Tới đây theo bài ta có hai điếm A, B thuộc hai đường thẳng nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn tọa độ của hai điểm A, B theo tham số hóa đối với hai phương trình hai đường thẳng đã cho.. V[r]
Trang 1TẠP CHÍ TOÁN HỌC TUỔI TRẺ
SỐ 426 - T12.2012
THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐẠI HỌC NĂM 2013
Đề số : 03
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) :
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm sốy = x4− 2x2.(C )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C )của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của(C ), biết rằng tiếp tuyến tiếp xúc với(C )tại hai điểm phân biệt
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : cos2x + cos3x–sinx − cos4x = sin6x
2. Giải bất phương trình : 4x2+p2x + 3 ≥ 8x + 1
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
Z ln2
0
e x d x
(e x− 9)p3e x− 2
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chópS.ABC Dcó đáyABC Dlà hình vuông cạnha, tam giác S ABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy GọiM, N ,P,K lần lượt là trung điểm củaBC ,C D,SD,SB Tính thể tích của khối
chópS.AB M Nvà khoảng cách giữa hai đường thẳngMK vàAP theoa.
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
x3y − y4= 7
x2y + 2x y2+ y3= 9
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho đường tròn(C ) : x2+ y2− 2x + 2y − 2 = 0và đường thẳng∆:
2x + y + 10 = 0 Từ một điểmMbất kì trên∆kẻ các tiếp tuyếnM AvàMB đến(C )(AvàBlà các tiếp điểm) Xác định tọa độ điểmMsao cho khoảng cách từOđến đường thẳngABđạt giá trị lớn nhất
2. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho hai đường thẳngd1:x − 1
2 = y + 11 =z1 ,d2:x − 1
1 = y − 22 =z1 và mặt phẳng(P) : x + y − 2z + 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng∆song song với(P)cắtd1,d2lần lượt tạiA
vàBsao choAB =p29
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn|z| − 2 ¯z = 3(−1 + 2i) Tính|z| + |z|2
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giácABCvuông tạiAcóGlà trọng tâm,B(−10;1),C(10;1). Xác định tọa độ đỉnhAbiết diện tích tam giácABGbằng20
2. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : x − 1
2 = y + 21 = z + 1
−1 và mặt phẳng (P) :
x + y + z + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng∆nằm trong(P)sao cho∆vuông góc vớidvà khoảng cách giữa hai đường thẳngdvà∆bằng2
p 21
3
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
3x+ 6.2y= 11 + 4y
2y+ 4.3x= 7 + 9x
———————Hết—————-Xem lời giải tham khảo từ DIỄN ĐÀN TOÁN THPT : www.k2pi.net
Trang 2LỜI GIẢI THAM KHẢO TỪ CÁC THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN TOÁN THPT
www.k2pi.net
Câu I.1. Học sinh tự giải
Câu I.2. Lời giải : (giangmanh)
GọiA¡a; a4− 2a2¢là một tiếp điểm của tiếp tuyến∆cần tìm
Khi đó ta có phương trình của∆là :y =¡4a3− 4a¢(x − a) + a4− 2a2
PT hoành độ giao điểm :
¡
4a3− 4a¢(x − a)+a4−2a2= x4−2x2⇔ (x − a)2¡x2+ 2ax + 3a2− 2¢= 0 ⇔
"
x = a
x2+ 2ax + 3a2− 2 = 0 (1)
Để(∆)tiếp xúc với(C )tại 2 diếm phân biệt thì PT(1)phải có nghiệm képx 6= a
⇔
∆0= 2 − 2a2= 0
2= 1 ⇒ (∆) : y = −1
Câu II.1. Lời giải : (LeNhatDuy09)
Phân tích : Ta quan sát thấy si n6x = 2sin3xcos3x , tại thường người ta cho thế để phân tích ra thôi :), rồi quan sát các đại lượng giác thấy cos2x với cos4x là ta liên tưởng đến công thức cộng đề ra
cos3x hoặc si n3x để nhóm nhân tử.
Ta có phương trình đã cho tương đương:
(cos2x −cos4x)+cos3x − sinx − sin6x = 0 ⇔ 2sin3xsinx +cos3x − sinx −2sin3xcos3x = 0 ⇔ (sinx −
cos3x)(2si n3x − 1) = 0Xét2si n3x − 1 = 0 ⇔ x =18π +k2π3 hoặcx = 17π18 +k2π3 (k ∈ Z )
Xét :si nx − cos3x = 0 ⇔ cos( π
2− x) − cos3x = 0 ⇔ cos( π2− x) = cos3x ⇔ x = π8+kπ2 hoặcx = −π
4 + kπ (k ∈ Z )
Vậy phương trình có nghiệmx = π
18+k2π3 ; x = π
18+k2π3 ; x = π
8+kπ2 ; x = −π
4 + kπ (k ∈ Z )
Câu II.2. Lời giải : (thiencuong96)
Điều kiện :x ≥−3
2
+) Hướng 1 : Khi nhìn vào đề thấy cópvà x2chênh lệch nhau khá nhiều hướng đi đầu là nhẩm nghiệm và dùng liên hợp, thấy có 2x +3 thử x = −1, x =±1
2 để làm thoát căn và cho biểu thức trên
= 0nhưng kết hoạch bất thành.
+) Hướng 2 : Ta đặtpđể đưa về một biến hết căn .
4x2− 8x +p2x + 3 ≥ 1
⇔ (2x + 3)2− 10(2x + 3) +p2x + 3 + 20 ≥ 0
Đặta =p2x + 3Trên trở thành :a4− 10a2+ a + 20 ≥ 0
⇔ (a2− a − 4)(a2+ a − 5) ≥ 0
Sau đó có thể giải bình thường
Vấn đề là để có thể tách như vậy ta dùng đồng nhất thức để làm, nhưng mình nghĩ với dạng
ax4+ bx2+ cx + d = 0 làm cách sau nhanh hơn.
Phương trình đã cho trở thành :a4− 10a2+ a + 20 = (a2+ m)2−£(2m + 10)a2− a − 20 + m2¤
Ta chọnmđể trong dấu[ ]phân tích là 1 hằng đẳng thức.∆0= 1 − 4(2m + 10)(m2− 20) = 0
Giải ra đượcm =−9 Lắp vào trên sẽ ra được cái trên :
Trang 3Sau khi giải ra được đáp án sau :x ≥1
4(3 +p17) ∨ −3
2 ≤ x ≤14¡5 −p21¢
Câu III. Lời giải : (giangmanh)
Đặt :t =p3.e x − 2 ⇒ t2= 3.e x − 2 ⇒ 2tdt = 3.e x d x
Đổi cận: vớix = 2 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2
⇒ I =R122 d t
t2− 25=
1 5
R2
1 ( 1
t − 5−
1
t + 5 )d t =
1
5ln|t − 5| −15ln|t + 5| =15ln4
3−15ln6
7=15ln 9
14
Câu IV. Lời giải : (nhatqny)
KẻSH vuông góc vớiAB,(H là trung điểm của AB)
(S AB) ⊥ (ABCD), (S AB)T(ABC D) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Ta có:SH = a
p 3
2
3p 3
24 [*]
Ta có:K M ∥ SC, PN ∥ SC ⇒ K M ∥ P N
Do đó:d(K M;P N ) = d(K M;(AP N))
Trong(SHD)kẻPF ∥ SH,(F là trung điểm HD)
Mà:SH ⊥ (ABCD) ⇒ PF ⊥ (ABCD)
KẻME ⊥ AN mặc khácPF ⊥ ME ⇒ ME ⊥ (ANB)
Ta có:AM =pAB2+ BM2=a
p 5 2
Xét tam giácADN:AE = AD
2
AN =p2a
5
Xét tam giácAE M:ME =pAM2− AE2=3
p
5a
10
Câu V. Lời giải : (minhdat881439)
(
y(x3− y3) = 7
y(x + y)2= 9 ⇒ x > y > 0 ⇒ x =
3
py − y
Thay vào phương trình đầu ta được: y
"Ã
3p4 8
py − y
!3
− y3
#
= 7
Đặtt = py > 0ta có phương trình :t2
·µ3
t − t2
¶3
− t6
¸
= 7 ⇔ t9−¡3 − t3¢3+ 7t = 0
Xét hàm số f(t)=t9− (3 − t3)3+ 7t = 0
Đạo hàm : f’(t)=9t8+ 9t2(3 − t3)2+ 7 > 0;∀t > 0
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+∞), nên nghiệm của hệ phương trình là duy nhất
Dễ thấy hệ có nghiệm(2;1)
Câu VI.a.1. Lời giải : (giangmanh)
Đường tròn có tâmI (1;−2);R = 3
GọiM(a; a − 1) ⊂ d;I M2= 2(a + 2)2+ 2
GọiH = ABTM I
Ta có AB = 2AH = 2HB
Trong tam giác vuôngM AH :
Trang 41
B H2= I A12=M A1 2 ⇒ AH2= AI
2+ M A2
AI2.M A2 ≥I A.M A2 ≥ AI2 4
+ M A2 =I M42
⇒ AH ≥p2hayAB ≥ 2p2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia + 2 = 0=>a = −2
VậyM(−2;−1)
Câu VI.a.2. Lời giải : (Con phố quen)
Phân tích và hướng giải : Với yêu cầu bài toán là viết phương trình đường thẳng nên việc ưu tiên
hàng đầu của chúng ta chính là điểm thuộc đường thẳng và véc tơ chỉ phương của đường thẳng Nhưng quan sát đề bài ta biết được đường thẳng cần tìm thực chất chính là đường thẳng đi qua hai điểm A và B Vậy ta chuyển bài toán ban đầu về việc tìm hai điểm A và B Tới đây theo bài ta
có hai điếm A,B thuộc hai đường thẳng nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn tọa độ của hai điểm
A,B theo tham số hóa đối với hai phương trình hai đường thẳng đã cho Vậy chúng ta sẽ có hai ẩn nên ta cần hai phương trình để giải quyết Dựa vào yếu tố giả thiết đã cho ta có ngay hai phương trình cần tìm dựa vào hai điều kiện :
AB ∥ (P)
AB =p29 .
Bây giờ ta đi vào giải quyết cụ thể bài toán :
Ta có phương trình tham số của hai đường thẳng :
d1:
x = 1 + 2t
y = −1 + t
z = t
; d2:
x = 1 + u
y = 2 + 2u
z = u
, t,u ∈ R
VìA ∈ d1, B ∈ d2⇒ A(1 + 2t,−1 + t, t) , B(1 + u,2 + 2u,u).Theo bài ta có :
AB ∥ (P)
AB =p29 ⇒
−→AB · −→n
(2t − u)2+ (−3 + t − 2u)2+ (t − u)2= 29
⇔
(2t − u) · 1 + (−3 + t − 2u) · 1 + (t − u) · (−2) = 0 (2t − u)2+ (−3 + t − 2u)2+ (t − u)2= 29
⇔
t − u = 3
[2(t − u) + u]2+ (−3 + t − u − u)2+ (t − u)2= 29
⇔
t − u = 3
(6 + u)2+ (−3 + 3 − u)2+ 32= 29 ⇔
t − u = 3
36 + 12u + u2+ u2= 20
⇔
t − u = 3
3u2+ 12u + 7 = 0 ⇔
t = 1
u = −2
t = −1
u = −4
Vớit = 1 ; u = −2 ⇒ A(3;0;1) ; −→AB = (4;2;3)nên ta có phương trìnhAB : x − 3
4 =y2 =z − 13
Vớit = −1 ; u = −4 ⇒ A(−1;−2;−1) , −→AB = (2;4;3)nên ta có phương trìnhAB : x + 1
2 = y + 24 =z + 13
Câu VII.a. Lời giải : (giangmanh)
Trang 5Giả thiết :⇔pa2+ b2− 2(a − bi) = −3 + 6i ⇒³p
a2+ b2− 2a´+ 2b = −3 + 6i ⇒
p
a2+ b2− 2a = −3
b = 3
⇒
a = 4
b = 3 ⇒ z = 4 + 3i
Vậy|z| + |z|2= 30
Câu VI.b.1 Lời giải : (thiencuong96)
Do làm tam giác vuông nên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nữa cạnh huyền
2 = 10( VớiM là trung điểmBC
GọiA(a;b)vàG(x; y),M(0;1)
Mà cóa2+ (b − 1)2= 100
−→AG =2
3
−−→AM
⇔−→AG¡x − a; y − b¢=23−−→AM (−a;1 − b)
⇒ x = a3, y =23+b3
⇒ G
µa
3;
2
3+b3
¶
Có :
⇔−−→BG
µa
3+ 10;b3−13
¶
; −→B A (a + 10;b − 1)
⇒ S∆ABG=12
¯
¯
¯
¯³ a
3+ 10´(b − 1) −
µb
3−13
¶
(a + 10)
¯
¯
¯
¯ = 20
⇔
"
b = 7
b = −5 ⇒ a = ±8
VậyA(±8;7) hay A(±8;−5)
Câu VI.b.2 Lời giải : (Lữa Cưa)
Hướng dẫn giải :
+ Trước tiên, do∆nằm trong mặt phẳng(P)và vuông góc với đường thẳngdnênu~∆= [ ~n P, ~u d] + Công việc còn lại là tìm một điểmM0thuộc∆
Gọid0là hình chiếu củadtrên mặt phẳng (P) Viết được phương trìnhd0
Giả sửd0T
∆= M0 KẻM0M ⊥ d, vớiM ∈ d Khi đó,M0Mlà đường vuông góc chung củadvà∆ Tham số hóa điểmM0∈ d0và M ∈ d Sử dụng hai điều kiệnM~0M ~ u d = 0và M0M =2
p 21
được các tham số
Câu VII.b Lời giải : (thiencuong96)
Đặt3x = a; 2 y = b(a;b > 0)
a + 6.b = 11 + b2
b + 4.a = 7 + a2 ⇔
a − 2 = (b − 3)2(1)
b − 3 = (a − 2)2(2)
Lấy(1) − (2)ta được :(b − a − 1)(a + b − 4) = 0
Vớib − a − 1 = 0ta đượcb = a + 1thay vào1ta được :
Trang 6⇔
a = 2 ⇒ b = 3 ⇒
(
x = log32
y = log23
a = 3 ⇒ b = 4 ⇒
(
x = 1
y = 2
Vớia + b − 4 = 0vô nghiệm ( do từ(1),(2)ta rút đượca ≥ 2, b ≥ 3
Vậy nghiệm của hệ là :
x = log32
y = log23 hay
x = 1
y = 2