Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân

= +

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ; ]a b và α≤u x( ) ≤β. Giả sử có thể viết f x( ) =g u x u x x a b( ( )) '( ), ∈ [ ; ], với g liên tục trên đoạn

[ ; ].α β Khi đó, ta có

( ) ( )

dx I

x

=

+

∫ Đặt t= x+ 1

2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm

và liên tục trên đoạn [ ; ]α β (*) sao cho ϕ α( ) =a, ( )ϕ β =b và a≤ϕ( )t ≤b với mọi t∈ [ ; ].α β Khi đó:

b a

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn Ví dụ, để tính

tích phân 3 2

2

x dx I

x

=

+

∫ thì nên đổi biến dạng 1

x

= +

IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí : Nếu u u x= ( ) và v v x= ( ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

b a

( )

cos kx

P(x): Đa thức Q(x): e kx

P(x): Đa thức Q(x):ln(ax b+ )

P(x): Đa thức Q(x): 12

x x v

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1 Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k tùy ý Trong các khẳng định sau,

x d

π π

Câu 15 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?

A 3 ( )3

1 1

e dx= e

3 3

Câu 16 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ ; ] a b Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

( )

( )

b b

a b a

Câu 21 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b , sao cho ; b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

0

21

1 2

21

t

t

= −+

1 2

21

t

t

=+

Câu 29 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào

π π

=

1

2(1 )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng

Câu 33 Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng được 2,5

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm

Câu 34 Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b Gọi F và G lần lượt là một nguyên

hàm của f và g trên đoạn [ ; ] a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Câu 36 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k bất kỳ trong  Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

Câu 42 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 1 2

x d

π π

Câu 51 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ ; ]a b Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A F x'( )= f x( ) với mọi x a b∈( ; )

Câu 54 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b sao cho ( ) 0 g x ≠ với mọi x a b∈[ ; ] Một học

sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:

b b

a b a

Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3]− , luôn có 3

C Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b , sao cho ; b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

A 1

1 2

21

t

t

=+

0

21

1 2

21

t

t

= −+

0

21

=

1

2(1 )

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng

Câu 68 Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng được 2,5

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm

Câu 69 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [ ; ] a b Đẳng

thức nào sau đây luôn đúng?

đó F và G là các nguyên hàm của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?

D 1 1 1 1 1

0 0

1 0

x

=+

Câu 80 Cho tích phân 2

0

(2 x)cosx cosxdx

π π

0

(2 x) cosxdx

π π

t dt t

−

1

( 1)t dt t

−

1

1 ( 1)2

t dt t

−

1

3 ( 1)2

t dt t

−

Câu 82 Tích phân

4 3 4 1

1( 1)

3ke dx x

2 3 2 0

Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên  Nếu 5

(x 5 )lnx x e e(x 5)dx

1 1

(x −5 )lnx x e+∫e(x−5)dx

C 2

1 1

(x −5 )lnx x e−∫e(x−5)dx D 2

1 1

( )

I f x dx

π π

− ++

A 1 6ln4

46ln

2+ 3 C 1

4ln

4ln

2 0

11

Câu 107 Giá trị của tích phân 1 2

01

dx I

x

=+

230

101 0

Câu 124 Giá trị của tích phân

2 3 3

Câu 126 Giá trị của tích phân: 2

Câu 127 Giá trị tích phân 2( 4 )

−

=+

A 3 ln 2

2 B 1 ln3

2 C ln 2 D 1 ln 22

Câu 129 Giá trị tích phân 2

Câu 140 Giá trị của tích phân 1

01 x

dx I

e

=+

A ln 2

1

e e

e dx I

Câu 143 Giá trị của tích phân

dx I

Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa ( ) 2 ( ) cos f x− + f x = x Giá trị của tích phân

2 2

( )

I f x dx

π π

A B

A B

Câu 154 Cho 1 2

1

x

dt I

t

=+

∫ Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho

∫x dt t

Câu 155 Giá trị của tích phân 2 2

6

1 ln(sin )sin

x

π π

=+

−

− B.ln 2

1

a a

−

− C.ln 2( 21)

a a

−

a a

−+

+ bằng

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Hướng dẫn giải

1 1

•

0 0

0 0

Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà

nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ

22

x xdx = =

∫ với mọi số thực a Trong

các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y f x( ) sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán

=∫ có giá trị bằng

A 3ln 3 B 1 ln 3

5ln

5 2

5ln2

dx

x −

5 2

1 ln33

d

x x −

5 2

2ln5

x d

π π

1 ln32

sin x dx

π π

−

3

12ln3

sin x dx

π π

−

2 3

2ln 3

sin x dx

π π

π π

Câu 13 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu 3

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

b b

a b a

b b

a b a

2 2 0

3( 1)

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b; , sao cho b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm

số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ f x( )= với x x ∈[0;1] Khi đó

1( )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III Hướng dẫn giải

1 1

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

0

21

1 2

21

t

t

= −+

1 2

21

t

t

=+

=

1

2(1 )

(1+x dx)x

1 2017 1

2(1 )

Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a, ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:

• Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] a a thì a ( ) 0

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [ 2;2]− và tính toán Ví dụ f x( )=x với x ∈ −[ 2;2] Khi đó



2 2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t=(x+1)2 với − ≤ ≤2 x 1 thì không suy ra t x= +1 được, vì x + có thể bị âm khi 1

1

2 x

− ≤ ≤ −

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

hàm của f và g trên đoạn [ ; ] a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

biểu sau, phát biểu nào sai?

0 0

∫

•

0 0

∫

0 0

Câu 43 Tích phân 5

2

dx I x

=∫ có giá trị bằng

A 1 ln 3

5ln

5ln2

dx

x −

5 2

1 ln33

d

x x −

5 2

2ln5

x d

π π

1 ln32

sin x dx

π π

−

3

12ln3

sin x dx

π π

−

2 3

2ln 3

sin x dx

π π

π π

− D Không xác định Hướng dẫn giải

Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị

=

3 3

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:

b b

a b a

Các phát biểu

( )( )

b b

a b a

2 2 0

3( 1)

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3]− , luôn có 3

B Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có b ( ) a ( ) ( )

2

1 1

( )( )

Câu 59 Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a b< Nếu b ( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm

số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ f x( )=x với x ∈[0;1] Khi đó 1 1

1( )

Câu 62 Bài toán tính tích phân

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

Hướng dẫn giải

1 1

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

A 1

1 2

21

t

t

=+

0

21

1 2

21

t

t

= −+

0

21

π π

=

1

2(1 )

1 2017 1

2(1 )

Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:

• Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] a a thì a ( ) 0

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [ 2;2]− và tính toán Ví dụ f x( )=x với x ∈ −[ 2;2] Khi đó



2 2

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t=(x+1)2 với − ≤ ≤2 x 1 thì không suy ra t x= +1 được, vì x + có thể bị âm khi 1

1

2 x

− ≤ ≤ −

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm

Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

thức nào sau đây luôn đúng?

đó F và G là các nguyên hàm của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?

xe dx= xe − e dx

∫ ∫ , trong đó ( )F x =x, g x( )=e x

1 0

Câu 75 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b< và b sin

a

x xdx π=

∫ , đồng thời cosa a = và 0cos

e

x dx x

=+

0

(2 x)cosx cosxdx

π π

0

(2 x) cosxdx

π π

t dt t

−

1

( 1)t dt t

−

1

1 ( 1)2

t dt t

−

1

3 ( 1)2

t dt t

1( 1)

Câu 84 Cho số thực a thỏa mãn 1 4 2

1

a x

3ke dx x

2 3 2 0

Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên  Nếu 5

(x 5 )lnx x e e(x 5)dx

1 1

(x −5 )lnx x e+∫e(x−5)dx

C. 2

1 1

(x −5 )lnx x e−∫e(x−5)dx D 2

1 1

(x−5)lnx e−∫e(x −5 )x dx Hướng dẫn giải

− =+

3 0

( )

I f x dx

π π

xdx

π π

1 1

1

3 1

− ++

A 1 6ln4

46ln

4ln

4ln

x

− ++

2 0

11

x

=+

∫ , rồi đặt t= 1+x sẽ tính nhanh hơn

A ln 2 B ln 3 C 2ln 2 D 2ln 3

Câu 122 Giá trị của tích phân: ( )

99 1

101 0

=+

Ta có: (sin4x+cos )(sin4x 6x+cos )6x 33 7 cos 4 3 cos8

Hướng dẫn giải

4

2 0

sin 43

1 sin 24

t t

10!! 2.4.6.8.10 256cos

Câu 139 Giá trị của tích phân 2 10

Hướng dẫn giải

2

10 0

n n

e

=+

A ln 2

1

e e

e dx I

A 2 2 1− B 2 1− C 2 2− D 2 2 2−

Hướng dẫn giải

3 2

dx I

Đặt x=tant⇒dx= +(1 tan )2t dt Đổi biến: 0 0, 1

( )

I f x dx

π π

A B

ππ

Câu 154 Cho 1 2

1

x

dt I

t

=+

∫ Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho

x

π π

2

6

2 2 6 6

1 ln(sin ) cot ln(sin ) cotsin

π π π π

3 2

14cos 3sin 1

Hướng dẫn casio: Thay m =1 và m = −6 vào thấy thỏa mãn

2 2 2

41

cos cos cos cos (2 sin ) sin 2

2(2 sin ) 2 sin (2 sin ) (2 sin ) 2 0

x

=+

2 ?

Hướng dẫn giải

1 1

0 0

−

1

a a

−

− C.ln 2( 21)

a a

−

a a

−+

xe dx a=

∫ Khi đó biểu thức b a2+ 3+3a2+2a có giá trị bằng