Nghiên cứu ứng suất và biến dạng giếng máy phát và giếng tuốc bin dự án thủy điện huội quảng chịu tác động của động đất bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Đặc biệt, công trình nằm trong vùng chịu ảnh hưởng của động đất cấp VIII nên tác động của nó đến ứng suất và biết dạng công trình là đáng kể Hiện này, trong quá trình tính toán thiết kế

NGUYỄN XUÂN QUANG

NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG GIẾNG MÁY PHÁT VÀ GIẾNG TUỐC BIN DỰ ÁN THUỶ ĐIỆN HUỘI QUẢNG CHỊU TÁC ĐỘNG CỦA ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

NGUYỄN XUÂN QUANG

NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG GIẾNG MÁY PHÁT VÀ GIẾNG TUỐC BIN DỰ ÁN THUỶ ĐIỆN HUỘI QUẢNG CHỊU TÁC ĐỘNG CỦA ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

MỤC LỤC

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN

1.2.CÁC QUAN ĐIỂM TÍNH TOÁN KẾT CẤU

NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN

15

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN HIỆN HÀNH

2.3.4 Một số nét cơ bản về thuật toán và chương trình tính ma trận độ 40

cứng phần tử

CHƯƠNG 3 ÁP DỤNG TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH

THUỶ ĐIỆN HUỘI QUẢNG

2B

3.2 TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG GIẾNG

MÁY PHÁT VÀ GIẾNG TURBIN KHI CÓ KỂ TỚI ĐỘNG ĐẤT

48

4B

5B

DANH MỤC CÁC HÌNH, BẢNG BIỂU

Danh mục các hình vẽ:

Hình 1.1 Mặt cắt ngang nhà máy thuỷ điện lòng sông

Hình 1.2 Nhà máy thuỷ điện lòng sông không kết hợp xả lũ qua đoạn tổ máy Hình 1.4 Nhà máy thuỷ điện trong thân đập tràn

Hình 1.2 Nhà máy TĐ sau đập bê tông trọng lực

Hình 1.6 Sơ đồ bố trí nhà máy đường dẫn

Hình 1.7 Giếng máy phát và turbin

Hình 3.0 Sơ đồ lực máy phát tác động vào giếng máy phát

Hình 3.1a Sơ đồ hình học phần tử Solid 186

Hình 3.1b Sơ đồ ứng suất phần tử Solid 186

Hình 3.2 Sơ đồ hình học của kết cấu tính toán nhìn chếch từ phía hạ lưu

Hình 3.3 Sơ đồ phần tử nhìn chếch từ phía hạ lưu

Hình 3.24Vị trí các mặt cắt thể hiện đồ thị ứng suất trên sàn lắp ráp

Hình 3.25Đồ thị ứng suất SY_Mặt cắt A-A

Bảng 3.1 Các thông số và chỉ tiêu chính của công trình Huội Quảng

Bảng 3.2 So sánh kết quả ứng suất và biến dạng 2 trường hợp

MỞ ĐẦU

I Tính cấp thiết của Đề tài:

Dự án công trình trạm thủy điện ngầm Huội Quảng (tại huyện Than Uyên, tỉnh Lai Châu) là dựa án có qui mô lớn và ý nghĩa quan trọng đối với sự phát triển kinh tế - xã hội của các tỉnh phía tây bắc nước ta Công trình có công suất 520MW, nằm giữa trạm thủy điện Bản Chát và Sơn La, tạo thành hệ thống bậc thang quan trọng trên tuyến sông Nậm Mu – sông Đà

Công trình thủy điện Huội Quảng bao gồm: cụm công trình đầu mối (đập bêtông trọng lực cao 80m + cửa lấy nước); 2 đường hầm dẫn nước dài hơn 5km (với đường kính 6,5m); 2 tháp điều áp thượng lưu (đặt ngầm); nhà máy thủy điện ngầm trong núi và tuyến hầm xả hạ lưu dài hơn 300m

Trạm thủy điện ngầm Huội Quảng là một công trình có nhiều hạng mục đặc biệt, có nhiều vấn đề rất đáng lưu tâm trong quá trình tính toán thiết kế và thi công xây dựng Đặc biệt, công trình nằm trong vùng chịu ảnh hưởng của động đất cấp VIII nên tác động của nó đến ứng suất và biết dạng công trình là đáng kể

Hiện này, trong quá trình tính toán thiết kế các trạm thủy điện đường dẫn hoặc trạm thủy điện kết hợp, vì lý do điều kiện địa hình - địa chất ở phía cửa ra hạ lưu không thuận lợi nên các nhà thiết kế có xu hướng lùi tuyến nhà máy về phía thượng lưu và đặt ngầm Điều này tương đối phổ biến, đặc biệt công trình nằm trong vùng động đất lớn cấp VIII, như công trình Huội Quảng thì lực động đất có ảnh hưởng lớn đến công trình

Một vấn đề được đặt ra là: trong quá trình vận hành, lực động đất lớn ảnh hưởng đến sự làm việc bình thường của nhà máy Cần phải tính toán xem khi nhà máy chịu tác dụng của tải trọng dặc biệt này thì ứng suất và biết dạng của nhà máy như thế nào Đặc biệt ở bộ phận giếng máy phát và giếng turbin chịu ảnh hưởng lớn nhất do hai bộ phận này còn chịu tác động của lực li tâm do máy phát và turbin tạo

ra

Mặt khác ngày xưa chưa có máy tính nên việc tính toán được tính bằng tay vừa lâu lại vừa không mô phỏng được trạng thái ứng suất và biến dạng của kết cấu;

ngày nay với sự hỗ trợ của máy tính và phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) nên việc tính toán nhanh , chính xác hơn và mô phỏng được trạng thái ứng suất và biến dạng của kết cấu rõ ràng Có nhiều phần mềm tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn như Sap 2000, Ansys V10…nhưng phần mềm Ansys V10 là công cụ mạnh

về kết kấu 3D nên việc lập mô hình tính toán cho giếng máy phát và giếng turbin là thích hợp nhất Công tác tính toán này đồng thời có thể sử dụng để tham khảo áp dụng tính toán cho các công trình tương tự

II Mục đích của Đề tài:

Trên cơ sở nghiên cứu về phương pháp PTHH, áp dụng để tính toán trạng thái ứng suất và biến dạng giếng máy phát và giếng turbin trạm thủy điện có xét tới ảnh hưởng của động đất Áp dụng cho công trình Huội Quảng

III.Cách t iếp cận và phương pháp nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu :

Nghiên cứu tính toán trạng thái ứng suất - biến dạng của giếng máy phát và giếng turbin trạm thủy điện Huội Quảng chịu tác dụng của động đất

Cách tiếp cận và Phương pháp nghiên cứu :

-Trên cơ sở thu thập tài liệu, tìm hiểu về công trình nghiên cứu

- Tìm hiểu ảnh hưởng của lực động đất trong quá trình vận hành nhà máy thủy điện

- Tìm hiểu về công dụng, nguyên lý làm việc của máy phát

- Kết hợp lý thuyết với phương pháp tính toán hiện đại – phương pháp PTHH với chọn phần mềm phù hợp để áp dụng cho luận văn

IV.Kết quả dự kiến đạt được

- Lập mô hình tính toán theo thuật toán của phương pháp PTHH

- Xác định trạng thái ứng suất - biến dạng của giếng máy phát và giếng turbin khi có kể tới tác dụng của động đất

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN

1.1.TỔNG QUAN VỀ NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN [3]

Nhà máy thủy điện là công trình thủy công trong đó bố trí các thiết bị động lực (turbin, máy phát điện ) và các hệ thống thiết bị phụ phục vụ cho sự làm việc bình thường của các thiết bị chính nhằm sản xuất điện năng cung cấp cho các hộ dùng điện Có thể nói đây là một xưởng sản xuất điện năng của công trình thủy điện Loại và kết cấu nhà máy phải đảm bảo làm việc an toàn của các thiết bị và thuận lợi trong vận hành

Nhà máy thủy điện được chia thành 3 loại cơ bản:

Nhà máy thủy điện lòng sông: được xây dựng trong các sơ đồ khai thác

thủy năng kiểu đập có cột nước không quá 35 – 40m Bản thân nhà máy là một phần công trình dâng nước, nó thay thế cho một phần đập dâng Cửa lấy nước cũng là thành phần trong cấu tạo của bản thân nhà máy Vị trí nhà máy nằm trong lòng sông

Hình 1.1 Mặt cắt ngang nhà máy thuỷ điện lòng sông

Hình 1.2 Nhà máy thuỷ điện lòng sông không kết hợp xả lũ qua đoạn tổ máy

Hình 1.4 Nhà máy thuỷ điện trong thân đập tràn

- Nhà máy thủy điện sau đập: được bố trí ngay sau đập dâng Khi cột nước cao

hơn 30 – 45m bản thân nhà máy vì lý do ổn định công trình không thể là một thành phần của công trình dâng nước ngay cả trong các trường hợp tổ máy công suất lớn Nếu đập dâng nước là đập bê tông trọng lực thì CLN và đường ống dẫn nước turbin được bố trí trong thân đập bê tông, đôi khi đường ống dẫn nước turbin được bố trí trên phía hạ lưu của đập

Hình 1.2 Nhà máy TĐ sau đập bê tông trọng lực

1-lưới chắn rác, 2- Van sửa chữa, 3- Thiết bị đóng mở van công tac, 4- Đường ống turbin, 2- Máy biến thế, 6- Thanh dẫn máy phát

- Nhà máy thủy điện đường dẫn: trong sơ đồ thủy năng kiểu đường dẫn hoặc kết

hợp, nhà máy thủy điện đứng riêng biệt tách khỏi công trình đầu mối CLN đặt cách

xa nhà máy Trong trường hợp công trình dẫn nước là không áp thì CLN nằm trong thành phần của bể áp lực; trong trường hợp công trình dẫn nước là có áp thì CLN bố trí ở đầu công trình dẫn nước và là một công trình độc lập Đường dẫn nước vào nhà máy thủy điện thường là đường ống áp lực…

Hình 1.6 Sơ đồ bố trí nhà máy đường dẫn

Bên cạnh đó có thể phân ra nhà máy thủy điện trên mặt đất (nhà máy thông thường), nhà máy thủy điện ngầm được bố trí toàn bộ trong lòng đất, nhà máy thủy điện nửa ngầm với phần chủ yếu của nhà máy bố trí ngầm trong lòng đất, phần mái che có thể bố trí hở trên mặt đất

Các thiết bị bố trí trong nhà máy thủy điện được chia thành các loại: Thiết bị động lực, thiết bị cơ khí, thiết bị phụ, thiết bị điện

+ Thiết bị động lực bao gồm turbin thủy lực và máy phát điện

+ Các hệ thống thiết bị phụ bao gồm: Hệ thống dầu, cấp nước kỹ thuật, khí nén, phòng hỏa, tháo nước sửa chữa và rò rỉ

Kết cấu nhà máy thủy điện thường bao gồm 2 phần chính là: Kết cấu phần trên nước và kết cấu phần dưới nước của nhà máy thủy điện

Kết cấu phần dưới nước của nhà máy thủy điện:

Phần dưới nước gồm các công trình dẫn nước (buồng xoắn, ống hút, đường ống turbin) hoặc kênh xả đối với turbin xung kích Tuỳ thuộc vào loại nhà máy và loại turbin phần dưới nước có khác nhau Đối với trạm thuỷ điện ngang đập phần dưới nước của nhà máy ngoài buồng xoắn, ống hút còn có cửa lấy nước liên kết với nhà máy, dẫn nước trực tiếp vào buồng xoắn Trạm thuỷ điện sau đập và đường dẫn phần dưới nước chủ yếu là buồng xoắn và ống hút, nước vào buồng xoắn qua đường ống áp lực đặt trong thân đập hoặc đường ống áp lực đặt lộ thiên (nhà máy thủy điện đường dẫn) Khi nhà máy thủy điện lắp turbin xung kích gáo thì phần dưới nước của nhà máy đơn giản vì không có buồng xoắn turbin và hình dạng phức tạp của ống hút, nó chỉ là kênh xả dẫn nước ra

Phần dưới nước của nhà máy thủy điện, do đặc thù làm việc của nhà máy cũng như kết cấu phần dưới nước được chia thành các bộ phận như sau:

+ Vỏ nhà máy thủy điện: Bao gồm các tường thượng, hạ lưu, các sàn, dầm và các tường ngăn phòng trong nhà máy thuỷ điện

+ Móng nhà máy thủy điện: Bao gồm các phần tiếp xúc trực tiếp với nền địa chất như bản đáy ống hút hoặc cửa ra ống hút

+ Giếng máy phát và giếng turbin (xem hình vẽ 1.7)

1.2.CÁC QUAN ĐIỂM TÍNH TOÁN KẾT CẤU

NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN

Nhà máy thuỷ điện là một kết cấu không gian gồm nhiều cấu kiện có hình dạng phức tạp, độ cứng khác nhau nối liền thành một khối chịu các tổ hợp tải trọng phức tạp và phải đảm bảo tuyệt đối an toàn Với kết cấu nặng và hình dáng phức tạp, thêm vào đó sơ đồ tải trọng tác động lên nhà máy cũng rất phức tạp nên hiện nay người ta chưa thể tính độ bền nhà máy như một kết cấu thống nhất

Cho đến nay, có nhiều phương pháp và sơ đồ tính toán kết cấu nhà máy khác nhau phản ánh tính đa dạng của nhà máy thuỷ điện

Quá trình thiết kế các công trình thuỷ điện của Việt Nam là không lâu so với thế giới, nhất là việc tính toán kết cấu nhà máy thuỷ điện Thời gian đầu thực hiện xây dựng các công trình thuỷ điện tại Việt Nam, phần nhà máy với trang thiết bị mua của nước ngoài thì ngoài việc cung cấp thiết bị, phần thiết kế và tính toán kết cấu toàn bộ nhà máy thuỷ điện đều do chuyên gia nước ngoài tính toán cung cấp Ví dụ: những nhà máy thủy điện đầu tiên được xây dựng tại Việt Nam là Suối Vàng, Ancroet, tiếp đến nhà máy thủy điện Thác Bà, Hòa Bình, IALY và hiện tại là nhà máy lớn nhất Việt Nam nhà máy thuy điện Sơn La đều do chuyên gia nước ngoài cung cấp, thiết kế và tính toán kết cấu phần nhà máy thủy điện

Tiếp theo đó là phương pháp tính toán kết cấu nhà máy một cách đơn giản hóa sơ đồ tính toán bởi trong tính toán đã chia khối nhà máy thành các hệ cấu kiện đơn giản và xem tương tự như là các kết cấu có sẵn với các tải trọng đã được đơn gian hoá Với phương pháp này cho kết quả là sai khác rất nhiều, không đảm bảo được yêu cầu về kinh tế - kỹ thuật

Gần đây, việc xây dựng các công trình thuỷ điện phát triển mạnh, rất nhiều đơn vị tư vấn tham gia vào công tác thiết kế Công việc tính toán kết cấu nhà máy vẫn là một vấn đề chưa thể giải quyết triệt để

Quan điểm tính toán tại thời điểm này theo TCVN và Liên bang Nga, các đơn vị tư vấn trong nước tính toán thiết kế kết cấu nhà máy thuỷ điện truyền thống dựa trên giải pháp tất định Để thuận tiện cho việc mô hình hóa và tính toán số, thủ

tục phân tích phần tử hữu hạn được sử dụng, theo đó mô hình khối nhà máy thiết kế được chia thành các cấu kiện đơn giản để tính toán, các điều kiện biên là giả định gần đúng với các tổ hợp tải trọng tương ứng và việc tính toán đã áp dụng các ứng dụng của khoa học công nghệ Với cách tính toán này đã có sự phát triển rõ rệt có rất nhiều ưu điểm là có thể sử dụng rộng rãi không cần đòi hỏi trình độ tính toán cao

và có thể nhiều đơn vị hay nhiều người tính cùng tính một lúc, song còn nhiều tồn tại, các bộ phận của khối nhà máy là không thống nhất, các kết quả chưa đủ chính xác, không đúng với bản chất làm việc của cấu kiện là kết cấu nhà máy thủy điện, đặc biệt là không đúng với thực tế tại các điểm cân bằng nút là khác nhau về nội lực, không tối ưu kinh tế cho công trình Theo quan điểm này việc tính toán là còn rất đơn giản, dẫn đến nhiều sai sót không kiểm soát được, có rất nhiều phần kết cấu quá an toàn và ngược lại

Ngày nay, dưới sự phát triển không ngừng của khoa học công nghệ, do khả năng ứng dụng mạnh mẽ của các phần mềm phân tích kết cấu, về cơ bản, sơ đồ tính toán kết cấu nhà máy thuỷ điện có thể được người thiết kế lập giống công trình thực

cả về hình dáng kích thước và vật liệu sử dụng cho kết cấu Các tổ hợp tải trọng và điều kiện biên được thực hiện tương tự thực tế thi công và vận hành của nhà máy

Để phản ánh đúng tác động của các yếu tố ngẫu nhiên và phản ánh đúng bản chất làm việc phức tạp của kết cấu nhà máy thủy điện, xu thế tiến bộ trong tính toán kết cấu công trình hiện nay là mô hình hóa không gian Theo quan điểm tính toán này, trước hết đòi hỏi người kỹ sư thiết kế phải hiểu rất rõ về nhà máy cũng như thiết bị

bố trí trong nhà máy, đồng thời phải có tư duy và kiến thức rộng thì mới đạt được kết quả như ý muốn, kết quả tính toán mới sát với thực tế nhất, phản ánh đúng khả năng làm việc của kết cấu nhà máy và cho kết quả tính toán đạt độ tin cậy về chỉ tiêu kinh tế - kỹ thuật của công trình

Từ các kết quả tính toán so sánh giữa các quan điểm tính toán trên cho thấy, việc tính toán kết cấu nhà máy thủy điện theo sơ đồ mô hình không gian cho kết quả

là thực tế nhất, tính toán được các sơ đồ phức tạp, phản ánh đúng bản chất làm việc toàn khối của kết cấu nhà máy trong cả quá trình thi công và vận hành, dưới sự trợ

giúp của các công cụ phần mềm trên cơ sở thuật toán của phần tử hữu hạn có thể tính toán rất nhanh, rất an toàn và tiết kiệm đa mục tiêu

Nhằm đảm bảo an toàn cho nhà máy thuỷ điện dưới tác dụng của mọi tổ hợp tải trọng tĩnh và tải trọng động trong các giai đoạn xây dựng, vận hành, sửa chữa, đồng thời đảm bảo về kinh tế - kỹ thuật của công trình, việc tính toán kết cấu nhà máy thủy điện theo mô hình không gian là cần thiết

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

HIỆN HÀNH 2.1.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG

Hiện nay có rất nhiều phương pháp để xác định ứng suất và biến dạng trong công trình Có thể kể ra một số phương pháp sau:

Nội dung của phương pháp: tìm nghiệm giải tích thỏa mãn các phương

trình vi phân tại mọi điểm trên công trình và thỏa mãn các điều kiện biên trên bề mặt (như phương pháp Sức bền vật liệu, phương pháp Lý thuyết đàn hồi)

2.1.1.1 Phương pháp Sức bền vật liệu

Nội dung của phương pháp: coi công trình như một thanh được ngàm chặt

vào nền, chịu uốn và kéo nén đồng thời; giả thiết về sự phân bố ứng suất pháp σR y R

trên mặt phẳng nằm ngang là đường thẳng, trị số tại biên được xác định theo công

thức nén lệch tâm

Ưu điểm: Phương pháp Sức bền vật liệu được coi là phương pháp tính toán

cơ bản, giúp ta tính toán ứng suất biến dạng đơn giản, dễ dàng Tính được các giá trị

σR x R, σR y R, τR xy R tại các điểm đang xét, từ đó xác định được ứng suất chính và phương chính tại mọi điểm khác nhau Thường được sử dụng để tính toán trong giai đoạn thiết kế sơ bộ đối với công trình cấp III, IV

Nhược điểm: Kết quả tính toán có sai số khá lớn, không phản ánh đúng

trạng thái ứng suất biến dạng của công trình Nguyên nhân là do khi tính toán theo phương pháp Sức bền vật liệu, ta coi công trình như một thanh được ngàm chặt vào nền, chịu uốn và kéo nén đồng thời; giả thiết về sự phân bố ứng suất pháp σR y R trên mặt phẳng nằm ngang là đường thẳng, trị số tại biên được xác định theo công thức nén lệch tâm Mặt khác, không thể giải quyết được các bài toán phức tạp như có biến dạng nền, ứng suất tập trung, ứng suất tại lỗ khoét, ứng suất nhiệt, tính dị hướng, không xét được trong giai đoạn thi công

Kết luận: Do sai số lớn nên lời giải của phương pháp Sức bền vật liệu hầu

như không dùng được để phân tích ứng suất biến dạng cho công trình cấp cao Thương dùng để tính toán trong giai đoạn thiết kế sơ bộ

2.1.1.2 Phương pháp Lý thuyết đàn hồi

Nội dung của phương pháp: phương pháp Lý thuết đàn hồi chính là lời giải

trực tiếp từ các phương trình vi phân, các phương trình này vừa thỏa mãn điều kiện

liên tục của biến dạng vừa thỏa mãn điều kiện biên

Ưu điểm: Phương pháp này giải quyết được những vấn đề như ứng suất tập

trung, ứng suất tại lỗ khoét, ứng suất nhiệt mà phương pháp Sức bền vật liệu không giải quyết được Tính toán tương đối đơn giản, áp dụng dễ dàng, độ chính xác cao

Nhược điểm: Phương pháp Lý thuyết đàn hồi rất khó thực hiện được với

những trường hợp tải trọng phức tạp, như áp lực thấm và đẩy nổi, áp lực bùn cát, động đất, ảnh hưởng của nền, nền dị hướng… Kết quả tính toán chưa sát với thực tế làm việc của vật liệu là không đồng chất, dị hướng Không xét được ảnh hưởng biến dạng của nền, các lớp xen kẹp, đứt gãy, nền có tính dị hướng, không tính được trong giai đoạn thi công, ảnh hưởng động đất…

Kết luận: Tính ứng suất biến dạng theo phương pháp Lý thuyết đàn hồi cho

kết quả chính xác cao hơn so với phương pháp Sức bền vật liệu Cách tính toán đơn giản, kết quả chấp nhận được Thường được sử dụng trong tính toán thiết kế các công trình cấp III trở xuống

2.1.2 Các phương pháp số

Nội dung của phương pháp: Các phương pháp số hay phương pháp rời rạc

hóa có thể phân thành 2 nhóm chính: Các phương pháp rời rạc kiểu toán học

mà đại diện là phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp rời rạc kiểu vật

lý mà đại diện là phương pháp phần tử hữu hạn Các phương pháp số là bài toán bi ến phân, nếu như trong phương pháp sai phân hữu hạn ta chỉ thay các

vi phân bằng các sai phân thì trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) ta thay thế hệ thực (hệ liên tục) bằng một mô hình vật lý gần đúng (bằng một số

hữu hạn các phần tử) mà lời giải của nó được xác định bằng số hữu hạn số

2.1.2 1 Phương pháp sai phân hữu hạn

Nội dung của phương pháp: Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương

pháp số cổ điển ra đời từ rất lâu, nhưng chỉ từ khi máy tính điện tử phát triển thì

phương pháp này mới được áp dụng rộng rãi Phương pháp này cũng là một phương pháp rời rạc hoá, song khác với phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp này là

phương pháp rời rạc kiểu toán học, nó không thay đổi gì miền tính toán mà chỉ phủ lên miền tính toán một lưới (có thể là lưới hình vuông, chữ nhật, tam giác, tứ giác cong…) và nó thay thế một hàm xác định trong một miền liên tục bằng một hàm

lưới gồm tập hợp rời rạc hữu hạn các điểm, ở đó đạo hàm này được thay thế bằng các tỷ sai phân, do đó bài toán biên của phương trình vi phân được thay thế bởi một

hệ phương trình đại số tuyến tính

Ưu điểm: Phương pháp này vẫn thuận lợi đối với một số bài toán như bài toán

tính toán thuỷ lực hay khi kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải các bài toán không dừng (bài toán phụ thuộc thời gian)

Nhược điểm: Phương pháp này tương đối đơn giản nhưng không thuận lợi trong

việc lập trình do khi giải trên máy tính thì việc đưa số liệu vào khá cồng kềnh (so

với phương pháp phần tử hữu hạn), và đặc biệt rất khó khăn khi tính toán những bài toán mà miền tính toán không thuần nhất có nhiều miền con với những tính chất cơ

lý khác nhau, nên đến nay nó ít được dùng hơn so với phương pháp phần tử hữu

hạn

Phương pháp này chưa phản ánh được sự làm việc của nền và vật liệu Phương pháp sai phân hữu hạn không giải được các bài toán có điều kiện biên phức tạp Độ chính xác của phương pháp còn phụ thuộc vào hình dạng và kích thước mắt lưới, mắt lưới càng dày thì độ chính xác càng cao Không phân tích được bài toán dị hướng và trong giai đoạn thi công công trình

2.1.2 2 Phương pháp phần tử hữu hạn

Nội dung của phương pháp: Phương pháp phần tử hữu hạn cũng thuộc loại

bài toán biến phân, song nó khác với phương pháp biến phân cổ điển ở chỗ nó không tìm dạng hàm xấp xỉ của các hàm cần tìm trong toàn miền xác định mà chỉ trong từng miền con trong miền xác định của nó Điều này rất thuận lợi khi giải bài toán mà miền xác định gồm nhiều miền con có những đặc tính khác nhau

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp rời rạc kiểu vật lý, chia miền tính toán thành các miền con gọi là phần tử Từ các phương trình vi phân chuyển thành phương trình đại số mà ẩn là chuyển vị nút Giải hệ phương trình vi phân tính được chuyển vị nút, từ đó tính được các đại lượng khác Hàm ẩn xác định cho miền con nên giải được nhiều loại vật liệu khác nhau

Ưu điểm:

Phương pháp Phần tử hữu hạn là một phương pháp tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau, đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó Từ việc phân tích trạng thái ứng suất biến dạng trong các kết cấu công trình thủy lợi, xây dựng dân dụng, giao thông… cho đến các bài toán của lý thuyết trường như: lý thuết truyền nhiệt,

cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường Phương pháp này đã giải được bài toán có xét đến ảnh hưởng biến dạng, tính dị hướng của nền, xét đến nền

có lớp xen kẹp, đứt gẫy và giải được bài toán có điều kiện biên phức tạp Phản ánh đúng thực tế sự làm việc của vật liệu là không đồng nhất, không đẳng hướng Phân

tích được trạng thái ứng suất biến dạng quanh vị trí lỗ khoét, ứng suất tập trung, ứng suất nhiệt… mà các phương pháp Sức bền vật liệu, sai phân hữu hạn… không giải quyết được Cơ sở của phương pháp này là thay kết cấu, môi trường liên tục bằng một mô hình bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một

số hữu hạn điểm nút, tại các điểm nút tồn tại các lực hoặc các đại lượng đặc trưng khác tùy theo bài toán Các đại lượng tính toán bên trong phần tử được biểu diễn thông qua các trị số tại các điểm nút của phần tử

Hiện nay, cùng với sự phát triển khoa học công nghệ, việc giải quyết bài toán

có khối lượng lớn, kết cấu phức tạp được giải quyết và cho kết quả có độ chính xác cao

Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, phức tạp không thể thực hiện bằng

thủ công, mặt khác phải phân tích kết cấu thực tế đưa về kết cấu có tính toán sao cho hợp lý và cho kết quả đúng, sát với thực tế nhất

Lựa chọn phương pháp tính cho luận văn:

Nhà máy thuỷ điện là một kết cấu không gian gồm nhiều cấu kiện có hình dạng phức tạp, độ cứng khác nhau nối liền thành một khối Với kết cấu nặng và hình dạng phức tạp, thêm vào đó sơ đồ tải trọng tác động lên nhà máy cũng rất phức tạp nên hiện nay người ta chưa thể tính kết cấu nhà máy thuỷ điện như một kết cấu thống nhất bằng lí thuyết cơ kết cấu hoặc lí thuyết đàn hồi Bởi vì phải xét đến trình

tự gia tải, cường độ tăng dần độ cứng của nhà máy, quá trình lún đang tiếp diễn, tính đàn hồi của bê tông cũng như nền không đồng nhất

Qua phân tích ưu nhược điêm trên cho thấy PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu) để áp dụng vào việc tính toán kết cấu nhà máy thuỷ điện.Do đó trong luận văn đã chọn phương pháp PTHH để tính toán

2.2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU

2.2.1 Nội dung của phương pháp phần tử hữu hạn [6], [12], [17], [22], [27], [28]

Chia miền tính toán thành nhiều các miền nhỏ gọi là các phần tử Các phần tử này dược nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút Các nút này có thể là đỉnh các phần tử, cũng có thể là một số điểm được quy ước trên cạnh của phần tử Tùy thuộc bài toán cần giải có thể sử dụng các loại phần tử dạng thanh, dạng phẳng hoặc phần tử khối

Trong phạm vi của mỗi phần tử giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của hàm cần tìm Đối với bài toán kết cấu thì hàm xấp xỉ có thể là hàm chuyển vị hoặc hàm ứng suất hoặc cả hàm chuyển vị và ứng suất

Thường giả thiết hàm xấp xỉ là những đa thức nguyên mà hệ số của nó được gọi là các thông số Trong phương pháp phần tử hữu hạn, các thông số này được biểu diễn qua các trị số của hàm và có thể là trị số của đạo hàm của nó tại các điểm nút của phần tử Dạng đa thức nguyên của hàm xấp xỉ phải được chọn đảm bảo để bài toán hội tụ Nghĩa là khi tăng số phần tử lên khá lớn thì kết quả tính toán sẽ tiệm cận đến kết quả chính xác

Ngoài ra hàm xấp xỉ còn phải chọn sao cho đảm bảo một số yêu cầu nhất định, trước tiên là phải thỏa mãn các phương trình của lý thuyết đàn hồi (bài toán kết cấu) hoặc định luật Darcy (bài toán thấm) Song để thỏa mãn chặt chẽ tất cả cá yêu cầu thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc lựa chọn mô hình và lập thuật toàn giải Do đó trong thực tế người ta phải giảm bớt một số yêu cầu nào đó nhưng vẫn

đảm bảo được nghiệm đạt độ chính xác yêu cầu

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) ra đời vào cuối những năm 50 nhưng rất ít được sử dụng vì công cụ toán còn chưa phát triển Vào cuối những năm 60, phương pháp PTHH đặc biệt phát triển nhờ vào sự phát triển nhanh chóng và sử dụng rộng rãi của máy tính điện tử Đến nay có thể nói rằng phương pháp PTHH

được coi là phương pháp có hiệu quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và các bài toán cơ học môi trường liên tục nói chung như các bài toán thủy khí lực học, bài toán về từ trường và điện trường

Một trong những ưu điểm nổi bật của phương pháp PTHH là dễ dàng lập chương trình để giải trên máy tính, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động hóa tính toán hàng loạt kết cấu với những kích thước, hình dạng, mô hình vật liệu và điều kiện biên khác nhau

Phương pháp PTHH cũng thuộc loại bài toán biến phân, song nó khác với các phương pháp biến phân cổ điển như phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin… ở chỗ nó không tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tìm trong toàn miền nghiên cứu mà chỉ trong trong từng miền con thuộc miền nghiên cứu đó Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toán mà miền nghiên cứu gồm nhiều miền con có những đặc tính cơ lý khác nhau, ví dụ như bài toán phân tích ứng suất trong đập, trong nền không đồng chất, bài toán thấm qua đập vật liệu địa phương…

Trình tự giải bài toán bằng phương pháp PTHH:

1 Chia miền tính toán thành nhiều các miền con gọi tắt là các phần tử Các

phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút Các điểm nút này

có thể là đỉnh các phần tử, cũng có thể là một số điểm được quy ước trên mặt (cạnh) của phần tử

Các phần tử thường được sử dụng là các phần tử dạng thanh, dạng phẳng, dạng khối như trên hình 2-2

Phần tử thanh

Phần tử khối Phần tử phẳng

Hình 2-2

Ví dụ: Nếu hàm cần tìm là hàm chuyển vị thì các hệ số của hàm xấp xỉ sẽ được xác định qua các chuyển vị và các đạo hàm của các chuyển vị ở các nút của phần tử

Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong các bài toán kết cấu ta thường chia thành 3 loại mô hình:

a Mô hình tương thích: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange

b Mô hình cân bằng: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano

c Mô hình hỗn hợp: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Ta coi chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng

mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Hellinger Như trên đã nói, các hàm xấp xỉ thường được chọn dưới dạng đa thức nguyên Dạng của đa thức này được chọn như thế nào đó để bài toán hội tụ, có nghĩa là ta phải chọn đa thức như thế nào đó để khi tăng số phần tử lên khá lớn thì kết quả tính toán sẽ tiệm cận tới kết quả chính xác

Chú ý rằng hàm xấp xỉ cần phải chọn để đảm bảo được một số yêu cầu nhất định, trước tiên là phải thỏa mãn các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi Nhưng để thỏa mãn một cách chặt chẽ tất cả các yêu cầu thì sẽ có nhiều phức tạp trong việc chọn mô hình và lập thuật toán giải Do đó trong thực tế người ta phải giảm bớt một số yêu cầu nào đó nhưng vẫn đảm bảo nghiệm đạt được độ chính xác yêu cầu

Trong 3 mô hình trên thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn

cả, còn 2 mô hình sau chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán nhất định

3 Thiết lập hệ phương trình cơ bản của bài toán:

Để thiết lập hệ phương trình cơ bản của bài toán giải bằng phương pháp PTHH ta dựa vào các nguyên lý biến phân Từ các nguyên lý biến phân ta rút ra được hệ phương trình cơ bản của bài toán dựa trên thuật toán của phương pháp PTHH có dạng hệ phương trình đại số tuyến tính:

AX = B (2.14)

4 Giải hệ phương trình cơ bản:

Giải hệ (1-14) sẽ tìm được các ẩn số tại các điểm nút của toàn miền nghiên cứu

5 Xác định các đại lượng cơ học cần tìm khác:

Để xác định các đại lượng cơ học cần tìm khác ta dựa vào các phương trình

cơ bản của lý thuyết đàn hồi

2.2.2 Tính kết cấu theo mô hinh tương thích:

1 Chia miền tính toán thành các phần tử Thông thường trong các bài toán một chiều hoặc 2 chiều ta sử dụng các phần tử dạng thanh hoặc dạng phẳng

2 Chọn ẩn là các chuyển vị nút của phần tử, cũng có thể là chuyển vị nút

và chuyển vị tại một số điểm trên cạnh hoặc điểm bên trong của phần tử

Giả thiết hàm chuyển vị: Giả sử tại một điểm (x,y) nào đó trng phần tử e có chuyển vị được biểu diễn bằng hàm f(x,y) Ta xấp xỉ hàm này bằng một đa thức nguyên:

f =Meαe

trong đó: f – véc tơ chuyển vị,

MR e R – ma trận hàm tọa độ của phần tử e,

αe - véc tơ các thông số của phần tử e

Gọi UR e Rlà véc tơ chuyển vị nút của phần tử thì:

Ue ={ }ui e với i = 1,2,…,nR d

với nR d Rlà tổng số nút của phần tử

Thay tọa độ (x,y) trong MR e Rbằng các tọa độ nútcủa phần tử ta được:

U =A α (2.16)

trong đó: AR e Rlà ma trận tọa độ nút của phần tử

Giải (2.16) ta được:

e A Ue− e

α = (2.17) Đặt (2.17) vào (2.15) ta được:

1

e e e e e

f = M A U− = N U (2.18) trong đó:

1

e e e

N =M A− (2.19) gọi là hàm dạng của phần tử

(2.18) biểu diễn quan hệ giữa chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử

tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu ∆ Nói cách khác, ta có thể biểu diễn mối quan

hệ này bằng một biểu thức toán học:

e e

U = ∆L (2.20) Trong đó: LR e Rlà ma trận định vị của phần tử e với kích thước nR d R x n, nó cho ta hình ảnh cách sắp xếp các thành phần của Ue vào trong ∆

vị LR e Rta có thể biểu diễn véc tơ chuyển vị cá thể qua véc tơ chuyển vị toàn thể

4 Mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

Gọi ε là véc tơ biến dạng thì ta có mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị :

ε = ∂ f

trong đó ∂ là ma trận toán tử vi phân

Thay f bằng biểu thức (2.18) ta được:

ε = ∂ = ∂f N Ue e =B Ue e (2.21) với :

Be= ∂Ne (2.22)

là ma trận hàm các tọa độ nút của phần tử

(2.22) biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng của phần tử với các chuyển vị nút của nó

5 Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị:

Gọi σe là véc tơ ứng suất của phần tử, theo định luật Hooke ta có:

σ = εe D e (2.23) trong đó D là ma trận các hằng số đàn hồi

Ví dụ: trong bài toán ứng suất phẳng ta có:

(2.27) là biểu thức liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút của phần tử

6 Thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH:

Trong phần này ta thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

trên cơ sở của nguyên lý cực tiểu thế năng

Giả sử vật thể có thể tích V cân bằng dưới tác dụng của các lực thể tích P

và lực bề mặt q trên bề mặt S, khi đó thế năng toàn phần của kết cấu có dạng:

SR e R Gọi thế năng toàn phần của mỗi phần tử là πe(πecũng được tính theo công

Như vậy thế năng toàn phần của toàn kết cấu sẽ là:

∂π =0

∂∆ (2.33)

Đặt (2.32) vào (2.33) được:

K ∆ − = F 0 hay K ∆ = F (2.34) (2.34) là phương trình cơ bản của phương pháp PTHH, trong đó:

e

n T

là véc tơ tải của toàn kết cấu

Thực chất của biểu thức (2.35) và (2.36) chính là sự sắp xếp KR e R và FR e R vào

K và F của toàn kết cấu

Từ cách thiết lập trên ta có một số nhận xét sau:

1) Hàm MR e R trong (2.15) thường được giả thiết dưới dạng đa thức nguyên,

song cần phải đảm bảo điều kiện biên và điều kiện liên tục, cụ thể:

+ Hàm xấp xỉ phải phản ánh được chuyển vị của phần tử khi coi vật

cứng tuyệt đối (chuyển vị của vật cứng tuyệt đối không gây ra biến dạng)

+ Giữa các phần tử điều kiện liên tục của biến dạng cần được thỏa mãn,

song điều kiện này rất khó đáp ứng nên người ta thường chỉ đảm bảo thỏa mãn

điều kiện liên tục của chuyển vị, còn biến dạng giữa các phần tử có sự nhảy bậc

2) Hàm LR e R trong (2.21) chỉ mang ý nghĩa lý thuyết, còn trong lập trình để

giải bài toán ta không sử dụng hàm này mà dùng phương pháp số mã (sẽ được

trình bày ở phần sau)

3) Về mặt cơ học biểu thức (2.34) biểu diễn điều kiện cân bằng của kết cấu

ở các điểm nút của các phần tử

4) Các thành phần của FR e R tính theo công thức (2.31) mới chỉ là lực quy đổi tại nút, còn nếu tại nút có tải trọng tập trung tác dụng ta phải cộng thêm các thành phần của tải trọng này

5) Ma trận K của toàn kết cấu thường có dạng băng đối xứng ua đường chéo chính nên khi lập trình ta có thể sử dụng thuật toán ép ma trận để tiết kiệm

2.2.3 Giải hệ phương trình cơ bản.[6], [12], [17], [22], [27], [28]

2.2.3.1 Cách giải hệ phương trình cơ bản của phương pháp PTHH:

Hệ phương trình cơ bản của phương pháp PTHH:

K ∆ = F

Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính

Để giải hệ trên ta thường sử dụng 2 phương pháp: Phương pháp khử và phương pháp lặp

2.2.3.2 Xử lý điều kiện biên:

Để giải hệ phương trình (2.34) thì một yêu cầu rất quan trọng là ma trận K không được suy biến, có nghĩa là det(K)≠0 Để đáp ứng yêu cầu này, khi giải bài toán tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn ta xử lý bằng các điều kiện biên Khi đã xử lý điều kiện biên thì điều kiện trên đương nhiên thỏa mãn

Trong lập trình ta thường xử lý điều kiện biên theo 2 cách:

1) Cách thứ nhất: Xử lý kiểu gán 0

2) Cách thứ 2: Xử lý bằng số vô cùng lớn

Chú ý: 1) Với những kết cấu không có các liên kết cứng ( chẳng hạn kết cấu dầm trên nền đàn hồi) ta phải thêm các liên kết cứng vào để khử chuyển vị cứng của kết cấu đề đảm bảo điều kiện không suy biến của ma trận K, ví dụ xử

lý liên kết này như trên Hình 2-6

2) Có thể xử lý điều kiện biên sau khi đã thiết lập hệ phương trình

cơ bản của bài toán hoặc xử lý điều kiện biên ngay với KR e R và FR e R

Hình 2-6

Trước xử lý Sau xử lý

2.3.PHẦN TỬ BẬC CAO TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.3.1 Khái niệm về phần tử bậc cao.[6], [12], [17], [22], [27], [28]

Trong các phần trên chúng ta đã xét các phần tử với các hàm xấp xỉ là hàm bậc nhất, các phần tử này được gọi là phần tử tuyến tính Đối với các phần tử tuyến tính

ưu điểm cơ bản là các tính toán đơn giản Tuy nhiên trong một số trường hợp, nếu gradient ứng suất biến đổi lớn thì nếu tính toán với phần tử tuyến tính kết quả sẽ kém chính xác hoặc muốn nâng cao độ chính xác ta phải sử dụng các phần tử có kích thước bé tức là phải chia kết cấu thành rất nhiều phần tử Để khắc phục nhược điểm này trong tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ta thường sử dụng các phần tử có hàm chuyển vị không phải bậc nhất mà bậc cao hơn Các phần tử này được gọi là các phần tử bậc cao

Một phần tử hữu hạn, nếu trường chuyển vị của nó được mô tả bằng các đa thức bậc nhất dẫn đến biến dạng và ứng suất không đổi trong phần tử, được gọi là phần

2.3.2 Hệ tọa độ tự nhiên.[6], [12], [17], [22], [27], [28]

2.3.2 1 Khái niệm về hệ tọa độ tự nhiên

Hệ toạ độ tự nhiên là một hệ toạ độ địa phương trong phần tử, nó cho phép xác định vị trí của một điểm bất kỳ trong phần tử bằng một tập hợp các số không thứ nguyên có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1 hoặc từ -1 đến 1 Đặc điểm chủ yếu của hệ toạ độ này là nó thay đổi tuyến tính từ 0 đến 1 hoặc từ –1 đến 1 Như vậy vị

trí của một điểm bất kỳ trong phần tử, với hệ toạ độ này được biểu diễn qua toạ độ các đỉnh

Ưu điểm cơ bản của hệ toạ độ tự nhiên so với hệ toạ độ Đề các là ở chỗ, hàm dạng trở thành đơn giản rất nhiều, và việc tính biểu thức tích phân xác định của phần tử có thể đưa về dạng giải tích đơn giản Ngoài ra toạ độ tự nhiên có vai trò quan trọng trong việc tính toán các phần tử cong Nếu ta gọi toạ độ này tại nút i là

LR i R (i=1, 2, n) thì LR i Rcó giá trị bằng 1, còn toạ độ ở các nút khác bằng không

2.3.2 2 Toạ độ tự nhiên của phần tử ba chiều

Đối với phần tử lục diện ta đưa vào hệ toạ độ tự nhiên như Hình 2-7

Quan hệ giữa toạ độ tổng quát và toạ độ nút

i 8 1 i i i

8 1 i i i

8 1 i

x y

3

7

8 s

r

t

1 13

4

14

17 2

6 19

5

3

151811

7

8

16 s

r

t

10

12 20

wv

wvu

=

20 20 1 1 1 e

WV

WVU

F = (2.90)

Hàm chuyển vị

( ) 2 2

20

2 9

2 19

2 18

2 17

2 16

2 15

2 14

2 13

2 12

2 11

2 10

2 9 8

7 6

5 4 3 2 1

u xy z x

xz y yz x y z

x z z y x

y z

x y x z

y

x xyz zx

yz xy

z y x u

= α

+ α + α

+ α

+ α

+

α + α

+ α

+ α

+ α

+ α + α +

α + α + α + α + α + α + α + α + α

=

(2.91)

Phần tử đẳng tham số và hàm dạng của phần tử

Để xác định ma trận độ cứng và véc tơ tải của

phần tử này, hệ toạ độ tự nhiên được sử dụng trong

tính toán Đối với phần tử lục diện ta dùng hệ toạ

độ tự nhiên với r, s và t thay đổi từ -1 đến 1 Để

cho đơn giản, ta đưa vào một phần tử chuẩn khối

lập phương có nửa cạnh bằng đơn vị (hình 2-29),

nó được chuyển đổi từ một phần tử lục diện có hình dạng bất kỳ trong hệ toạ độ xyz (hình 2-30 và 2-31) Hàm nội suy toạ độ của loại phần tử này có dạng:

i y n

=

= 201 i i

i z n

11

15 2018

16 14

x y

0

Hình 2-27

z

x y

0

Hình 2-28

Phần tử đẳng tham số là phần tử mà các hàm xấp xỉ nội suy trường toạ độ cũng

là các hàm xấp xỉ nội suy trường chuyển vị Như vậy, các hàm chuyển vị u, v và

w cũng được xác định bằng công thức:

∑

=

= 201 i i

i u n

=

= 201 i i

i v n

=

= 201 i i

i w n

w , (2.94) trong đó nR i Rlà các hàm dạng

dVBDB

i i

n00

0n0

00n

{ } [ ] { }e

Nwv

Quan hệ đạo hàm của các hàm dạng nR i Rvới biến x, y, z trong hệ toạ độ vuông góc

và với các biến r, s và t trong hệ toạ độ tự nhiên: