http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN: TOÁN - LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của [r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
CỤM LẠNG GIANG
Ngày thi 24.02.2013
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN: TOÁN - LỚP 10
NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (3 điểm)
1 Cho hàm số f x ( ) x 2
= + , đặt g x ( ) = f f x ( ) , h x ( ) = f g x ( ) Xét tính chẵn -
lẻ của hàm số h(x)
2 Cho phương trình : − x2 + 4 |x−1| − 4m + 1 = 0
a) Giải phương trình khi 1
m 4
=
b) Tìm m để phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: 3 2 − = − x 1 x 1 −
b) Cho hệ phương trình 2 2 2
+ = +
Tìm a để tích xy lớn nhất
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải bất phương trình sau: ( 2 ) 2
x 4x x 3x 2 0
b) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
2
Câu 4 (2 điểm)
a) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, BC=a, CA=b, AB=c Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ
B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10 = 0 và
x – y + 1 = 0; điểm M(0; 2) thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng
2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Câu 5 (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 4; gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác Chứng minh rằng:
_Hết _
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
CỤM LẠNG GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM
MÔN: TOÁN - LỚP 10
NĂM HỌC 2012-2013
Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài Bài
làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng
1 Cho hàm số f x ( ) x 2
= + , đặt g x ( ) = f f x ( ) , h x ( ) = f g x ( ) Xét tính
chẵn - lẻ của hàm số h(x)
+
+
* Xét hàm số h x ( ) x 2
= +
- TXĐ: ℝ
+ Với ∀ x,x ∈ ℝ ⇒ − ∈ x ℝ
+ h ( ) x x 2 h x ( )
−
+
Vậy h(x) là hàm số lẻ
0,25
0,25
0,25
0,25
1
(3
điểm)
2 Cho phương trình : − x2 + 4 |x− 1| − 4m + 1 = 0
a) Với 1
m 4
= phương trình trở thành: − x2 + 4 |x− 1| = 0
+) x ≥ 1: − x2 + 4 (x− 1) = 0⇔ = x 2
+) x < 1: − x2 − 4 (x− 1) = 0⇔ = − ± x 2 2 2
Kết luận: phương trình có 3 nghiệm phân biệtx = 2;x = − ± 2 2 2
b) Tìm m để phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt
− x2 + 4 |x− 1| − 4m + 1 = 0 ⇔ 4m = − x2 + 4 |x− 1| + 1
x 1
x 1
2 2
4m
khi khi
x 1
2 2
f x
=
khi khi
Ta có bảng biến thiên:
0,5
0,5
0,25
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
f(x) 2
x 4x 5
− − + | −x2+4x− 3
Biến
thiên
f(x)
9
1
0
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = 4m Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có 2 nghiệm phân
biệt khi và chỉ khi 1 < m < 9 hoặc m < 0
0,5
0,25
2
( 2
điểm)
a) Giải phương trình: 32 − = − x 1 x 1 −
Đặt
3 3
2
b x 1
Thay vào phương trình được: a = − 1 b
Ta có hệ phương trình
( )2
=
=
+) a 0 x 2
b 1
=
=
; +) a 1 x 1
b 0
=
=
; +) a 2 x 10
b 3
= −
=
Kết luận: phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1; x = 2; x =10
b) Cho hệ phương trình x2 y 2 a 12
+ = +
Tìm a để tích xy lớn nhất
+ = +
Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi
3
≤−
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn Xét hàm số ( ) 1 2 3
= − + + trên ( ; 1] 5;
3
−∞ − ∪ +∞
Bảng biến thiên
a
−∞ -1 1 5
3 +∞
f(a) 1/2 −∞ v
v
v
v
v
v
v
v
16/9 −∞
Tích xy lớn nhất khi và chỉ khi f(a) đạt giá trị lớn nhất trên ( ; 1] 5;
3
−∞ − ∪ +∞ Dựa vào bảng biến thiên suy ra xy lớn nhất bằng 16/9 khi a = 5/3
0,25
0,25
3
(2
điểm)
a) Giải bất phương trình sau: ( 2 ) 2
x 4x x 3x 2 0
2
2
=
b) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
2
− − + ≤
Xét bất phương trình (1): x2−2x− + ≤m 1 0 có ∆ = ' m, bất phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ ' 0 m ≥ 0 Khi đó bất phương trình (1) có nghiệm
1 − m ≤ ≤ + x 1 m
Xét bất phương trình (2): 2 ( ) 2
x m x m m có ∆ = 1>0 Khi đó bất phương trình (2) có nghiệmm ≤ ≤ x m + 1
Xét bài toán tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm:
m
2
> +
Vậy để hệ có nghiệm thì giá trị m cần tìm là 3 5
0 m
2
+
1
0,5
0,5
4
(2
điểm)
a) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, BC=a, CA=b, AB=c Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0
Ta có: IA ' BA ' CA ' BA ' CA ' a
+
Suy ra: a.IA= −(b+c IA ')
0,25
A
I
A’
Trang 5http://toanhocmuonmau.violet.vn
BA ' ac
=
ab
CA '
b c
= +
Mặt khác: IA ' CA '.IB A ' B.IC b IB c IC
(b c IA ') b.IB c.IC
b) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường phân giác
trong góc A thì M’ thuộc AC Gọi I là giao điểm của
MM’ và đường phân giác trong góc A thì I là trung
điểm của MM’
MM’: x + y – 2 = 0
Điểm I 1 3;
2 2
, điểm M ' 1;1( )
AC đi qua M’ và vuông góc với đường cao kẻ từ B nên AC: 4x – 3y – 1 = 0
Điểm A là giao điểm của AC và đường phân giác kẻ từ A nên A(4; 5)
Đường thẳng AB đi qua A, M nên có phương trình: 3x – 4y + 2 = 0
Điểm B là giao điểm của AB và đường cao kẻ từ B nên B 3; 1
4
− −
MC= 2, tọa độ điểm C là nghiệm (x; y) của hệ 2 ( )2
, suy ra C 1;1( )
hoặc C 31 33;
25 25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
5
(1
điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 4; gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác Chứng minh rằng:
Ta có a b c + + = 4 ⇒ a b + = − > 4 c c ⇒ c < 2.
Tương tự: a < 2; b < 2
Áp dụng Định lý Côsi cho 3 số dương:2 − a ; 2 − b ; 2 − c
3
8
27 8
27 8
27
− + − + −
0,25
0,25
0,5
A
M
I
M’