Bài tập Hình học 12 Chuyên đề Thể tích khối đa diện có yếu tố gốc

Vì các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều tạo với đáy một góc 60 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của S chính là tâm[r]

CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua

I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d

Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b

5 Thể tích khối đa diện

a Công thức tính thể tích khối chóp

Trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao khối chóp

Chú ý: Cho khối chóp và , , là các điểm tùy ý lần lượt thuộc , , ta có

(P)

d'

d A

c

a b

1 .3

V = S h

.

b Công thức thể tích khối lăng trụ : 𝑉 = 𝐵 ℎ (𝐵là diện tích đáy, ℎlà chiều cao)

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc

với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài

cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy, tức 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐴

b) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với

mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều

cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông

góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

có mặt bên (𝑆𝐴𝐵) vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐻 là chiều cao

của Δ𝑆𝐴𝐵

c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với

mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao

tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với

mặt phẳng đáy

Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

có hai mặt bên (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐴

d) Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối

đỉnh và tâm của đáy Đối với hình chóp đều

đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G của

tam giác đều

Ví dụ: Hình chóp đều

𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có tâm đa giác đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 thì có đường cao là

𝑆𝑂

XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP

1 Diện tích tam giác vuông

H

B S

D

A S

3 Diện tích hình vuông:

6 Diện tích hình thang:

 S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé)

 𝑆 =1

2𝐴𝐻 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thể tích khối đa diện

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Công thức tỉ số thể tích

 Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021)Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, cạnh bên

𝑆𝐴 vuông góc với đáy, góc giữa 𝑆𝐴 và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng 45°( tham khảo hình bên) Thể tích của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 bằng:

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy

Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 thì 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 nên 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝑀)

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là 𝛼 = 𝐴𝑆𝑀̂ = 45°

Do đó tam giác 𝑆𝐴𝑀 vuông cân tại 𝐴 và 𝑆𝐴 = 𝐴𝑀 =𝑎√3

2 Suy ra 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 1

3.𝑎√3

2 𝑎2√3

4 = 𝑎38

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3𝑎2 và chiều cao bằng 2𝑎 Thể tích của khối chóp bằng

A. 6𝑎3 B. 2𝑎3 C. 3𝑎3 D. 𝑎3

Lời giải Chọn B

Thể tích khối chóp là: 𝑉 =1

3𝐵 ℎ

Độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích mặt đáy tăng 22 = 4 lần

Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần

Câu 4 Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là 𝑉 =1

+Δ song song𝐴𝐶nên Δ ∥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑑(𝑆, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑑(Δ, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ℎ không đổi

+𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 cố định nên diện tích tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 cũng không đổi

Vì vậy thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 sẽ giữ nguyên

Câu 6 Cho khối chóp (𝐻) có thể tích là 2𝑎3, đáy là hình vuông cạnh 𝑎√2 Độ dài chiều cao khối chóp

(𝐻) bằng

Lời giải Chọn A

A ℎ = 𝑎 B ℎ = 2𝑎 C ℎ = 3𝑎 D ℎ= √3𝑎

Lời giải Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =(2𝑎)2√3

Câu 9 Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên 5 lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của

khối chóp sẽ tăng lên

Lời giải Chọn A

Thể tích khối chóp sẽ tăng lên 5 lần

Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎 và chiều cao 4𝑎 Tính thể tích của hình

Do đáy là tam giác đều nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =𝑎2√3

Câu 11 Cho hình chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴,𝐴𝐵 = 𝑎 ,𝐴𝐶 = 2𝑎, cạnh

bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 Tính thể tích của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

Câu 12 Cho hình chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh , cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc

với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 Tính thể tích của khối chóp𝑆 𝐴𝐵𝐶

4 𝑎 =

𝑎3√312

Câu 13 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶), đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại

Ta có 𝐴𝐵 là hình chiếu của 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy ra góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴̂ = 30°

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2

Câu 14 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật,𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√3, 𝑆𝐴 vuông góc với

mặt phẳng đáy và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy một góc 60𝑜 Tính thể tích 𝑉 của khối chóp

30°

B S

Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 𝑎 𝑎√3 = √3𝑎2

Dễ thấy 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵; 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐵 ⇒ 𝑆𝐵𝐴̂ = 60𝑜

Xét tam giác vuông 𝑆𝐴𝐵(𝐴̂ = 1𝑣) có: 𝑡𝑎𝑛 6 0𝑜 = 𝑆𝐴

𝐴𝐵⇒ 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛 6 0𝑜 = 𝑎√3 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

3𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐴 =1

3𝑎2√3 𝑎√3 = 𝑎3

Câu 15 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 = 𝑎 và vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶 Biết rằng tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều và

mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy (𝐴𝐵𝐶) một góc 30° Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐵𝐶, ta có 𝑆𝐼𝐴̂ = 30°

Xét tam giác 𝑆𝐼𝐴 vuông tại 𝐴 ta có 𝑆𝐴 = 𝑎 ⇒ 𝐴𝐼 = 𝑎√3

Ta có 𝐴𝐼 = 𝐴𝐵√3

2 ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑎

Diện tích 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵2 √3

4 = 𝑎2√3 Thể tích 𝑉 =1

𝐴𝐵 là hình chiếu của 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy ra góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴̂ = 30°

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2

Câu 17 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 2𝑎, tam giác 𝑆𝐴𝐵 là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

Câu 18 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật Tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(𝐴𝐵𝐶𝐷) Biết 𝑆𝐷 = 2𝑎√3 và góc tạo bởi đường thẳng 𝑆𝐶

30°

B S

Câu 19 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎 Hình

chiếu của 𝑆 lên mặt phẳng(𝐴𝐵𝐶𝐷) trùng với trung điểm cạnh 𝐴𝐵 Biết rằng𝑆𝐶 = 𝑎√5 Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵 Ta có: 𝑀𝐶 = √𝐵𝐶2 + 𝑀𝐵2 = 𝑎√5

2 suy ra 𝑆𝑀 =𝑎√15

2 Nên 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 1

Do đáy là tam giác đều nên gọi 𝐼 là trung điểm cạnh 𝐵𝐶, khi đó 𝐴𝐼 là đường cao của tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có 𝐴𝐼 = √𝑎2−𝑎2

B S

Trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 ta có 𝑆𝑂 = √4𝑎2−𝑎

3 = √11𝑎

√3 Vậy thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 là 𝑉 =1

Câu 1 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐶 tạo với mặt

phẳng (𝑆𝐴𝐵) một góc 300 Tính thể tích 𝑉 của khối chóp đã cho

Câu 2 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑎, 𝑆𝐴 vuông

góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 tính theo 𝑎

Câu 3 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶, 𝐴𝐵 = 𝑎√5, 𝐴𝐶 = 𝑎 Cạnh bên

𝑆𝐴 = 3𝑎 và vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

A 𝑎

3 √5

Lời giải Chọn B

Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶 nên 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵2− 𝐴𝐶2 = √5𝑎2− 𝑎2 = 2𝑎

Câu 4 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, đường thẳng 𝑆𝐴

vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝑆𝐴 = 3𝑎 Thể tích của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng

A 2𝑎3 B 3𝑎3 C 6𝑎3 D 𝑎3

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

3 𝑎 2𝑎 3𝑎 = 2𝑎3

Câu 5 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶) Biết 𝑆𝐴 = 𝑎, tam

giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 2𝑎 Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

C B

S

B S

đều cạnh 𝑎√3, 𝐵𝐶 = 𝑎√3 đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) góc 60° Thể tích của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 bằng

Ta thấy tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐵, gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵 suy ra 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶

Câu 8 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, cạnh 𝑆𝐵 vuông góc với đáy và

mặt phẳng (𝑆𝐴𝐷) tạo với đáy một góc 60° Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Câu 9 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷)

cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷); góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 60° Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

A 3𝑎3 B 𝑎 √6

Lời giải Chọn C

Ta có {

(𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)(𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)(𝑆𝐴𝐵) ∩ (𝑆𝐴𝐷) = 𝑆𝐴

Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√3 Cạnh bên 𝑆𝐴

vuông góc với đáy và đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) một góc 30° Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 theo 𝑎

Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2

Chiều cao 𝑆𝑂: 𝑆𝑂 = 𝑂𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐵𝑂̂ =𝑎√2

2 𝑡𝑎𝑛 6 00 = 𝑎√6

2 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

2 𝑡𝑎𝑛 6 00 = 𝑎√3

2 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝑂 = 1

3 𝑎2.𝑎√3

2 = 𝑎3√3

6

Câu 13 Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′có đáy là tam giác cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐶𝐴𝐵̂ = 120°, góc

giữa (𝐴′𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là 45° Tính thể tích lăng trụ đã cho

Gọi 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶 Ta có 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝐶𝐴𝑀̂ = 60°( doΔ𝐴𝐵𝐶cân tại 𝐴)

Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2√3

4 Gọi 𝑂 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶, suy ra 𝑆𝑂 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)

Ta có 𝐴𝑂 là hình chiếu của 𝑆𝐴 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶)

Suy ra (𝑆𝐴, (𝐴𝐵𝐶)) = (𝑆𝐴, 𝐴𝑂) = 𝑆𝐴𝑂̂ = 600 Xét tam giác 𝑆𝐴𝑂 vuông tại 𝑂, ta có:

Câu 15 Cho hình lăng trụ đều 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ Mặt phẳng (𝐴′𝐵𝐶)tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) một góc 30°

và tam giác 𝐴′𝐵𝐶 có diện tích bằng 8𝑎2 Tính thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′

Kẻ đường cao 𝐴𝑀 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 Khi đó 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶 ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝐴′𝐴𝑀)

Tam giác 𝐴'𝐴𝑀vuông tại 𝐴 nên góc 𝐴'𝑀𝐴 là góc nhọn

Góc giữa hai mặt phẳng (𝐴'𝐵𝐶)và (𝐴𝐵𝐶)bằng góc giữa 𝐴′𝑀và 𝐴𝑀và bằng góc 𝐴̂ , bằng ′𝑀𝐴

2 √3

4 = 4𝑎2√3 ⇔ 𝑥 = 4𝑎 ⇒ 𝐴𝑀 =𝑥√32 = 2𝑎√3

60

M O

B S

Tam giác 𝐴′𝑀𝐴vuông tại 𝐴, 𝐴𝐴′ = 𝐴𝑀 𝑡𝑎𝑛 3 0𝑜= 2𝑎√3 1

𝐵𝐷2 = 𝐵𝐷'2− 𝐷𝐷'2 = 9𝑎2 ⇒ 𝐵𝐷 = 3𝑎 ABCD là hình vuông 3

2

a AB

 =  B=S ABCD = 9 2

4

a

Vậy 𝑉 = 𝐵 ℎ = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴' = 9𝑎3

Câu 17 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 2𝑎 Hình chiếu

vuông góc của 𝑆 lên (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm 𝑀 của 𝐴𝐶 Góc giữa 𝑆𝐵 và đáy bằng 60° Thể tích

Câu 18 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎 Hình chiếu của

𝑆 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là trung điểm 𝐻 của cạnh 𝐴𝐵, đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với đáy một góc450 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

5a 4a

B' A'

B A

3

Câu 19 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, Δ𝑆𝐴𝐷 cân tại 𝑆 và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa (𝑆𝐵𝐶) và mặt đáy bằng 60𝑜 Tính thể tích 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng:

Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐷

Ta có: {

(𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)(𝑆𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐷

𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐷

⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)

𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎 nên𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵2 = 4𝑎2

Tam giác 𝑆𝐵𝐶 cân tại 𝑆 ⇒ 𝑆𝑀 ⊥ 𝐵𝐶, mà 𝐻𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ góc giữa mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là góc giữa hai đường thẳng 𝐻𝑀, 𝑆𝑀 chính là góc 𝑆𝑀𝐻̂ Theo bài ra có 𝑆𝑀𝐻̂ = 60𝑜

Câu 1 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝑆𝐴 = 𝑎 Gọi 𝐺 là trọng

tâm tam giác 𝑆𝐶𝐷 Tính thể tích khối chóp 𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷

Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐶𝐷 và 𝑆𝐷

Ta có 1

3 =𝐺𝑀

𝑆𝑀 =𝑑(𝐺,(𝐴𝐵𝐶𝐷))𝑑(𝑆,(𝐴𝐵𝐶𝐷))

Câu 2 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵

cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐺) tạo với đáy một góc 60° Thể tích khối tứ diện 𝐴𝐶𝐺𝑆 bằng

G N

M C

A

D

B

S

Ta có: 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =1

2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑎2 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 =1

3𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 =𝑎2

3 Gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)

Gọi 𝑁 là trung điểm của 𝐵𝐶, 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝑁 và 𝐾 là trung điểm của 𝐴𝐼

3 𝑆𝐻 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 =𝑎3√6

36

Câu 3 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 𝑎√2, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) vuông

góc với mặt đáy(𝐴𝐵𝐶) Các mặt bên (𝑆𝐴𝐵), (𝑆𝐵𝐶) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60° Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶

Câu 4 Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴𝐵 là tam giác cân tại 𝑆 và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) và

K I G

N H

B S

Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝐾 là trung điểm 𝐶𝐷 ⇒ 𝐶𝐷 ⊥ 𝑆𝐾

Ta có ( (SCD) (, ABCD) )= (𝑆𝐾, 𝐻𝐾)̂ = 𝑆𝐾𝐻̂ 𝑐𝑜𝑠 𝑆𝐾𝐻̂ =𝐻𝐾

𝑆𝐾 ⇒ 𝑆𝐾 =𝑎√17

2 ⇒ 𝑆𝐻 =𝑎√13

2Vậy 𝑉 =1

3 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

3.𝑎√13

2 𝑎2 =𝑎3√13

6 .

Câu 5 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷, đáy nhỏ của hình thang

là 𝐶𝐷, cạnh bên 𝑆𝐶 = 𝑎√15 Tam giác 𝑆𝐴𝐷 là tam giác đều cạnh 2𝑎 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp Gọi 𝐻 là trung điểm cạnh 𝐴𝐷, khoảng cách từ 𝐵 tới mặt phẳng

(𝑆𝐻𝐶) bằng 2√6𝑎 Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷?

A 𝑉 = 8√6𝑎3 B 𝑉 = 12√6𝑎3 C 𝑉 = 4√6𝑎3 D 𝑉 = 24√6𝑎3

Lời giải Chọn C

Câu 6 Cho hình chóp𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷 ; biết 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 =

2𝑎, 𝐶𝐷 = 𝑎 Góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 600 Gọi 𝐼 là trung điểm của

𝐴𝐷, biết hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐼) và (𝑆𝐶𝐼) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) Tính thể tích của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng và cùng vuông góc với

nên nên 𝑆𝐼 là đường cao của 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Kẻ tại 𝐾 Khi đó ta chứng minh được Ta vẽ hình phẳng của mặt đáy Ta có ta chứng minh được 𝐶𝐷 là đường tủng bình của tam giác

Câu 7 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂, mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là tam giác vuông

cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích của khối chóp 𝑆 𝑂𝐶𝐷 bằng

( )SBI ( )SCI (ABCD) ( )

Gọi 𝑥 là độ dài 𝐴𝐵,kẻ 𝑆𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 tại 𝐹, ta có 𝑆𝐹 =𝑥

2⇒ 𝑉14

1 12

2

𝑆𝐹 = 124

3 𝑎 3

3 √2𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆.𝑂𝐶𝐷

Do 𝐹 là trung điểm của𝐴𝐵 nên khoảng cách ℎ từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷) gấp 2 lần khoảng cách 𝑑 từ 𝐹 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷)mà 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵

2𝑎 2 = 3

2𝑎 2 ⇒ 𝐹𝐻 =𝑎√6

3 = 𝑑, vậy ℎ = 2𝑑 =2√6𝑎

3

Câu 8 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐵𝐶 =1

2𝐴𝐷 = 𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 𝛼 sao cho 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =√15

Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵, từ giả thiết ta có: 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), (𝑆𝐶, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐶𝐻̂ = 𝛼

Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥, ta có: 𝐻𝐶 = √𝐵𝐻2+ 𝐵𝐶2 = √𝑥2

4 + 𝑎2, 𝑆𝐻 = 𝐻𝐶 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = √𝑥2

4 + 𝑎2.√15

5 Mặt khác 𝑆𝐻 =𝑥√3

Câu 9 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy là hình chữ nhật; 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝐴𝐷 = 2𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân tại 𝑆 và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mp(𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 45° Gọi 𝑀 là trung điểm của 𝑆𝐷 Tính theo 𝑎 khoảng cách 𝑑 từ điểm 𝑀 đến (𝑆𝐴𝐶)

Chọn A

Gọi 𝐻 là trung điểm đoạn𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)

Xét △ 𝐵𝐶𝐻 vuông tại 𝐵, có: 𝐶𝐻 = √4𝑎2+𝑎2

4 =𝑎√17

2 Xét △ 𝑆𝐻𝐶 vuông cân tại 𝐻, có: 𝑆𝐻 = 𝑎√17

2 ; 𝑆𝐶 =𝑎√34

2 Xét △ 𝑆𝐴𝐻 vuông tại 𝐻, có: 𝑆𝐴 = √17𝑎2

Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, tam giác 𝑆𝐴𝐷 vuông tại 𝑆 và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Cho biết 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑆𝐷 Mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy một góc 60𝑜 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 là

Gọi 𝐻 là hình chiếu của 𝑆 lên cạnh 𝐴𝐷, 𝐼 là hình chiếu của 𝐻 lên cạnh 𝐵𝐶, ta có

3𝑎.5𝑎√3

2 𝑎√3 =5𝑎23

Câu 11 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, mặt bên 𝑆𝐴𝐷 là tam giác vuông tại 𝑆

Hình chiếu vuông góc của 𝑆trên mặt phẳng đáy là điểm 𝐻 thuộc cạnh 𝐴𝐷 sao cho 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷 Biết rằng 𝑆𝐴 = 2𝑎√3 và 𝑆𝐶 tạo với đáy một góc bằng 30° Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

C A

D S

H

Chọn B

𝑆𝐻2 = 𝐻𝐷 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷2 ⇒ 𝑆𝐻 = √3𝐻𝐷 Có: {𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻̂ = 𝑆𝐻

𝐷𝐻= √3𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻̂ =𝑆𝐴

Câu 12 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 2𝑎, 𝑆𝐴𝐵̂ = 𝑆𝐶𝐵̂ = 90° Gọi 𝑀 là trung

điểm của 𝑆𝐴 Biết khoảng cách từ 𝐴 đến (𝑀𝐵𝐶) bằng 6𝑎

√21 Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Trong mp (𝐴𝐵𝐶) xác định điểm 𝐷 sao cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 vuông tại 𝐴 và 𝐶

Khi đó ta có: {𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷

𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐷; {

𝐶𝐵 ⊥ 𝐶𝐷

𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐶 ⇒ 𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐷 Vậy 𝑆𝐷 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =1

3𝑆𝐷 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶

Có tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 2𝑎 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2√3

Ta đi tìm

Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐶

vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều, 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp đường tròn đường kính 𝐵𝐷  𝐼 ∈ 𝐵𝐷 ⇒ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝑁 là trung điểm 𝐵𝐶

Dễ thấy là hình thoi

Xét hình chóp có đáy là hình thang vuông tại C, N

Trong mp gọi

Trong mp kẻ tia gọi

Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng

Xét tam giác có nên

F

P M

(ABCD)  E =CNAD

(SAD) At/ /SD  P =EM At

(CMB) ( )/ /

Ta có , suy ra tam giác đều

Mặt khác, , , áp dụng định lí cosin cho tam giác , ta được:

Gọi là trung điểm của cạnh suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tính thể tích khối chóp Biết hình chiếu vuông góc của trên thuộc miền trong của tam giác

Lời giải Chọn A

Diện tích tam giác là

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên ,

, chung,

Gọi là trung điểm của cạnh Vì cân tại (do ) nên

ABC S

Áp dụng định lí cosin cho , ta có

Sử dụng công thức

và Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng là sao cho là trung điểm của Góc giữa và bằng Tính thể tích của khối chóp

Lời giải Chọn C

Tam giác đều cạnh

Áp dụng định lí cosin cho tam giác

Xét tam giác vuông tại :

cân tại Suy ra:

Vậy thể tích khối chóp :

Câu 17 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng là , khoảng cách giữa và là Biết hình chiếu của lên mặt

ABC

D

7cos

x

V =

3

3936

x

V =

3

3924

x

V =

3

3948

S ABCD

3

phẳng nằm trong tam giác , tính thể tích khối chóp

Lời giải Chọn D

Dựng hình bình hành Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Dựng đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt lần lượt tại

Do có hai đường cao nên cân tại Suy ra là trung điểm của

Xét hai tam giác đồng dạng và , ta có

Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối đa diện

Hướng dẫn giải Chọn D

3 32

32

3

a