NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN... NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π..[r]
Trang 1Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 1: Tính tích phân 4
0 cos 2 sin 2
x I
π
=
+
H ng d n:
2
2 2
2
1 tan
cos
I
x
+
+
t t =tanx
Bài t p 2: Tính tích phân 1( ) 2
0
H ng d n:
I = x +x e + + x+ e + + x= x +x e + + x+I
1
0
x x
1 0
I = e + + x= xe + + − x +x e + + x=e − x +x e + + x
I = x +x e + + x+ e − x +x e + + x =e
Bài t p 3: Tính tích phân 2 2
0
sin
1 sin 2
x
π
+
= +
H ng d n:
Bi n i
+
Tính
2 2
2
0
sin
1 sin 2
x
x
π
=
2 2 / 2 0
cos
1 sin 2
x
x
π
= +
Suy ra:
2 /
2 2
0
2 2
/
2 2
0
1
1 sin 2
2 cos 2
1 sin 2
x
I x
x
π
π
+
−
+
Trang 2Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Tính
1
2
1
cot
2sin
4
x
x
π π
+
+
(t ng ph n)
Bài t p 4: Tính tích phân 1
2 1
1
−
=
H ng d n:
2
t
−
+ Bài t p 5: Tính tích phân 3
6
cot sin sin
4
x
π
=
+
H ng d n:
Bi n i
2
sin sin
4
+
t t =cotx
T ng t : Tính tích phân
4
0cos sin
4
x I
π
π
=
+
; 3
6sin sin
6
x I
π
=
+
Bài t p 6: Tính tích phân
4
0
tan
x
π
=
−
H ng d n:T ng t Bài t p 5
Bài t p 7: Tính tích phân
2 5
x x I
=
H ng d n: t t = x2 +5 t2 =x2 +5 t t= x x
Bài t p 8: Tính tích phân 6 ( )
1
3
I
x
=
+
H ng d n: t t = x+3 t2 =x+3 2t t= x
3
3
2
I = t − t+ x (tích phân t ng ph n)
Bài t p 9: Tính tích phân
1 2
0
2 2
I = x x − x+ x= x x− + x t x− =1 tanx
Trang 3Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 Bài t p 10: Tính tích phân 2 2
6
1
2
π π
H ng d n: Bi n i
2
2
6
3
2
π π
2
Bài t p 11: Tính tích phân 4 2
0 sin cos x
π
=
H ng d n: t t =sin2x
Bài t p 12: Tính tích phân 3 2 4
4
x I
π π
=
H ng d n:
2
2 2
x
t t =tanx
Bài t p 13: Tính tích phân 2
3 sin 2 4sin
x I
π π
=
+
H ng d n:
Bi n i
I
t t =cosx
Bài t p 14: Tính tích phân
3
0
sin
x x I
π
=
+
H ng d n: Bi n i
3
2 0
sin
x x I
π
=
1
2
A
B
=
= −
Trang 4Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Suy ra
2
2
sin
4
I
x
π
+
Bài t p 15: Tính các tích phân sau:
a)
3
x I
π
=
3
2 0
sin
x x I
π
=
+
H ng d n:
a) D ng ng c p b c 2 theo t=tanx
Bi n i
tan
x
I
t t =tanx
b) D ng ng c p b c 3 theo t =cotx
Bi n i
3
x I
π
=
t= x
Bài t p 16: Tính các tích phân sau:
a)
2
x I
π
=
2
x I
π
=
2 3 3 sin
x I
x
π π
=
d)
2
x I
π
=
2 3
0 tan
π
4
01 tan
x I
x
π
= +
t tan
2
x
2
−
Bài t p 17: Tính các tích phân sau:
0
sin cos
π
0
sin
3 cos
I
x
π
=
0
π
0 sin d
π
=
Cách 1: Ph ng pháp tích phân t ng ph n
Cách 2: i bi n d ng 1
t t =π −x t= − x
Lúc ó:
0
π
=
Trang 5Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
3
cos
0
t
π
π
0
sin
x
π
=
+
t
2
Lúc ó:
6
2
sin
2
t
π
π
−
(1)
M t khác:
π
+
T (1) và (2) suy ra:
4
T ng t : Tính các tích phân sau
2
0
sin
x
π
=
2
2 0
sin
x
π
=
+
Bài t p 19: Tính tích phân
2 2 1
ln
e
x
=
+
Cách 1:
2 1
ln
e
=
2
2
x
+ +
1
ln
2 ln 1
e e
x
+
2
x
+
1
1
e
x
−
=
2
2
x
x
−
Lúc ó
2
1
1
e e
−
.
I = I + I = − I + I =
Trang 6Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 20: Tính tích phân
2 1
1
e
Bi n i
x
Bài t p 21: Tính tích phân
2
x
x e
x
= +
t
2
2
2
2 2
x x
+ +
Lúc ó:
2 2
0
2 0 2
x
x
x e
x
+ Bài t p 22: Tính tích phân
3
x I
=
+
Cách 1: t x=tant
Cách 2: Bi n i
1 1
+ +
Bài t p 23: Tính tích phân
2
x
=
2
Bài t p 24: Tính tích phân
1
x I
=
t
2
3
2
Bài t p 25: Tính tích phân
4 1
I
x
−
=
Bi u bi n:
3
1
−
Trang 7Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 26: (THTT 2012)Tính các tích phân sau:
a)
2
e
e
2
2
1
2 ln
ln e
e
x
a)
/ / /
Tính
2
ln
e
e
x
Suy ra:
2
2
2
e
e
−
Lúc ó:
1
b)
/ / / 2
Tính
2
/
2 ln
e
e
ln
Suy ra:
2
e e
1
e
x
1
x
x
x
1
2
0
1
2
1 1
1
t
+
1
t
t
+
Trang 8
Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 28: Tính tích phân
1
2 1
1
−
=
Xét
0
2 1
1
−
=
Ta có:
1
Lúc ó:
2
x
e
x
π
+
Bài t p 29: Xác nh nguyên hàm c a hàm s ( ) tan tan tan
Bi n i
( )
2
2
f x
3 3
tan 3
x
−
− Bài t p 30: Tính tích phân
2 1
x
+
=
t
2
2
2
1
x
x
+
Lúc ó:
3 3 2
2 1
1
2
2 3 1
x
π
+
Bài t p 31: Tính tích phân 6 3 3 3
0
cos
x
π
−
Bi n i
3
1
Trang 9Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
3
5
Bài t p 32: Tính tích phân 2 4 4 4
4
sin
x
π π
=
+
H ng d n:Dùng k thu t tích phân liên k t
Xét
4 2
4
sin
x
π
π
=
4 2
4
cos
x
π π
=
Ta có:
2
4 4
I +J = x= (1)
M t khác, ta xét:
2
1
2
4
x x
π
π
T (1), (2) suy ra: 1 ln 3 2 2( )
Bài t p 33: Tính tích phân
2 1
1 x
x
+
Cách 1: t x=tant
Cách 2: Tích phân t ng ph n
t
2
2
2
1
1
x
x
+
Lúc ó:
3
2 3
2
1
1
x
+
1
Trang 10Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 34: Tính tích phân 2 3
4
cos sin
x
π π
=
t
x
Lúc ó:
2
1
cot
x
π π
Bài t p 35: Tính tích phân
ln16
4 0
1 1
x
x
e
e
+
=
+
4
t
Suy ra:
2 1
t
+
0
1
e
x
−
+
=
+
Bài t p 37: Tính tích phân
4
2 0
1
x
x
+
=
1 2
x
x
2
2
t t
3
=
4 2
2
t
t
Bài t p 38: Xác nh nguyên hàm c a hàm s ( ) 3 1 5
sin cos
f x
=
I
+
Trang 11Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
( 2 )3
2
1 8
2
1
t t
t t
t
+
+
3
3
−
2
Bài t p 39: Tính tích phân 6
0
tan
4 d cos 2
x
x
−
=
2
2
tan
4
x
x
−
+
+
2
1
cos
x
1
Suy ra
( )
1
1 3
3 2
0 0
1
t I
t t
−
+
Bài t p 39: Tính tích phân 4
2 4
sin
d 1
x
−
=
π π
2
2
sin
1
x
+ Tính
4
2 1
4
−
π
π
t x= − ta có: t
−
+ Tính
4
sin d
π
Tích phân t ng ph n
Trang 12Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Bài t p 40: Tính tích phân
1 2
1
x
+
Bi n i:
Tính
1
1
2
d
x
x
I = e + x t
2
1 1
x
Lúc ó:
2
d 2
x
V y
Bài t p 41: Tính tích phân
ln 5
x I
=
Bi n i
x
I
t t = ex− ⇔1 t2 =ex− ⇔1 2t t =e xx
Suy ra:
2
2 2
9
I
t t
−
Bài t p 42: Tính tích phân 4
0
4
4 3sin 2
x
x
−
=
−
Ta có:
4
x
−
+
t t =sinx−cosx t=(sinx+cosx) x
và t2 = −1 sin 2x sin 2x= −1 t2
Trang 13Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
Lúc ó:
2 2
4 3 1
I
t t
+
1 tan 3
Bài t p 43: Tính tích phân 3 22 22
4
π π
sin 3 cos sin cos 3 sin 3 cos sin cos 3
4sin 2 sin 42 8cos 2
sin 2
x x
Lúc ó:
3
3 4 4
π
π π π
Bài t p 44: Tính tích phân
2
1
2009 ln
e x
x
+
=
t t = x t2 =x 2t t= x
2
2
2
t x
Ti p t c b ng ph ng pháp tích phân t ng ph n
Bài t p 45: Tìm nguyên hàm:
3 3
4
2012 d
x x
3 3
1 1
−
Tìm ( )
3 2
1 1 d x
x
−
2
−
( )
4
Trang 14Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
−
Do v y
4 3
3
3
8
L u ý: N u HS làm nh sau thì sai ( )
1 3
1 1
2
x
−
Bài t p 46: Tìm nguyên hàm:
x
d
2 cos 4 1
x x
+
Bài t p 47: Tính tích phân a)
4
0
1 sin 2 x
π
−
=
4
4
sin 2 cos 2
π π
+
=
b)
+ Tính
4
4
sin 2
x
π
π
=
Ta có: sin 2x=(sin 2x+1)− =1 (sinx+cosx)2 − =1 (sinx+cosx+1 sin)( x+cosx−1)
4
4
2
π
π
π
−
+ Tính
4
4
cos 2
x
π
π
=
Ta có: cos 2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx)
t t =sinx+cosx+1 t =(cosx−sinx) x
Trang 15Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
1
1
t
t
+
−
2
Cách 2: K thu t bi n i
2 4
4
π
π
−
=
−
4
2
π π
π
−
1
ln
e
=
+
Ta có:
1
1
e
x
+ +
Bài t p 49: Tính tích phân 4
0
d
3 sin 2
x
π
+
=
+
Ta có:
2
t t =sinx−cosx dt=(cosx+sinx)dx
6
=
Bài t p 50: Tính tích phân
3
4
1
d
−
−
=
Phân tích:
Trang 16Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013
t t = −(x+1)+ −(x+2)
t
Suy ra:
2 1
t
+
+
Bài t p 51: Tính tích phân 0 2 2
1 2
−
Ta có:
2
x
2 0
1 2
d
x
x
−
=
π π
Khi ó:
π
− −
+ Tính:
2
1
2
I
t
t
+
+
t: tan 2 tan
2
6
ϕ
3
ϕ= , 0
2
π ϕ
< <
Khi ó: 2
0
ϕ
ϕ
+ Tính:
0 3
1 2
−
= + t: t = 2x+1 2x=t2 −1 dx=t td
Khi ó:
1 2
2 2
0
t
ϕ
3
ϕ = , 0
2
π ϕ
< <