NW359 360 DẠNG 17 TÍCH PHÂN GV

Khái niệm tích phân  Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc... CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tích phân của hàm đa thức..  Tích phân hàm lượng giác..  T

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Khái niệm nguyên hàm

 Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F x�   f x 

với mọi x thuộc K

2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) �0dx C , d� �x 1dx x C  ;

1

x





�

3)

1

dx ln x C;

� 4) Với k là hằng số khác 0

a)

cos sin dkx x kx C;

k

� b)

sin cos dkx x kx C;

k

�

kx

kx e

k

�

ln

x

x a

a

�

5) a) 2

1

cos x x x C

� b) 2

1

sin x x  x C

�

3 Khái niệm tích phân

 Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên

K thì hiệu số F b F a  được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  d

b

a

f x x

�

Trong trường hợp a b , ta gọi  d

b

a

f x x

�

là tích phân của f trên đoạn  a b; Người ta còn dùng kí hiệu  b

a

F x

để chỉ hiệu số F b F a . Như vậy nếu F là một nguyên hàm của

f trên K thì  d  

b

b a a

f x x F x

�

4 Tính chất của tích phân

Giả sử các hàm số f g, liên tục trên K và a ,, b c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có

DẠNG TOÁN 17: TÍCH PHÂN

1)  d 0;

a

a

f x x

�

2)  d  d ;

b a

a b

f x x  f x x

3)  d  d  d ;

b c c

a b a

f x x f x x f x x

4)     d  d  d ;

f x g x x f x x g x x

5)  d  d

b b

a a

kf x x k f x x

với k��.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tích phân của hàm đa thức

 Tích phân hàm lượng giác

 Tích phân hàm mũ, hàm logarit

 Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 Tích phân từng phần

 …

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Tích phân

2 3 1 d

x x

� bằng

A

15

17

7

15

4 .

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính tích phân của hàm đa thức.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 

B2: Thay cận vào để tính kết quả của tích phân.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Ta có

3

1

2 16 1 15

1

x

�

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

có đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2

và thỏa mãn f  1 1, f  2 2. Tính

  2

1

d

I �f x x�

7 2

I  Lời giải

Ta có 2     2    

1 1

I �f x x�  f x  f  f 

Giá trị của biểu thức F 2 F 0 bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có     2   2 3 4 2

0

4

x

2

1

d

3 2

x

x

�

bằng

1

ln 2

2

ln 2

Lời giải

Chọn D

1 1

ln 3 2 ln 4 ln1 ln 2

x

x



�

5

1

d

1 2

x I

x





�

A I  ln 9. B I  ln 3. C I ln 3. D I ln 9.

Lời giải

Chọn B

1 1

ln 1 2 ln 9 ln1 ln 9 ln 3

x

x



�

2020

0

7 d x

A

2020

ln 7

B I 72020ln 7. C

2021 7 7 2021

D I 2020.72019. Lời giải

Chọn A

Ta có

0 0

ln 7 ln 7 ln 7

x x

2

1 d

x

�

bằng

A

1 2

e

2 1 2

e  D 2e21

Lời giải

Chọn C

Ta có

0 0

x

x e e

�

Câu 7 Tích phân

4 2 0

1

dx cos x



�

bằng

1



Lời giải

Chọn D

Ta có

4

4

0

1 dx tanx 1

cos x





�

1 d

x p q

e  x m e e

�

với m, p, q�� và là các phân số tối giản Tổng m p q  bằng

22

3 . Lời giải

Chọn D

Ta có

3 1

1 1

1

5, 2

x

x e e e m



�

�

2

3





với a, b��. Tính P a 4 b

A

1 2

P 

1 2

P

9 2

P D P 3 Lời giải

Chọn D

Ta có

2

2 3 3

1

2

a

b











�

�

� �

 

�

0

2sin d ,



���  ��

biết rằng 2  

0

d 5

f x x





�



 

D I   5  Lời giải

Chọn B



���  �� �  �

2

2 0 0

d 2cos 5 2 0 1 7





 Mức độ 2

Câu 1 Cho tích phân 2  

1

4f x 2x xd 1

�

Khi đó 2  

1 d

f x x

�

bằng

Lời giải

Chọn C

4f x 2 dx x1�4 f x xd 2 dx x1

1

2

x

có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;ln 3

và thỏa mãn f  1 e2,

 

ln 3

2 1

f x x�  e

�

Tính giá trị của f  ln 3

A f  ln 3  9. B f  ln 3 9. C f  ln 3 2e29. D f  ln 3  9 2e2.

Lời giải

Chọn B

Ta có ln 3     ln 3    

1 1

f x x�  f x  f  f

� Theo giả thiết ln3         2  

1

1

f x x�  e � f  f  e ���� f 

�

thỏa mãn 3  

0

d 4

f x x

�

Khi

đó giá trị của tích phân

 

3

1 ln 0

4 d

f x

I �e  x

bằng

A 3e 14 B 14e 3 C 4 12e . D 12 4e .

Lời giải

Chọn D

Ta có e1 ln f x  e f x   nên 3    3   3

I �e f x  x e f x x �  �x e

1

0

d ln 2 ln 3

�

với a, b là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A a b   2 B a b  2 C a2b 0 D a2b 0

Lời giải

Chọn D

Ta có

0

d ln 1 ln 2 2ln 2 ln 3

�

Suy ra a2, b 1. Vậy a2b0

cos 2 d 0

m

x x

�

với m là tham số Khẳng định nào sau đây là đúng?

A m k 2  k��

C m k 2k��

D m2k1   k��.

Lời giải

Chọn C

0 cos 2 d sin 2 sin 2

2

k

m m k  m  k

0

d 16

f x x

�

Tính 2  

0

2 d

I �f x x

A I 32. B I  8 C I  16 D I 4.

Lời giải

Chọn B

Đặt t2x�dt 2dx Đổi cận: x0�t0;x2�t4

I  �f t t  �f x x

0

d 1

I �f x x

Tính tích phân 1  2

0

d

K �xf x x

1

1 2

 Lời giải

Chọn C

Đặt tx2 �2 dx xd t Khi đó 1   1  

K  �f t t �f x x

1

ln

e f x

x e

�

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A 1  

0

d 1

f x x

�

B 1  

0 d

f x x e

�

C  

0

d 1

e

f x x

�

D  

0 d

e

f x x e

�

Lời giải

Chọn B

Đặt tlnx ta được

1

dt dx x

 Suy ra 1   1  

e�f t t�f x x

2

1

ln d

I �x x

A I ln 4e. B I ln 4 e . C I 2ln 2 1 . D I ln 4 log10 .

Lời giải

Chọn D

Đặt

d

d d

x

x

�

� �  � chọn v x

Khi đó

2

ln d ln 2ln 2 1 ln 4 log10

I x x �x x x x    

ln d

e

I �x x x

A

1 2

I 

2 2 2

e

I  

2 1 4

e

I  

2 1 4

e

I  

Lời giải

Chọn D

Đặt

2

d d ln

2

x u

� 

�



chọn C0

Khi đó

e

�

1 0 2 d x

I �x x

A

2 ln 2 1

ln 2

2ln 2 1

ln 2

2ln 2 1

ln 2

2ln 2 1

ln 2

Lời giải

Chọn C

Đặt

d d

2

d 2 d

ln 2

x x

u x



�



�

chọn C0

Khi đó

1

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x x

x

�

 Mức độ 3

thỏa 2     1

3f x 2g x dx1

�

và 2     1

2f x g x dx 3

�

Tính tích phân

  2

1

d

I �f x x

A

5 7

I  

1 2

I  C I 1 D I 2

Lời giải

Chọn A

3f x 2g x dx1�3 f x xd 2 g x xd 1

       

2f x g x dx 3�2 f x xd  g x xd  3

Đặt 2  

1 d

f x x u

�

và 2   1

g x x v

�

ta có hệ phương trình

5

7

u

u v

v

�  

�

 

�

Vậy 2  

1

5

7

I �f x x u  

 

  2

0

f x

t tx x  �x

Tính f  4

A f  4  1. B  4 1

2

C f  4  312. D f  4 2 3. Lời giải

Chọn C

Ta có

3

3 2

1

f x f x

t

t t   ��f x ��x x

� Cho x4, ta được 1   3   3

3��f ��  � f 

4 2 3

d

ln 2 ln 3 ln 5

x



�

với a, b, c là các số nguyên Tính S a b c   .

A S   2 B S  0 C S  2 D S  6

Lời giải

Chọn C

Ta có 2  

x x  x x  x x

d ln ln 1 4ln 2 ln 3 ln 5

1

x

Suy ra a4, b 1, c 1 nên S 2

1

2 0

d

ln 2 ln 3 2

x x

x



�

với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị của 3a b c  bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có  2    2  2

2

x x

x

 



2

Suy ra

1 , 1, 1 3

a  b  c

nên 3a b c   1.

Câu 5 Cho hàm số f x 

xác định trên

1

\ , 2

� �

� �

�

�

thỏa   2 ,

2 1

f x

x

� 

 f  0 1 và f  1 2. Giá trị của biểu thức f   1 f  3 bằng

A ln15 B 2 ln15 . C 3 ln15 . D 4 ln15 .

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết suy ra

1

2

1

d ln 2 1

1

2 1

2

x

�

�

�

�

�

�

• f  0 1�ln 1 2.0  C11�C1 1

• f  1 2�ln 2.1 1   C2 2�C2 2

Do đó

 

 

1

ln 2 1 2 khi

2

f x

f

�

�

xác định trên 0;�  \ e , thỏa mãn    1 ,

ln 1

f x

� 

1

ln 6

f e

� �

� �

 2 3

f e 

Giá trị biểu thức 1  3

e

� �

� �

� � bằng

A 2 ln 2 B ln 2 3 C 3ln 2 1 D 3 ln 2 1  .

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra

2

ln 1 ln khi 0;

d ln 1 1

x

�

�

ln 6 ln 1 ln ln 6 ln 2

•  2  2 

f e  � e  C  �C 

Do đó

 3

1

ln 2 ln 2

ln 1 ln ln 2 khi 0;

ln ln 1 3 khi ;

ln 2 3

f

e

f x

f e

� � � 

Biết f  0 4 và f x�  2cos2x1,  �� Khi đó x . 4  

0 d

I �f x x

bằng

A

2 4 16

 

2 14

16

  

16

  

D

16

  

Lời giải

Chọn C

Có      2    1

d 2 cos 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2

2

f x �f x x� � x x� x x x x C

Theo giả thiết f  0 4���C 4

Suy ra   2 1sin 2 4

2

x

Khi đó

2 4

0 0

x



�

2019

0

1 cos 2 d



A I  0 B I 2 2. C I 2019 2. D I 4038 2.

Lời giải

Chọn D

Vì hàm số y 1 cos 2x tuần hoàn với chu kì  nên

2019 1 cos 2 d 2019 2 sin d 2019 2 sin d 4038 2

2 0

1

2

x

�

với x là tham số Khẳng định nào sau đây là đúng?

A x k 2  k��

C x k 2 k��

D x2k1   k��.

Lời giải

Chọn C

Ta có

2

0

x

t

0

1

x

0 min 1, d

A

3 4

I 

4 3

I 

3 4

I  

Lời giải

Chọn C

Ta có

2

0;1 min 1,

1; 2 min 1, 1

�

�



�

4

x

I � x x� x x�x x�x x 

0 max x, x d

A I e  1 B 3 3 

2

I  e e

C I  e 3e . D

2

e

 � �

� �. Lời giải

Chọn B

Ta có

1

1 2

3

x� ۳ x x

Do đó

1 3 1

3

3

x

x x e x

I �e x�e x   e  e e

1

ln 9x dx a ln 5bln 2c

�

với a b c, , ��. Tính P  a b c.

A P 13 B P 18 C P26. D P34.

Lời giải

Chọn A

Đặt

 2

2

2

9

d d

x

x



�





2

2

x x

1

5

2

a

c



�

�

�  

�

0

ln 2 d ln 3 ln 2

I �x x x a b c

với a b c, , ��. Tổng a b c  bằng

3

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

2

2

x

x

� 

�



chọn C1

2

�

Suy ra

a b  c  �a b c  

Câu 14 Cho hai hàm số y f x  và y g x   có đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2

Biết

   1 1 1,

f g  f    2 2g 2 và 2    

1

g x f x x� 

�

Tính 2    

1 d

I �f x g x x�

A I  4. B I  2. C I 2. D I 4.

Lời giải

Chọn B

Xét 2    

1 d

I �f x g x x�

Đặt

 

�

Khi đó     2 2             2    

I  f x g x �g x f x x�  f g  f g �g x f x x�

2 1 3 2

    

thỏa 2 1f    f  0 2 và 1   

0

1 d 10

x f x x� 

�

Tính 1  

0

d

I �f x x

A I  12. B I   8 C I 1. D I  8

Lời giải

Chọn B

Xét

1

0

1 d 10

x f x x� 

�

Khi đó     1 1       1  

10 x 1 f x �f x xd 2 1f  f 0 �f x xd

  1 0

f x x    

 Mức độ 4

1

x

F x �t t

bằng

1

1

x x

 . D x21 1 x2 . Lời giải

Chọn A

Gọi H t 

là một nguyên hàm của 1t2, suy ra H t�   1t2

1 1

x x

F x �t t H t H x H

�F x�  ��H x H 1 ���H x�   1x2

1 sin d

x

F x  � t t x0

bằng

2sin x

sin 2

x

x

Lời giải

Chọn D

Gọi H t 

là một nguyên hàm của sin ,t suy ra 2 H t�  sin t2 Khi đó

1 1

x x

F x  � t t H t H x H

          sin

�

1

2 0

d 4

x I

x





�

và x 2sin ,t t ( 2 2; )

 



Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

3

0 d



�

6

0 d



�

6

0 d

I t t



�

6

0

dt I t



� Lời giải

Chọn B

d 2 cos d



�

�

Đổi cận:

1

6

 � 

�

�

�  � 

�

Vậy

2 cos 2 cos

3 2 3

1 d 3

x





�

và x 3 tan ,t t ( 2 2; )

 



Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

3

4

3 d





3

4

3 d 3





3

4

3 d 3





3

4

3 d 3

t I

t





Lời giải

Chọn B

3 tan d 3 1 tan d

Đổi cận:

3

4 3

3





�

�

�  � 

2

3 1 tan d 3

d

t t

t





2 2020

2

d 1

x

x

e







�

2021 2 2020

I 

2021 2 2021

I 

2022 2 2022

I 

Lời giải

Chọn C

Ta có

x x x

Tính

0 2020

2

d 1

x

x

e







�

Đặt x t�dx d t Đổi cận:

  � 

�

�  � 

�

Khi đó

 2020

t x

t t x



Vậy

2020

x

x x

2 2

3

d ln 5 ln 2

x

�

với a, b là các số hữu tỷ Tổng a b bằng

A

2 3



1 3



1

2 3 Lời giải

Chọn B

Đặt

Đổi cận:

�

�

2

2 2

2

a

� 

�

�

3 1

d

ln 2 ln 2 1 1

x



�

với a, b, c thuộc �. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

1 3

a 

2 3

b

2 3

c 

D a b c   0 Lời giải

Chọn A

Viết lại

I

Đặt

3

2 2

1 1

2 d 3 d

3

x t

x x t t

t t x x

�  

�  





Đổi cận:

�  � 

�

�

 � 

�

3

2

2

ln 2 ln 3 2 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 ln 2 1

Suy ra

a  b  c

2 1

d

x

�

với a, b, c thuộc �. Tính P a b c   .

A P12 B P 18 C P24 D P46.

Lời giải

Chọn D

Ta có        

2

d

 

Đổi cận:

�  �  

�

�

2

1 2

1 2

d





� �

� �

�

2 3 4 2 2 32 12 2 P a b c 32 12 2 46

liên tục trên � và 1  

0

d 1,

f x x

1

d 2

f x x

�

Tính giá trị của biểu thức

  3

0

3 d 3

x

I  ��f � �� � f x ��x

� �

�

A I   9 B I  4. C I 4. D I  9

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết ta có 1   9   9  

f x x f x x f x x  

I  ��f � �� � f x ��x f � �� �x f x x

3

x t

x

f � �� �x��� f t t f x x 

� �

• Xét 3   3 9   9  

u x

Vậy I   3 1 4.

là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn 4; 4  Biết rằng 0  

2

d 2



�

và

2

1

2 d 4

f  x x

�

Tính tích phân 4  

0

d

I �f x x

A I  10. B I  6. C I  6 D I  10

Lời giải

Chọn B

Do f x  là hàm lẻ nên f    x f x 



1

2

u x

Vậy 4   2   4    

I �f x x�f x x�f x x    

là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn 1;6  Biết rằng 2  

1

d 8

f x x





�

và

3

1

2 d 3

f  x x

�

Tính tích phân 6  

1

d



�

A I 2 B I  5 C I 11 D. I 14

Lời giải

Chọn D

Vì f x 

là hàm số chẵn nên 3   3  

f  x x f x x

Xét 3  

1

2 d 3

K �f x x

Đặt t2x���dt2d x Đổi cận:

 � 

�

�  � 

�

K  �f t t �f x x����f x x K 

Vậy 6   2   6  

1

d 5,

f x x

5

4

d 20

f x x

�

Tính 2   ln 2  2 2

I �f x x �f e e x

5 2

I 

15 4

I  Lời giải

Chọn D

• Xét ln 2   2 4  

2 2

x

u e

x x

f e e x��� � f u u

• Xét

4 3

t x

Vậy

25 5 15

I   

liên tục trên � và 4  

0 tan d 4,





0

d 2

1

x f x

x



�

Tính tích phân

  1

0

d

I �f x x

A I 1 B I 2 C I  3 D I  6

Lời giải

Chọn D

Xét 4   tan 1  

2

1

t x f t

t







Từ đó suy ra 1   1 2  1 22  

liên tục trên  3;7 ,

thỏa mãn f x   f 10x với mọi x� 3;7

và

  7

3

d 4

f x x

�

Tính tích phân 7  

3 d

I �x f x x

A I 20. B I 40. C I 60. D I 80.

Lời giải

Chọn A

Đặt x 10 t�dx d t Đổi cận:

 � 

�

�  � 

�

I  � t f t t� t f t t� x f x x

   

10

f x f x

 

Suy ra 7  

3

2I 10�f x xd 10.4 40 ���I 20

liên tục trên � và thỏa mãn f x  f   x 2 2cos 2 x với mọi x��.

Tính

 

3 2

3 2

d







A I   6 B I  2. C I  0 D I  6

Lời giải

Chọn D

Xét





Suy ra

3

2

3

2

2 cos dt t 12 I 6







Câu 16 Cho hàm số f x 

xác định và liên tục trên đoạn

1

; 2 , 2

� �

� �

thỏa mãn

2

2

� �

 � �  

� � Tính tích phân

  2 2 1 2

d 1

f x

x





�

A

3 2

I 

5 2

I  D I  3 Lời giải

Chọn A

Xét

 

1

x t

f



��

��

��

Suy ra

2

1

2

x

có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn f x  0, x �� và

  2   0

f x�  f x  Biết rằng f  1 1, tính f  1

A f   1 e 2. B f   1 e3. C f   1 e4. D f   1 3.

Lời giải

Chọn C

Vì f x  0, x �� nên ta có f x  2f x  0 f x    2

f x

�

Lấy tích phân cận từ 1 đến 1 hai vế, ta được

 

f x

f x

�

 

(do f x    ��0, x )

ln f 1 ln f 1  4 ln1 ln f 1  4

� �� �� �� �� � �� ��

ln f 1 4 f  1 e

� �� �� ���

có đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2 ,

thỏa mãn f x  0 với mọi x thuộc

 1;2

Biết rằng 2  

1

d 10

f x x� 

�

và

 

 

2 1

d ln 2

f x

x

f x

�



�

Tính f  2

A f  2  20. B f  2  10. C f  2 10. D f  2 20.

Lời giải

Chọn D

Ta có 2     2    

1 1

f x x�  � f x  � f  f 

Lại có

 

1

f x

f x

�

�

(do f x    �0, x  1; 2 )

 2

Từ  1

và  2 ,

suy ra f  2 20

thỏa mãn   3   2

f x�  x ��f x ��  �x �

Biết  2 1 ,

25

f  

tính giá trị của

 1

f

A  1 1

10

f  

B  1 1

40

f  

C  1 41

400

f  

D  1 391

400

f  

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết suy ra

 

2

1

f x

f x

f x

�

�

Lấy tích phân hai vế của  * với cận từ 1 đến 2, ta được

 

3

1

dx 4 dx x

f x

�

 

 0;1

Tính tích phân 1  

0

d

I �f x x

A

1 2

I 

2 3

I 

4 3

I 

3 5

I  Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được

1x f 1 x f x 2 1  x 1 x

Giải hệ

�

�

2

0

2

x