Xác định chiều cao g Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.. g Hình chóp có 2 mặ
Trang 1I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Thể tích khối chóp chóp
chiê`u cao
d�y
V = �1 S
3 Đặc biệt: VTu dien deu =a �3 2�
12
Xác định diện tích đáy
-g
2
a b c
nửa chu vi
tam giác vuông
S = �1 (tích hai canh góc vuông)
2
4
g tam gi�c ��u (c�nh) 2
4
g tam gi�c vu�ng c�n (c�nh huy�n)
2
g H�nh thang (��y l�n ��y b�) chi�u cao
g
g H�nh vu�n (c�nh)
Xác định chiều cao
g Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam
giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy
g Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai
mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
g Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: Chân đường cao của hình chóp là tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
Khối chóp đều
g Đáy là đa giác đều và mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
g Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau, góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau
2 Thể tích khối lăng trụ
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c . Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V a3 Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương
- Thể tích khối lăng trụ: V B h. Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tính thể tích chóp, lăng trụ biết chiều cao, diện tích đáy
Tính thể tích chóp, lăng trụ biết chiều cao, độ dài cạnh đáy
Tính thể tích chóp, lăng trụ biết một số yếu tố cạnh, góc, khoảng cách
…
BÀI TẬP MẪU Câu 21 (ĐỀ THAM KHẢO-BDG NĂM 2021) Một khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 Thể tích của khối chóp đó bằng
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích khối chóp biết h B,
2 HƯỚNG GIẢI:
DẠNG TOÁN 21: TÍNH V BIẾT CHIỀU CAO VÀ DIỆN TÍCH ĐÁY
Trang 2B1: Áp dụng công thức
1 3
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải Chọn A
Thể tích khối chóp là
1 3
với B là diện tích đáy, h là chiều cao nên
6 5 10
3
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1 Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là
4
1
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V B h. .
Câu 2 Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích của khối lăng
trụ đã cho bằng
3 16
3 4
3a .
Lời giải Chọn B
.4 4
V B h a a a .
Câu 3 Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối lăng
trụ đã cho bằng
A
3 2
3 4
2a D 4a 3
Lời giải Chọn C
Ta có: V langtru B h. a2.2a 2a3.
Câu 4 Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a2 3, khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng
6
a Tính thể tích V của khối lăng trụ
A V 3a3 2 . B V a3 2. C
3 2 3
a
V
3
3 2 4
a
V
Lời giải Chọn A
Thể tích khối lăng trụ là V B h a. 2 3.a 6 3 a3 2.
Câu 5 Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
Lời giải Chọn A
Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng: 3 3
Trang 3A
3 3 12
a
V
3 3 2
a
V
3 3 4
a
V
3 3 6
a
V
Lời giải Chọn C
3
4
h a
a
a S
�
�
�
Câu 7 Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
A V 1Bh
2 . B V 1Bh
6 . C V Bh. D V 1Bh
3 .
Lời giải:
Chọn D
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: V 1Bh
3 .
Câu 8 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích khối chóp đã cho
bằng
3 16
3 4
3a
Lời giải Chọn D
Thể tích khối chóp:
1 . 3
V B h 1 2.4
3a a
3a
Câu 9 Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì có thể tích là
A V S h. . B
1 3
V S h
4 3
V S h
1 2
V S h
Lời giải Chọn C
Ta có:
.2 2
V B h S h S h
Câu 10 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a và chiều cao bằng 3a Thể tích khối chóp đã cho
bằng
3 16
3 4
3a
Lời giải Chọn C
Thể tích khối chóp:
1 3
2 3
4a
.
Mức độ 2
Câu 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnh a và AA' 2a (minh họa
như hình vẽ bên dưới) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Trang 4A
3 6 2
a
3 6 4
a
3 6 6
a
3 6 12
a
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 3 4
ABC
a
S
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
.
ABC A B C ABC
Câu 2 Cho khối lăng trụ đứngABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnh a và AA�2a (minh họa
như hình vẽ bên)
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A
3 3 2
a
3 3 6
a
3 3 3
a
Lời giải Chọn A
Tam giác ABC đều cạnh a nên
2 3 4
ABC
a
Do khối lăng trụ ABC A B C. ��� là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là AA�2a
Trang 5Thể tích khối lăng trụ là
2 3 3 3
ABC
Câu 3 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA' 3 a (minh họa
như hình vẽ bên)
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A 6 3a 3 B 3 3a 3 C 2 3 a3 D 3
3a
Lời giải Chọn B
Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều có diện tích là
2 (2 ) 3 4
a
và chiều cao là AA' 3 a (do là lăng trụ đứng) nên có thể tích là
2
3 (2 ) 3
.3 3 3 4
a
Câu 4 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnha và AA' 3a(minh họa
hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A
3 4
a
3 2
a
3 3 4
a
3 3 2
a
Lời giải Chọn C
Ta có
2 3 4
ABC
a
; AA'a 3.
Trang 6Từ đó suy ra
3
2 3 3 3
a
Câu 5 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối chóp đã
cho bằng
3 2
3 4
3a .
Lời giải Chọn B
Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a nên có diện tích đáy: S đáy a2.
Chiều cao h2a.
Vậy thể tích khối chóp đã cho là
1
3 đáy
.2
3 a a
3a
Câu 6 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA a 2 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD
A
3 2 6
a
V
3 2 4
a
V
C V 2a3. D
3 2 3
a
V
Lời giải Chọn D
Ta có SAABCD �SA
là đường cao của hình chóp Thể tích khối chóp S ABCD :
3 2
a
Câu 7 Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA 4, AB 6, BC 10 và CA 8 Tính
thể tích V của khối chóp S ABC
A V 32. B V 192. C V 40. D V 24.
Lời giải Chọn A
Trang 7Ta có BC2AB2AC2 suy ra ABC vuông tại A, S ABC 24, 1 32
3 ABC
Câu 8 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3 2 6
a
3 2 4
a
3 2 3
a
Lời giải Chọn D
Ta có S ABCD ; a2
3
S ABCD ABC
a
Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA a 3 vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối chóp
A
3 3 2
a
3 3 3
a
3 4
a
Lời giải Chọn C
Ta có SA là đường cao hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh anên
2 3 4
ABC
a
S
Vậy thể tích cần tìm là:
.
S ABC
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng
, SC a Thể tích khối chóp S ABC bằng
A
3 3 3
a
3 2 12
a
3 3 9
a
3 3 12
a
Lời giải
Trang 8Chọn D
2 3 4
ABC
a
S ABC
�
Mức độ 3
Câu 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có BB� , đáy ABC là tam giác vuông cân tại a B và
2
AC a Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A
3 3
a
V
3 2
a
V
3 6
a
V
Lời giải Chọn B
Tam giác ABC vuông cân tại B 2
AC
AB BC a
�
Suy ra:
2 1 2
ABC
Khi đó:
3 2
1
ABC A B C ABC
a
V ���S BB� a a
Câu 2 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D. ����, biết AC�a 3.
3
3 6 4
a
V
C V 3 3a3. D 3
1 3
Lời giải Chọn A
Trang 9Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x; 0
Ta có AC�2 A A�2A C��2 A A�2A B��2B C��2 3x2 �3a2 3x2 �x a .
Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D. ����là V a3.
Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ��� có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a= và
3
A B�=a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C. ��� là
A
3 3 2
a
3 6
a
3 2
a
3 2 2
a
Lời giải Chọn D
Ta có AA�= A B�2- AB2 =a 2,
2 2 1
ABC
a
Thể tích khối lăng trụ là
3 2
2
ABC
a
Câu 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có tất cả các cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy góc 60�.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C. ���bằng
A
3 3 24
a
B
3 3 8
a
3 3 8
a
3 8
a
Lời giải Chọn B
Trang 10Kẻ AH�ABC �A A ABC�, �A AH� 60 �
Xét
3
2
AA
�
�
Thể tích khối lăng trụ
2 3 3 3 3
ABC
ABC A B C V��� S A H�
Câu 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ���có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , A AC2 2 , biết góc
giữa AC� và ABC
bằng 600 và AC� Tính thể tích V của khối lăng trụ 4 ABC A B C ���.
A
8 3
16 3
8 3 3
V
D V 8 3.
Lời giải Chọn D
Gọi H là hình chiếu của C� lên mặt phẳng ABC
, khi đó C H� là đường cao
�AC ABC�, C AH�� 600
�
Xét tam giác vuông AC H� ta có C H C A� �.sin 600 2 3
.
1
2
ABC A B C d
Câu 6 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
3 2
a AA�
Biết rằng hình chiếu vuông góc của A� lên ABC là trung điểm BC Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.
3 2 3
a
V
3 2 8
3a
V
3 6 2
a
V
Lời giải Chọn C
Trang 11Gọi H là trung điểm BC
Theo giả thiết, A H� là đường cao hình lăng trụ và
2
a
A H� AA�AH
Vậy thể tích khối lăng trụ là
Δ
ABC
Câu 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo
với mặt phẳng SAB
một góc bằng 30� Tính thể tích V của khối chóp S ABCD
A V 3a3. B
3 6 3
a
V
3 3 3
a
V
3 6 18
a
V
Lời giải Chọn C
Góc giữa SD và mp SAB
là DSA� 30�.
tan 30
AD
3
2
3
a
Câu 8 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a AC , 2 ,a SAABC
và SA a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A
3
a
3 3 6
a
3 3
a
3 2 3
a
Lời giải Chọn B
Trang 12Ta có BC2 AC2AB2 3a2�BC a 3.
Vậy
3
S ABC ABC
a
Câu 9 Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A
3
2 2 3
a
B
3 8a
3
8 2 3
a
3
4 2 3
a
Lời giải Chọn D
Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a là S ABCD và I tâm của đáy ta có:
SA SC BA BC DA DC �SAC BAC DBC �SAC BAC DAC; ; lần lượt vuông tại , ,S B D
I là trung điểm của AC suy ra
.
S ABCD ABCD
a
Câu 10 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V
của khối chóp đã cho
A 2 3
2
a V
2
a V
6
a V
6
a V
Lời giải Chọn D
Trang 13Chiều cao của khối chóp:
2
Thể tích khối chóp: 1 . 1. 14 2 14 3
Mức độ 4
Câu 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ��� có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a ,
BAC � Mặt phẳng (AB C��) tạo với đáy một góc 60� Tính thể tích V của khối lăng trụ
đã cho
A
3 3 8
a
V
3 9 8
a
V
3 8
a
V
3 3 4
a
V
Lời giải Chọn A
Gọi H là trung điểm của B C��, khi đó góc giữa mp AB C��
và đáy là góc �AHA� �.60
Ta có
2
.sin120
ABC
a
2
2
2
ABC
A H
B C
�
3 2 0
�
Vậy
3 3
8
ACB
a
V S AA�
Trang 14
Câu 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt
phẳng SAB
một góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3 2 3
a
3 2 3
a
3 6 3
a
Lời giải Chọn B
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: 2
ABCD
Chứng minh được BCSAB �
góc giữa SC và (SAB) là CSB� 300. Đặt SA x �SB x2a Tam giác SBC vuông tại B nên 2
3
BC CSA
SB
Ta được: SB BC 3� x2a2 a 3�x a 2.
Vậy 1 . 1 2.a2 2 3
SABCD ABCD
a
(đvtt)
Câu 3 Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách
từ A đến mặt phẳng SBC
bằng
2 2
a
Tính thể tích của khối chóp đã cho
A
3 3
a
3 3 9
a
3 2
a
Lời giải Chọn A
Ta có BCAB BC SA, �BCAH Kẻ AH SB �AH SBC
Trang 15
Suy ra ; 2
2
a
Tam giác SAB vuông tại A có: 12 12 12�SA a
SABCD ABCD
a
Câu 4 Cho khối lăng trụ đều ABC A B C có cạnh đáy bằng ' ' ' a Khoảng cách từ điểm 'A đến mặt
phẳng AB C' ' bằng
2 3 19
a
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A
3 3 4
a
3 3 6
a
3 3 2
a
3 3 2
a
Lời giải Chọn C
Gọi M là trung điểm của ' ' B C
Ta có
' ' '
�
� �B C' 'AA M' �AB C' ' AA M'
theo giao tuyến AM
Kẻ 'A H AM trong mặt phẳng AA M'
, suy ra �A H' AB C' '
Vậy khoảng cách từ 'A đến mặt phẳng AB C' '
là
2 3 '
19
a
Vậy thể tích khối lăng trụ là
' ' '
A B C
Câu 5 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' ' B, đường cao BH Biết
'
A H ABC và AB1,AC2,AA' 2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A
21
7
21
3 7 4
Lời giải Chọn C
Trang 16Tam giác ABC vuông tại B có AB1;AC2 nên BC 22 1 3.
Độ dài của đường cao BH :
2
AB BC BH
AC
Suy ra
2 1 2
AB AH AC
Khi đó độ dài đường cao A H' của hình lăng trụ bằng :
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng :
' 1 3
Câu 6 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 300 Hình chiếu của A' lên ABC
là trung điểm I của BC Tính thể tích khối lăng
trụ
A
3 3 2
a
3 13 12
a
3 3 8
a
3 3 6
a
Lời giải Chọn C
Ta có A I' ABC �AI là hình chiếu vuông góc của AA' lên ABC
nên
�
', ABC ',AI ' 30
Ta có
2 0
' tan 30 ,
Vậy
' ' '
ABC A B C
Câu 7 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC
tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích V của khối
chóp S ABCD
3
Trang 17Lời giải Chọn C
Ta có
2
3
ABCD
S a .
Vì
�
�
�
�
� �
Vậy SBA� 60o
Xét tam giác vuông SAB có: tan 60o SA tan 60o 3
AB
Vậy
.
S ABCD ABCD
Câu 8 Cho lăng trụ ABC A B C. ��� có đáy là tam giác đều cạnha, hình chiếu vuông góc của điểm ’A
lên mặt phẳng ABC
trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường.
thẳng AA và BC bằng ’
3 4
a
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho
A
3 3 3
a
3 3 24
a
3 3 6
a
3 3 12
a
Lời giải Chọn D
Ta có
' 'G
�
�
Kẻ MH AA' tại H , suy ra MH là đoạn vuông góc chung của giữa hai đường thẳng AA và’
BC
Trang 18Tam giác MHA vuông tại H có
4
Tam giác 'A GA đồng dạng tam giác MHA nên
3
Thể tích khối lăng trụ là
3 3 '
12
ABC
a
V S A G
Câu 9 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ��� có AA�=2a, tam giác ABC vuông tại C và BAC� = �,60
góc giữa cạnh bên BB� và mặt đáy (ABC)
bằng 60� Hình chiếu vuông góc của B� lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC Thể tích của khối tứ diện A ABC� theo
a bằng
A
3 9 208
a
3 3 26
a
3 9 26
a
3 27 208
a
Lời giải Chọn C
Ta có
3
2
cos 60 2
a
�
Đặt AC=2x x( > �0) CI =x BC; =AC.tan 60�=2x 3.
Khi đó
Vậy
.
A ABC
Câu 10 Cho khối lăng trụABC A B C. ���,tam giác A BC� có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến
mặt phẳng A BC�
bằng 2 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Lời giải Chọn C
Trang 19C'
B' A'
C
B A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' trên mpABC
suy ra A'H là chiều cao của lăng trụ
Xét khối chóp A.A' BC có diện tích đáy B S A' BC 1, chiều cao h d A, A' BC 2 suy ra
thể tích của khối chóp A.A' BC là
1 2
A.A' BC
Mặt khác
2
3
A.A' BC A' ABC ABC
ABC A' B' C' A.A' BC ABC A' B' C' ABC
�
* Cách khác
Ta thấy lăng trụ ABC.A' B' C' được chia thành ba khối chóp có thể thích bằng nhau là A' ABC, A' BCB', A' B' C' C
Mà
1 2
A' ABC A.A' BC
suy ra
2
3
ABC A' B' C' A.A' BC