Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng 1; 2 A.. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên ℝ.. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng
Trang 1Tröôøng THPT Nguyeên Bưnh Khieđm, ÑaĩcLaĩc Giaùo vieđn: Leđ Vaín Tieân
LUYEÔN THI ÑÁI HÓC MOĐN TOAÙN Chuyeđn ñeă ÖÙNG DÚNG CỤA ÑÁO HAØM
Phaăn: Haøm soâ ñôn ñieôu
I PHÖÔNG PHAÙP TÌM KHOẠNG ÑÔN ÑIEÔU CỤA HAØM SOÂ:
1) Tính ñáo haøm y’ = f’(x)
2) Tìm nghieôm cụa f’(x) hoaịc caùc ñieơm tái ñoù f’(x) khođng xaùc ñònh
3) Laôp bạng xeùt daâu f’(x) (bạng bieân thieđn) ñeơ keât luaôn
BAØI TAÔP:
1) Tìm khoạng ñoăng bieân, nghòch bieân cụa caùc haøm soâ sau:
a) y = x3 – x +1 b) y = - x3 – 3x + 5 c) y = x4 – 2x2 + 3
d) y =
x 1
1
3x
1
2
−
− x
x2
1
x
− + + h)
1 5
y
x
=
x y
x
=
3
2 6
x y x
=
− m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x 5;
6 6
π π
∈ o) y = x−63x2 2) Xaùc ñònh m ñeơ haøm soâ y = (m – 3)x - sinx nghòch bieân tređn ℝ
HD: Haøm soâ nghòch bieân tređn ℝ ⇔ y’ = m – 3 – cosx ≤ ∀ ∈ℝ Ñaịt t = cosx, ñieău kieôn | t| 0 x ≤ 1
Ta caăn tìm m ñeơ f(t) = - t + m – 3 ≤ ∀ ∈ −0 t [ 1; 1]
Ta coù f(t) = - t + m – 3 ≤ ∀ ∈ − ⇔ −0 t [ 1; 1] f( 1) 0≤ ⇔ −m 2 0≤ ⇔ ≤m 2
3) Tìm m để hàm số : y =
-3
1x3 + (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 đồng biến trên (0, 3)
HD: Haøm soâ ñoăng bieân tređn khoạng (0; 3) ⇔ y’= - x2 + 2(m – 1)x + m +3 ≥ ∀ ∈0 x (0; 3)
⇔ y’ coù hai nghieôm x1; x2 thoûa maõn x1 ≤ 0≤ 3≤ x2⇔ 1f(0) 0 m -3 0 m 12
1f(3) 0 12 - 7m 0 7
4) Tìm m để hàm số y =
-3
1mx3 - (m +1)x2 + 3(m + 2)x +
3
1 luođn luođn đồng biến tređn ℝ
HD: Haøm soâ ñoăng bieân tređn ℝ ⇔ y’ = -mx2 -2(m +1)x + 3(m + 2) ≥ ∀ ∈ℝ 0 x
+ Tröôøng hôïp m = 0 ta coù y’ = -2x + 6 khođng theơ lôùn hôn baỉng 0 vôùi mói x
+ Tröôøng hôïp m ≠0 ta coù y’ ≥ ∀ ∈ℝ0 x m 0 m < 02 2 3 m - 2- 3
− >
≤
5) Tìm m để y =
1 x
m x 3 x
2 2
−
+
− đồng biến trên (3, +∞) HD: Ta coù y = 2x -1 + m 1
x 1
−
− Haøm soâ ñoăng bieân tređn khoạng (3; +∞) ⇔ y' = 2(x - 1) (m 1)2 2 0 x (3; + )
(x - 1)− − ≥ ∀ ∈ ∞
2
0 1 2
3 2(x-1) (m -1) 0 x > 3 x x m x VTcoùhai n thoûa xx m
II Aùp dúng tính ñôn ñieôu giại toaùn:
1) Chöùng minh BÑT f(x) > g(x) tređn khoạng (a; b)
Phöông phaùp: Ta xeùt haøm h(x) = f(x) – g(x) tređn (a; b)
- Neâu haøm h(x) ñoăng bieân tređn (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
- Neâu haøm h(x) nghòch bieân tređn (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
Baøi taôp: Chöùng minh caùc baât ñaúng thöùc sau:
Trang 21) tgx > sinx, 0 < x <
2
π HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0;
2
π)
Có f’(x) = 12 cos
cosx− x > 0 ⇒ f(x) là hàm đồng biến trên (0; 2
π)⇒ f(x) > f(0) = 0 ⇒ tgx > sinx 2) ln(1+ x) < x với ∀x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; +∞ )
3) cosx > 1-
2
x2
với ∀x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = cosx +
2
x2
- 1 trên (0; +∞ ) 4) xα- 1 > α(x – 1) với α≥2, x > 1 HD: Xét hàm số f(x) = xα -α(x – 1) – 1 trên (1; +∞ )
5) x -
6
x3
< sinx với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x -
6
x3
- sinx trên (0; +∞ ) 6) ex > 1 +
2
x2
với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ex -
2
x2
- 1 trên (0; +∞ ) 2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0
Phương pháp: - Xét tính đơn điệu của hàm số f(x)
- Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ta có:
1) f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2
2) f(x1) < f(x2) ( hoặc f(x1) > f(x2) ) ⇔ x1 < x2 ( hoặc x1 > x2) Bài tập: Giải các phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1) 2x < 32x + 1 HD: BPT ⇔ 3 1 1
x x
+ >
Xét hàm số f(x) =
x x
+
là hàm NB trên ℝ Có f(2) = 1 ⇒ f x( )> f(2)⇒ <x 2 Tập nghiệm bpt T = (-∞; 2)
2) 2x = 6 – x HD: Xét hai hàm số ( ) 2
( ) 6
x
f x
( ) đồng biến trên ( ) nghịch biến trên
f x
g x
ℝ
ℝ và
(2) 4 (2) 4
f g
=
x = 2 là nghiệm duy nhất⇒
2 2
2
2x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1 Xét hàm số f(t) = t +
3)
x
y t cóf t t nên hàm sốđồng biến trên
t
−
Nếu x > y thì f(x) > f(y) ⇒ 2y2 > 2x2⇒ y > x vô lí
Tương tự nếu y > x thì f(y) > f(x) ⇒ x > y vô lí
Vậy x = y Thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1
cot cot (1)
gx gy x y
x y
π
∈
− =
HD: pt(1) cotgx -x = cotgy - y
Xét hsố f(t) = cotgt - ttrên (0; π)
⇔
2
tgx tgy x y
x y tgx tgy− = − π
HD: Xét f(t) = tgt – t
6) Chứng minh rằng phương trình x3 -3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
3) Aùp dụng định lí Lagrange: Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)
thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho( )f b f a( ) f c'( )
b a
− 1) Cho 0 < a < b Chứng minh rằng: b a lnb b a
− < < − HD: xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b]
2) Cho 0 < a < b <
2
π Chứng minh rằng:
b a tgb tga b a
− < − < − . HD: xét hàm f(x) = tgx trên (0; )
2
π 3) Hãy tìm trên đồ thị hàm số f(x) = x3 – x những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các điểm có hoành độ là 10 và 12 HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có
Trang 3f −f =f c vôùi c∈ ÑS c=
−
(12) (10) '( ), (10; 12) : 364
Phaăn: Cöïc trò haøm soâ
I PHÖÔNG PHAÙP TÌM CÖÏC TRÒ CỤA HAØM SOÂ SOÂ y= f(x)
Caùch 1: - Tìm TXÑ cụa haøm soâ vaø tính y’ Tìm caùc ñieơm x0 maø y’baỉng 0 hoaịc khođng xaùc ñònh
- Laôp bạng bieân thieđn - Neâu f’(x) ñoơi daâu töø döông sang ađm khi x qua x0 thì x0 laø ñieơm cöïc ñái
- Neâu f’(x) ñoơi daâu töø ađm sang döông khi x qua x0 thì x0 laø ñieơm cöïc tieơu
Caùch 2: - Tìm TXÑ cụa haøm soâvaø tính y’, y’’
- Tìm nghieôm x0 cụa phöông trình y’= 0 - Neâu f’’(x0) < 0 thì x0 laø ñieơm cöïc ñái
- Neâu f’’(x0) > 0 thì x0 laø ñieơm cöïc tieơu
II BAØI TAÔP
1) Tìm cöïc trò cụa caùc haøm soâ sau:
a) y = 2x3 +3x2 -36x -10 ; b) y = x4 + 2x2 – 3 ; c) y = x +
x
1; d) y = x3(1 – x)2; e) y = 2 2 3
1
y
x
− +
=
3 2
2 3
y= + x ; g) y= −(7 )x x3 + ; 5 h)
2 10
x y
x
=
− ; 2) Tìm cöc trò cụa caùc haøm soâ sau: söû dúng daâu hieôu II
a)y = x3 + 4x ; b) y = xe-x ; c) y = x2lnx; d) y =
2 x
5 4x
x2 +
+ + ;
e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y =
2
x
1) Tìm m để hàm số y =
3
1x3 + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) có cöïc ñái, cöïc tieơu.
2) Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 - (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
HD: HS ñát CT tái 2
, (2) ,, (2)
0
1 0
y
m y
>
3) Xaùc ñònh a ñeơ haøm soâ y = asinx +
3
1 x ñát cöïc trò tái x =
3
π 4) Xaùc ñònh p vaø q ñeơ haøm soâ y = x2 +px +q ñát cöïc tieơu tái x = 1
Baøi taôp traĩc nghieôm
1 Bieât raỉng coù hai giaù trò cụa m ñeơ haøm soâ y = x3 -(m + 2)x2 + (1 -m)x + 3m - 1 ñát cöïc trò tái x1, x2
maø |x1 - x2| = 2 Toơng hai soâ ñoù laø:
2 Ñieơm cöïc tieơu cụa haøm soâ y ln x2
x
= laø:
A 12
3 Bieât ñoă thò haøm soâ f(x) 1x 2x mx 33 2
3
= − + + coù hai ñieơm cöïc trò thaúng haøng vôùi ñieơm O, thì m thuoôc khoạng:
A (-1; 1) B (3; 1) C (-3; -5) D (-1; -3)
4 Ñoă thò haøm soâ f(x) x 3x 52
x 2
= + coù hai ñieơm cöïc trò naỉm tređn ñöôøng thaúng y = ax + b ta coù a.b baỉng:
5 Bieât raỉng ñoă thò haøm soâ y x 2x m 32
x m
− + +
=
+ coù moôt ñieơm cöïc trò thuoôc ñt y = x + 1, ñieơm cöïc trò coøn lái laø:
Trang 4
6 Biết hàm số f(x) = asinx + bcosx +x (0 x 2 đạt cực trị tại x = ) và
3
π
< < π π thì a + b bằng:
7 Điểm cực đại của hàm số y xe= − x 2 gần nhất với số nào dưới đây:
8 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x2 - x có hai điểm cực trị trái dấu
9 Giá trị của m để hàm số y = x4 + mx3 - 2x2 - 3mx + 1 có ba điểm cực trị là:
A m 3
4
≠ ± B Với mọi m C m≠ ± 1 D m 4
3
≠ ±
10 Biết hàm số y = eax.sinx (0 x )đạt cực trị tại x =
4
π
< < π thì điểm cực tiểu của hàm số là:
A
4
4
π
3
π
11 Hàm số f(x) x 4x 12
x 1
− +
= + có hai điểm cực trị x1 và x2, ta có x1 + x2 bằng:
12 Cho hàm số y 2ex
x 1
= + Mệnh đề nào sau đây đúng
A Hàm số đồng biến với x > 1 B Hàm số đồmg biến trên ℝ
C Hàm số nghịch biến với x < 1 D Các kết luận A, B, C đều sai
13 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; 2)
A y= x2 - 4x + 5 B y x 2
x 1
−
=
2
x x 1 y
x 1
+ −
=
1
3
14 Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định:
2
− +
A Cả (I), (II) và (III) B Chỉ (I) và (II) C Chỉ có (I) và (III) D Chỉ có (II)
15 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên ℝ
A y= cotgx B y = - x4 - x2 - 1 C y x 5
x 2
+
=
1 y 2
=
16 Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định:
2
+
+
A Chỉ có (I) B Chỉ có (II) C Cả (I), (II) và (III) D Chỉ (I) và (II)
17 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên ℝ
A y = x3 + 1 B y= tgx C y 4x 1
x 2
+
= + D y = x4 + x2 + 1
18 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng (1; 3)
A y 1x 2x 32
2
3
C y x x 12
x 1
+ −
=
2x 5 y
x 1
−
=
−
19 Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 + 12x - 5 Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1)B Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1)
C Hàm số giảm trên khoảng (2; 3)D Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2)
Trang 5
20 Bất đẳng thức a b
ln a ln b> đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng:
A (0; 1) B (e; 4) C (2; 3) D (0; 3)
21.Hàm số f(x) = x4 - 6x2 + 8x + 1 cóù bao nhiêu điểm cực trị
22 Hàm số y a 1x ax (3a 2)x3 2
3
−
= + + − luôn luôn đồng biến khi
A a 2 a 1
2
≥ ∨ ≤ B 1 a 2
2≤ ≤ C a 2≥ D 1 a 2< ≤
23 Hàm số f(x) = x3 có bao nhiêu điểm tới hạn
2 4 Giá trị m để hàm số f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x đạt cực đại tại x = 1 là
A.m = 2 B Không tồn tại m C m = 0 D m = 0 hoặc m = 2
25 Cho hàm số f(x) = xlnx Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây
A.(0;+ ∞ ) B (−∞; 0) C ( )0; 1 D (1;+ ∞ )
26 Cho hàm số 3x+1f(x) =
1 - x Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng
A Tăng trên ℝ B Tăng trên hai khoảng (−∞; 1 ; 1;) ( + ∞)
C Giảm trên khoảng (0; 2) D Giảm trên khoảng ℝ
27 Hàm số f(x) = |x| có bao nhiêu điểm cực trị
28 Cho hàm số f(x) = x + x + 12
x + 1 Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A.Giá trị cực đại bằng -3 B Điểm M(0; 1) là điểm cực tiểu
C Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D Hàm số đạt cực đại tại x = -2
29 Giá trị m để hàm số f(x) x 2x m2
x 1
=
− đạt một cực đạivà một cực tiểu là:
A.m= -3 B m < - 3 C m > -3 D m khác -3
30 Hàm số f(x) x4 2x 62
4
= − + có bao nhiêu điểm cực tiểu
31 Xét hàm số f(x) = 2x2 - 5x + 3 trên [0; 4] Số c thoả mãn định lí Lagrange áp dụng vào hàm số là:
32 Hàm số f(x) = x + x - 12
x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị
Phần: Giá trị lớn nhất, gía trị nhỏ nhất
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
1 Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b): trong đó a có thể là − , b có thể là ∞ +∞
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị cực đại (cực tiểu) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
• Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến thì không có
GTLN, GTNN trên khoảng đó
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Trang 6a) y = 4 - x2 b) y = 4x3 – 3x4 c) y = x4 + 2x2 – 2
d) y = x2+x+2 e) y =
x
1 x
x2+ + với x > 0 g) y = x + 3x 12
x -1+ với x < 1
2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm
HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8 ⇒ Diện tích là S(x) = x( 8 – x)
- Tìm x∈(0; 8) để S(x) lớn nhất ĐS: x = 4 cm
3) Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm2
HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0
- Chu vi của hình chữ nhật là 48P x( ) 2(x )
x
- Tìm x∈(0; +∞) để P(x) nhỏ nhất ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 43m
4) Người ta dùng tấm kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước Hãy xác định kích thước của hình trụ để vật liệu ít tốn nhất
HD: - Gọi bán kính đáy hình trụ là x, x > 0 ⇒ Chiều cao hình trụ là V2
x π
- Diện tích toàn phần của hình trụ là S(x) = 2 x2 2V
x
π + ĐS: x = 3
2
V π
2 Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b]
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Tìm các cực trị thuộc [a; b] của hàm số Giả sử các điểm cực trị là x1, x2,…xn
- Tính f(x1), f(x2)….f(xn) và f(a), f(b), so sánh Rồi kết luận
• Chú ý: - Nếu hàm số f(x) tăng trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a)
- Nếu hàm số f(x) giảm trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b)
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) y= 2x3 + 3x2 – 12x + 1 trên đoạn [-1; 5] b) y = 1 + 4x + x2 trên đoạn [-1; 3];
c) y= 5− trên đoạn [-1; 1] 4x d) y= sin2x – x trên []
2
;
0 π e) y= 4x2−16x+34 trên đoạn [-1; 4] g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [-; ]
2π π h) y = x + cos2x trên đoạn [0; ]
4
π k) y = 2x + 5− x2
l) y= cos2x + x trên đoạn []
2
; 2
π π
− m) y = 1+2005x + 1−2005x n) y =
x
x
ln2
trên đoạn [1; e3] 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số 3y= + +x 6− −x (3 )(6 )+x − ĐS: miny = x 3 2 9
2
− , maxy = 3
3) Tìm GTNN hàm số y x= − − +2 2 3 2 1x x+ ĐS: miny = -1 tại x = -1
II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phuơng trình:
Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b]
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ) 2 1 ;
1
x
a y
x x
+
=
− +
2 2
3
2
x
b y
x x
+
=
− +
1
x ax b
a y cóGTLN bằngvàGTNN bằng
x
+ +
1
ax b
b y cóGTLN bằngvàGTNN bằng
x
+
Trang 73) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
2 x cos
+ sin
cosx
2 ( Đề thi vào Cao Đẳng Kinh tế Kỹ thuật 2005).
4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
1 sinx sin
1
sinx
+
Bài tập trắc nghiệm
1.Hàm số y 4 x 2x 3 2x x= 2− + + − đạt GTLN tại hai giá trị x2 1, x2 Ta có x1.x2 bằng:
2 Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 1
x x 1
+
= + + Thì M - m gần nhất với số nào:
3 Giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + cosx là:
4 Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số y 2x 4x 52 2
x 1
=
+ , trong các mệnh đề sau hãy tìm mệnh đề đúng:
A.M = 2; m = 1 B M = 0, 5; m = - 2 C M = 6; m = 1 D M = 6; m = - 2
5 Hàm số y = 2ln(x+1) - x2 + x đạt GTNL tại x bằng:
6 Hàm số f(x) = 2cos2x + x, với 0 x
2
π
≤ ≤ đạt GTNL tại x bằng:
A
12π B 5
12π C 5
6
π
7 Phương trình x3 + tgx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ ; ]−π π :
8 Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số MN
MQ bằng:
9 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là:
A.GTLN bằng 15; GTNN bằng 8 B GTLN bằng 15; GTNN bằng -41
C GTLN bằng 40; GTNN bằng -41 D GTLN bằng 40; GTNN bằng 15
10 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = tg x-3 1 +2, 0< x < là một phân số tối giảna.
π
11 Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x2 Một tiếp tuyến của (P) di động có hoành độ dương cắt hai
trục Ox và Oy lần lượt tại A và B Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây:
12 Cho hàm số y = sin4x - cos2x Tổng GTLN và GTNN của hàm số là:
A 5
4
4
13 Xét lập luận sau: Cho hàm số f(x) = ex(cosx - sinx + 2) với 0 x≤ ≤ π
(I) Ta có f'(x) = 2ex(1 - sinx) (III) Hàm số đạt GTLN tại x
2
π
= (II) f'(x) = 0 khi và chỉ khi x
2
π
= (IV) Suy ra f(x) e , x 0;≤ 2π ∀ ∈( π )
N M
Trang 8Laôp luaôn tređn sai töø ñoán naøo:
A (IV) B (II) C (III) D Caùc böôùc tređn khođng sai
14 Giaù trò lôùn nhaât vaø giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = sinx + cosx laø:
A.GTLN baỉng 2; GTNN baỉng 0 B GTLN baỉng 2; GTNN baỉng -2
C GTLN baỉng 2; GTNN baỉng -2 D GTLN baỉng 1; GTNN baỉng -1
15 Giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = x3(x - 4) laø:
16 Giaù trò lôùn nhaât cụa haøm soâ y= − −3 2x x2 laø:
17 Haøm soâ 3 2
= + − + − + >
18 Trong taât cạ caùc hình chöõ nhaôt coù cuøng dieôn tích S, chu vi hình chöõ nhaôt coù chu vi nhoû nhaât laø:
19 Gói M laø giaù trò lôùn nhaât vaø m laø giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = |- x3+3x2 - 3| tređn ñoán [1; 3] Thì M + m
gaăn nhaât vôùi soâ naøo:
20 Giaù trò lôùn nhaât, giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ ( )2 ( )
x 2
y tređn khoạng 0;+
x
+
Phaăn: Tính loăi loõm vaø ñieơm uoân cụa ñoă thò
I Toùm taĩt lyù thuyeât
Cho haøm soâ y = f(x) coù ñoă thò laø (C) xaùc ñònh tređn khoạng (a; b)
1) Ñoă thò (C) loăi tređn khoạng (a; b) ⇔ f’’(x) < 0 vôùi ∀x∈(a;b)
2) Ñoă thò (C) loõm tređn khoạng (a; b) ⇔ f’’(x) > 0 vôùi ∀x∈(a;b)
3) Ñieơm M0(x0; f(x0)) laø ñieơm uoân⇔ f’’(x) ñoơi daâu khi x qua x0.
II Baøi taôp
1) Tìm khoạng loăi loõm vaø ñieơm uoân cụa ñoă thò caùc haøm soâ sau:
a) y = x3 + 6x – 4 b) y = x4 – 6x2 + 3 c) y =
x
4 x
x2− +
2) Chöùng minh raỉng haøm soâ y = 3x2 – x3 loõm trong khoạng (− 1) loăi trong khoạng (1; ∞; +∞)vaø ñieơm uoân coù
hoaønh ñoô baỉng 1
3) Xác định a và b để điểm I(2; - 6) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2 + x - 4
4) Xác định m để điểm M(- 1; 2) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 + 4
5) Cho hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3x - 5 Định m để:
a) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (- 5; 2) b) Đồ thị hàm số có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 - 2m - 5
6) Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 - ax2 + 3
a) Có hai điểm uốn b) Không có điểm uốn nào
7) Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 - 9x +5 tiếp tuyến tại điểm uốn cóhệ số góc nhỏ nhất
8) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 22x 1
x x 1
+ + + có ba điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua các điểm uốn
9) Xác định a và b để đồ thị hàm số: y= x4 + 8ax3 +3(1+ 3a)x2.- 4 có hai điểm uốn mà hoành độ thỏa mãn bất
Trang 9phỉång trçnh <0
−
−
− 2
2 x 4x 5
2x
Bài tập trắc nghiệm
1.Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - mx2 + 3 có hai điểm uốn ta có:
A m < 0 B m > 0 C m = 0 D m khác 0
2 Giá trị m để đồ thị hàm số y = mx3 - 6x2 +1 nhận điểm I(1; - 3) là điểm uốn là:
3 Cho hàm số y = x3 - 2x2 - x + 9, có đồ thị (C) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
A.Điểm uốn là trung điểm của đoạn nối cực đại và cực tiểu của (C) B Đồ thị (C) luôn luôn lồi
C Đồ thị (C) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểuD Đồ thị (C) có một điểm uốn
4 Đồ thị hàm số y x 12
x
+
= có bao nhiêu điểm uốn:
5 Cho hàm số y = lnx Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai:
A.Đồ thị hàm số không có điểm uốnB Phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm
C Hàm số có một điểm cực trị D Đồ thị hàm số lồi trên (1; e)
6 Cho hàm số y = f(x) = 2x4 + x2 - 1 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A.Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (1; 5)B Đồ thị lõm trên khoảng (-2; 1)
C Đồ thị hàm số có một điểm uốnD Đồ thị hàm số có hai điểm uốn
7 Trong các đồ thị của các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có khoảng lồi lõm nhưng không có điểm uốn:
A y x 12
x 1
+
=
+ B.y = x3 +3x2 + 2x + 1 C
x 2 y
x 3
+
= + D.y = x4 - 2x2 + 1
8 Đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 9 có bao nhiêu điểm uốn?
9 Đồ thị hàm số y = x4 + 4x2 + 1 có bao nhiêu điểm uốn?
10 Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2:
A.(2; 4) B (2; 1) C (-1; 2) D (1; 2)
Phần: Tiệm cận của đồ thị
I Lý thuyết cơ bản
1) Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) 0
x
Lim f(x) y
→∞
2) Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)
0
x x
Lim f(x)
→
3) Đường thẳng y = ax + b, a 0≠ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) Lim f(x)x (ax b) 0
→∞
⇔ − + = Chú ý: - Cách tìm các hệ số a và b:
x
f(x)
a Lim
x
→∞
= b Lim f(x) axx [ ]
→∞
- Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y ax bx c2
a ' x b '
=
+ ta thực hiện:
+ Chia tử cho mẫu Hàm số viết lại là Cy Ax B , A 0
a ' x b '
+ + Ta có y = Ax + B là tiệm cận xiên
II Bài tập
1) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau
a) y 2x 1
x 2
−
=
5 y
2 3x
=
2
x 3x 3 y
1 x
− +
=
3
x 2
= −+
+ 2) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
a) y= x x 12+ + b) y=2x x 12+ + c) y= − + +x 2 3 d) y x= +sin x
Trang 103) Cho hàm số y x m 3
m x
= + + +
− Xác định m để để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm A(1; 2) 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y 2x x 122
x 2
+ +
= + 5) ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y x x 122
2x 3x 1
+ +
=
− + Bài tập trắc nghiệm
1.Phương trình các tiệm cận của đồ thị hàm số y 5x 1 3
2x 3
= + =
− là:
A.5x - y + 1 = 0 và 2y - 3= 0 B 5x - y + 1 = 0 và 2y + 3 = 0
C 5x - y + 1 = 0 và 2x + 3= 0 D 5x - y + 1 = 0 và 2x - 3 = 0
2 Cho đồ thị (C): y= − +3 x 3x3 2 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng
A.(C) Có tiệm cận đứng B (C) Có tiệm cận xiên
C (C) Có tiệm cận ngang D (C) Không có tiệm cận
3 Cho đồ thị (C): y 2x 3x m2
x m
− +
=
− Với giá trị nào thì đồ thị (C) không có tiệm cận đứng?
A.(C) luôn có tiệm cận đứng với mọi mB m = 0; m = 1 C m = 1 D m = 0
4 Cho ba hàm số (I): 5xy
2 x
=
− ; (II):
2 x y
x 1
= + ; (II): 2
x 2 y
x 3x 2
−
=
− + Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x
= 2 làm tiệm cận:
A.(I) và (II) B Chỉ có (I) C Chỉ có (II) D (I) và (III)
5 Đồ thị hàm số y = x4 - x2 + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận
6 Cho đồ thị (C): y=3x 2x3− Có tiệm cận xiên là:
A.y = x - 2 B y = x + 1 C y = x D 3 x - 3 y- 2 = 0
7 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x x 12
x 1
+ +
= + là:
A.y = x và x = -1B y = x+ 2 và x = 1C y = x + 1 và x = 1 D y = x và y = 1
8 Đồ thị hàm số y x x 122
5x 2x 3
+ +
=
− − + có bao nhiêu đường tiệm cận
9 Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 2 2x
x 2x 1
=
− − là:
10 Giá trị m để đồ thị hàm số y 2x mx 32 , m 5
x 1
− có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ là:
11 Cho đồ thị (C): y x2
x m
=
− Với giá trị nào của m thì (C) có tiệm cận?
A.Mọi m là số thực B m khác 1 C m = 0 D m khác 0
12 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x 2
x 1
+
=
− là:
A.y = 1 và x = -2B y = 1 và x = 1 C y = -1 và x = -1D y = -2 và x = 1
“Chúc các em luyện tập đạt kết quả tốt!”
