Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: + Luỹ thừa bậc 3 hai vế rồi thế vào phương trình như ví dụ 2 của phương pháp luỹ thừa... Các phương pháp thường dùng khi giải phương trình - bất phương trìn
Trang 1Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
+ Luỹ thừa bậc 3 hai vế rồi thế vào phương trình như ví dụ (2) của phương pháp luỹ thừa Sau đó luỹ thừa bậc 3 hai vế ta được phương trình:
x3 + 31x - 1830 = 0 ⇔ x = 30; -61
Bài 2: Câu a: Bình phương hai vế hai lần ta được bất phương trình
3x2 - 28 > 0 ⇒ x >
3 28
Câu b: - Đưa bất phương trình về dạng ( )
1 x 4
2
2
+
<
+
ư +
- Trục căn ở vế trái ⇒ 3+2x <3 ⇒ - x 3
2
3≤ <
x ≠ -1 Câu c: Chuyển vế biến thành nhân tử
(2x2 - x - 3)(3 - 2) > 0 mà x 3 > 2 ⇔ x > logx 2
32
⇒ Bất phương trình ⇔ (2x2
- x - 3)(x - log232) > 0
⇔
>
≤
≤ 2
3 x
2 log x
3
x 2
1
x + = theo bất đẳng thức côsi ⇒ t ≥ 2 và t2 = x +
1
x
41 + khi đó bất phương trình trở thành 2t2 - 5t + 2 > 0
2 t>
⇔ t > 2
x 2
1
x + > giải ra được 0 < x < 2
2
3 ư hoặc 2 x
2
3+ <
Bài 3: Câu a: đặt t = x2 +1≥1 bất phương trình trở thành
+ 2t2 - (4x - 1)t + (2x - 1) = 0
Trang 2+ Giải ra được t =
2
1 loại; t = 2x - 1 ⇔ x2 + = 2x - 1 giải ra được x = 1
3
4
Câu b: + Đặt 3 2x ư1=t
⇒ phương trình trở thành hệ
ư
=
ư
= +
x t 2 t x
t 2 1 x
3 3 3
⇔ ( )
= +
ư
=
⇔
=
+ +
+
ư
= +
>
0 1 x 2 x
t
x 0
2 t 4
3 2
t x t x
t 2 1 x
3 0
2 2
3
⇔ x = 1 hoặc x =
2
5
1±
ư
Bài 4: + Giải bằng phương pháp cần và đủ hoặc
+ Đặt (4+x)(6ưx) = t ⇒ điều kiện 0 ≤ t ≤ 5
⇒ Bất phương trình có dạng: f(t) = t2
+ t - (m + 24) ≤ 0 ∀ t: 0 ≤ t ≤ 5
⇔ ( )
f
0 0 f
≥
⇔
≤
≤
Bài 5: - Theo yêu cầu của bài toán ta cần: y = x + 1ưx2 ưm ≤0 với ∀x ∈ [-1, 1]
- Đặt x = sinα ⇒ α ∈
π π
ư 2
,
2 ⇒ y = sinα + cosα ≤ m với ∀ α ∈ ư π2,π2
⇒ maxy 2
2
,
2
=
π π ≤ m ⇒ m ≥ 2
+ Vậy VT ≤ VP ⇒ VT = VP khi x = 1 - x ⇔ x =
2 1
+ Kết luận vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x =
2
1 khi m=4 8 + 2
Đ Vấn đề 1:
Trang 3Các phương pháp thường dùng khi giải phương trình - bất phương trình vô tỉ
(tiếp theo)
6 Phương pháp hàm số (bảng biến thiên - đồ thị)
a Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x + m = m x2 + 1 (1) Giải:
+ (1) ⇔ m =
1 x
m x
2 +
+
+ Đặt y1 =
1 x
m x
2 +
+
và y2 = m
- Ta có tập xác định của y1 là Dy1 = R
- Sự biến thiên của y1 : y'1 =
(1 x ) 0
mx 1
3
+
ư
⇒ x = (m 0)
m
1 x
m x lim
2
+
+
±∞
→ Ta có các bảng biến thiên của hàm y1 như sau:
- Nếu m = 0
y1 -1
1
Trang 4- Nếu m < 0
x -∞
m
- m2 +1
1
- Nếu m > 0
x -∞
m
y1 -1
1
m2 +
1 + Biện luận: nhìn vào các bảng biến thiên ta có
- Nếu m = 0 2 đồ thị y1 cắt y2 tại một điểm có x = 0 ⇒ phương trình có 1 nghiệm x = 0
- Nếu m < 0 ⇒ - m2 + < m ⇒ nếu -1 ≤ m < 0 2 đồ thị cắt tại 1 điểm ⇒ 1 phương trình có 1 nghiệm x = 0
Còn nếu m < -1 2 đồ thị cắt tại 2 điểm trong đó có 1 nghiệm x = 0
- Nếu m > 0 ⇒ m2 + > m do đó: 1
+ Nếu 0 < m ≤ 1 ⇒ phương trình có 1 nghiệm x = 0
+ Nếu m > 1 ⇒ phương trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0
Kết luận:
+ Nếu m ≤1 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 0
+ Nếu m > 1 phương trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0
b Ví dụ 2: cho phương trình x4 +24x+2m +4 x4 +24x+23 = 6 (1) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1)
Giải:
Trang 5+ Đặt 4 x4 +24x+2m = t ≥ 0 ⇒ Ta biện luận phương trình sau:
⇒ x4 + 24x + 2m = 16 ⇔ f(x) = x4 + 24x = 16 - 2m
+ Xét f'(x) = 4x3 + 24 = 0 ⇒ x = -2 có bảng biến thiên sau:
y1 +∞
-32
+∞
+ Dựa vào bảng biến thiên ta có số nghiệm của phương trình bằng số giao của f(x) = x4 + 24x với y = 16 - 2m
* Nếu 16 - 2m < -32 ⇔ m > 24 phương trình vô nghiệm
* Nếu 16 - 2m = 32 ⇔ m > 24 phương trình vô nghiệm
* Nếu 16 - 2m > -32 ⇔ m < 24 phương trình có 2 nghiệm
7 Phương pháp cần và đủ
a Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 4 x +41ưx + x + 1ưx =m (1) có nghiệm duy nhất
Giải: * Điều kiện cần: nhận thấy nếu x = α là nghiệm của (1) thì x = 1 - α cũng là nghiệm của (1) Vậy (1) nếu có nghiệm duy nhất thì trước hết phải có α = 1
- α ⇒ ⇒ =
2
1
⇒ Thay vào phương trình (1) có:
m = 2
2
1 2 2
1
4 + = 4 8+ 2 (a)
* Điều kiện đủ: giả sử m = 4 8 + 2 lúc đó (1) có dạng
2 8 x 1 x x 1
- Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số ta có:
2 x 1
x + ư ≤ + ư = dầu "=" khi x = 1 - x
⇒ 4 x +41ưx ≤ 2( x + 1ưx)≤ 2 2 =4 8 dầu "=" khi x =1-x
Trang 6+ vậy vt< vp ⇒ vt = vp khi x = 1 – x ⇔ x = 1
2
+ kết luận vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 1
2 khi m = 4 8+ 2
b Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình
(1) -4 (4ưx)(x+2)≤x2 ư2x+aư18 nghiệm với ∀x ∈ [-2, 4]
Gải: * Điều kiện cần:
Theo yêu cầu bài toán vì bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [-2, 4]
Giải: * Điều kiện cần
Theo yêu cầu bài toán vì bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [-2, 4] ⇒ Bất phương trình trên phải nghiệm x = 4 ⇒ 0 ≤ 16 - 8 + a - 18 ⇔ a ≥ 10
* Điều kiện đủ:
Với a ≥ 10 bất phương trình (1) có dạng:
x2 - 2x + a - 18 ≥ x2 - 2x - 8 ≥ -4 (4ưx)(x+2) (3)
- Đặt (4ưx)(x+2)=t≥0 ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2
Nên (3) có dạng: t2 - 4t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 4 thỏa mãn ∀t: 0 ≤ t ≤ 3 (vì x ∈ [-2, 4]) ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2 lúc đó 0 ≤ t2 ≤ 9 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3
Vậy a ≥ 10 ⇒ Bất phương trình (1) nghiệm với ∀x: x ∈ [-2, 4]
Chú ý: ở ví dụ này chúng ta đã sử dụng phương pháp lựa chọn giá trị thích hợp là x = 4 nếu lấy giá trị của xa ∈ [-2, 4] ở điều kiện cần tìm ra giá trị của a chưa
đủ để khẳng định thì có thể lấy vài giá trị x ∈ [-2, 4] sau đó lấy giao cac giá trị a; khi chứng minh điều kiện đủ có thể thu hẹp các giá trị a để chứng minh được điều kiện đủ; từ đó suy ra giá trị a cần tìm
c Ví dụ 3: tìm a để bất phương trình: x2 +x+3 ≥ - 1 - x tương đương với phương trình: x - a - x + 1 = 2 (2) là tương đương với nhau
Giải: + Giải bất phương trình x2 +x+3≥ư1ưx (1)
Trang 7(1) ⇔
ư
≤
⇔
≤
ư
≤
⇔
+ +
≥ + +
≥
ư
ư
ư
≥
⇔
≥ + +
≤
ư
ư
1 x 2 x
1 x 1 x 2 x 3 x x
0 x 1
1 x 0
3 x x
0 x 1
2 2
2
Vậy nghiệm của (1) là ∀x
* Điều kiện cần: giả sử (1) tương đương với (2) ⇒ x = -1 là x0 của (2) ⇒ -1
- a - -1 + 1 = 2 ⇒ a + 1 = ±2 ⇔ a = 1; -3
* Điều kiện đủ:
* Với a = 1: (2) trở thành : x - 1 - x + 1 = 2 (3)
- Với x ≤ -1 ⇒ (3) : -x + 1 + x + 1 = 2 luôn đúng
- Với -1 < x ≤ 1 ⇒ (3): -x + 1 - x - 1 = 2 ⇒ x = -2 loại
- Với x > 1 ⇒ (3): x - 1 - x - 1 = 2 vô nghiệm
Vậy (2) có nghiệm x ≤ -1 không tương đương với (1)
* Với a = -3 : (2) trở thành : x + 3 - x + 1 = 2 (4)
- x ≤ -3 : (4) trở thành : -x - 3 + x + 1 = 2 Vô nghiệm
- 3 < x ≤ -1 : (4) trở thành: x + 3 + x + 1 = 2 ⇔ x = -1
x > -1 : (4) trở thành: x + 3 - x - 1 = 2 đúng
⇒ Vậy bất phương trình (2) có nghiệm là x ≥-1
Kết luận: Không có giá trị nào của a để (1) tương đương với (2)
d Chú ý: người ta có thể dùng các phương pháp toán học khác để giải phương trình - bất phương trình Ví dụ như có thể dùng véctơ để giải bất phương trình như sau:
Ví dụ: Giải bất phương trình
2 3 x 1
xư + ư ≥ ư 2 + ư (1)
Giải:
+ Ta có uG =( xư1,xư3);vG =( )1,1 (Với x ≥ 1)
Trang 8+ Ta thÊy uG.vG = x−1+x−3
3 x 1 x
uG = − + − ; vG = 2
+ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng vÐct¬ nh− sau:
v u v
uG ≥G G G (2) mµ uG =.vG uG vG cos( )uG,vG
⇔ cos( )uG,vG =1⇔uG↑↑vG ⇔ x−1=x−3=k≥0
0 10 x 7 x
3 x 9
x 6 x 1 x
3 x
2
= +
−
≥
⇔
+
−
=
−
≥
VËy bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 5
Bµi tËp:
Bµi 1:
a Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 3 2x+1+3 6x+1>3 2x−1
b Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh :
16 x 9
8 x 12 x
2 2 4 x 2
2 +
−
>
−
− + Bµi 2:
a Gi¶i ph−¬ng tr×nh :
5
3 x 2 x 3 1 x
b Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3(2 + x−2)=2x + x+6