NW359 360 DẠNG 43 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN có yếu tố góc và KHOẢNG CÁCH GV

Blà diện tích đáy, hlà chiều cao XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.. b Hình

DẠNG TOÁN 43: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC

β

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua

I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d

Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b

5 Thể tích khối đa diện

a Công thức tính thể tích khối chóp

1 .3

V = S h Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

B h

Chú ý: Cho khối chóp S ABC. và A', B', C' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có

' ' '

b Công thức thể tích khối lăng trụ : V =B h.

(Blà diện tích đáy, hlà chiều cao)

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc

với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài

cạnh bên vuông góc với đáy

b) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với

mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều

cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông

góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABCD

có mặtbên (SAB)

vuông góc với mặtphẳng đáy (ABCD)

thì chiều caocủa hình chóp là SH

là chiều caocủa DSAB

c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với

mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao

tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với

d) Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối

đỉnh và tâm của đáy Đối với hình chóp đều

đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G của

tam giác đều

ABCD

thì có đường cao là

SO

XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP

1 Diện tích tam giác vuông.

6 Diện tích hình thang:

 S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé)



1

.2

S = AH AB +CD

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thể tích khối đa diện

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh

bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC)

bằng 45°

( tham khảo hình bên) Thể tích

của khối chóp S ABC. bằng:

a

3312

a

34

a

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặtđáy

Gọi M là trung điểm BC thì AM ⊥BC

V = S h= a a= a

Câu 2. Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là

A V =3Bh

13

V = Bh

16

V = Bh

Lời giải Chọn D

Ta có

1.3 3

Thể tích khối chóp là:

1.3

Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8lần

Câu 4. Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

A

43

V = Bh

13

V = Bh

12

V = Bh

Lời giải Chọn B

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

13

V = Bh

Câu 5. Khối chóp S ABCD. có A, B, C, D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC

Khi đó thể tích khối chóp S ABCD. sẽ:

A Giảm phân nửa B Tăng gấp đôi C Tăng gấp bốn D Giữ nguyên

V = B h

+∆

song songACnên ∆P(ABCD) ⇒d S ABCD( ,( ) ) =d(∆,(ABCD) ) =h

không đổi

+A, B, C, D cố định nên diện tích tứ giác ABCD cũng không đổi.

Vì vậy thể tích khối chóp S ABCD. sẽ giữ nguyên

Câu 6. Cho khối chóp ( )H

có thể tích là

3

2a

, đáy là hình vuông cạnh a 2

Độ dài chiều cao khối

chóp ( )H

bằng

Lời giải Chọn A

Ta có:

3 2

A

33

a

h=

32

a

h=

Lời giải Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên

( )2

2

34

Câu 9. Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên 5 lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của

khối chóp sẽ tăng lên

Lời giải Chọn A

5

Câu 10. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a Tính thể tích của hình

a

V =

Lời giải Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên

2 34

bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a=

Tính thể tích V của khối chóp S ABC. .

a

V =

33

a

V =

34

a

V =

Lời giải Chọn B

Diện tích đáy

2

1.22

ABC

B S= = a a a=

Chiều cao: h a=

3 2 ' ' '

a

V =

B.

3 312

a

V =

C.

3 33

a

V =

D.

3 34

a

V =

Lời giải Chọn B

Diện tích đáy

2 34

Câu 13. Cho khối chóp S ABC. có SA vuông góc với (ABC)

, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,2

a

3 63

a

3 33

a

3 24

a

Lời giải Chọn A

Ta có AB là hình chiếu của SB lên (ABC)

suy ra góc giữa SB và (ABC)

Câu 14. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB a=

a

V =

Lời giải Chọn C

Câu 15. Cho hình chóp S ABC. có SA a=

và vuông góc với đáy ABC Biết rằng tam giác ABC đều

và mặt phẳng (SBC)

hợp với đáy (ABC)

một góc 30° Tính thể tích V của khối chóp S ABC.

A

3 33

a

V =

323

a

V =

3 312

a

V =

33

Gọi I là trung điểm BC, ta có

AI = AB ⇒AB= a

Diện tích

2 3 2

34

Câu 16. Cho khối chóp S ABC. có SA vuông góc với (ABC)

, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,2

a

3

63

a

3

33

a

3

24

là hình chiếu của SB lên (ABC)

suy ra góc giữa SB và (ABC)

S = AB =a

3 2

Câu 17. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S ABC.

A

32

a

V =

33

ABC

AB

.3

.

1.3

V = SH S =a

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)

a

V =

3 34

Lời giải Chọn D.

Hình chiếu của S lên mặt phẳng(ABCD)

trùng với trung điểm cạnh AB Biết rằngSC a= 5

Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD.

A

3 54

a

V =

B

3 153

a

V =

3 154

Gọi M là trung điểm AB Ta có:

a

SM =

V =

Lời giải Chọn B.

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam

giác đáy Theo định lý Pitago ta có

A

323

a

V =

363

a

V =

323

a

V =

32

V = a

Lời giải Chọn A

vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Tính thể tích khối chóp S ABCD. tính theo a

A

38

3

a

B

343

a

C

363

Vì tam giác ABC vuông tại C nên

vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có

.

1 .2 33

S ABCD

2a

=

Câu 5. Cho hình chóp S ABC. có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC)

Biết SA a=

,

tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=2a

Tính theo a thể tích V của khối chóp

S ABC

A

32

a

V =

D

323

Câu 6. Cho khối chóp tam giác S ABC. có SA⊥(ABC)

, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB=5a

Ta có nửa chu vi ∆ABC

là

102

Câu 7. Cho hình chóp S ABC. có mặt phẳng (SAC)

vuông góc với mặt phẳng (ABC)

, SAB là tam

giác đều cạnh a 3, BC a= 3

đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC)

a

3 62

a

3 66

Ta thấy tam giác ABC cân tại B, gọi H là trung điểm của AB suy ra BH ⊥ AC.

Do (SAC) (⊥ ABC)

nên BH ⊥(SAC)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng(ABCD)

bằng 60°

Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD.

3 63

a

V =

323

a

V =

33

V = a

3

33

a

V =

Lời giải Chọn A

V =

3 63

a

V =

3 32

a

V =

3 66

a

V =

Lời giải Chọn.D.

a

V =

3 63

a

V =

3 32

a

V =

3 66

a

V =

Lời giải Chọn D.

Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C¢ ¢ ¢

có đáy là tam giác cân tại A, AB AC= =2a

Gọi M là trung điểm của BC Ta có AM ^BC và ·CAM 60= °

( doDABCcân tại A)

Ta xác định được góc giữa (A BC¢ )

và (ABC)

là ·A MA 45¢ = °

· 1

S = AB.AC.sinBAC =1 2a sin120( )2 °

A

3

312

a

3

36

a

3

336

a

3

318

a

Lời giải Chọn A

Ta có:

2 34

Suy ra (SA ABC,( ) ) =(SA AO, ) =SAO· =600

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:

a

V =

Lời giải Chọn B.

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC Khi đó M là trung điểm của BC BC (A AM)

vuông tại A nên góc A MA' là góc nhọn

Góc giữa hai mặt phẳng ( 'A BC)và (ABC)bằng góc giữa A M¢

2 ' os30o 4 3

Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng 4a và đường

5a 4a

B' A'

2 '2 '2 9 2 3

BD =BD −DD = a ⇒BD= a

ABCD là hình vuông

32

a AB

B S= =

294

vuông góc của S lên (ABC)

là trung điểm M của AC Góc giữa SB và đáy bằng 60°

Thể

tích S ABC. là bao nhiêu?

A

3 32

a

32

a

34

a

3 212

a

Lời giải Chọn B.

1

của S lên mặt phẳng (ABCD)

là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy

một góc

045 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD.

A

3

2 23

a

V =

33

a

V =

323

a

V =

Lời giải Chọn A.

Lời giải Chọn B

Gọi H là trung điểm

Tam giác SBC cân tại S ⇒SM ⊥BC

a

V =

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn D

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD và SD

tạo với đáy một góc 60°

Thể tích khối tứ diện ACGS bằng

A

3 636

a

V =

B

3 618

a

V =

C

3 327

a

V =

D

3 612

a

V =

Lời giải Chọn A

V =

Lời giải Chọn D

Câu 4. Hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB

là tam giác cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD)

Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng (SCD)

và

(ABCD)

bằng

2 1717 Thể tích V của khối chóp S ABCD. là

A

3 136

a

V =

3 176

a

V =

3 172

a

V =

3 132

a

V =

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm AB⇒ SH ⊥(ABCD)

2

a SH

Vậy

1

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình

thang là CD, cạnh bên SC a= 15

Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy hình chóp Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới

Tính thể tích của khối chóp S ABCD.

A

3

3 58

a

3

3 155

a

3

3 55

a

3

3 158

a

Lời giải Chọn B

Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với (ABCD)

nên SI⊥(ABCD)

nên SI là đường cao của S ABCD.

Kẻ IK⊥BC tại K Khi đó ta chứng minh được SKI· =(·(SBC) (; ABCD) ) = ° 60

a

h=

33

a

h=

2 33

.Gọi x là độ dài AB

36

Câu 9. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật; AB a AD= ; =2a

Tam giác SAB cân tại S

(ABCD)

d =

2 131589

a

d =

131589

a

d =

2 151389

a

d =

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm đoạnAB ⇒SH ⊥(ABCD)

894

a

d =

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Cho biết AB a=

a

B

352

a

Lời giải Chọn B

Gọi H là hình chiếu của S lên cạnh AD, I là hình chiếu của H lên cạnh BC, ta có

AD

=

ta có

235

a

V =

Lời giải Chọn B

SH SDH

Lời giải Chọn A

Gọi I

là trung điểm AC

vì tam giác ABC đều, ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD ⇒ I BD∈ ⇒AC⊥BD

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và N là trung điểm BC

Trong mp gọi

Trong mp kẻ tia gọi

Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng

Dễ thấy

Xét tam giác có nên

Mặt khác, , , áp dụng định lí cosin cho tam giác , ta được:

Vậy diện tích tam giác là:

Gọi là trung điểm của cạnh suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tính thể tích khối chóp Biết hình chiếu vuông góc của trên thuộc miền

trong của tam giác

Lời giải Chọn A

Diện tích tam giác là

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên ,

Gọi là trung điểm của cạnh Vì cân tại (do ) nên

Sử dụng công thức

và Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng là sao cho là trung

điểm của Góc giữa và bằng Tính thể tích của khối chóp

Lời giải Chọn C

Tam giác đều cạnh

Áp dụng định lí cosin cho tam giác

Xét tam giác vuông tại :

cos

AB AC BC A

x

V =

33936

x

V =

33924

x

V =

33948

Do tam giác vuông tại , có nên tam giác vuông cân

tại Suy ra:

Vậy thể tích khối chóp :

Câu 17. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng là , khoảng cách giữa và là Biết hình chiếu của lên mặt

phẳng nằm trong tam giác , tính thể tích khối chóp

Lời giải Chọn D

Dựng hình bình hành Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

Dựng đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt lần lượt tại

D HK^SM K( Î SM) MN ^SH N( Î SH)

MN ^SH MN^BC MN^(SBC)

15

a

Do nên Suy ra

Do có hai đường cao nên cân tại Suy ra là trung điểm của

( )/ /

BC SAD d BC SA( , )=d BC SAD( ,( ))=d H SAD( ,( ))=HK 15

Gọi là trung điểm , ta có và (trung tuyến trong

tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

và là trọng tâm tam giác Tính thể tích của tứ diện

Gọi là trung điểm của thì

đáy Gọi là trung điểm , là điểm thuộc cạnh sao cho Tính thể tích

của khối tứ diện

1

đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích lăng trụ đã cho.

Lời giải Chọn B.

1

31312

Kẻ Vì lăng trụ là lăng trụ đứng nên Do đó

Xét tam giác vuông tại nên

Xét tam giác vuông tại nên

Câu 22. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Biết vuông góc với mặt phẳng

tại Tính thể tích khối chóp theo

A B C D

Lời giải Chọn B.

vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của Mặt phẳng hợp với

mặt phẳng đáy một góc bằng Tính thể tích khối chóp

Lời giải Chọn D

3 AHK

320

360

vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích khối

Lời giải Chọn A

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh nên

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh và Khi đó, góc tạo bởi

hai mặt phẳng , tạo với đáy lần lượt là , cùng bằng

Hai tam giác , có , , nên hai tam

giác bằng nhau hay Mà là tam giác vuông cân nên là trung điểm của

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng là Thể tích của khối chóp là:

Lời giải Chọn A

+) Gọi lần lượt là trung điểm của (vì đều)

Suy ra

mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng chính là góc Theo bài ra

SMH

+) Vì là tam giác đều cạnh nên ta có

Vậy thể tích của của khối chóp là

chiếu của điểm trên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn thẳng Biết rằng

góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Thể tích của khối chóp là

Lời giải Chọn D

SH HM HI

A

B

C M

N O

Tam giác vuông tại có

Câu 27. Cho hình chóp S ABC có · ASB= °60 , ·ASC= °90 , CSB· =120° và SA=1, SB=2, SC =3.

Khi đó thể tích khối chóp S ABC là

Lấy M là trung điểm của SB và lấy N∈SC sao cho SN =1 Ta có SA SM= =SN =1 nên

hình chiếu vuông góc của S lên (AMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Câu 28. Cho tứ diện có và Gọi , lần lượt là trung điểm của

và Biết và là đoạn vuông góc chung của và Tính thể tích tứ

Lời giải Chọn D

Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện như hình vẽ

Ta có:

Câu 29. Cho hình chóp tam giác có là trung điểm , là điểm trên sao cho

, là điểm trên sao cho Kí hiệu , lần lượt là thể tích khối chóp

63

32

33

1 2

19

V

2

34

V

2

23

V

2

13

V

V =

E M

N S

A C

Mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là với

Tính tỉ số

Lời giải Chọn A

1

31

V V

1 2

5.7

V

2

5.11

V

2

5.9

V

2

5.13

V

V =

Gọi lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp Khi đó

Nối cắt tại , cắt tại Tam giác có lần lượt là trung điểm

của và suy ra là trọng tâm tam giác Tứ giác là hình bình hành nên

,

.

1 .3

148

112

124

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt

phẳng , với Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Lời giải Chọn C

Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành

của lên

Do đó đạt giá trị lớn nhất khi lớn nhất Vì tam giác vuông tại nên

16 327

32 39

Gọi , lần lượt là trung điểm và

Theo giả thiết ta có: và là các tam giác cân có là trung điểm của nên

ABCD

( ) (2 )8

=

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện là: tập xác định

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng Gọi lần lượt là trung điểm

của Tính thể tích khối chóp Biết mặt phẳng vuông góc với mặt

Lời giải Chọn B

là trung điểm nên

SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại

82