DE THI HOC SINH GIOI CAP TRUONG

PHẦN HÌNH HỌC Câu 4: 4đ Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.. Chứng minh rằng:.[r]

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

Trường THPT THẠCH THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN

Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút

( không kể thời gian phát đề)

I PHẦN GIẢI TÍCH

Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình:

2 2

2 x 3 x 16 0

x x

    

b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình:

x2  2m 1x 4m 3 0  là nhỏ nhất

Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:

3 2x 3x 11

1 3x 2x 5

x y

x



   

Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a b c d, , , Chứng minh rằng số

A

a b c a b d b c d a c d

        không phải là một số nguyên

II PHẦN HÌNH HỌC

Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác

ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD

a Chứng minh rằng:

1

3

b Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM                                            

Chứng minh rằng IJ song song với AB

c Giả sử AB a, BC 2a  và ABC 60  0 Tính độ dài của u AB 2AC 

d Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5EC  2 ED EG

Hết

Họ tên thí sinh………Số báo danh ………

Chữ kí của giám thị 1 Chữ kí của giám thị 1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2012-2013

Câu 1: a)

2 2

2 x 3 x 16 0

x x

    

ĐK: x 0

Đặt

1

t x

x

  x2 12 t2 2

x

   

(1) 2t2 3 20 0t 

4 5 2

t t

 





 



 t 4  x  2 3



5

2

t 

2 1 2

x x

 





 



b) x2  2m 1x 4m 3 0  (2)

 (2) có nghiệm    0

2

4m 12m 13 0

2m 32 4 0, m

    

 Theo viet:

1 2

1 2

2 1

4 3

x x m

   





 





A x x  m  m  m  



1 minA 6

2

m

  

Câu 4:

Câu 2:

3 2x 3x 11

1 3x 2x 5

x y

x



   

y có nghĩa

2

3 2x 0 3x 11 0

1 3x 2x 5 0

x x

  



 



   



     



2

2

3

2

11

3

1

3x 2x 5 0

x

x

x

x









 



 







  





   





3

                                                                          

b

2CJ JM 2AB                                                            2AJ 2AC AM AJ 2AB                                                            

5

3

Mà M là trung điểmcủa AD nên

MJ 2

JD  Gọi K là trung điểm của CD, ta có

MI 2

IK  Vậy ta có:

IJ // CD // AB

c Kẻ AH vuông góc với BC Ta có:

0 a

BH AB.cos60

2

,

0 a 3

AH AB.sin60

2

F

H G

J

I

R

D

M

A

1 x 1

3a

2

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Dựng BF 2AC                             

AB 2AC AB BF AF

và BF 2AC 2a 3 

2 2

d Lấy điểm S sao cho 2SA 3SB 5SC 0   

 S là điểm cố định Gọi R là trung điểm của DG Khi đó, ta có:

Vậy ta suy ra tập hợp điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng SR

Câu 3: Vì a b c d Z, , , 

 nên

A

a b c a b d b c d a c d

       

a b c d a b c d a b c d a b c d

1



Mà

, , 0

1

x y z

x

y

 











x x z

y y z



 

 Thật vậy, x 1

y 

x y

 

xz yz

   xy xz xy yz  

x y z y x z

   

x x z

y y z



 



Nên

a b c a b c d





    

a b d a b c d





    

b c d a b c d





    

a c d a b c d





    

Suy ra A 2

Do đó 1 A 2  A không phải là một số

nguyên

(Học sinh làm bài bằng cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)