Biết M N tạo với mặt phẳng SB D một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S ABC D và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M ANC.. Lời giải manlonely838:.[r]
Trang 1vn
http://toanphotho
ng.vn
TOÁN PHỔ THÔNG
http://toanphothong.vn
ĐỀ SỐ 3
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN
NGÀY 22.12.2012
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số(C m ) : y = x4− 2(m + 2)x2+ 8mcó đồ thị là(C m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C2)khim = 2
b) Tìmmđể đồ thị hàm số(C m)có3điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi gấp2lần diện tích
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: sin 5x + cos3x = (1 + 4p3 cos x) sin x +p3
b) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2(p
1 + x +p1 − x) +p1 − x2≤x
4
32− x2+ 5
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân: I =
Zπ
π
2
(1 + cos x)(cos2x − 2cos x − 2x sin x)
(x + sin x)2 dx.
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đềuS ABC Dcó cạnh đáy AB =p2a GọiM , N lần lượt là trung điểm của
S A, C D BiếtM Ntạo với mặt phẳng(SB D)một góc bằng600.Tính thể tích khối chópS ABC Dvà tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chópM ANC
Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực không âmx, y, zthỏa mãn điều kiện: x3+ y3+ z3+ x y z = 3vàz = min{x, y, z} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x − z)(y − z)(x + y − z) + 2z(x2+ y2)
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6A (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độOx ycho đường tròn(C ) : x2+ y2=5
4và đường thẳng(d ) : (m2− 1)x + 3y + 2m − 1 = 0 Tìmmđể trên đường thẳng(d )tồn tại duy nhất một điểm Mqua đó kẻ được hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn(C )vớiA, Blà các tiếp điểm Khi đó hãy xác định tọa độ điểmMbiết trọng tâm của tam giácM AB
làGµ 7
9;
7
9
¶
b) Trong không gian với hệ trục tọa độOx y zcho đường thẳng(∆) :x
1=y
2=z − 2
−1 và đường thẳng
(d ) :
x = −t
y = 1 − t
z = −2
(t ∈ R).Gọi(P )là mặt phẳng vuông góc với(∆)đồng thời cắt(∆)và(d )tạiM , Nsao choM Ncó
độ dài nhỏ nhất Viết phương trình mặt cầu tâmIcắt mặt phẳng(P )theo giao tuyến là đường tròn có đường kínhM NvàtanI M N =p2
Câu 7A (1 điểm) Giải bất phương trình: ln
·log2(x2+ 3x − 2)
log4(3x + 1)
¸
> 0
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6B (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độOx ycho tam giác ABC vuông tạiA (AB < AC )có tọa độ đỉnhB (2; 1) Đường cao
AH : x + 2y − 10 = 0 Trên cạnhAC lấy điểmD sao cho AB = C D KẻD Mvuông góc với AH (M ∈ AH) Đường phân giác trong gócC B McắtAHtạiN Hãy tìm tọa độ điểmN
b) Trong không gian với hệ trục tọa độOx y zcho tam giácABCvuông cân tạiA, biết điểmAthuộc mặt phẳng
(P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0,B (3; −1;3)vàC (3; −1;−1) Lập phương trình mặt phẳng(α)qua Ahợp với mặt phẳng
(Q) : x − y + 2 = 0một góc600đồng thời cách điểmI (3; 3; 1)một khoảng bằng2p
2biết điểmAcó tung độ âm
Câu 7B (1 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
(
3x.6 x+1 + y.3 x+y+3= 58.3x+2
x.2 x+y+4 + 2y.6 y+2= 85.2y+4
———————————————–Hết—————————————————
Trang 2vn
http://toanphotho
ng.vn
TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN
Câu 1. Cho hàm số(C m ) : y = x4− 2(m + 2)x2+ 8mcó đồ thị là(C m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C2)khim = 2
b) Tìmmđể đồ thị hàm số(C m)có3điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi gấp2lần diện tích
a)Lời giải (hungchng):
m = 2hàm số lày = x4− 8x2+ 16có tập xác địnhD = R;
Đạo hàmy0= 4x3− 16x; y0= 0 ⇐⇒
·
x = 0 =⇒ y = 16
x = ±2 =⇒ y = 0
lim
x→−∞ y = +∞; lim
x→+∞ y = +∞;
Bảng biến thiên
x
y0
y
+∞
0
16
0
+∞
Hàm số nghịch biến trên(−∞;−2),(0;2);
Hàm số đồng biến trên(−2;0),(2;+∞)
Điểm cực đại(0; 16)Điểm cực tiểu(−2;0),(2;0)
Đồ thị
5 10 15 20
0
b)Lời giải (Một giấc mơ):
Ta có : y0= 4x3− 4(m + 2)x = 0ta được£x = 0; x2= m + 2
Để hàm số có ba điểm cực trị thì ta có :m > −2
Ta gọiA, B,Clần lượt có toạ độ làA(0; 8m) ; B (p
m + 2;−(m − 2)2) ; (−pm + 2;−(m − 2)2) ThêmIlà trung điểmBCta cóI (0; −(m − 2)2) Ta tính được độ dài các cạnh tam giácABClà :
AB = AC =pm + 2 + (m + 2)4; BC = 2pm + 2 ; AI = (m + 2)2
Theo điều kiện giả thiết bài toán thì ta có :
2S ∆ABC = C ∆ABC ⇐⇒ AI BC = 2AB + BC ⇐⇒ 2t2.p
t = 2pt + t4+ 2pt
Vớit = m + 2 > 0Vậy ta có phương trình: t2=p1 + t3+ 1 ⇒
(
t4− 2t2+ 1 = 1 + t3
t ≥ 1
Vậy ta có : t4− 2t2= t3⇒ t2− 2 + t = 0 ⇐⇒
·
t = 2
t = −1loại Vậy ta có thể suy giá trị củamlàm = 0
Câu 2.a Giải phương trình: sin 5x + cos3x = (1 + 4p3 cos x) sin x +p3
Lời giải (Mai Tuan Long):
P T ⇐⇒ cos3x(2sin2x + 1) =p3(2 sin 2x + 1)
⇐⇒ (cos 3x −p3)(2 sin 2x + 1) = 0 ⇐⇒ 2sin2x + 1 = 0
⇐⇒ x = − π
12+ kπhoặcx =7π
12+ kπ, (k ∈ Z)
Câu 2.b Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2(p
1 + x +p1 − x) +p1 − x2≤x
4
32− x2+ 5
Lời giải ():
Câu 3. Tính tích phân: I =
Z π
π
2
(1 + cos x)(cos2x − 2cos x − 2x sin x)
(x + sin x)2 dx.
Lời giải (h.u.n):
Trang 3vn
http://toanphotho
ng.vn
I = −
Zπ
π
2
¡cos2
x − 2cos x − 2x sin x¢
d
x + sin x
¶
= −cos
2x − 2cos x − 2x sin x
x + sin x
¯
¯
π
π
2
+
Z π
π
2
1
x + sin xd¡cos
2
x − 2cos x − 2x sin x¢
= −cos
2x − 2cos x − 2x sin x
x + sin x
¯
¯
π
π
2
+
Z π
π
2
−2 cos x sin x + 2 sin x − 2 sin x − 2x cos x
= −cos
2x − 2cos x − 2x sin x
x + sin x
¯
¯
π
π
2
− 2
Z π
π
2
cos xdx
= −cos
2x − 2cos x − 2x sin x
x + sin x
¯
¯
π
π
2
− 2 sin x
¯
¯
π
π
2
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đềuS ABC Dcó cạnh đáyAB =p2a GọiM , Nlần lượt là trung điểm củaS A, C D BiếtM Ntạo với mặt phẳng(SB D)một góc bằng600.Tính thể tích khối chópS ABC Dvà tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chópM ANC
Lời giải (manlonely838):
A
C B
D O
S
N I H
M
K
+ Xác định góc(M N , (SB D)): GọiI = AN ∩ BD, K = SI ∩ M N Ta có(SB D) ∩ (ABC D) = BD, (SBD) ⊥ (ABC D).
KẻN H ⊥ BDtạiH, suy raN H ⊥ (SBD)vàHlà trung điểm của đoạnDO.Suy raH K N = (M N ,(SBD)) = 60 0
+ Tính đường caoSOcủa hình chópS.ABC D: Dễ dàng tính đượcH N =1
2OC =1
4AC =1
4(2a) = a
2. Tam giácH K Nvuông tạiHta cóH K = H N
tan 600=a
p 3
6 . Trong hình vuôngABC Dcó
H I
I O =H N
AO =1
2⇒ H I =1
2I O =1
3H D (1)
KẻI J ∥ S A (J ∈ M N ).Khi đó ta có
I K
K S = I J
SM = I J
M A= N I
N A=1
3 (2)
Từ(1)và(2)suy ra
H K ∥ SD
H K =1
4SD Suy raSD = 4HK = 2a
p 3
3 ⇒ SO =pSD2− DO2=a
p 3
3 . + Tính thể tích khối chópS.ABC D:
V S.ABC D=13SO.S ABC D=13.a
p 3
3 .(a
p 2)2=2a
3p 3
9 . + Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnM ANC (Khá dài và tính toán nhiều nên chỉ trình bày sơ lược): Dựng trục của các đường tròn ngoại tiếp các tam giácANC và AMC Hai trục này cắt nhau tại tâmO1của mặt cầu ngoại tiếpM ANC
Tính bán kính mặt cầu đó như sau:MC =
s
2(SC2+ AC2) − S A2
p 21
3 sinM AC = SO
S A=1
2. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp∆M AClàR ∆M AC= MC
2 sinM AC=a
p 21
3 . Gọih1là khoảng cách từO1đến(ANC ) Ta cóh1=
q
R2
∆M AC − OC2=2a
p 3
3 . GọiPlà trung điểm củaOB, suy raO1P = h1và ta cóPC =pOC2+ OP2=a
p 5
2 . Cuối cùng,R(khối cầu)=
q
h21+ PC2=a
p 93
6 .
Trang 4vn
http://toanphotho
ng.vn
Câu 5. Cho các số thực không âmx, y, zthỏa mãn điều kiện: x + y + z + x y z = 3vàz = min{x, y, z}
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x − z)(y − z)(x + y − z) + 2z(x2+ y2)
Lời giải (manlonely838):
Ta có
3 − P = 2z(z − x)(z − y) + (x + y − z)(x − y)2
Vìz = min{x, y, z}nên2z(z − x)(z − y) ≥ 0 ∀z ≥ 0và(x + y − z)(x − y)2≥ 0 ∀z ≥ 0.Suy raP ≤ 3.
Do đó,max P = 3 ⇐⇒
2z(z − x)(z − y) = 0 (x + y − z)(x − y)2= 0
x3+ y3+ z3+ x y z = 3
⇐⇒ x = y = z =r 33
4hoặcx = y =r 33
2, z = 0.
Câu 6A.a Trong mặt phẳng tọa độOx ycho đường tròn(C ) : x2+y2=5
4, đường thẳng(d ) : (m2−1)x +3y +2m−1 = 0.
Tìmmđể trên đường thẳng(d )tồn tại duy nhất một điểmMqua đó kẻ được hai tiếp tuyếnM A, M B đến đường tròn(C )vớiA, Blà các tiếp điểm Khi đó hãy xác định tọa độ điểmMbiết trọng tâm của tam giácM ABlàGµ 7
9;
7 9
¶
Lời giải (Mai Tuan Long):
Đường tròn (C) có tâmO(0; 0)và bán kínhR =
p 5
2
Gµ 7
9;
7
9
¶
=⇒ OGthuộc đường thẳngd1:x − y = 0 =⇒ M ∈ d1=⇒ M = (a; a)
M ∈ d =⇒ {M} = d1T d Ta có:m
2
− 1
1 6= 3
−1 =⇒ Mlà duy nhất Mặt khác: GọiHlà trung điểm củaAB
OG =7
p
2
9 ;OM = ap2 =⇒ OH = 5
4ap
2 =⇒ M H = OM − OH = 8a
2
− 5
4ap
2 =⇒ MG =2
3M H = 8a
2
− 5
6ap
2 (1)
MG = OM O G = 9a
p
2 − 7p2
9 (2) Từ(1)và(2) =⇒ 12a2− 28a + 15 = 0 ⇐⇒ a =4
3 hoặca =2
3 Với:a =4
3 =⇒ 4m2+ 6m + 5 = 0PT này vô nghiệm
Với:a =23 =⇒ 2m2+ 6m + 1 = 0 ⇐⇒ m =−3 ±
p 7
2 Vậy m cần tìm:m =−3 ±
p 7
2 .
Câu 6A.b Trong không gian với hệ trục tọa độOx y zcho đường thẳng(∆) :x
1=y
2=z − 2
−1 và đường thẳng
(d ) :
x = −t
y = 1 − t
z = −2
(t ∈ R).Gọi(P )là mặt phẳng vuông góc với(∆)đồng thời cắt(∆)và(d )tạiM , Nsao choM Ncó độ
dài nhỏ nhất Viết phương trình mặt cầu tâmI cắt mặt phẳng(P )theo giao tuyến là đường tròn có đường kính
M NvàtanI M N =p2
Lời giải ():
Câu 7A. Giải bất phương trình: ln
·log2(x2+ 3x − 2)
log4(3x + 1)
¸
> 0
Lời giải (dzitxiem):
Trước hết, ta thấy bất phương trình đã cho tương đương với
log2(x2+ 3x − 2)
log4(3x + 1) > 1 (1).
Điều kiện để bất phương trình(1)xác định là
x2+ 3x − 2 > 0 3x + 1 > 0 3x + 1 6= 1
⇔ x >−3 +
p 17
Với điều kiện đó thì bất phương trình(1)tương đuơng với
log2(x2+ 3x − 2) > log4(3x + 1) ⇔ x2+ 3x − 2 >p3x + 1.
Để giải bất phương trình này ta bình phương hai vế của nó và thu gọn, ta được một bất phương trình sau
x4+ 6x3+ 5x2− 15x + 3 > 0.
Trang 5vn
http://toanphotho
ng.vn
Bất phương trình này, lại tương đương với
(x − 1)(x3+ 7x2+ 12x − 3) > 0.
Từ đây để giải tiếp được ta chỉ cần xét dấu của biểu thứcg (x) = x3+ 7x2+ 12x − 3trên miềnD =³−3+p17
2 , +∞´là được
Ta cóg0(x) = 3x2+ 14x + 12 > 0 ∀x ∈ D.Do đó, ta suy rag (x)là hàm số đồng biến trênDvà
g (x) > g
Ã
−3 +p17 2
!
= 2 +p17 > 0
Và như vậy thì bất phương trình tích trên kia chỉ còn tương đương vớix > 1.
Từ đó suy ra, tập nghiệm của bất phương trình đã cho làS = (1, +∞).
Câu 6B.a Trong mặt phẳng tọa độOx ycho tam giácABC vuông tạiA (AB < AC )có tọa độ đỉnhB (2; 1) Đường caoAH : x + 2y − 10 = 0 Trên cạnhAC lấy điểmD sao choAB = C D KẻD Mvuông góc với AH (M ∈ AH) Đường phân giác trong gócC B McắtAHtạiN Hãy tìm tọa độ điểmN
Lời giải ():
Câu 6B.b Trong không gian với hệ trục tọa độOx y zcho tam giácABCvuông cân tạiA, biết điểmAthuộc mặt phẳng(P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0,B (3; −1;3)vàC (3; −1;−1) Lập phương trình mặt phẳng(α)quaAhợp với mặt phẳng
(Q) : x − y + 2 = 0một góc600đồng thời cách điểmI (3; 3; 1)một khoảng bằng2p
2biết điểmAcó tung độ âm
Lời giải ():
Câu 7B. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
(
3x.6 x+1 + y.3 x+y+3= 58.3x+2
x.2 x+y+4 + 2y.6 y+2= 85.2y+4
Lời giải (dzitxiem):
Vì3x và2xđều lớn hơn0nên hệ phương trình đã cho tương đương với
(
18(x · 2 x ) + 27(y · 3 y) = 522
32(x · 2 x ) + 72(y · 2 y) = 1360 ⇔
(
x · 2 x= 2 (1)
y · 3 y= 18 (2) .
Từ đây, để tìmx, yta chỉ việc lần lượt khảo sát sự biến thiên của hai hàm số f (x) = x · 2 x− 2vàg (y) = y · 3 y− 18trên các miềnD∞= D∈= (0, +∞)
Tính đạo hàm của hàmf (x)ta được f0(x) = 2 x + x · 2 x· ln 2 = 2x (1 + x · ln2) > 0∀x ∈ D∞
Suy ra hàm sốf (x)đồng biến trênD∞và do đó phương trìnhf (x) = 0sẽ có không quá một nghiệm trênD∞ Mặt khác, ta lại cóf (1) = 1 · 21− 2 = 0nênx = 1là nghiệm duy nhất của phương trình(1)
Tương tự như trên, ta cũng tìm đượcy = 2là nghiệm duy nhất của phương trình(2)
Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là(x, y) = (1, 2).