Vì vậy khi dạy nội dung phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung khó của chương, lại không có quy tắc chỉ có dạng phương pháp phân tích khi học xong các em thường không biết vận dụng [r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT THĂNG BÌNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
*************
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT NỘI DUNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Người thực hiện : 1 PHAN VUI VUI
2 BÙI NGỌC NHUNG
Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THCS Trần Quý Cáp
Kí hiệu đề tài : T-THCS Năm học : 2009-2010
Tháng 02 năm 2010
I TÊN ĐỀ TÀI :
HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT NỘI DUNG PHÂN TÍCH
Trang 2ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
II ĐẶT VẤN ĐỀ :
Ở bậc tiểu học các em được học với các phép tính : cộng, trừ, nhân, chia trong tập IN, lên bậc THCS ở chương trình lớp 6,7 các em học phân môn đại số với các phép tính công, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa trog IN và trong tập Z,
Q …; các phép cộng, trừ, nhân đa thức, đã có công thức hoặc có quy tắc tương ứng từng nội dung Vì vậy khi bước vào lớp 8, khi các em tiếp cận với nội dung kiến thức phân tích đa thức thành phân tử Đây phải nói là nội dung khó và là nền móng cho các chương tình sau này, thế nhưng lại không có qui tắc nào cả
Vì vậy khi học xong phần này thì các em không biết thực hành hoặc thực hành không đúng Trong tiết luyện tập giáo viên thường cho học sinh lên sửa bài tập, rồi giáo viên sửa sai cho học sinh chép vào vở Vì vậy giáo viên chưa phát hiện được khả năng tự làm của các em Có một số em học thuộc cách làm để lên trình bày trên bảng lấy điểm nên cuối cùng kết quả làm bài kiểm tra, hoặc thi thường hay thấp Vì vậy đối với giáo viên giảng dạy bộ môn toán 8, chúng tôi thường phát hiện : chỗ sai, chỗ hổng kiến thức của các em và hướng khắc phục
để các em học tốt phân tích đa thức thành phân tử
III CƠ SỞ LÝ LUẬN:
- Môn toán là môn khoa học tự nhiên đòi hỏi HS phải tư duy cao, do đó với nội dung khó cho dạy và học nội dung này
- Do yêu cầu của ngành là luôn luôn đổi mọi phương pháp dạy và học là giảm nhẹ lý thuyết tăng tính thực hành, phát huy tính tư duy sáng tạo cho HS
- Do chất lượng bọ môn toán thấp so với các bộ môn khác, kết quả điểm thi chưa cao
IV CƠ SỞ THỰC TIỄN:
- Đa số con nhà nông, kinh tế còn khó khăn, việc đầu tư cho các em còn thấp ( cụ thể sách giáo khoa, sách tham khảo còn ít), các phụ huynh chưa tạo thời gian hợp lí cho việc học của con ở nhà, cũng chưa thực sự quan tâm đến học tập, chủ yếu học lấy chữ chứ không hiểu việc học lấy kiến thức cho con mình
- Về phía học sinh đa số học sinh nhát học, đến giờ học toán các em thường hay chán nản, nhát học, không tự tin, nhất là những nội dung không có quy tắc Vì vậy khi dạy nội dung phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung khó của chương, lại không có quy tắc chỉ có dạng phương pháp phân tích khi học xong các em thường không biết vận dụng trong khi luyện tập hoặc ôn tập… cho nên là người giáo viên giảng dạy toán 8 chúng tôi phải tìm ra những hướng dẫn cặn kẽ để học sinh học tốt nội dung phân tích đa thức thành nhân tử đó chính là đề tài nghiên cứu của chúng tôi
V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
Trang 3A Những sai lầm của học sinh :
Khi học xong các phương pháp phân tích chúng tôi nhận thấy các em thường có những sai lầm sau đây:
1 Không hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ : a) 2x2 + 2x = 2x (x)
b) 2x2 + 4x + 4 = (2x2 + 4x) + 4
= 2x (x + 2) + 4 c) 5x2 + 5x + 5 = 5x (x + 5 + 1x)
2 Học sinh thuộc hằng đẳng thức không biết vận dụng viết một đa thức dưới dạng hằng đẳng thức
Ví dụ: a) x2 – 1 = (1 - x)2
b) 25 – 4x2 = (5 – 4x) (5 + 4x) c) x2 + 2x + 4 = (x + 2)2
3 Chưa phân tích triệt để để đến kết quả cuối cùng
Ví dụ: a) 25x2 – 25y2 = (5x – 5y) (5x + 5y)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x
= (x4 – 9x3) + (x2 – 9x)
= x3 (x – 9) + x (x – 9) = (x – 9) (x3 + x)
4 Chưa định hướng được việc nhóm các hạng tử để từng nhóm có nhân
tử chung
Ví dụ: a) x2 + 4x - - y2 + 4 = (x2 – y2) + (4x + 4)
= (x – y)(x + y) + 4(x + 1) Đây không phải là nhân tử
b) x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy) + (y2 – 9)
= x(x – 2y) + (y – 3)(y + 3) Đây không phải là nhân tử
c) x4 – 9x3 + x2 – 9x
= (x4 – 9x) + (x2 – 9x3)
= x(x3 – 9) + x2 (x – 9x) Không phân tích được
5 Sai làm khi nhóm các hạng tử sai dấu
Ví dụ: a) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
= (2x – 2y) – (x2 + 2xy + y2)
Trang 4= 2(x – y) – (x + y)2 Không phân tích được b) –x – y + x2 + 2xy + y2
= - (x – y) + (x2 + 2xy + y2)
= - (x – y) + (x + y)2 Không phân tích được
* Hướng khắc phục của giáo viên đối với các sai lầm của học sinh.
1 Trước hết cho các em học thuộc phân tích đa thức thành nhân tử và hiểu đa thức và thế nào là nhân tử của các đa thức
Vì vậy sau khi học xong bài 6 trong chương I SGK tập I giáo viên dùng bảng phụ sau:
GV: Trong các cách biến đổi sau, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử Tại sao cách biến đổi sau không phải là phân tích đa thức thành nhân tử
2x2 + 5x – 3 = 2x (2x + 5) – 2 (I)
2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + 52x = 32) (II)
2x2 + 5x – 3 = x (2x + 5 - 3x) (III)
2x2 + 5x – 3 = (2x – 1) (x + 3) (IV)
2x2 + 5x – 3 = 2(x - 12) (x + 3) (V)
HS: (II), (IV), (V) là phân tích đa thức thành nhân tử Còn (I), (III) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì:
(I) Vì đa thức chưa phân tích thành các nhân tử
(II) Vì đa thức biến đổi thành tích một đơn thức và một biểu thức không phải là một đa thức
2 Sau khi dạy các hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cho học sinh học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ, viết dạng ngược và xuôi các hằng đẳng thức, ra một số dạng bài toán tương tự từ dễ đến khó
GV: Dùng bảng phụ sau để kiểm tra việc học của các em
Các phép biến đổi sau phép biến đổi nào là đúng, là sai Nếu sai chỉ rõ chỗ sai
a) x2 – 1 = (x – x)2
b) x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)
c) 25 – 4 x2 = (5 – 4x2) (5 + 4x)
d) x2 + 2x +4 = (x +2)2
HS trả lời : Phép biến đổi (b) là đúng
Trang 5Phép biến đổi a, c, d là sai.
a) Sai: Đây là hiệu 2 bình phương, chứ không phải là bình phương của hiệu A2 - B2 (A – B)2
c) Sai vì 4x2 = (2x)2
Nên sửa là: 52 – (2x)2 = (5 – 2x) (5 + 2x)
d) Sai vì: x2 + 2x +4 là bình phương thiếu của tổng (x +2)
3) Giáo viên nhắc nhở cho HS khi nhân tử trong ngoặc còn tiếp tục phân tích được nữa thì tiếp tục đặt phân tử chung
4) Đối với bài tập tổng hợp HS không biết nhóm như thế nào để từng nhóm có phân tử chung, thì phải nhóm nhẩm các hạng tử trong đa thức nếu thích hợp để tìm nhân tử chung cho đa thức
5) Nhắc nhở học sinh coi lại qui tắc đặt dấu ngoặc ở L6, 7, nhất là đẳng thức dấu ngoặc là dấu (-)
B Cách nhìn nhận phân tích đa thức thành nhân tử trong một tiết luyện tập.
Sau khi học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương SGK toán 8 tập I
GV: Cho HS nắm kỹ các phương pháp đã học và biết vận dụng trong bài toán tổng hợp
Kết hợp phương pháp đã học GV cho HS cách nhìn nhận sau đây:
* Đối với đa thức có 2 hạng tử:
Chú ý các hạng tử của đa thức có nhân tử chung không? Nếu có thì đặt nhân tử chung trước sau đó nhận xét đa thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức không? Nếu có tiếp tục phân tích còn không thì dừng lại
Ví dụ: a) x2 – 2x = x (x – 2)
b) x4 – 8x = x ( x3 – 8)
= x(x – 2) (x2 + 2x + 4) Đối với đa thức có 3 hạng tử: Đầu tiên xem có dạng bình phương 1 tổng hoặc hiệu không Nếu có dùng hằng đẳng thức phân tích, nếu không xem các hạng tử đó có nhân tử chung không? Nếu có thì đặt nhân tử chung trước, sau đó nhận thấy đa thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức thì tiếp tục dùng hằng đẳng thức, nếu không dùng phương pháp tách hạng tử nếu được hoặc dừng lại:
a) x2 – 2x +1 = (x-1)2
Ví dụ: b) x3 – 2x2 + x = x (x2 – 2x + 1)
= x (x – 1)2
c) x3 + 5x2 + 6x = x (x2 + 5x + 6)
Trang 6= x [(x2 + 2x) + (3x + 6)]
= x [x (x + 2) + 3 (x + 2)]
= x (x + 2) (x + 3) d) x3 + 2x2 + 3x = x (x2 + 2x + 3) Đến đây dừng lại vì x2 + 2x + 3 là biểu thức luôn dương
- Không có dạng hằng đẳng thức hoặc nhântử chung thì có thể tách hạng tử
Đối với đa thức có 4 hạng tử trở lên thì:
- Có dạng hằng đẳng thức thì dùng hằng đẳng thức
Ví dụ: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3
- Không có dạng hằng đẳng thức nhưng lại có nhân tử chung thì đặt nhân
tử chung và xem trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức không? Nếu có thì dùng hằng đẳng thức nếu không thì phối hợp nhóm hạng tử
Ví dụ: a) x4 + 3x3 + 3x2 + x
= x (x3 + 3x2 + 3x + 1) = x (x + 1)3
b) 2x3y – 2xy3- 4xy2 – 2xy
= 2xy (x2 – y2 – 2x – 1)
= 2xy [x2 – (y2 + 2y + 1)]
= 2xy [x2 – (y + 1)2]
= 2xy (x – y – 1) (x + y + 1)
- Nếu không có dạng hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung thì ta nhóm hạng tử hoặc phối hợp các phương pháp
Ví dụ: 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
= (2x – 2y) = (x2 – 2xy + y2)
= 2 (x - y) – ( x - y)2
= (x – y) (2 – x + y)
C Bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) a) x4 – 2x2 d) 8x3 - 18
b) x3 - 14x e) 251 x2 – 64y2
c) x3 – x
Trang 72) a) x2 + 6x + 9 e) x2 – x + 6
b) 10x – 25 – x2 d) 21x3 – 42x2 + 21x 3) a) –x3 + 9x2 – 27x + 27
b) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
c) x2 + 2x + 13 - y2
d) 10x4 + 30x3 + 30x2 + 10x
D Bài toán sách giáo khoa có thể mở rộng thành các bài toán khác.
Sau khi các em làm thành thạo dạng bài toán phân tích thành nhân tử, từ bài toán phân tích thành phân tử các em có thể mở rộng thành các dạng bài toán khác
Ví dụ: Phân tích bài toán sách giáo khoa.
Bài 48 SGK Toán 8 Tập I
Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2)
= (x – y)2 = (z – t)2
= (x – y + z – t) (x – y – z + t)
Có thể mở rộng thành các dạng toán sau:
1) Thay y, t bằng các số
Y = 3, t = 2 => y2 = 9; t2 = 4
Hãy phân tích đa thức sau:
A = x2 – 6x + 9 – z2 – 4z – 4
= (x2 – 6x + 9) = (z2 – 4z + 4)
= (x – 3)2 – (z – 2)2
= (x – 3 – z + 2) ( x – 3 + z – 2)
= (x – z – 1) (x + z – 5)
2) Ta gộp 9 – 4 = 5 vậy ta được bài toán mới
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = x2 – z2 – 6x – 4z + 5
3) Nếu thay 5 bằng 15, -z2 là z2 thì bài toán trở thành
B = x2 + z2 – 6x – 4z + 15
Hãy chứng tỏ biểu thức trên luôn dương
Trang 8Giải: B = x2 – 6x - 4z + 22 – 4z + 4 + 2
= (x2 – 6x + 9) + (z2 – 4z + 4) + 2 = (x – 3)2 + (z – 2)2 + 2
Vì (x – 3)2 0; (z – 2)2 0; => B > 0
VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Qua những năm giảng dạy chúng tôi hướng dẫn cặn kẽ cách phân tích đa thức thành nhân tử, các em tư duy tích cực, tự tìm ra cách làm, không học thuộc cách làm hoặc sợ sệt nữa nhất là học sinh yếu, các em đã phát huy tốt trí thông minh của mình và học tập tốt hơn
Qua các lần kiểm tra ra, kỳ thi vừa qua các em làm tốt bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử
Sau đây là kết quả đạt được ở một số năm về điểm trung bình trở lên qua các lần kiểm tra môn Đại số 8
* Những năm chưa dùng phương pháp này:
2000 -> 2001: 68%
2001 -> 2002: 70%
2002 -> 2003: 71%
* Những năm dùng phương pháp này:
2003 -> 2004: 75%
2004 -> 2006: 77%
2006 -> 2007: 79%
2007 -> 2008: 80%
2008 -> 2009: 88%
VII KẾT LUẬN:
Trên cơ sở nắm vững kiến thức cơ bản SGK, GV, SBT chúng tôi mạnh dạn đưa ra phương này dùng Trong khi làm sáng kiến chúng tôi cũng đã tham khảo ý kiến của anh em đồng nghiệp của mình
Trong sáng kiến của chúng tôi có điều gì sai sót mong các bạn đồng nghiệp và Ban giám khảo góp ý kiến để bản sáng kiến kinh nghiệm này hoàn thiện và tốt hơn
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn
NGƯỜI VIẾT
Phan Thị Vui Bùi Ngọc Nhung
Trang 9MỤC LỤC
*****
Trang 103
4
5
6
7
8
9
10
11
12
II ĐẶT VẤN ĐỀ :
III CƠ SỞ LÝ LUẬN:
IV CƠ SỞ THỰC TIỄN:
V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
A Những sai lầm của học sinh :
B Cách nhìn nhận phân tích đa thức thành nhân tử trong một tiết
luyện tập
C Bài tập tương tự:
D Bài toán sách giáo khoa có thể mở rộng thành các bài toán khác
VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
VII KẾT LUẬN:
MỤC LỤC:
1 1 1 2 2 4
6 6 7 7 9