ ϕ ( R n ) = { } 0
Ta chứng minh { 0 } là tập đóng trong L Thật vậy ∀ f 1 ≠ 0 , ∃ x 1 ∈ V : f 1 ( x 1 ) ≠ 0
Vậy ϕ ( L n ) = { } 0 , tức f(l1,l2,…,ln) = 0,∀li ∈L ⇒ f là đồng nhất thức trên L.
LÝ KAPLANSKY-AMITSUR
PI-đại số trên vành giao hoán có đơn vị
III.1.1 Định nghĩa : A được gọi là đại số trên vành giao hoán có đơn vị
K nếu A thoả các điều kiện sau: a/ A là một vành có đơn vị b/ A là modul trên K c/ Với ∀a,b∈A,∀α∈K : α(ab) = (αa)b = a(αb)
Trong phần này nếu có thêm M là K-modul và M là A-modul với A là
K-đại số thì ta có mối quan hệ: α(ax) = (αa)x = a(αx) với α∈K, a∈A, x∈M
Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x 1 ,x 2 ,… Khi đó
X là tập tất cả các phần tử có dạng 1, Các phần tử của vị nhóm
X được gọi là các đơn thức Hai đơn thức bằng nhau
1 là đơn vị đối với phép nhân và
Ký hiệu K { } X đại diện cho đại số vị nhóm của X trên K, trong đó K { } X là đại số tự do được sinh ra bởi một tập đếm được các phần tử x i Đại số này có tính chất cơ bản là với bất kỳ đại số A nào và ánh xạ σ: X → A, luôn tồn tại một đồng cấu duy nhất η: K { } X → A, đảm bảo rằng biểu đồ giao hoán.
Kí hiệu K { x 1 , x 2 , , x m }là đại số con của K { } X sinh bởi tập con hữu hạn và nếu f∈ ,f∈K
{ x 1 , x 2 , , x m } K { } X { x 1 , x 2 , , x m } ta viết f = f(x 1 ,…,x m ) Ảnh của f qua đồng cấu η với tương ứng x i → a i (1 ≤ i ≤ m ) ta viết là f(a 1 ,…,a m )
III.1.2 Định nghĩa: f được gọi là đồng nhất thức trên A nếu f(a1,a2,…,am) = 0 với ∀ a i ∈ A
1) Mọi đại số giao hoán thoả mãn đồng nhất thức f = [x 1 ,x 2 ] = x 1 x 2 –x 2 x 1
2) Xét đại số ma trận vuông cấp 2 trên vành giao hoán có đơn vị M2(K) Chú ý rằng với a∈M2(K) có tra = 0 thì a 2 giao hoán được với mọi ma trận ,tức a 2 thuộc tâm của M 2 (K)
Vì tr[a,b]=0 với mọi a,b thuộc M2(K), ta có [[a,b] 2 ,c] = 0 cho mọi a, b, c thuộc M2(K) Do đó, f = (x1x2 - x2x1)²x3 - x3(x1x2 - x2x1)² là một đồng nhất thức trên M2(K), được gọi là đồng nhất thức Wagner Phần tiếp theo sẽ xây dựng đồng nhất thức trên Mn(K) dựa trên đa thức tâm.
III.1.4 Định nghĩa: Đa thức f(x 1 ,x 2 ,…,x m ) được gọi là đa thức tâm trên A nếu f không là đồng nhất thức trên A nhưng [f(x 1 ,…,x m ),x m+1 ] là đồng nhất thức trên A
Chẳng hạn đa thức (x 1 x 2 -x 2 x 1 ) 2 là đa thức tâm trên M 2 (K).
Định lý Kaplansky Amitrur
Chương này thiết lập một tôpô trên tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y, được gọi là tôpô hữu hạn, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur trong chương III Đồng thời, chương cũng xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vô hạn K, làm nền tảng cho việc phát triển đa thức tâm trên đại số ma trận được trình bày trong chương IV.
Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur
Hệ thống kiến thức cơ bản về PI-đại số trên vành giao hoán có đơn vị được xây dựng, đồng thời áp dụng kết quả từ chương II về tôpô hữu hạn nhằm hoàn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur trong đại số nguyên thuỷ.
ĐA THỨ C TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TR ẬN VÀ ÁP DỤNG
Định lý Formanek về đa thức tâm trên M n (K)
IV.1.1.Cho K là vành giao hoán tuỳ ý và xét M n (K)
Nếu a = (a ij ) ∈ Mn(K) thì đa thức đặc trưng của a là:
Xét vành đa thức Z[η1,…,ηn] với n ẩn η i có hệ số nguyên, giả sử g(η1,…,ηn) là một đa thức đối xứng trong Z[η1,…,ηn] Khi đó, tồn tại h(p1,…,pn) ∈ Z[p1,…,pn] với p1 = ∑ηi và pn = η η1 n, trong đó h là duy nhất do các đa thức đối xứng cơ bản p1,…,pn là độc lập đại số Chúng ta sử dụng g để định nghĩa ánh xạ.
) n Đặc biệt ta lấy và nhận được ánh xạ biệt thức D
Nếu K là trường vô hạn, các ánh xạ a→ tra và a→ det a sẽ trở thành các hàm đa thức trên M n (K), dẫn đến việc G định nghĩa ở (1) cũng là hàm đa thức Trong trường hợp K là trường đóng đại số, các nghiệm đặc trưng ρ1,…,ρn của a sẽ được xác định.
G a = h ∑ρ i ρ ρ n = g ρ ρ n vì thế G trùng với ánh xạ:
(2) a→g(ρ1,…,ρn) định nghĩa nhờ đa thức đối xứng g Đặc biệt nếu g = d thì ánh xạ D tương ứng là:
Rõ ràng, định thức D(a) khác 0 khi và chỉ khi a có các nghiệm đặc trưng khác nhau Khi đó, ma trận a sẽ tương đương với ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo khác nhau Tập hợp các ma trận này tạo thành một tập mở trong tôpô Zariski Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) theo phương pháp của Formanek.
Giả sử Z[η1,…,ηn+1] là đại số đa thức trên vành số nguyên Z n+1 ẩn η1,…,ηn+1 và giả sử Z x y { , , , 1 y n } là đại số tự do trên Z sinh bởi x,y 1 ,…,y n
Chú ý f→ ρf là cộng tính và ρf là đa thức tuyến tính theo mọi Đặc b thay x→ ρ i i
(6) bằng 0 với mọi dãy trừ và khi đó
Vì chỉ có n chỉ số dưới nên có 2 số trong dãy (i 1 ,…, i n , j n )là bằng nhau
(i) f ( η 1 , , η n + 1 ) chia hết cho mọi η η i − j ( i ≠ j ) trừ η 1 − η n + 1
( 1 , , ) ( , , 1 n , ) g η η n = f η η η là đối xứng đối với η 1 , , η n
, , , 0 n n e e e f i ii i j i j ρ ⎛⎜⎝∑ρ ⎞ =⎟⎠ với mọi dãy trừ với các
( , , , ) n e i i e i i e i i i j khác nhau đôi một và
= ∑=− + + (8) với chỉ số dưới lấy theo modul n, tức: q f (x,y 1 ,…,y n ) = p f (x,y 1 ,…y n )+p f (x,y 2 ,…y n ,y 1 )+…+p f (x,y n ,y 1 ,…,y n-1 )
( , , , ) n n q f ∑ρ i ii i j e e e i j =0 với mọi cách chọn dãy trừ với i j khác nhau và
Cách chọn đơn giản của đa thức f thoả (i) và (ii) là đa thức Formanek:
Hệ số của c là ±1 ∈ Z và trong trường hợp này ta có :
< − j là ánh xạ biệt thức đã xét ở trên Đặc biệt lấy g = d ta có thêm tính chất :
(iii) Với mọi trường K tồn tại a∈Mn(K) sao cho G(a) ≠ 0 với G là ánh xạ định nghĩa ở (1)
Nếu K là trường vô hạn ta chọn ma trận chéo a với các phần tử trên đường chéo khác nhau đôi một thì G a ( ) d ( , , 1 n ) ( i j ) 2 0 i j ρ ρ ρ ρ
Nếu K là trường hữu hạn, theo tính chất của trường này, tồn tại một đa thức bất khả quy bậc n với hệ số cao nhất bằng 1, ký hiệu là h(λ) ∈ K[λ] Ma trận a nhận h(λ) làm đa thức đặc trưng, và h(λ) có n nghiệm phân biệt trong trường đóng đại số K Ánh xạ G:a→h(tra,…,deta) không đổi khi mở rộng K, do đó G(a) khác 0 Bài viết này sẽ trình bày chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên M n (K).
1 [ , , 1 n ] f ∈ Z η η + thoả mãn (i) ,(ii) ,(iii) Khi đó qf(x,y1,…,yn) định nghĩa ở (5) và (8) là đa thức tâm trên Mn(K) với mọi vành giao hoán
2 Tồn tại a∈Mn(K) sao cho G(a) không lũy linh và với a như thế tồn tại b 1 ,b 2 , …,b n ∈Mn(K) sao cho q f (a,b 1 ,…,b n )≠0
( , , 1 ) [ , , 1 n ] l η η n ∈ Z η η và l là đối xứng thì :
(11) qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) ,với ∀ a , b i ∈ M n ( K ) và L được định nghĩa ở (1) ứng với l ( , , η 1 η n ).
Giả sử K là trường đóng đại số, chúng ta sẽ chứng minh rằng [q f (x,y1,…,yn),z] là đồng nhất thức trên M n (K) và (11) là đúng Việc này tương đương với việc chứng minh các ánh xạ.
(a,b 1 ,…,b n ,c)→[qf(a,b 1 ,…,b n ),c] (12) và (a,b 1 ,…,b n )→qlf(a,b 1 ,…,b n )-L(a)q f (a,b 1 ,…,b n ) (13) là ánh xạ 0
Vì qf(x,y,…,yn) và [qf(x,y1,…,yn),z] tuyến tính theo và z nên ta chỉ cần chứng minh với mọi cách chọn b i ,c thuộc cơ sở của M n (K) trên K là đủ y i
Cố định bi và c, các ánh xạ (12) và (13) được xác định là các ánh xạ đa thức đối với a, từ Mn(K) vào Mn(K) Từ đó, chúng ta có thể xác định các đa thức Pij và Qij theo n biến xij sao cho các ánh xạ (12) và (13) sẽ lần lượt tương ứng với các đa thức này.
Do đó ta cần chứng minh các hàm đa thức ( , , , a b 1 b c n , )→ P a ij ( );
(a,b 1 ,…,b n )→Qij(a) là 0 ( khi cố định b 1 ,b 2 ,…,b n ,c trong cơ sở) với mọi a thuộc tập mở Zariski của
Vì g(η₁, , ηₙ) = f(η₁, , ηₙ) và η₁ chia hết cho mọi i, j với η₁ ≠ ηⱼ, K là một đại số đóng, nên G(a) = g(ρ₁, , ρₙ) với ρᵢ là các nghiệm đặc trưng của a Điều kiện G(a) ≠ 0 suy ra g(ρ₁, , ρₙ) ≠ 0, từ đó các ρᵢ là khác nhau đôi một Do đó, a đồng dạng với ma trận chéo và bằng cách áp dụng tự đẳng cấu của Mₙ(K), ta có thể giả sử a là ma trận chéo: a = ∑ρᵢ eᵢ Chúng ta chọn cơ sở là tập hợp các ma trận {eᵢⱼ}.
( , , , n ) ( , , 1 ).1 q f ∑ρ i ii i i e e e i i = g ρ ρ n còn mọi cách chọn khác của j ) thì q f bằng dãy n n e i j e i 0 ρ ρ
= − = ⇒[ q f ( , , , a b 1 b n ), ] 0, c = ∀ b c i , thuộc cơ sở của M n (K) và mọi a thuộc tập mở của M n (K) ⇒ ánh xạ (12) bằng
Tương tự ta có L(a)=l(ρ 1 , , ρ n ) , q f (a,b 1 ,…,b n )=g(ρ1,…,ρn).1 và
Do đó ánh xạ (13) bằng 0 trên Mn(K)
Các ánh xạ (12) và (13) bằng 0 trên Mn(K) khi K là trường đóng đại số Nếu K là một trường tùy ý và được giả sử là bao đóng đại số của K, thì có thể nhúng Mn(K) vào trong Mn(K) Do đó, các kết quả đã nêu cũng vẫn đúng trong trường hợp này.
M n (K) Với giả thiết f thoả iii) thì ∃ a ∈ M n (K ) sao cho G(a) 0 Vì K là trường nên G(a)≠ 0 khi và chỉ khi G(a) không lũy linh Giả sử a có tính chất này Vì a
≠ đồng dạng với ma trận chéo trong M n (K ) nên theo (9) ta có thể chọn b 1 ,…,b n ∈ M n (K ) sao cho q f (a,b 1 ,…,b n ) ≠ 0
Trong không gian vector tuyến tính M y i n(K), mọi cơ sở đều là cơ sở của M n (K) Do đó, có thể chọn bi ∈ Mn(K) sao cho qf(a, b1, …, bn) ≠ 0 Như vậy, định lý đã được chứng minh với K là trường.
Bây giờ giả sử K là vành giao hoán Xét vành đa thức m=(n+2)n 2 ẩn
Khi có điều kiện Z x y ij ij y ij z ij ≤ i j n ≤, ta có thể xác định đồng cấu v từ Z[x ij,…] đến K thông qua việc thay thế x ij Hơn nữa, quá trình này có thể mở rộng đến đồng cấu vành từ M Z n (n(K)) khi thực hiện thay thế x = (x ij) → a.
; a ij ij y → b ij Từ đó [ x y ij ij , , ]) đến M
G và L là đa thức với hệ số nguyên từ các hệ số của đa thức đặc trưng, do đó chúng đồng cấu từ L(X) thành L(a) Hệ Z[xij,…] có thể được nhúng vào một trường.
[q f (X,Y 1 ,…,Y n ),Z] = 0 và q lf (X,Y 1 ,…,Y n ) = L(X).q f (X,Y 1 ,…,Y n ) Áp dụng đồng cấu từ M n (Z[x ij ,…]) đến M n (K) ta nhận được:
[qf(a,b1,…,bn),c] = 0 và qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn)
Giả sử P là ideal tối đại trong K và F = K P ( F là trường)
Theo giả thiết ∃ a ∈ M n (F ) sao cho G ( a ) ≠ 0 Chọn a∈Mn(K) mà đồng cấu chiếu : M n ( K ) → M n ( F ) a a
Trong trường hợp a = a + Mn(P), ta có G(a) = G(a) Điều này dẫn đến việc nếu G(a) lũy linh thì G(a) phải bằng 0, điều này là vô lý Do đó, G(a) không lũy linh, nghĩa là tồn tại một a ∈ Mn(K) sao cho G(a) không lũy linh Với a ∈ Mn(K) mà G(a) không lũy linh trong K, vì nil radical của K là giao tất cả các ideal nguyên tố của K, nên sẽ tồn tại một ideal nguyên tố P trong K sao cho G(a) ∉ P, từ đó suy ra G(a) = G(a) + P ≠ 0 Như vậy, G(a) khác 0 với a = a + Mn(P).
Giả sử D = K P là miền nguyên và F là trường các thương của D Khi đó
∃ sao cho q f ( , , , a b 1 b n ) 0≠ Bỏ thương ta có thể giả sử
1 b M D b n ∈ n Chọn bi ∈Mn(K) là tạo ảnh của b i trong đồng cấu chiếu
Giả sử q 0 (x,y 1 ,…,y n ) = q c (x,y 1 ,…,y n ) với c là đa thức Formanek Khi đó, tồn tại các đa thức q1(x,y1,…,yn), q2(x,y1,…,yn),…,qn(x,y1,…,yn) trên Mn(K) sao cho với mọi a,b i ∈ Mn(K), ta có: q 0 (a,b 1 ,…,b n )λ n –q 1 (a,b 1 ,…,b n )λ n-1 +…+(-1) n q n (a,b 1 ,…,b n ) = q 0 (a,b 1 ,…,b n )Φa(λ), trong đó Φa(λ) là đa thức đặc trưng của a Từ đó, q0(x,y1,…,yn) x n – q1(x,y1,…,yn) x n-1 +… + (-1) n qn(x,y1,…,yn) trở thành đồng nhất thức trên Mn(K).
Chứng minh Áp dụng phần 3 định lí Formanek (định lí IV.1.2) với f = c là đa thức Formanek và l(η1,η2,…,ηn) lần lượt là các đa thức đối xứng cơ bản
Ta có Φ a ( ) det( λ = λ I a − ) =λ n −( tra ) λ n − 1+ + − ( 1) det n a
⇒ q 0 Φ a ( λ ) = q 0 λ n − L 0 ( a ) q 0 λ n − 1 + + ( − 1 ) n L n ( a ) q 0 = q 0 λ n − q 1 λ n − 1 + + ( − 1 ) n q n (với q 1 =L 0 (a)q 0 =q lc ) Phần sau của định lí suy ra từ định lí Hamilton-Cayley
Mọi đa thức tâm với hệ số hằng là 0 trên Mn(K) thì đồng nhất thức trên M n-1 (K)
Giả sử q(x 1 ,x 2 ,…,x m ) là đa thức tâm có hệ số hằng là 0 trên
Mn(K).Thay xi=ui ∈ M n− 1 ( K ) thì q(x1,x2,…,xm) ∈ M n − 1 ( K )(do q có hệ số hằng là
0) vì q(u 1 ,u 2 ,…,u m ) nằm trong tâm của M n (K) nên có dạng k1 do q nên k = 0 suy ra q là đồng nhất thức trên M n-1 (K)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ mở rộng định lý Hamilton-Cayley và đa thức tâm cho đại số đơn tâm hữu hạn chiều M n (K).
Cho K là trường vô hạn,A là đại số đơn tâm có số chiều n 2 trên K.Khi đó:
1/Tồn tại đa thức bậc n ở đây T,…,N là các hàm đa thức xác định trên A sao cho a n -T(a)a n-1 +…+(-1) n N(a)=0,a
∈A Đa thức được gọi là đa thức sinh nhỏ nhất của a,T(a) và N(a) gọi là vết sinh và chuẩn sinh tương ứng của a
2/Vết sinh T là hàm tuyến tính trong A và triệt tiêu với mọi giao hoán tử [a,b]-ba.Chuẩn sinh là đẳng cấp bậc n: N(αa)= α n N(a) và là nhân tính.Hơn nữa T(1)=n và N(1)=1
Phần tử a∈A được gọi là tách được nếu hàm χ a (λ) có nghiệm phân biệt đại số trong tập đóng K của K Do đó, tập hợp các phần tử này tạo thành một tập mở khác rỗng trong tôpô Zariski của A.
Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự
IV.2.1.Các radical trên đại số :
IV.2.1.1.Định nghĩa : Đại số A được gọi là luỹ linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn sinh ra một đại số con lũy linh.Tức là mọi { b 1 , b 2 , , b k } tập con hữu hạn của A tồn tại số m sao cho tích mọi m của b i thì bằng 0 Một ideal một phía gọi là lũy linh địa phương nếu nó có tính chất như là một đại số lũy linh địa phương
Trong đại số A, tồn tại một nil ideal tối đại duy nhất, ký hiệu là unA (hay còn gọi là upper nil radical), bao gồm tất cả nil ideal của A Bên cạnh đó, cũng có một ideal lũy linh địa phương tối đại duy nhất, ký hiệu là L(A) (được gọi là Levitzki nil radical), chứa mọi ideal lũy linh địa phương một phía của đại số A.
Trên đại số A xây dựng dãy ideal siêu hạn như sau :
N(0) là tổng tất cả ideal lũy linh của A,khi đó N(0) là nil ideal
Nếu αlà số siêu hạn không giới hạn α =β + 1 thì N(α) là ideal của A sao cho
N N là tổng tất cả ideal lũy linh của A N ( β )
Nếu α là số siêu hạn giới hạn thì ( α ) ( β ) α β
Ta có N(α) < N(α / )nếu α< α / do đó tồn tại số siêu hạn đầu tiên T sao cho N(T)=N(T+1).Gọi N(T) là lower nil radical và kí hiệu là lnA
Từ các định nghĩa trên ta suy ra rằng : A unA không chứa nil ideal khác
0, A ln A không chứa ideal lũy linh khác 0 , L( A L ( A ) ) = 0 và lnA⊂ L A ( ) ⊂ unA
Lower nil radical lnA trùng với giao tất cả ideal nguyên tố của A
Nếu A không có nil ideal khác không (tức unA = 0) thì A[λ] là nửa đơn
IV.2.2 Đồng nhất thức trên đại số không có đơn vị
• f gọi là đa thức chính qui chặt nếu f≠0 và các hệ số khác 0 của f thì khả nghịch trong K
• f gọi là đồng nhất thức chính qui chặt trên A nếu f là đồng nhất thức trên A và f là chính qui chặt
• Nếu A thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc n thì A thỏa đồng nhất thức chính qui chặt đa tuyến tính có bậc bé hơn hay bằng n
Một nil đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui chặt là lũy linh địa phương
A là đại số thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc d Khi đó mọi đại số con B của A là nil thì B 2 N ( 0 ) d
.Với N(0) là tổng tất cả các ideal lũy linh của A
A là đại số thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc d thì lnA = L(A) = unA và L 2 N ( 0 ) d
Gọi N = unA là nil của A ta có N ⊃ N (0)và 2 (0) d
N lũy linh và N (1) N (0) là tổng tất cả ideal lũy linh của
N ).Mà N(1) N nên N=N(1) và lnA = L(A) = unA và
IV.2.3 Địa phương hóa giao hoán:
Cho S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân của vành giao hóan K và M là
K modul Xét tập được định nghĩa là S×M = { (s, x) | s ∈ S, x ∈ M } Trên S × M, quan hệ tương đương được xác định như sau: (s1, x1) ~ (s2, x2) nếu và chỉ nếu tồn tại s ∈ S sao cho s(s2 x1 - s1 x2) = 0 Khi đó, ~ là quan hệ tương đương trên S×M Tập các lớp tương đương của (s, x) được gọi là M S và ký hiệu là s⁻¹ x Trên M S, các phép toán được định nghĩa để phục vụ cho các nghiên cứu và ứng dụng tiếp theo.
Khi đó M S là K modul và gọi là địa phương hoá của M tại S
Ta có ánh xạ vs : x 1 -1 x từ M đến MS là K đồng cấu modul và Kerv s →
{ x ∈ M ∃ s ∈ S : sx = 0 } Đặc biệt KS là K đại số giao hoán với phép nhân
( s k s k − )( − ) ( = s s ) − k k Ánh xạ vs là đồng cấu đại số và vs(s) là khả nghịch trên KS vì
Phần tử a của đại số A được gọi là chính qui nếu a không là ước của 0 bên trái hoặc bên phải,tức là nếu aba = 0 thì b = 0
Xem AS là đại số trên K, mọi đồng nhất thức f trên A đều là đồng nhất thức trên A S Điều này cũng đúng ngược lại nếu mọi phần tử của S là phần tử chính quy của A.
Nếu C là tâm của A thì C S nằm trong tâm của AS và CS là tâm của AS nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính qui của A
Nếu s, t ∈ S, c ∈ C, a ∈ A thì (s -1 c)(t -1 a) = (st) -1 (ca) và (t -1 a)(s -1 c) = (st) -1 (ac) Do đó, s -1 c nằm trong tâm của S -1 A Giả sử mọi phần tử của S là chính qui và s -1 c nằm trong tâm của AS, từ (st) -1 (ca) = (st) -1 (ac) suy ra.
1 -1 (ca)= 1 -1 (ac) (nhân hai vế cho 1 -1 (st) ).Vì vs là đơn cấu nên ac = ca với mọi a∈A và c thuộc tâm của A.Do đó tâm của A S là C S
IV.2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự
Trong đại số trên K, C là tâm của A, cho phép xem A như một đại số trên C Nếu S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân C, ta có địa phương AS Phép nhân ngoài trên AS được định nghĩa bởi công thức k(s -1 a) = s -1 (ka) với k thuộc K, dẫn đến AS trở thành một đại số trên K.
Giả sử A là đại số nguyên tố, thì mọi phần tử khác 0 của tâm C là chính qui, và C là miền nguyên Nếu S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân C và 0 không thuộc S, thì S là đơn cấu, với A được xem là con của A v S.
Nếu A là đại số nguyên tố và S là nửa nhóm con của C không chứa
Giả sử với mọi t a A − 1 ∈ S, ta có (stu)(−1 xay) = 0, suy ra xay = 0 với mọi a ∈ A Vì A là nguyên tố, nên x = 0 hoặc y = 0, từ đó dẫn đến s x − 1 = 0 hoặc u y − 1 = 0, chứng tỏ A S là nguyên tố Đặc biệt, khi lấy S = C\{0}, ta có địa phương hóa A S = A 0, gọi là đại số tâm thương của A Nếu F là trường các thương của miền nguyên C, thì A 0 = A F = ⊗ F K A, và theo định lý IV.2.3.5, F là tâm của A 0.
A là đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc n thì A thoả mãn đồng nhất thức chuẩn
Đại số Xem A trên tâm C cho thấy nếu k không thuộc K, thì k.1 thuộc C và ka = (k.1)a Khi thay thế hệ số k bằng k.1, ta nhận được f 0, đồng nhất thức của A trên C Do đó, f 0 cũng là đồng nhất thức của A 0 = A F trên trường F, vì f 0 thuộc C và không thuộc F.
∈ ⊂ ).Vậy thỏa mãn đồng nhất thức chính qui chặt nên các nil radical trùng nhau :
A 0 lnA 0 = L A ( ) 0 = unA Theo bổ đề IV.2.2.3 A 0 là đại số nguyên tố suy ra A 0 không có nil khác 0 (do N(0)=0 2 (0) 0 0 0 0) d
Theo định lý IV.2.1.5, A 0 [ ]λ được xác định là nửa đơn Nếu f và f 0 là các đa tuyến tính, thì f 0 sẽ là đồng nhất thức bậc n liên quan đến A 0 [ ]λ Hơn nữa, nếu P là ideal nguyên thuỷ của A 0 [ ]λ, thì các tính chất của nó cũng cần được xem xét kỹ lưỡng.
A 0 λ P là đại số nguyên thuỷ trên một trường thoả đồng nhất thức thực sự bậc n Theo định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ là đồng nhất thức trên
⎣ ⎦ là đồng nhất thức trên A 0 [ ]λ mà A ⊂ A 0 ⊂ A 0 [ ]λ nên A thoả đồng nhất thức chuẩn
A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự thì A không chứa nil ideal khác 0
Theo bổ đề IV.2.4.2 A thỏa đồng nhất chính qui chặt thì lnA =L(A) = unA = 0 ,mà A là nguyên tố nên A không chứa nil ideal khác 0
A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự và I là ideal khác
Trước tiên giả sử A là nửa đơn và thoả mãn đồng nhất thức chuẩn Nếu P là ideal nguyên thuỷ thì
A P là đại số nguyên thuỷ thoả đồng nhất thức thực sự nên
P là đại số đơn tâm có chiều không lớn hơn trên tâm của nó.Ta có d 2
+ P là ideal của A P nên ( I P + ) P = A P hoặc I ⊂ P (do A P đơn).Vì và
I ≠ ∩ P = 0(do A nửa đơn).I không nằm trong nên tồn tại ideal nguyên tố P sao cho I không nằm trong P suy ra I+P=A.Chọn
P 0 nguyên tố thoả I+ P 0 =A có bậc của n 0
Đa thức A P lớn nhất có bậc không vượt quá d Đặt q là đa thức tâm với hệ số hằng bằng 0 trên M n 0 (K, đa thức Formanek) Khi đó, q trở thành tâm hoặc đồng nhất thức trên tất cả các đa thức nguyên thủy có bậc n, với n ≤ 0, và q chính là tâm của đa thức này.
0 : i i a ∈ + I P ⇒ ∃ ∈ b I a i = b i nên có thể giả sử a i ∈ ⇒ I q a ( , , 1 a n 0 ) ∈ ⇒ ≠ ∈ ∩ I 0 q I C
Đại số nguyên tố A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự không chứa ideal nil khác 0 Đồng thời, A cũng thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn, dẫn đến A[λ] cũng thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Hơn nữa, tâm của A[λ] là C[λ] và I[λ] là một ideal của A[λ].
A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự và giả sử tâm C của A là trường thì A là đại số đơn
I ≠ là ideal của A thì I C ∩ ≠ 0.C là trường nên
I C C ∩ = ⇒ ∈ ⇒ = I I A Vậy A là đại số đơn
A là đại số con của đại số Q và được gọi là cấp trái (phải) trong Q nếu mọi phần tử chính qui của A đều có nghịch đảo trong Q, đồng thời mọi phần tử của Q có thể biểu diễn dưới dạng với a, b ∈ A.
IV.2.4.7 Định lý (Posner –Rowen):
A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự Thế thì :
1/ Đại số tâm thương A 0 = ⊗ F A (F là trường các thương của tâm C của A) đơn hữu hạn chiều trên tâm F
2/A là cấp trái,phải trong A 0
3/A và A thoả cùng một đồng nhất thức 0
A là một đại số nguyên thuỷ với đơn vị, cho thấy A là đơn và có chiều hữu hạn trên tâm F Do đó, A 0 trở thành đại số đơn Artin.
0 ≅ M D n ( )với D là thể.Vậy mọi phần tử của A không có ước của 0 là khả nghịch.Mọi phần tử của A có dạng (
Mọi phần tử chính qui trong A thì chính qui trong A nên có nghịch đảo trong
A Vậy ta có kết quả quan trọng sau :
Mọi đại số nguyên tố trên vành giao hoán có đơn vị thoả đồng nhất thức thực sự đều có thể nhúng vào đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm, với vai trò là cấp trái hoặc cấp phải.