Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Hình Học lớp 12 theo tự luận - Nguyễn Phú Khánh (Chủ biên)

Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Hình Học lớp 12 theo tự luận - Nguyễn Phú Khánh (Chủ biên)

Lời nói đầu

Các em học sinh thân mến!.

“ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 12 “ là một trong những cuốn

thuộc bộ sách “ Bài giảng trọng tâm theo chuyên đề : lớp 10,11,12 “, do nhĩm

tác giả chuyên tốn THPT biên soạn

Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với mơn tốn một cách tự nhiên, khơng áp lực, bạn đọc trở nên tự tin và năng động hơn; hiểu rõ bản chất, biết cách phân tích để tìm ra trọng tâm của vấn đề và biết giải thích, lập luận cho từng bài tốn Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình huống giúp bạn đọc luơn hứng thú khi giải tốn.

Tác giả chú trọng biên soạn những câu hỏi mở, nội dung cơ bản bám sát sách giáo khoa và cấu trúc đề thi Đại học, đồng thời phân bài tập thành các dạng tốn

cĩ lời giải chi tiết Hiện nay đề thi Đại học khơng khĩ, tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản, nhưng chứa nhiều câu hỏi mở nếu khơng nắm chắc lý thuyết sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải bài tốn Với một bài tốn, khơng nên thỏa mãn ngay với một lời giải mình vừa tìm được mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải nhất cho bài tốn đĩ, mỗi một cách giải sẽ cĩ thêm phần kiến thức mới ơn tập

Mơn Tốn là một mơn rất ưa phong cách tài tử, nhưng phải là tài tử một cách sáng tạo và thơng minh Khi giải một bài tốn, thay vì dùng thời gian để lục lọi trí nhớ, thì ta cần phải suy nghĩ phân tích để tìm ra phương pháp giải quyết bài tốn đĩ Đối với Tốn học, khơng cĩ trang sách nào là thừa Từng trang, từng dịng đều phải hiểu Mơn Tốn địi hỏi phải kiên nhẫn và bền bỉ ngay từ những bài tập đơn giản nhất, những kiến thức cơ bản nhất Vì chính những kiến thức cơ bản mới giúp bạn đọc hiểu được những kiến thức nâng cao sau này.

Giờ đây, chúng tơi chợt nhớ tới câu nĩi của Ludwig Van Beethoven: “ Giọt nước

cĩ thể làm mịn tảng đá, khơng phải vì giọt nước cĩ sức mạnh, mà do nước chảy liên tục ngày đêm Chỉ cĩ sự phấn đấu khơng mệt mỏi mới đem lại tài năng Do

đĩ ta cĩ thể khẳng định, khơng nhích từng bước thì khơng bao giờ cĩ thể đi xa ngàn dặm”.

khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn.

Thay mặt nhóm biên soạn Chủ biên: Nguyễn Phú Khánh.

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN

VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ PHÉP

BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN A.TĨM TẮT GIÁO KHOA.

I Khối đa diện

1) Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện ( gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu

hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung , hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của hai đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh

của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa

diện

2) Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hainj bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của

khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc

hình đa diện được gọi là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện ứng với nó Ta gọi mỗi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong , ngoài…của khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong , ngoài…của hình đa diện tương ứng

3) Hai đa diện bằng nhau

3.1 Phép dời hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu bảo

toànkhoảng cách giữa hai điểm tùy ý

Vậy: Nếu Flà một phép dời hình và F M  M F N',   N'thì

' '

3.2 Một số phép biến hình thường gặp trong không gian

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v( kí hiệu:

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến

mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc

(P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó

thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H).

c) Phép đối xứng tâm O: là phép biến hình biến điểm O thành

chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung

điểm của MM’

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành

chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của hình

(H).

d)Phép đối xứng qua đường thẳng : là 

phép biến hình biến mỗi

M'

DM'

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

điểm thuộc thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  

thành M’ sao cho là trung trực của MM’

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng biến hình (H) thành chính nó 

được gọi là trục đối xứng của hình (H).



e) Phép vị tự tâm O tỉ số k: là phép biến hình biến điểm mỗi điểm

M trong không gian thành điểm M’ sao cho OM' kOM

 Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến

đa diện này thành đa diện kia

3.3 Phân chia và lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện ( )H là hợp của (H1) và (H2), sao cho (H1) và không có điểm chung trong thì ta nói có thể chia thành 2

hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) thành khối đa diện ( )H

II Khối đa diện lồi – Khối đa diện đều

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối

hai điểm bất kỳ của ( )H luôn thuộc ( )H

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất



* Mỗi mặt của nó là một đa giác đều cạnh.p

* Mỗi đỉnh của chúng là đỉnh chung của đúng mặt.q

* Khối đa diện đều đó được gọi là khối đa diện đều loại  p,q Gọi D M C, , lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện lồi thì đặc số Euler của là (định lý

Euler)

III Thể tích khối đa diện

 Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

.

1

3

 Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

 Thể tích khối hộp chữ nhật : V  abc

 Thể tích khối lập phương: V  a3

 Tỉ số thể tích: Nếu A B C', ', ' thuộc các cạnh SA SB SC, , của hình chóp

S A B C

S ABC

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.

Vì phần này chỉ cĩ mục đích giới thiệu cho học sinh các khái niệm cơ bản của khối

đa diện và một số phép biến hình trong khơng gian, do đĩ trong các dạng tốn dưới đây chỉ đề cập vấn đề áp dụng phép biến hình để giải một số dạng tốn hình học khơng gian

Vấn đề 1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

và vận dụng các tính chất của phép biến hình này để giải

Để tìm tập hợp điểm M ,ta tìm một phép biến hình f biến M thành



điểm N ,trong đó tập hợp của N đã biết hay dễ tìm Khi đó tập hợp điểm M là ảnh của tập hợp điểm N qua phép biến hình f

Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những

tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4,6,8,10

Lời giải.

Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là và Vì mỗi mặt c mcó ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

cạnh của đa diện là c3m3m 2c  chia hết cho 2 mà 3 không

chia hết cho 2 nên phải chia hết cho 2 , nghĩa là m là số chẵn.m

*Khối đa diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác

*Xét tam giác BCD và hai điểm A,E ở về hai phía của mặt phẳng

Khi đó ta có khối lục diện có 6 mặt là những tam

giác

*Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là những tam giác

*Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M,N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác Khi đó ta có khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là những tam giác

Ví dụ 2.1.1 Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là

đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn

Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp S.ABCD SA, vuông góc với mặt phẳng

, đáy là hình thoi cạnh a Gọi lần lượt là hình

C

D S

Gọi là giao điểm của I AC và BDthì là trung điểm của I AC nên Gthuộc và SI SG 2

SI 3Gọi là phép vị tự tâm , tỉ số , ta có:f S 2

3

f B H,f I G,f D K

Vì B,I,D thẳng hàng nên H,I,K cũng thẳng hàng

Ví dụ 4.1.1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh Gọi a  P là mặt trung trực của cạnh AB,K là một điểm trong tam giác ACD và là giao điểm Ecủa BK và  P ,F là điểm đối xứng của qua K  P Chứng minh rằng

ba điểm A,E,F thẳng hàng và EA EF  a 6

3

Lời giải.

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Tứ diện ABCD là tứ diện đều nên

bốn mặt của nó là 4 tam giác đều

bằng nhau Gọi là trung điểm I

của AB, khi đó ta có

Lại có EA EB,EF EK  , suy ra EA EF EB EK BK   

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng H B ACD và là Mtrung điểm của CD thì là tâm của tam giác H ACD và

1 Chứng minh là trực tậm của tam giác H SBC

2 Gọi là giao điểm của K SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tập hợp các điểm khi di động trên đường thẳng

Lời giải.

Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm của tam giác H SBC.

2.Tập hợp các điểm K

Theo tính chất của trực tâm , nếu là giao điểm của K SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC thì và đối xứng với nhau qua K Hđường thẳng BC

Gọi là giao điểm của E SH với BC, ta có BCSAH, suy ra BC AE

; là hình chiếu vuông góc của lên E A BC nên cố định.E

và đối xứng với nhau qua đường thẳng , suy ra tập hợp là

ảnh của tập hợp qua phép đối xứng trục H BC

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 6.1.1 Trong mặt phẳng  P cho đường tròn  C đường kính AB; là một điểm di động trên , là hình chiếu vuông góc của

lên AB Gọi là trung điểm của I MH và  d là đường thẳng vuông góc với  P tại ; trên I  d lấy một điểm sao cho S SHM 60 0 Dựng hình bình hành SMHN.Tìm tập hợp các điểm khi di động trên N Mđường tròn

Mặt phẳng SAB chứa

đường thẳng cố định AB và

hợp với mặt phẳng cố định

một góc không đổi

Tam giác SMH có SI MH

tại trung điểm của I MH

nên là tam giác cân , lại có

(d)

(P)

(C) 60

E N

I

M

H S

nên tam giác là tam giác đều

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1

1 Tìm số đỉnh, số cạnh và số mặt nhỏ nhất có thể có của một hình đa

diện

2 Tính số đỉnh, số mặt và số cạnh của một khối đa đều diện loại

Từ đó hãy tìm tất cả các đa diện đều loại

5 Chứng minh rằng không tồn tại hình đa diện có cạnh.7

6 Chứng minh rằng trong một khối đa diện bất kỳ, tồn tại hai đỉnh

mà số cạnh xuất phát từ mỗi đỉnh này bằng nhau

Bài 2

1 Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh

chung của ba cạnh thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn

2 Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi

đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện

3 Chứng minh rằng một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng Bài 3

1 Chứng minh rằng một khối đa diện có ít nhất đỉnh.4

2 Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất cạnh.6

3 Chứng minh rằng trong một khối đa diện bất kỳ tồn tại mặt có số

cạnh nhỏ hơn 6

Bài 4

1 Cho tứ diện ABCD có AB CD , AC BD ,AD BC Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên A B CD C’; và D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên C D AB Chứng minh

và



A’C’ B’D’ A’D’ B’C’

2.Trong mặt phẳng , cho tứ giác lồi ABCD có ABD 120 , 0 ABC 75 , 0

, , Dựng hai tia cùng vuông góc với

BCD 60 0 AB a CD a 2 Bx,Cy

và cùng chiều , trên lần lượt lấy hai điểm sao cho góc

giữa EF và  P là 600 Tính độ dài đoạn EF theo a

3 Cho tứ diện đều ABCD Gọi E,F,O lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD và EF Chứng minh rằng với mọi điểm nằm trong tứ Mdiện ta có : MA MB MC MD OA OB OC OD.      

Bài 5

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1 Cho mặt phẳng  P , , là hai điểm ở cùng một phía đối với mặt A Bphẳng  P Tìm điểm trên M  P sao cho MA MB nhỏ nhất

2 Cho hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau theo giao tuyến và một đoạn thẳng ở trong , song song với Gọi là hình

xứng của qua Tìm tập hợp các điểm H D K

2 Trong mặt phẳng  P , cho góc xAx' và một điểm không thuộc B Gọi tia là ảnh của tia qua phép tịnh tiến Trên hai

Gọi là trọng tâm của tam giác

a) Hãy nêu cách dựng các điểm A’B’C’

1 Cho mặt phẳng  P và tứ diện ABCD Với mỗi điểm thuộc M  P

ta xác định điểm theo công thức N MA MB MC MD 2MN        Tìm tập hợp các điểm khi di động trong N M  P

2 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD là hình vuông Gọi là một điểm di động trên cạnh M SAvà  P là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng MBC qua đường thẳng SA H, là hình chiếu vuông góc của lên S  P Tìm tập hợp Hkhi di động trên cạnh M SA

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi là Mmột điểm di động trên cạnh SA Mặt phẳng MCD cắt SB tại NGọi M’,N’ lần lượt là điểm đối xứng của M,N qua mặt phẳng SCD Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng E DM’ và CN’ khi di Mđộng trên cạnh SA

4 Cho mặt phẳng  P và hai đường thẳng d,d’ chéo nhau cắt  P lần lượt tại và O O’ Gọi  Q là mặt phẳng xác định bởi và đường dthẳng song song với vẽ từ d1 d’ O

Một đường thẳng di động song song với   P hay chứa trong  P , cắt tại , cắt tại d A d’ A’ và gọi là điểm trên sao cho M 

( là số thực cho trước và ) Đường thẳng song

a) Tìm tập hợp các điểm M’

b) Tìm tập hợp các điểm M

5 Cho mặt phẳng  P và ba điểm A,B,C không nằm trong mặt phẳng song song với  P và ở về cùng một bên đối với  P Ba đường thẳng song song vẽ từ A,B,C cắt  P lần lượt tại A’,B’,C’ Giả sử những đường thẳng song song ấy di động sao cho AA’ BB’ CC’ k k   , là một độ dài không đổi

a) Tìm tập hợp các điểm A’,B’C’

b) Tìm tập hợp trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

C

A

R P

S

N

Vấn đề 2 PHÂN CHIA – LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

CHỨNG MINH HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, CÁC BÀI TỐN VỀ ĐA

DIỆN ĐỀU Phương pháp:

Để chứng minh hai đa diện bằng nhau, ta chứng minh có một phép biến hình trong không gian biến đa diện này thành đa diện kia

Ví dụ 1.2.1 Cho khối tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng:

1 Trọng tâm các mặt của khối đó là các mặt của một tứ diện đều.

2 Các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám

ABC , ACD , ABD     BCD 

Gọi là cạnh của tứ diện, ta có a

3

2 Gọi N,P,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB, AC,BD

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

       a

QM QN QS QR PM PN PS PR

2

Ví dụ 2.2.1 Chứng minh rằng tâm các mặt của hình lập phương là các

đỉnh của một bát diện đều

Lời giải.

Giả sử cạnh của hình lập phương đã

cho là Gọi a M,N,P Q,E,F lần

lượt là tâm các mặt của hình lập

N

Q

P M

E

Ta có MN 1AC 2a và tương tự

cho các cạnh khác của hình gồm

tám đỉnh M,N,P,Q,E,F

Hay MNPQEF là một bát diện đềàu

Ví dụ 3.2.1 Cho khối bát diện đều ABCDEF cạnh trong đó a, E,F là hai đỉnh không cùng nằm trên một cạnh Gọi A ,B ,C ,D , A ,B ,C ,D       lần lượt là trung điểm các cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD.Chứng minh rằng A B C D A B C D        là một hình hộp chữ nhật và tính các cạnh của hình chữ nhật đó

Lời giải.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh nên các tứ giác a, A B C D ,   

là các hình vuông cạnh và hai mặt phẳng và

   

2 (A B C D )    song song với nhau

2a.

2

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài 1

1 Hãy phân chia khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' thành ba khối tứ diện

2 Chia một khối hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' thành 5 khối tứ diện

3 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng ta có thể nội tiếp khối tứ

diện trong một khối hộp sao cho các cạnh của tứ diện là đường chéo các mặt của khối hộp

O E

F

C' D'

A' B'

C'' B'' A''

D''

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

4 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Chứng minh hai tứ diện A ABD'và CC D B' ' ' bằng nhau

5 Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi A B C', ', ' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA, và AB Chứng minh hai tứ diện

Chứng minh rằng A B C D A B C D        là một hình hộp chữ nhật và tính các cạnh của hình chữ nhật đó

Bài 3

1 Hãy phân chia khối lăng trụ ABC A B C    thành

a) Ba khối tứ diện

b) Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác

2 Hãy phân chia một khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' thành năm khối tứ diện

3 Cho hình chóp tứ giác F ABCD có đáy là hình vuông Cạnh bên vuông góc với đáy và có độ dài bằng cạnh Chứng minh rằng

có thể dùng ba hình chóp như trên để ghép lại thàng một hình lập phương

4 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Chứng minh rằng

a) Các hình chóp A A B C D ' ' ' ' và C ABCD' bằng nhau

b) Các lăng trụ ABC A B C ' ' ' và AA D BB C' ' ' ' bằng nhau

5 Hãy dùng mặt phẳng để chia một khối tứ diện cho trước thành 4

hình hộp chữ nhật và tính các cạnh của hình chữ nhật đó

2 Cho khối tứ diện đều Chứng minh rằng:

a) Trọng tâm các mặt của nó là các đỉnh của một tứ diện đều

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

a) Các điểm A B C D, , , nằm trên mặt phẳng trung trực của EF

b) ABCD  ECFA

4 Chứng minh tâm các mặt của một hình bát diện đều là các đỉnh

của một hình lập phương

5 Chứng minh rằng tâm các mặt của một hình lập phương là các

đỉnh của một hình bát diện đều

6 Chứng minh rằng tồn tại một khối đa diện có 20 mặt là tam giác đều nhưng không phải là khối hai mươi mặt đều

Bài 5

1 Cho khối tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng

a)Trọng tâm các mặt của khối đó là các mặt của một tứ diện đều.b) Các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

2 Chứng minh rằng tâm các mặt của một hình bát diện đều là các

đỉnh của một hình lập phương

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP A.TĨM TẮT GIÁO KHOA.

I HÌNH CHÓP KHỐI CHÓP.

1 Hình chóp

Cho đa giác lồi A A A1 2 n và điểm ở ngoài mặt phẳng chứa đa giác S Hình giới hạn bởi tam giác n SA A ,SA A , ,SA A1 2 2 3 n 1 gọi là hình chóp

 Hình 1 là hình chóp tứ giác S.ABCD

 S: đỉnh

 Tứ giác ABCD là đáy

 Các tam giác

là SAB,SBC,SCD,SDAcác mặt bên

 Các tam giác SAC,SBDlà các mặt chéo

 Các cạnh SA,SB,SC,SDlà các cạnh bên

 Khoảng cách từ đỉnh đến đáy gọi là chiều cao của hình chóp h

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng H S

ABCD SH h

 SAH là góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy

 Gọi là hình chiếu vuông góc của lên E H AB thì SEHlà góc giữa mặt bên SAB và đáy

 HSE là góc giữa đường cao SH và mặt bên SAB

 K là hình chiếu vuông góc của lên H SE thì độ dài đoạn HKlà khoảng cách từ đến mặt phẳng H SAB

2.Khối chóp

Khối chóp là một khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp

3.Các hình chóp đặc biệt.

H E

K

Định nghĩa Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều

và có các cạnh bên bằng nhau

Hình chóp tứ giác đều Hình chóp tam giác đều

E O

O

E A

Tính chất.

 Đáy là một đa giác đều

 Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên đáy là tâm của đáy

 Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau Đường cao vẽ từ đỉnh của một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp đều

 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau

 Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau

3.2 Tứ diện đều.

Định nghĩa Tứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh bằng nhau.

Tính chất.

 Các mặt của tứ diện đều là các tam giác đều bằng nhau

Ghi chú Một hình chóp tam giác đều là tứ diện đều khi và chỉ khi

cạnh bên bằng cạnh đáy.

3.3 Tứ diện gần đều

Định nghĩa Tứ diện gần đều là tứ diện có các cạnh đối diện bằng

Diện tích xung quanh : S xq = tổng diện tích các mặt bên.

Diện tích toàn phần : StpSxq S đáy

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Thể tích khối chóp : V 1B.h , trong đó là diện tích đáy , là

chiều cao của khối chóp

2 Tỉ số thể tích của hai tứ diện



SA'B'C' SABC

V SA' SB' SC' . .

III.HÌNH CHÓP CỤT KHỐI CHÓP CỤT

1.Hình chóp cụt

Định nghĩa : Hình chóp cụt là phần của hình chóp được giới hạn

bởi đáy và một thiết diện song song với đáy

Hình vẽ bên là hình chóp cụt

.ABCD.A’B’C’D’

Đáy ABCD gọi là đáy lớn , đáy

gọi là đáy nhỏA’B’C’D’

Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao của hình chóp cụt

Các mặt

gọi ABB’A’,BCC’B’,CDD’C’,DAA’D’

các mặt bên Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang,

Các cạnh AA’,BB’,CC’,DD’ gọi là các cạnh bên , các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại đỉnh của hình chóp phát sinh ra hình chóp cụt đó

2.Hình chóp cụt đều :Là hình chóp cụt được cắt ra từ hình chóp

đều

Tính chất của hình chóp cụt đêu :

Hai đáy là hai đa giác đều

Chiều cao là khoảng cách giữa tâm hai đáy

Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.Chiều cao của một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp cụt đều.

3.Khối chóp cụt.

Định nghĩa Khối chóp cụt là khối đa diện giới hạn bởi một hình

chóp cụt

4.Diện tích của hình chóp cụt Thể tích của khối chóp cụt.

Diện tích xung quanh S xq = tổng diện tích các mặt bên.

Diện tích toàn phần StpSxqS hai đáy

Thể tích : VhB B.B' B'  trong đó là diện tích hai đáy ,

là chiều cao

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.

Để tính thể tích khối chóp S A A 1 2 A n ta đi tính đường cao và diện tích đáy Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:

Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy

thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.

Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu



của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình



chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Chú ý: Hình chóp đều.

Khi giải các bài toán tính thể tích của khối chóp, diện tích xung quanh , diện tích toàn phần ,ta thường gặp các giả thiết về góc ,khoảng cách ,do đó cần xem lại các cách dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng , khoảng cách từ một điểm

đến một mặt phẳng ,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau….

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

23

Hình chóp tứ giác đều Hình chóp tam giác đều

E O

O

E A

 SO h  chiều cao của hình chóp

 SAO là góc giữa cạnh bên và đáy

 E là trung điểm của BC, SEO là góc giữa mặt bên và đáy

 SBC là góc ở đáy của một mặt bên

 OSE là góc giữa SO và mặt bên

 Dựng OH vuông góc với SE tại thì H OH là khoảng cách từ đến mặt

Chú ý: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với

mặt đáy.

Dưới đây là một cách dựng các loại khoảng cách và các loại góc

thường gặp trong một hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

* Xét hình chóp S.ABC trong đó SAABC

Dựng AE BC, E BC) (  , ta có góc giữa hai mặt phẳng và là ,

J

Dựng IJ SC J SC   góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và SAC là BJI.

*Xét hình chóp S.ABCD trong đó SAABCD

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

được xác định tương tự như trên

       

d C, SAB , SAB , SBC

Ví dụ 1 2 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

, đáy là tam giác cân có , , góc

giữa SC và mặt phẳng SAB là 300

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABC;

2.Gọi là trung điểm của I BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB

B

C

S

H E

1.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Dựng CH AB tại , khi đó H CH SA CH SAB

Trong tam giác vuông SAH (vuông tại ) A

Dựng BK vuông góc vơí tại , dựng Bt K AE vuông góc với SK tại , Kkhi đó ta có:

Ví dụ 2 2 Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng , đường cao a SH

1 Chứng minh SA vuông góc với BC;

2 Tính thể tích của khối chóp SABC;

3 Gọi là trung điểm của đoạn O SH Chứng minh rằng OA,OB,OCđôi một vuông góc với nhau

Lời giải.

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1.Chứng minh SA BC

Gọi là trung điểm của M

cạnh BC, vì các tam giác

là các tam giác

Theo tính chất của hình

chóp đều ta có H là trọng

tâm của tam giác ABC

A

B

C S

Trong tam giác vuông SHA (vuông tại ) ,H

3 Chứng minh OA,OB,OC đôi một vuông góc

thuộc trục của tam giác nên

Chứng minh tương tự ta có OA,OB,OC đôi một vuông góc

Ví dụ 3 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên là , góc giữa đường cao và mặt bên là

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD;

2 Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC M; là điểm trên cạnh SD sao cho MS 2MD Mặt phẳng MEF cắt SA tại N

1.Tính thể tích của khối chóp S ABCD .

Gọi là trung điểm của cạnh I BC, ta có BC SOI (do

Suy ra AB 2OI 4a 3 

3Thể tích của khối chóp

2.Tính thể tích của khối chóp S.EFMN

là đường trung bình trong tam giác nên suy ra

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ta có : VS.BCD S.ABD1 VS.ABCD

2V

Ví dụ 4 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại ,B BA3a, BC4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB2 3a và SBC 300 Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B SAC

theo a Đề thi ĐH Khối D – 2011

Ví dụ 5 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa

hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối

chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN

theo a Đề thi ĐH Khối A – 2011

Lời giải.

Do hai mặt phẳng SAB và SAC cắt nhau theo giao tuyến và cùng vuông góc với nên , hay là

đường cao của khối chóp S BCNM .

Ta có : S BCNM S ABC S AMN

Nên SBA chính là góc giữa hai mặt

phẳng SBC và ABC , thế thì theo

giả thiết ta có SBA  600.

Trong tam giác vuông SAB ta có

.0

tan 60 2 3

M

N E

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 6.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt a

phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng (SAC)và (SCD) tạo với đáy lần lượt các góc 600 và 300 Tính thể tích khối chóp

là góc giữa hai mặt phẳng (SAC)

và mặt đáy nên SKH 600.

Vẽ HE CD CD (SHE) SEH

là góc giữa hai mặt phẳng SCD và

mặt đáy nên SEH  300.

Đặt AB x , trong tam giác SHE ta

E H

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a

tam giác SAC cân tại , S  SBC 600, mặt phẳng (SAC) vuông góc với ABC Tính theo thể tích khối chóp a S ABC .

3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

Hình chiếu của lên mặt đáy trùng với điểm là trung điểm S H

của AO Mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc 600 và SC a Tính V S ABCD. và d AB SC , 

4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai

đường chéo AC 2 3,a BD2a và cắt nhau tại ; hai mặt O

phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng O (SAB) bằng 3,

4

a

tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

5 Trong mặt phẳng ( )P cho tam giác ABC vuông tại có C

, Trên đường thẳng vuông góc với tại 2

lấy điểm sao cho hai mặt phẳng S (SAB) và (SBC) tạo với nhau một góc 600 Tính thể tích hình chóp S ABC .

6 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại , A

Mặt phẳng vuông góc với đáy , hai mặt ,

AB a AC 2a (SBC)

phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân

đường cao Gọi là trung điểm của là

AB BC a,  SA a. B SB,C

chân đường cao hạ từ của tam giác A SAC Chứng minh

và tính thể tích khối chóp

SC (AB C )   S.AB C  

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

8 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), đáy là tam giác cân tại A,độ dài trung tuyến AD a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt phẳng (SAD) góc Tính thể tích khối chóp đó.

9 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân AB AC,

cạnh BC a,BAC  . Các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc Tính thể tích khối chóp theo  a, ,  

10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

, , cạnh vuông góc với đáy, cạnh tạo với

mặt phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm sao M

cho 3 Mặt phẳng cắt cạnh tại Tính thể

1 Cho hình chóp S ABC có SA (ABC), AB 5 ,a BC  6 ,a

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

7

3

a

Tính thể tích khối chóp S ABC .

2 Cho hình chóp tam giác đều S ABC Tính thể tích khối chóp

biết:

S ABC

a) Cạnh đáy bằng và mặt bên tạo với đáy một góc a 600

b) Cạnh bên bằng 2a và SA  BM, với là trung điểm M SC.

3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và

, Gọi là điểm trên cạnh ,

tích của khối tứ diện BDMN.

4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại và , tam giác A D SAD đều có cạnh bằng 2 ,a BC 3a Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau Tính thể tích của khối chóp S ABCD

5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với

và vuông góc với mặt phẳng

AB a, AD a 2,SA a   SA (ABCD).Gọi và lần lượt là trung điểm của M N AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a,

tạo với mặt phẳng đáy góc và tạo với mặt

phẳng (SAB) góc 30 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a,

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

b) Tính khoảng cách từ đến A SCD

9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

b) Qua dựng mặt phẳng A  P vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi  P và hình chóp S.ABCD

10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng và đường acao bằng Gọi h  P là mặt phẳng đi qua và vuông góc với A SC cắt các cạnh lần lượt tại

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

b) Đường cao của hình chóp tạo với đáy một góc 450 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 2a.

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi là hình chiếu của H Slên mặt đáy Tính thể tích của khối chóp biết:

a) Cạnh bên bằng góc giữa mặt bên và mặt đáy là b, 

b) Cạnh đáy bằng khoảng cách từ trung điểm của a, SH đến mặt phẳng (SCD) bằng k

3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng , khoảng acách giữa cạnh đáy và cạnh bên bằng a 2 Tính thể tích của khối

2chóp S.ABC

4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a,SA a 2  Gọi M,N và lần lượt là trung điểm của các cạnh và

một góc bằng và hợp với mặt phẳng một góc bằng

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh

, cạnh bên vuông góc với đáy , hợp với đáy góc và

2 a 2

SC

b) Tính thể tích của khối chóp đã cho

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có góc nhọn Abằng Hai mặt bên  SAB , SAD   vuông góc với mặt phẳng chứa đáy , hai mặt bên còn lại hợp với mặt phẳng đáy góc Cho  SA a

a)Tính diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD.

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

c) Gọi là góc hợp bởi đường thẳng  SB với mặt phẳng SAC

1 Cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a, b

2 Cạnh đáy bằng góc giữa mặt bên và mặt đáy là a, 

3 Chiều cao bằng và h ASB  .

4 Trung đoạn bằng góc giữa cạnh bên và mặt đáy là d, 

Bài 5

1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SBC và ABC là những tam giác đều cạnh góc giữa hai mặt phẳng đó là a, 60 0 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B (SAC)

2 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,BA a,

Gọi lần lượt là hình chiếu của

BC 2a,SA 2a,SA  (ABC) H,K Atrên SB,SC Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng K (SAB)

3 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng Gọi a B ,C  lần lượt là trung điểm của SB,SC Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng C

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm cạnh O 5a,

và vuông góc với đáy Gọi là trung điểm

của SC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với đáy

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

và chân đường cao của hình chóp nằm trong hình thang

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đến mặt Aphẳng (SBC) biết rằng IC 3a,IB 4a. 

CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC

Bài 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc ở đáy của một mặt bên là      , chiều cao ( là giao điểm của và

.)

1 Tính diện tích xung quanh của hình chóp và thể tích của khối

chóp S.ABCD theo và Tìm điều kiện của để bài toán có nghĩa.h  

2 Gọi là trung điểm của I SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và CI theo và h 

3 Cho điểm di động trên cạnh M SC Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng S MAB

Bài 8 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên là , góc giữa amặt bên và mặt đáy ABC là    

2

1.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo và a 

2 Cho không đổi và biến thiên trong khoảng a     , khi đó tìm

0, 2giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC

3 Xác định để hình chóp  S.ABC trở thành tứ diện đều

Bài 9

1 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a ASB   ,  60 ,0

Gọi là trung điểm của Tính thể

3 Cho tam giác đều ABC cạnh Trên cạnh a AB lấy điểm sao Mcho AM x. Trên đường thẳng  (ABC) tại điểm M, lấy sao cho S

Gọi là trung điểm của cạnh Mặt phẳng cắt

đường thẳng AC tại N (NA NC). Tìm để x VSMBI VSCNI VSABC.

4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng , mặt bên acó góc ở đáy là      Chứng minh rằng diện tích của thiết

2diện qua một cạnh bên và đường cao vẽ từ của hình chóp đã cho là S

2 Cạnh bên bằng và mặt bên tạo với đáy một góc b 

Đồng thời hãy xác định để lớn nhất.

00  900  V S ABCD.

Bài 11

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

, SA vuông góc với đáy Mặt phẳng (SBD) tạo với đáy một góc Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD Mặt 0

60

phẳng (AMN) cắt SC tại P Tính thể tích khối chóp S AMPN .

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh M N AB và AD; là giao điểm của và Biết vuông góc với mặt

phẳng ABCD và SH a 3 Tính thể tích khối chóp S CDNM.và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt S

phẳng ABCD là điểm thuộc đoạn H , Gọi là

4

AC

đường cao của tam giác SAC Chứng minh là trung điểm của M

và tính thể tích khối tứ diện theo a.

4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

, và mặt phẳng vuông góc với mặt

SA a SB a 3 (SAB)

phẳng đáy Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Tính theo a thể tích của khối chóp và tính ,

cosin của góc giữa hai đường thẳng SM DN, .

5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh , mặt a

bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

Chứng minh vuông góc với và tính thể tích , ,

khối tứ diện CMNP.

6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông cạnh Gọi là điểm đối xứng của qua trung điểm của a E D SA, là trung điểm của , là trung điểm của Chứng

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại và ; A D AB AD 2 ,a CD a ; góc giữa hai mặt phẳng

và bằng Gọi là trung điểm của cạnh

Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S ABCD theo a.

3 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang,  ABC BAD 900

Cạnh bên vuông góc với đáy và

Bài 13 Cho hình chóp S ABC có các cạnh đáy AB 5 ,a BC 6 ,a

Các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng

7

0

60 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ A

đến mặt phẳng (SBC) Biết hình chiếu của đỉnh thuộc miền S

trong tam giác ABC

Bài 14

1 Cho tứ diện ABCD với năm cạnh có độ dài bằng và cạnh a

Tính thể tích khối tứ diện và tìm theo

3 Cho tứ diện gần đều ABCD có AB CD a AC BD b  ,   ,

Tính thể tích của khối tứ diện.

AD BC c 

Bài 15

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ,a

Tính theo để khối chóp có

thể tích lớn nhất.

2 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a   và ASB  ,

Tính thể tích khối chóp theo