Tong hop ly thuyet Giai tich 12
Sự biến thiên của hàm số
Điều kiện đồng biến, nghịch biến
Định lý 1.1.1: Điều kiện biến thiên
Cho hàm sốy=f(x)liên tục trên(a;b)nếu có: f ′ (x)>0∀x∈(a;b) thì đồng biến trên (a;b) f ′ (x) 0 với mọi x ∈ (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x0; x0 + h) Tương tự, điều này cũng áp dụng cho cực tiểu Việc tìm phản ví dụ cho các trường hợp này có thể khó khăn đối với học sinh phổ thông, nên tác giả không đề cập đến.
Cực trị của hàm số bao gồm các điểm cực đại và cực tiểu, trong đó tại điểm x₀, đạo hàm có thể bằng 0 hoặc không xác định Hình 1.3 minh họa rằng hàm số đạt cực tiểu tại x₀, mặc dù đồ thị tại điểm (x₀; f(x₀)) rất "nhọn" Điều này thể hiện trường hợp đạo hàm không tồn tại tại x₀.
Hình 1.3: Cực tiểu hàm số đạt được tại đó đạo hàm không xác định
Trườ ng h ợ p rất khó để lập được bảng biến thiên của hàm số
Để kiểm soát cực trị của hàm số, học sinh có thể áp dụng quy tắc sau đây Định lý 1.2.1 nêu rõ điều kiện đủ để xác định cực trị trong hàm lượng giác.
Cho hàm sốy=f(x)cóx 0 ∈TXĐ nếu thấy:
{f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x 0)0 thì hàm số đạt cực tiểu tạix 0
{ f ′ (x 0) = 0 f ′′ (x 0 ) = 0 thì không kết luận được gì về cực trị của hàm số tạix 0 (có thể đạt cực trị, cũng có thể không).
Quy tắc áp dụng (cho những hàm cóf ′ (x)và f ′′ (x)xác định trên TXĐ củaf(x)):
Kết luận về dấu của f′′(x1) và f′′(x2) cho thấy rằng nếu hàm số đạt cực trị tại x0, thì không thể khẳng định f′′(x0) là dương hay âm Hơn nữa, cũng không thể chắc chắn rằng f′(x0) = 0, vì có thể xảy ra trường hợp đạo hàm không xác định tại x0 Do đó, Định lý 1.2.1 không phải là điều kiện cần và đủ cho cực trị của hàm số.
Đối với các hàm số mà đạo hàm f′(x) xác định trên toàn bộ tập xác định của f(x), hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm x₀ khi thỏa mãn điều kiện f′(x₀) = 0 Học sinh có thể yên tâm áp dụng điều kiện này như một tiêu chí cần thiết để xác định cực trị của hàm số.
Cực trị hàm số bậc ba
Định lý 1.2.1 chỉ cung cấp điều kiện đủ cho một hàm số tổng quát Tuy nhiên, đối với hàm bậc ba, điều này trở thành điều kiện cần Hàm bậc ba có dạng y = ax³ + bx² + cx + d, với a khác 0.
Trong trường hợp a chứa tham số, học sinh lưu ý XÉT RIÊNG a = 0 đủ.
Dạng 1: Điều kiện về số cực trị của hàm số
Hàm bậc 3 y=ax 3 +bx 2 +cx+d, a̸= 0 có đạo hàm y ′ = 3ax 2 + 2bx+c
• Không có cực trị⇔y ′ không đổi dấu trênRhay∆ ′ y ′ ≤0⇔b 2 −3ac≤0.
• Có cực trị (có hai cực trị)⇔y ′ có 2 nghiệm phân biệt⇔∆ ′ y ′ >0⇔b 2 −3ac >0.
Dạng 2: Điều kiện hàm số đạt cực trị tại điểm xác định
Hàm bậc 3 y=ax 3 +bx 2 +cx+d, a̸= 0
• Đạt cực đại tạix 0 khi và chỉ khi
• Đạt cực tiểu tạix 0khi và chỉ khi
Định lý 1.2.1 chỉ ra rằng đối với hàm số bậc 3, điều kiện được nêu là điều kiện cần và đủ để xác định cực trị của hàm số.
Dạng 3: Điều kiện về hai cực trị của hàm số
Với điều kiện hàm số có 2 cực trị: ∆ ′ y ′ > 0 ⇔ b 2 −3ac > 0 Gọix 1 , x 2 là hai điểm cực trị của hàm số, thìx 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình
Theo định lý Viet có
3a Một số câu hỏi thường gặp sử dụng Viet:
• Tìm điều kiện thỏa mãnx 2 1 +x 2 2 =k >0⇔(x 1+x 2) 2 −2x 1 x 2 =k.
• Hai điểm cực trị của đồ thị cách đều trục tung: ⇔x 1 =−x 2 ⇔x 1 +x 2 = 0.
• Hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục tung: ⇔x 1 x 2 0, gọiA(x 1;y 1 =f(x 1))vàB(x 2;y 2 =f(x 2))là 2 điểm cực trị của đồ thị vớix 1 , x 2 là 2 nghiệm củaf ′ (x) = 0 Khi đó
• Phương trình đường thẳngdqua 2 cực trị của đồ thị d:y =kx+e , với k=−2
(kx+ethực chất là phần dư trong phép chia đa thứcf(x)chof ′ (x))
• Bây giờ tọa độ hai điểm cực trị của đồ thịA(x 1;kx 1+e)vàB(x 2;kx 2+e) Nên có
• Tâm đối xứng của đồ thịI(x I ;y I )được tìm bằngf ′′ (x I ) = 0 ⇔ x I = −b
3a;y I =f(x I ) Khi đồ thị hàm số có hai cực trị thìI là trung điểm củaAB ĐiểmI còn gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Cực trị hàm số trùng phương
Hàm trùng phương có dạng y = ax^4 + bx^2 + c cho phép xác định rõ ràng các cực trị và tọa độ điểm cực trị của đồ thị Việc giải nghiệm của đạo hàm y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) là khá đơn giản.
Nếua= 0, hàm số suy biến thành hàm bậc haiy=bx 2 +cvớib̸= 0.
Nếub= 0thì hàm số là hàm hằngy=c Trường hợp này dễ dàng xét trực tiếp.
Số nghiệm của phương trình này rõ ràng phụ thuộc vào dấu củaab.
Dạng 1: Số cực trị của hàm trùng phương
Từ số nghiệm của phương trình2x(2ax 2 +b) = 0 Xét trường hợpa 2 +b 2 ̸= 0.
• Hàm số có duy nhất một cực trị tạix= 0khi ab≥0
• Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ab 0 Khi đó gọi 2 nghiệm đương đó làt 1 > t 2, thì 4 nghiệm của (*) là :−√ t 1 , −√ t 2 , √ t 2 , √ t 1 Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi t 1 = 9t 2 ⇔9b 2 = 100ac
Dạng 3: Đồ thị hàm phân thức và đường thẳng
PTHĐGĐ của đồ thị hàm số(C) :y= ax 2 +bx+c ′ cx+d và đường thẳngd:y=kx+e: ax 2 +bx+c ′ cx+d =kx+e⇔g(x) =Ax 2 +Bx+C = 0
⋆PT (*) vô nghiệm⇔g(x)vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng−d c
⋆ PT (*) có 1 nghiệm ⇔ g(x) có nghiệm kép khác −d c , hoặc có 1 nghiệm bằng −d c và nghiệm còn lại khác−d c
⋆PT (*) có 2 nghiệm phân biệt⇔g(x)có hai nghiệm phân biệt khác−d c
= 0 Khi đó, tọa độ 2 giao điểm làM(x 1 ;kx 1 +e)vàN(x 2 ;kx 2 +e).
Lưu ý: Khi phương trình của(C) không chứa tham số và (C) không suy biến thành đường thẳng, thì điều kiệng
Phương trình tiếp tuyến, tiếp xúc
Các dạng cơ bản về phương trình tiếp tuyến
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm cho trước
Cho thông tin về tiếp điểmM(x 0;f(x 0))(thường có thuật ngữ ”tại, tiếp điểm”): Cho hoành độM ⇔chính làx 0
ChoM = (C)∩Oy ⇔x M = 0⇔x 0 = 0 ChoM = (C)∩(d) Giải hệ phương trình của(C)vàdđượcM
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Cho các thông tin để tìm được hệ số góc của tiếp tuyến:
Cho hệ số góc bằngk ⇔f ′ (x 0) =k⇔x 0=
Tiếp tuyến vuông góc với đường∆ ⇔f ′ (x 0).k ∆=−1⇔x 0=
Tiếp tuyến song song với đường∆ ⇒f ′ (x 0) =k ∆ ⇔x 0 =
Tiếp tuyến tạo với tia Ox gócα ⇔f ′ (x 0) =tanα ⇔x 0=
Tiếp tuyến tạo với trục Ox gócα ⇔f ′ (x 0) =±tanα⇔x 0 =
Tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạiA, Bsao cho
Tiếp tuyến tạo với∆một gócα ⇔cosα= |1 +k ∆ f ′ (x 0 )|
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) một điểm
QuaA(x(m) ;y(m))tọa độ chứa tham số ⇔y(m) =f ′ (x 0) (x(m)−x 0) +f(x 0)
Chú ý : Tiếp tuyến của đồ thị hàm phân thức có tính chất đặc biệt thú vị đã được trình bày trong Mục1.4.3.
Điều kiện hai đồ thị tiếp xúc
Định lý 1.7.2: Hai đường tiếp xúc Đồ thị đường cong(C) :y=f(x)và đồ thị(C ′ ) :y=g(x)tiếp xúc nhau⇔:
Khi đó, nghiệmx 0 của hệ là hoành độ tiếp điểm.
Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số
Điểm bất động của họ đồ thị
Định nghĩa 1.8.1: Điểm cố định của họ đồ thị
Họ đồ thị (C m ) được xác định bởi hàm số y = f(x, m), trong đó m là tham số Điểm M(x 0; y 0) được coi là điểm cố định của họ đồ thị (C m) nếu (C m) đi qua M với mọi m trong miền xác định của nó.
Để tìm điểm cố định trong đồ thị chứa tham số, học sinh chỉ cần nhớ rằng A(x₀) = 0 và y₀ = B(x₀), với các hệ số của tham số m nhóm m lại bằng 0.
Điểm trên đồ thị có tính chất theo yêu cầu
Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn tính chất cho trước
Tìm điểmA∈(C) :y=f(x)thỏa mãn điều kiệnK:
• GọiA(x 0;f(x 0)) Tương tự nếu có nhiều hơn 1 điểm cần tìm.
• Từ điều kiệnKlập được phương trình ẩnx 0 (hoặc hệ phương trình với nhiều điểm).
• Giải phương trình (hệ phương trình) được tọa độ điểm cần tìm (hoặc các điểm cần tìm).
Quỹ tích điểm trên họ đồ thị
Tập hợp điểm di động trên họ đồ thị
Cho họ đồ thị(C m )có phương trìnhy = f(x, m) Một điểmM ∈ (C m )có tọa độ phụ thuộc vàomdạngM(x(m);y(m)) Khimthay đổi thìMdi chuyển trên một đường(C) Tìm phương trình của đường(C):
VậyM chuyển động trên đường(C)có phương trìnhg(x, y) = 0khimthay đổi.
Để xác định quỹ tích điểm M trên đồ thị (C), cần xem xét điều kiện của m để suy ra điều kiện cho x M hoặc y M Quỹ tích M sẽ là phần đồ thị (C) được giới hạn theo những điều kiện này.
Lũy thừa và hàm số lũy thừa
Lũy thừa và các công thức lũy thừa
Lũy thừa với số mũ nguyên
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Choa∈R, n∈N ∗ Khi đó:a n =a.a.a a| {z } n số
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Choa∈R\ {0}, n∈N ∗ Khi đó: a − n = 1 a n
• Quy ước:a 0 = 1và0 0 và0 − n không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
• Choa >0và số hữu tỉr = m n;trong đóm∈Z, n∈N, n≥2.
Chú ý : Với định nghĩa trên, học sinh cần phần biệt rõ ràng giữa
• Do đóx n 1 = √ n xchỉ khi xét trên miền chung là(0; +∞)(tức x >0).
−5̸= (−5) 1 3 vì(−5) 1 3 không có nghĩa mặc dù bấm máy tính cầm tay vẫn cho kết quả.
Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Choa >0, α∈R, toán học cao cấp đã chứng minh được rằng tồn tại dãy(r n ) + n=1 ∞ là dãy số hữu tỉ sao cho lim x → + ∞ r n =α Khi đó:a α = lim x → + ∞ a r n
2, ta chọn dãy(r n )vớir 1= 1.4, r 2 = 1.41, r 3 1.414,ã ã ã,r n là số thập phõn hữu hạn gần đỳng của√
2vớinsố tự nhiên đằng sau dấu phẩy Như vậy,(r n ) là dãy số hữu tỉ và limr n =α.
Với mỗi n ∈ Q, ta có thể xác định số a_r n và từ đó xây dựng dãy số thực (a_r n) Giới hạn của dãy số này chính là giá trị ký hiệu √2, thường không thể tính chính xác cho số vô tỉ, do đó ký hiệu √2 được sử dụng thay cho giá trị chính xác.
Các tính chất của lũy thừa
Với mọix, y∈Rvà các số thựca, b >0, các tính chất lũy thừa trong số mũ tự nhiên vẫn được bảo toàn:
So sánh với lũy thừa
Choa >0, a̸= 1vàx, y∈R Khi đó, ta có các so sánh sau:
Hàm số lũy thừa
Định nghĩa 2.1.1: Hàm số lũy thừa Định nghĩa: Hàm sốy=x α ,vớiα∈R,được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định: Tập xác định của hàm sốy =x α là
Đạo hàm: Hàm sốy=x α ,(α∈R)có đạo hàm tại mọix∈Dvà(x α ) ′ =α.x α − 1
Sự biến thiên: Đối vớiα ∈/ Zthì trên(0; +∞)hàm số đồng biến vớiα > 0và nghịch biến với α 0 Logarit cơ sốacủab(ký hiệu là log a b) là một sốαmà a α =b Nghĩa là log a b=α⇔a α =b mũ bằng
Tính chất: Cho0< a̸= 1và sốb >0 Ta có:
•log a 1 = 0 •log a a= 1 •log a a b =b •a log a b =b •a log b c =c log b a
Chú ý: Từ định nghĩa ta thấy
Với0< a̸= 1, thì log a f(x)có nghĩa⇔f(x)>0. Định lý 2.2.1: Các công thức biến đổi logarit
Tổng hiệu hai logarit được xác định bởi công thức: log a x + log a y = log a (xy) và log a x - log a y = log a (x/y) với điều kiện 0 < a ≠ 1 và x, y > 0 Khi đưa mũ ra ngoài logarit, ta có: log a b^α = α log a b và log a (αb) = (1/α) log a b Để đổi cơ số, nếu a, b, c > 0 và a khác 1, ta có công thức: log a b = (log c b) / (log c a).
Một số công thức khác dễ dàng suy ra từ 6 công thức cơ bản, học sinh không cần phải thuộc lòng Ví dụ, công thức log a 1 b = −log a b có thể được hiểu là 1 b = b − 1, hoặc log a 1 b = log a 1 − log a b Tương tự, log 1 a b = −log a b có thể được giải thích là 1 a = a − 1.
Một s ố ch ú ý (thường lưu ý khi giải phương trình):
• Vớix 0) thì log a (f(x)) n =nlog a |f(x)|. Định nghĩa 2.2.2: Logarit với cơ số đặc biệt
Logarit thập phân: Là logarit với cơ số 10 Khi đó log 10 x viết gọn lại
Logarit tự nhiên: Người ta chứng minh được e= lim n → + ∞
= 2,718281828459045 là một hằng số không đổi.
Khi đó, log e x viết gọn lại
Hàm số mũ và hàm số Logarit
Tổng hợp hàm số mũ và hàm số logarit
Trong chương trình THPT Việt Nam, hàm mũ và logarit được tổng hợp qua bảng dưới đây, giúp học sinh nắm rõ các khái niệm và ứng dụng của chúng.
Với có sốa >0, a̸= 1, ta có:
Hàm số mũ Hàm số logarit Định nghĩa y=a x y=log a x
Giới hạn lim x → 0 e x − 1 x = 1⇒ lim u(x) → 0 e u(x) − 1 u(x) = 1 lim x → 0 ln(1+x) x = 1⇒ lim u(x) → 0 ln(1+u(x)) u(x) = 1 Đạo hàm (a x ) ′ =a x lna→(e x ) ′ =e x
(log a u(x)) ′ = u ′ (x) u(x).lna. Đặc biệt:(lnu(x)) ′ = u ′ (x) u(x). Biến thiên a >1: Đồng biến trênR
0< a 1: Đồng biến trên(0; +∞)
0 < a < 1: Nghịch biến trên (0; +∞) Đồ thị x y
Tiệm cận TrụcOxlà tiệm cận ngang TrụcOylà tiệm cận đứng.
Phương trình và bất phương trình mũ
Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản
Phương trình và bất phương trình cơ bản
Các bất ph ươ ng t r ìn h dạnga x ≥ mhaya x ≤mgiải hoàn toàn tương tự, chỉ khác là tính thêm nghiệmx=log a m.
Các phương pháp cơ bản
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
Chương trình phổ thông không học lũy thừa với cơ số chứa ẩn, nên với0< a̸= 1, ta có:
Dạng 2: Phương pháp Logarit hóa Áp dụng cho phương trình có 2 vế là tích của các hàm mũ với cơ số khác nhau: a f(x) b g(x) =c h(x) ⇔log
Bây giờ là phương trình đại số không còn hàm mũ.
• Một số phương trình nên rút gọn trước khi lấy logarit hai vế.
• Phương trình khác cơ số nhưng mũ giống nhau không cần logarit hai vế a f (x) b f(x) =m.c f(x) ⇔
Bất phương trình logarithm có thể biến đổi tương tự như các bất phương trình thông thường, với điều kiện là giữ nguyên dấu bất đẳng thức khi cơ số của log lớn hơn 1, và đảo chiều dấu bất đẳng thức khi cơ số nhỏ hơn 1.
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
• Quy phương trình về cùng một đối tượng (t=a f(x) ) hoặc 2 đối tượng độc lập nhau (u=a f (x) vàv=b g(x) màa̸=b k vớik∈Z).
• Khi đó ta có phương trình 1 ẩnthoặc phương trình 2 ẩnu, v.
Một số dạng thường gặp:
• αa 2f(x) +β(ab) f(x) +γb 2f(x) = 0→Đặtu=a f(x) , b=b f(x) :αu 2 +βu.v+γv 2 = 0→phương trình đẳng cấp bậc 2 hai biếnu, v.
• αa f (x) +βb f(x) =γc f (x) vớiab=c 2 →chia 2 vế choc f(x) được α
• p(x)a 2f(x) +q(x)a f(x) +r(x) = 0→Đặtt=a f(x) : p(x)t 2 +q(x)t+r(x) = 0⇔phương trình bậc 2 ẩntvớixlà tham số.
Dạng 4: Phương pháp hàm số
• Nếu hàm sốf(x)đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên khoảng(a;b)thì phương trình f(x) = 0có không quá 1 nghiệm trong(a;b).
• Nhẩm được 1 nghiệm tức là giải được phương trình.
• f(x) = k(hằng số) vàf(x)đơn điệu trên tập xác định D⇒ phương trình có không quá 1 nghiệm.
• f(x) =g(x)vớif(x)đồng biến trênDvàg(x)nghịch biến trênD(hoặc ngược lại) thì phương trình có không quá 1 nghiệm.
• f(x) = 0vớif ′ (x)cónnghiệm thìf(x)có không quán+ 1nghiệm (do có không quán+ 1 khoảng đơn điệu).
• [Phương pháp hàm đặc trưng]
⋆ Đặt 2 ẩn phụ trong phương trình và cô lập 2 ẩn sang 2 vế để đượcf(a) =f(b).
⋆ Chứng tỏ đượcf(x)đơn điệu trênDvàa, b∈D(lưu ý điều kiện này).
Phương trình và bất phương trình Logarit
Cần lư u ý nh ất đối với phương trình, bất phương trình logarit là quan tâm đến tập xác định (điều kiện) để logarit tồn tại.
2.5.1 Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản
Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản
2.5.2 Các phương pháp cơ bản
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
• Đặt điều kiện để các biểu thức logarit có nghĩa.
• Phương trình hoặc bất phương trình chứa log a f(x)và log a α g(x)ta đưa về cùng cơ sốasử dụng log a α g(x) = 1 αlog a g(x).
• Sau cùng đưa về phương trình, bất phương trình dạng cơ bản, chẳng hạn: log a h(x) = b, log a u(x) =log a v(x) v.v
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Sau khi quy được về cùng một cơ số
• Phương trình chỉ chứa 1 đối tượng log a f(x)→đặtt=log a f(x) Chẳng hạn:
Dạng 3: Đưa về phương trình tích
Phân tích thành nhân tử đưa về dạngA(x).B(x) = 0⇔
Dạng 4: Phương pháp hàm số
Phương pháp hàm số có thể áp dụng cho mọi loại phương trình, trong đó có phương trình mũ Học sinh cần nắm vững nguyên tắc chung của phương pháp này, đặc biệt là Dạng 4 của phương trình mũ để giải quyết hiệu quả.
Hệ phương trình mũ và logarit
Phương pháp thường dùng
Dạng 1: Khử mũ hoặc logarit đưa về hệ đại số
• Quy mỗi phương trình về cùng cơ số để khử mũ hoặc logarit.
• Hệ phương trình trở về hệ đại số không còn mũ và logarit.
Dạng 2: Sử dụng phương pháp thế
• Rút được một ẩn này theo ẩn kia từ một phương trình.
• Thế vào phương trình còn lại được phương trình một ẩn.
Dạng 3: Phương pháp hàm đặc trưng
• Từ một phương trình hoặc cộng đại số 2 phương trình được f(x) =f(y)vớif(x)đơn điệu trênD.
Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ
• Quy phương trình về 2 đối tượng giống nhau và đặt làuvàv.
• Giải hệ phương trình ẩnu, v.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.
Nguyên hàm
Khái niệm nguyên hàm và các tính chất
Cho hàm số f(x)xác định trên khoảng (hoặc nửa khoảng, đoạn)K ⊂ R Hàm sốF(x)được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x)trênKnếuF(x)có đạo hàm vàF ′ (x) =f(x),∀x∈K.
Như vậy , để kiểm tra xem hàm sốF(x)có phải là nguyên hàm củaf(x)trênK hay không, ta chỉ cần tínhF ′ (x)rồi so sánh với f(x).
Chẳ ng hạ n , hàm số F(x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2xtrênRvìF(x) =x 2 có đạo hàm trênRvàF ′ (x) (x 2 ) ′
Hàm sốF(x) = tanx là một nguyên hàm của hàm số f(x) 1 cos 2 x trên
) vì(tanx) ′ = 1 cos 2 x. Hàm sốF(x) = lnxlà một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 x trên khoảng(0; +∞)vì(lnx) ′ = 1 x.
Dễ thấy , nếuF(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K thì với mỗi hằng sốC, hàm sốG(x) = F(x) +Ccũng là một nguyên hàm củaf(x)trênK 1 Mặt khác, nếuH(x)cũng là một 1 Vì G ′ (x) = (F (x) + C) ′ = F ′ (x) = f(x) nguyên hàm của hàm sốf(x)thì
Vì vậy, H(x) = F(x) +C, với C là một hằng số Từ đó thấy rằng, nếuF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênKthì
F(x) +C, C ∈ Rlà họ tất cả các nguyên hàm 2 củaf(x)trênK 2 Còn gọi là tích phân bất định và ký hiệu là
Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàmF(x) của f(x)vì dF(x) =F ′ (x)dx=f(x)dx.
Tiế p t h eo là một số tính chất cơ bản của nguyên hàm. Định lý 3.1.1: Tính chất của nguyên hàm
∫ g(x)dxvớia, b∈Rvà không đồng thời bằng0.
Bảng các nguyên hàm cơ bản và ứng dụng
Bảng nguyên hàm cơ bản.
Bằng cách sử dụng định nghĩa và các công thức tính đạo hàm chúng ta dễ dàng có được các kết quả sau
∫ sin(ax+b)dx=−1 acos(ax+b) +C
∫ cos(ax+b)dx= 1 asin(ax+b) +C
∫ 1 cos 2 (ax+b)dx= 1 atan(ax+b) +C
∫ 1 sin 2 (ax+b)dx=−1 acot(ax+b) +C
∫ tan(ax+b)dx=−1 aln|cos(ax+b)|+C
∫ cot(ax+b)dx= 1 aln|sin(ax+b)|+C
Ngoài cách chứng minh trực tiếp bằng cách lấy đạo hàm thì các công thức từ 12 đến 21 còn là hệ quả của định líĐịnh lý 3.1.2.
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ chủ yếu liên quan đến phân thức đúng, tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số Trong trường hợp bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chỉ cần thực hiện phép chia để chuyển đổi thành một phân thức đúng.
∫ mx+n ax 2 +bx+cdx, a̸= 0ta gặp một số trường hợp sau:
• Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 , x 2 thì biến đổi mx+n ax 2 +bx+c mx+n a(x−x 1 )(x−x 2 ) = 1 a
⇔ mx+n = A(x−x 1 ) +B(x−x 2 ) Có hai cách tìm A, B thường được sử dụng, đó là đồng nhất 2 vế ta được
Ax 1+Bx 2 =−n hoặc chox=x 1vàx=x 2 rồi giải hệ tìmA, B.
• Nếu tam thức bậc hai ax 2 +bx +c có nghiệm kép x = x 0 thì biến đổi mx+n ax 2 +bx+c mx+n a(x−x 0 ) 2 = 1 a
] Sau đó ta cũng đồng nhất hai vế tìmA, B.
Nếu phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c \) vô nghiệm, thì nó có thể viết lại dưới dạng \( (a_1 x + b_1)^2 + c_2 \) với \( c_2 > 0 \) Trong trường hợp này, chúng ta áp dụng phương pháp đổi biến bằng cách đặt \( a_1 x + b_1 = c_1 \) và chuyển đổi về hàm lượng giác Điều này dẫn đến việc xem xét tích phân theo hình thức đổi biến dạng 2.
Trườ ng h ợ p , mẫu thức là một biểu thức bậc cao hơn cũng có cách làm tương tự như trên.
Phương pháp đổi biển số
Định lý 3.1.2: Đổi biến số
∫ f(u)du=F(u) +Cvàu=u(x)là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Vớiu=ax+b(a̸= 0)thì ∫ f(ax+b)dx= 1 aF(ax+b) +C
Trong q uá tr ình làm bà i , để vận dụng định lí trên thì học sinh có thể làm theo các bước như sau:
Phương pháp đổi biến số.
Bước 1: Đặtu=u(x)suy ra du=u ′ (x)dx.
Bước 2: Chuyển nguyên hàm ẩnxvề ẩnuvà tính nguyên hàm đó theou.
Bước 3: Trả lại biếnxban đầu bằng cách thayubởiu(x).
Một s ố dấu hi ệu sẽ giúp chúng ta dễ dàng thực hiện phương pháp đổi biến hơn.
Dấu hiệu nhận biết phương pháp đổi biến số.
∫ x(ax+b) n dx(vớinlà số nguyên dương đủ lớn) thì thường đặtt=ax+b.
(cx+d) 2 dxthì đặtt= ax+b cx+d.
∫ f(sinx)cosxdxthì ta thường đặtt=sinxhoặct= √ n φ(sinx).
∫ f(cosx)sinxdxthì ta thường đặtt=cosxhoặct= √ n φ(cosx).
∫ f(tanx) dx cos 2 x thì ta thường đặtt=tanxhoặct= √ n φ(tanx)
∫ f(cotx) dx sin 2 x thì ta thường đặtt=cotxhoặct= √ n φ(cotx)
∫ f(sinx±cosx)(cosx∓sinx)dxthì đặtt=sinx±cosx.
∫ asinx+bcosx csinx+dcosxdxthì tách Tử=α.(Mẫu)+β.(Mẫu)’.
∫ sin n xdxthì hạ bậc nếunchẵn; cònnlẻ tách lẻ một sinxdxra còn lại đưa về cosx.
∫ tan n xdx, (n ≥ 2)thì tách riêng tan 2 x ra và thay nó bởi 1 cos 2 x −1 (cot n x làm tương tự).
∫ 1 cos n xdxthì nhân thêm cosxnếunlẻ; cònnchẵn thì tách 1 cos 2 x ra và thay nó bằng
1 +tan 2 x, còn lại đưa về tanx.
∫ f(e x )e x dxthì ta thường đặtt=e x hoặct= √ n φ(e x ).
∫ f(lnx)dx x thì ta thường đặtt=lnxhoặct= √ n φ(lnx)
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lý 3.1.3: Nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm sốu=u(x)vàv=v(x)có đạo hàm liên tục trênK thì
Bởi v ì v ′ (x)dx = dvvàu ′ (x)dx = dunên công thức trên còn có thể viết gọn lại là
∫ vdu và ta gọi các công thức đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Công t h ức ng uyên h àm t ừng p h ần có thể được mô tả theo sơ đồ sau:
Dấu hiệu nhận biết một nguyên hàm được tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần là khi biểu thức trong dấu nguyên hàm là tích của hai trong bốn loại hàm số: logarit, đa thức, lượng giác, và hàm mũ Thứ tự ưu tiên trong việc lựa chọn hàm số là rất quan trọng.
”n h ất l o g , n h ì đa , ta m lượ ng , t ứ m ũ” phần còn lại sẽ là dv Ta thường gặp những dạng sau
6 I 6 ∫ cos(bx).e ax dx trong đóa, b∈RvàP(x)là một đa thức của ẩnx.
Tích phân
Khái niệm tích phân và các tính chất
Chof(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] Khi đó, hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) và được ký hiệu là ∫[a,b] f(x) dx.
∫ b a f(x)dx Ta còn dùng kí hiệuF(x) b a để chỉ hiệu sốF(b)−F(a).
Trong toán học, ký hiệu ∫ b a biểu thị dấu tích phân, trong đó a là cận dưới và b là cận trên Biểu thức f(x)dx nằm dưới dấu tích phân, với f(x) là hàm số được tích phân Đặc biệt, trong trường hợp a = b hoặc a > b, chúng ta quy ước một số điều kiện nhất định.
∫ b a f(x)dx ∫ b a f(t)dtvì vậy tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, bmà không phụ thuộc vào biến sốxhayt.
Về mặt hình học, nếu hàm sốf(x)liên tục và không âm trên đoạn
∫ b a f(x)dxchính là diện tích của “hình thang cong” được giới hạn bởi đồ thị củaf(x), trụcOxvà hai đường thẳngx=a, x=b(hình bên).
Ngoài ra, tích phân còn có một số tính chất khác như sau: Định lý 3.2.1: Tính chất của tích phân
∫ b a g(x)dxvớim, nlà các hằng số.
Để giải quyết hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần phá vỡ dấu giá trị tuyệt đối và tách nó thành tổng của các tính phân đơn giản hơn.
Đọc thêm: Tích phân có cận là hàm số
Ở mục trên ta đã biết ∫ b a f(x)dx là một hằng số, do đó giá trị của nó không phụ thuộc vào biếnx Nghĩa là
Bây giờ nếu ta cố địnhavà chobthay đổi như một biếnxtrên miền mà tích phân xác định, ta có tích phân dạng ∫ x a f(t)dt.
Rõ ràng, với mỗixthuộc miền xác định của tích phân thì
Quy tắc tích phân xác định tạo ra hàm số \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \), trong đó \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) Nếu \( G(t) \) là một nguyên hàm của \( f(t) \), ta có thể khẳng định mối liên hệ giữa các nguyên hàm này.
Chứng tỏF(x)là một nguyên hàm củaf(x).
Từ đây ta có thể tổng quát lên hàm hợp:
GọiF(x)là một nguyên hàm củaf(x)thì hàm số:
Như vậy, để khảo sát hàm dạng(1)hoặc(2)ta không nhất thiết phải tìm được nguyên hàm củaf(x)bởi , chẳng hạn
Xác định điểm cực đại của hàm sốF(x) ∫ 2 √ x
Hướng dẫn Ở đây ta hiểuf(t) =e − t 2 , do đó
Mà dễ kiểm tra thấyF ′′
Vậy hàm số đạt cực đại tạix= ln2
Phương pháp đổi biến số
Đối với hàm hợp dạng f(u(x)), khi áp dụng quy tắc đổi biến loại 1, ta đặt u(x) và có dt = u'(x)dx Tuy nhiên, nếu hàm hợp không có u'(x)dx, việc đặt u(x) sẽ không loại bỏ hoàn toàn biến cũ Do đó, cần lưu ý đến một phương pháp đổi biến khác.
∫ b a f(x)dx, trong đóf(x)là một hàm số liên tục trên[a;b].Nếu
• Hàm sốx=φ(t)có đạo hàm liên tục trên đoạn[α;β].
• Hàm số hợpf(φ(t))xác định trên[α;β].
Từ đó , ta có quy tắc đổi biến số loại 2 như sau:
Quy tắc đổi biến số loại 2.
Bước 1: Đặtx=φ(t)suy ra dx=φ ′ (t)dt.
Bước 3: Biến đổi và tính
Một s ố dấu h iệu giúp ta nhận biết một tích phân được tính theo phương pháp đổi biến số loại 2.
Dấu hiệu đổi biến loại 2
• Nếuf(x)chứa√ a 2 −x 2 , a >0thì đặtx=asint, t∈[
• Nếuf(x)chứa√ a 2 +x 2 hoặc 1 a 2 +x 2 , a >0thì đặtx=atant, t∈(
• Nếu f(x) chứa√ x 2 −a 2 , a > 0 thì đặtx = a sintt, t ∈ [
Phương pháp tích phân từng phần
Định lý 3.2.2: Tích phân từng phần
Nếu hai hàm sốu=u(x)vàv=v(x)có đạo hàm liên tục trên[a;b]thì
Công thức trên có thể viết gọn lại là
Đọc thêm: Một số dạng tích phân đặc biệt
Để tính tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], ta thường tìm nguyên hàm F(x) và áp dụng công thức Newton-Leibnitz Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc tìm nguyên hàm có thể rất phức tạp hoặc thậm chí không thể thực hiện được dưới dạng tường minh Trong những tình huống này, nếu nắm vững các tính chất của hàm dưới dấu tích phân và thực hiện những biến đổi thích hợp, ta vẫn có thể tính được một số dạng tích phân xác định Định lý 3.2.3 trình bày công thức vạn năng cho vấn đề này.
Với mọi hàmf(x)xác định và liên tục trên đoạn[a;b], ta có
Chứng mi nh : Đặtt=a+b−x, ta có dx=−dtvà
Chof(x)là hàm chẵn xác định và liên tục trên đoạn[−c;c] Khi đó ta có
Chof(x)là hàm số chẵn, liên tục trênD ⊂R Khi đó∀x∈ Dta luôn có
Chof(x)là hàm số lẻ, liên tục trên[−a;a] Khi đó
Chof(x)là hàm số liên tục trên[0; 1] Khi đó ta có π
Chof(x)là hàm số liên tục trên[a;b]và thỏa mãn điều kiệnf(x) =f(a+b−x)với∀x∈[a;b].
Chof(x)là hàm số liên tục trênRvà thỏa mãn điều kiệnf(x) +f(−x) = √
Đọc thêm: tích phân hàm ẩn
Một số bà i t ính t ích p hâ n
Khi tích phân hàm ẩn ∫ b a f(x)dx được đề cập mà chưa cung cấp hàm f(x), chỉ biết rằng f(x) thỏa mãn một hoặc vài ràng buộc, chúng ta cần kiểm tra xem bài toán có thuộc dạng tích phân đặc biệt hay không Nếu không, cần chú ý đến các dạng khác dưới đây.
Dạng 1: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 f ′ (x) +p(x).f(x) =q(x) (∗)
GọiP(x)là 1 nguyên hàm củap(x), ta có thể tìm raf(x)như sau:
• Nhân hai vế của (*) vớie P (x) ta đượcf ′ (x).e P (x) + (P(x)) ′ f(x).e P (x) =q(x).e P(x) (1)
• Chú ý vế trái (1) chính là đạo hàm củaf(x).e P (x) nên ta có( f(x).e P (x) ) ′
• Lấy nguyên hàm hai vế ta đượcf(x).e P (x) ∫ q(x).e P (x) +C
Trong tất cả những hàm sốf(x)liên tục và có đạo hàm liên tục trên[0; 1]thỏa mãn 3f(x) +xf ′ (x)≥x 2018 với mọix∈[0; 1], tìm giá trị nhỏ nhất củaI ∫1 0 f(x)dx.
Vậyp(x) = 3 x ⇒ e P (x) = x 3 Ta nhân 2 vế của (*) vớix 3 được
2019.2021. Đẳng thức rõ ràng xảy ra.
Cho hàm sốf(x)liên tục trênRvàf(x) + 2f
Dạng 3: Phương trình hàm hàm hợp
Cho hàm sốf(x)thỏa mãnf(u(x)) = v(x), trong đóu(x)là hàm đơn điệu trênR TínhI ∫ b a f(x)dx.
• Vớit=a⇒x=α;t=b⇒x=β(do tính đơn điệu đảm bảo nghiệm duy nhất).
• Vậyf(t)dt=u ′ (x)v(x)dx Do đóI ∫ b a f(t)dt ∫ β α u ′ (x)v(x)dx.
Cho hàm sốf(x)liên tục trênRthỏa mãnf(x 3 + 2x−2) = 3x−1 TínhI ∫10 1 f(x)dx
Hướng dẫn Đặtt=x 3 + 2x−2⇒ dt= (3x 2 + 2)dxvàf(t) = 3x−1.
Nhân vế với vế của các vì phân, lấy tích phân
Dạng 4: Đổi vai trò của biến x và y
Cho hàmf(x)thỏa mãnx=G(f(x)), vớiG(t)là hàm đơn điệu trênR.
• Vớix=a⇒G(y) =a⇒y=α, tương tựx=b⇒x=β VậyI ∫ β α yG ′ (y)dy.
Cho hàm sốf(x)liên tục trênRthỏa mãnf 3 (x) +f(x) =x,∀x∈R TínhI ∫2 0 f(x)dx.
Hướng dẫn Đặty=f(x)⇒y 3 +y=x⇒ dx= (3y 2 + 1)dy.
Dạng 5: Bất đẳng thức tích phân
∫ b a u(x)f(x)dx=ntìm đượck= n p Vậyf(x) = n pu(x).
Chof(x)liên tục trên[0; 1]thỏa
Hướng dẫn Áp dụng bài toán tổng quát vớiu(x) =x 3 ⇒
Ta thấyn 2 =mpnênf(x) = n pu(x) = 4x 3 VậyI ∫1 0
Ứng dụng của tích phân
Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Biết cận tích phân
Giả sử miềnDdược giới hạn bởiy = f(x), y = g(x), x= a, x = bvớia < bthì diện tich của miềnDđược tính theo công thứcS ∫ b a
|f(x)−g(x)|dx Để tính tích phân này ta căn cứ vào số nghiệm của phương trìnhf(x)−g(x) = 0.
• Nếu phương trìnhf(x)−g(x) = 0vô nghiệm trên(a;b)thì
• Nếu phương trìnhf(x)−g(x) = 0cónnghiệm phân biệtx 1 < x 2 < < x n (thường gặp n= 1) trong khoảng(a;b)thì
Dạng 2: Chưa biết cận tích phân
Giả sử miền D được giới hạn bởi y = f(x) và y = g(x), ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) để tìm nghiệm phân biệt x1 < x2 < < xn (thường n = 2 hoặc n = 3) thuộc tập xác định Diện tích của miền D được tính theo công thức cụ thể.
Nếu phương trìnhf(x) =g(x)chỉ có 1 nghiệm thì thông thường miềnDsẽ được giới hạn bởi y =f(x), y=g(x), x=avà diện tích củaDđược tính tương tự.
Nếu đường thẳng d: y = mx + n và parabol (P): y = ax² + bx + c cắt nhau tại hai điểm phân biệt, thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) được tính theo công thức S = x² Học sinh có thể dễ dàng tự xây dựng công thức này.
∫ x 1 a(x − x 1 )(x − x 2 ) dx và dùng phương pháp đổi biến t = x − x 1
√∆ 3 a 2 trong đó∆ =B 2 −4ACvàA=a, B =b−m, C =c−nlà các hệ số của phương trình hoành độ giao điểm của(P)vàd ax 2 + (b−m)x+ (c−n) = 0.
Dạng 3: Miền cần tính được giới hạn bởi ba đồ thị.
Trường hợp miềnDđược giới hạn bởi ba đồ thị y = f(x), y = g(x), y = h(x) thì ta làm như sau:
• Bước 1: Tìm tọa độ các giao điểm của từng cặp đồ thị.
• Bước 2: Vẽ đồ thị các hàm số đó và xác định miềnD.
• Bước 3: Chia miềnDthành các miền được giới hạn bởi các đường như dạng 1 và dạng 2.
• Bước 4: Lập công thức tính diện tích và tính.
Dạng 4: Miền cần tính được giới hạn bởi các đường cong bậc hai.
Trường hợp miềnDđược giới hạn bởi các đường trong đó có đường cong bậc 2 dạngy 2 =f(x) thì biến đổiy =±√ f(x)sau đó đưa về một trong các dạng trên.
Dạng 5: Bài toán thực tế. Để tính được diện tích của các hình phẳng trong bài toán thì ta phải khéo léo quy về tính diện tích của các hình quen thuộc hoặc gắn hệ trục tọa độ để tìm phương trình của các đường bao bên ngoài.
Để tính diện tích của cánh cổng có hình dạng parabol với trục đối xứng vuông góc với mặt đất, ta cần biết khoảng cách từ đỉnh parabol đến mặt đất là h (> 0) và khoảng cách giữa hai chân cổng là 2a (> 0) Diện tích của cánh cổng có thể được xác định dựa trên các thông số a và h.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc O nằm giữa hai chân cổng, trong đó hai chân cổng nằm trên trục Ox và trục Oy đi qua đỉnh của parabol Phương trình của parabol được xác định là y = -h/a^2 (x - a)(x + a) hoặc y = -h/a^2 (x^2 - a^2).
Diện tích cần tính là
3 Chú ý: Công thức này có thể được áp dụng trong nhiều bài toán.
Thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện
Cắt một vật thể (υ) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (với a < b) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x, trong khoảng a ≤ x ≤ b, cắt (υ) tạo thành diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b], thể tích V của phần vật thể (υ) được giới hạn bởi (P) và (Q) có thể được tính bằng công thức V = ∫ b a S(x) dx.
S(x)dx.Nhờ đó, ta có thể chứng minh được một số công thức tính thể tích đã biết. x z y O a x b
Cho một khối trụ có bán kính đáy R Khi cắt khối trụ bằng một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc α (0° < α < 90°), ta thu được một hình nêm Mục tiêu là tính thể tích của hình nêm này.
Chọn trục Ox sao cho O là trung điểm của AB và chiều dương của trục Ox hướng từ O đến A Xét mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm I, với khoảng cách OI = x (−R ≤ x ≤ R) Thiết diện hình nêm cắt bởi mặt phẳng (P) tạo thành một tam giác vuông ICD có hai cạnh góc vuông.
Khi đó diện tích thiết diện
Vậy thể tích của hình nêm đó là
Chú ý: Nếu chiều cao của hình nêm bằngh(tức là khoảng cách từ điểm chính giữa của cungABxuống mặt đáy)thì công thức trên có dạng
Ngoài ra, diện tích xung quanh của hình nêm là
Cho một khối cầu có bán kính R, khi cắt khối cầu bằng mặt phẳng (P) cách tâm một khoảng R - h (với 0 < h ≤ R), ta sẽ thu được một chỏm cầu với chiều cao h Bài viết này sẽ trình bày cách tính thể tích của phần chỏm cầu đó.
Chọn trụcOxcóO là tâm của đường tròn đáy của chỏm cầu vàOxvuông góc với mặt phẳng đáy Xét mặt phẳng
(P) vuông góc với Ox cắt Ox tại điểm x (0 ≤ x ≤ h) ta được thiết diện là một đường tròn có bán kính δ √
R 2 −(R−h+x) 2 , do đó diện tích thiết diện là
Vậy thể tích chỏm cầu là
Chú ý: Nếu bán kính đường tròn đáy của chỏm cầu bằng rthì thể tích của chỏm cầu còn được tính theo công thức
Ngoài ra, người ta còn chứng minh được diện tích xung quanh của chỏm cầu là
Thể tích khối tròn xoay
Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong quanh trục Ox
Giả sử có một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), khi quay quanh trục Ox sẽ tạo thành khối tròn xoay Nếu xét mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm x ∈ [a; b], ta sẽ có thiết diện là một hình tròn với bán kính r = |f(x)| Do đó, diện tích thiết diện được tính bằng công thức S(x) = πf²(x) Từ đó, thể tích của khối tròn xoay có thể được tính theo công thức liên quan đến diện tích thiết diện.
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị.
Khi có một miền D được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trong nửa mặt phẳng bờ Ox, việc quay miền D quanh trục Ox sẽ tạo ra một khối tròn xoay Quá trình này thường được thực hiện bằng cách áp dụng các phương pháp tích phân để tính toán thể tích của khối tròn xoay đó.
• Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (thông thường ta được 2 nghiệmx=a < x=b).
• Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thứcV =π
Cho hình tròn(C) :x 2 + (y−b) 2 =a 2 , b > a >0 Quay hình tròn(C)quanh trụcOxta được một khối tròn xoay có dạng hình xuyến (hình cái phao bơi) Tính thể tích hình xuyến đó.
Ta coi hình tròn (C) được giới hạn bởi hai đường cong y = b−√ a 2 −x 2 vày = b+√ a 2 −x 2 có hoành độ các giao điểm làx = −a, x =a.Khi đó,thể tích vật thể được tạo thành là
4ba 2 cos 2 tdt(đặtx=asint)
Chú ý: Nếu hình xuyến đó có bán kính đường tròn bên trong bằng r bán kính đường tròn bên ngoài bằngR thì
Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị.
Để tính thể tích của vật tròn xoay được tạo thành từ hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị, trước tiên cần xác định tọa độ các giao điểm và vẽ hình phẳng Tiếp theo, chia hình phẳng thành các phần tương ứng với các dạng đã xác định Cuối cùng, tính thể tích của từng phần và cộng (hoặc trừ) để tìm ra thể tích tổng cần thiết.
Ứng dụng trong vật lí và một số ứng dụng khác
Quá trình chuyển động của một chất điểm được mô tả bởi hàm số S(t) theo thời gian t, với vận tốc v(t) và gia tốc a(t) Theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tức là S'(t) = v(t), và gia tốc là đạo hàm của vận tốc, tức là v'(t) = a(t).
S(t)là một nguyên hàm của hàm sốv(t) vàv(t)là một nguyên hàm của hàm sốa(t).
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5 m/s bắt đầu tăng tốc theo hàm số vận tốc v(t) = 3t² + 5 (m/s) Để tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 10, ta cần xác định vận tốc tại hai thời điểm này và áp dụng công thức tính quãng đường.
Quá trình chuyển động được mô tả bởi phương trình quãng đường S = S(t), trong đó S'(t) = v(t), cho thấy S(t) là nguyên hàm của v(t) Để tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 10, ta sử dụng công thức s = S(10) - S(4) = S(t).
Một người thực hiện thí nghiệm từ độ cao 162m, thả một vật chuyển động thẳng đứng xuống đất với vận tốc theo quy luật v(t) = 10t - t², trong đó t là thời gian tính bằng phút Vận tốc v(t) được tính bằng mét/phút Cần tính toán vận tốc của vật khi nó bắt đầu tiếp đất.
Gọi S = S(t) là quãng đường của chuyển động suy ra
S(t)là một nguyên hàm của hàm sốv(t) = 10t−t 2 Gọix
(phút) (0< x≤10)là thời điểm vật đó bắt đầu chạm đất.
Trong khoảngx(phút) vật rơi một từ độ cao162m xuống mặt đất nên ta có
3 Giải phương trình này ta được nghiệm x = 9 ∈ (0; 10] thỏa mãn.
Vậy vận tốc của vật làv=v(9) = 9(m/p).
Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc nhanh dần đều với gia tốc a(t) = 6t+
4m/s 2 Tính quãng đường vật đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Gọi S = S(t), v(t) lần lượt là các hàm số mô tả quãng đường và vận tốc của chuyển động suy ra S(t) = v ′ (t) vàv ′ (t) =a(t) Do đó v(t) ∫ (6t+ 4)dt= 3t 2 + 4t+C
Vì thời điểm bắt đầu tăng tốc vận tốc của chuyển động bằng 10 m/s nênv(0) = 10⇔C= 10⇒v(t) = 3t 2 + 4t+
10 Khi đó quãng đường vật đi được sau 10 giây kể từ lúc tăng tốc là
Tích phân không chỉ ứng dụng trong vật lý mà còn trong các bài toán tổng hợp số Để nhận biết khi nào sử dụng tích phân, ta cần chú ý đến các số hạng trong biểu thức tổng hợp, thường có dạng 1 k+mãC k n, với điều kiện 0≤k≤n và k, n, m thuộc tập số tự nhiên.
Lấy tích phân hai vế cận từ0đến1ta được
Mặt khác ta cũng có
Từ(1)và ((2)ta có điều phải chứng minh.
