Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P4 pdf

Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bài 1: câu a : đặt f(x) = 3 2x+ +1 36x+ −1 3 2x− >1 0(1)

+ f(x) liên tục trên R

+ xét f(x) = 0 bằng cách lập phương hai vế thế nên ví dụ 2 phương pháp luỹ thừa ta có 3 (2x+1)(6x+1) 23 x− = −1 (2x+1)(2)

⇔

2 3

3

1

2

x

x

+ =

≠ −

⇔ x = - 1

2

⇔ x = 0

thử lại chỉ có x = - 1

2 là nghiệm của (2) + xét dấu f(x), trên R -1 0

f(-1) < 0 -1

2 f(0) = 3 > 0

⇒ theo phương pháp đan chắn ta có: f(x) < 0 f(x) > 0

- 1

2

⇒ nghiệm của bpt là x > - 1

2 câu b

+ nhân cả tử và mẫu vế tría với biểu thức liên hợp của vế trái ta được

2

⇔ (3x - 2) ( 9x2+16 2( 2− x+ +4 2 2−x)>0

lại nhân liên hợp ta có

⇔ (3x - 2) ( 9x2+16 4(12 2− − x+4 8 2 )− x2 >0

⇔ (3x - 2) 9x2+8x−32 16 8 2+ − x2>0

Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

⇔ (3x - 2) (x−2 8 2 )(− x2 x+2 8 2− x2 +8)>0

vì 8 2x− 2 có nghĩa ⇔ -2 ≤ x ≤ 2 nên ta có

x > -2 ⇒ 8 + x +2 8 2− x2 >0 ⇒ bpt tương đương

(3x - 2)(x – 2 8 2x− 2 ) > 0 ⇔ 3x – 2 > 0

x – 2 8 2x− 2 > 0

3x – 2 < 0

x – 2 8 2x− 2 < 0

x > 2

3

x > 2 8 2x− 2

x < 2

3 ⇔

4 2

3 < x ≤ 2

x < 2 8 2x− 2 0 ≤ x < 2

3

- 2 ≤ x < 0

Kl: nghiệm của bpt 4 2

3 < x ≤ 2 -2 ≤ x ≤ 2

3 Câu c: + đk: -1 ≤ x ≤ 1

+ trục căn xuống mẫu và nhân chéo ta được

2x ≤ x ( 1+ +x 1−x)

⇔ x ( 2 - ( 1+ +x 1−x) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1

1+ +x 1− ≤ 2 x

-1 ≤ x ≤ 0

1+ +x 1− ≥ 2 VN x

0 ≤ x ≤ 1 kết luận nghiệm bpt 0 ≤ x ≤ 1

VN

Bài 2: câu a

+ trục căn xuống mẫu ta có: 3 3

5

+ đk x > 2

3 ⇒ x + 3 > 0 ⇒ pt tương đương với

f(x) = 4x+ +1 3x− = 2 5

+ vế trái là hàm đồng biến f(2) = 5 ⇒ pt có một nghiệm x = 5

câu b đk x ≥ 2

+ pt ⇔ 3 x− −2 x+ =6 2x− đặt 6 2 0

− = ≥ + = ≥

⇒ u – v = 2(x - 3) (1)

u2 – v2 = 8x – 24 (2) ⇔ (u – v) (u + v) = 8 (x - 3) (3)

+ thế (1) vào (3) ⇒ 2(x - 3)(4 + v) = 8 (x - 3) (4)

+ nếu x = 3 ⇒ thoả mãn phương trình đã cho

+ nếu x ≠ 3 pt (4) : u + v = 4 ⇒ x− −2 x+ = 6 4

⇒ bình phương hai vế; 3 x2+4x−12 14 15= − x≥0 đk x ≤ 14

15 bình phương : x2 – 11x + 19 = 0

x = 11 3 5

2

−

thoả mãn điều kiện

x = 11 3 5

2

+

không thoả mãn điều kiện

kl; phương trình có hai nghiệm x = 3 ; x = 11 3 5

2

−

Vấn đề 2 Giải và biện luận phương trình bất phương trình vô tỉ

Để giải và biện luận một phương trình - bất phương trình cần phải biến đổi chặt chẽ, cẩn thận, cần nhận xét kỹ bài toán để lựa chon biện luận không bi dài dòng, rườm rà Xét một số ví dụ sau:

1, ví dụ 1: giải và biệt luận phương trình

a x a+ = − a x− (1)

giải : + đk a ≥ 0

- a ≤ x ≤ a khi đó (1) ⇔ a x+ + a x a− =

⇔ 2 a2−x2 =a2−2a (2) (bình phương 2 vế) ta có đk tiếp đk: a2 – 2a ≥ 0 khi đó (2) ⇔ 4 (a2 – x2) = (a2 – 2a)2 = a2 (a - 2)2

Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

⇔ 4a2 – 4x2 = a4 – 4a3 + 4a2 ⇔ 4x2 = a2 (a (4 - a)) ≥ 0

đk a (4 –a ) ≥ 0 ⇔ khi đó nghiệm của pt là x = ± (4 )

2

a a −a

(3) + kết hợp 3 điều kiện ta có đk 3 điều kiện ta có đk a = 0; 2 ≤ a ≤ 4

-a ≤ x ≤ a

⇒ giái trị (3) thoả mãn điều kiện (*) khi:

- với a = 0 ⇒ x = 0

với 2 ≤ a ≤ 4 ⇒ x = ± (4 )

2

a a −a

đều thoả mãn đk -a ≤ x ≤ a (các em tự kiểm tra) kl: a = 0 phương trình (1) có nghiệm x = 0

2 ≤ a ≤ 4 phương trình (1) có 2 nghiệm x = ± (4 )

2

a a −a

các trường hợp còn lại phương trình (1) không có nghiệm

chú ý; các giái trị x tìm được cần phải thoả mãn mọi điều kiện đã được nêu ra trong quá trình biến đổi

2, ví dụ 2: giải và biện phương trình sau:

2 a x+ − a x− = a x− + x a x( + ) (1)

giải:

2 a x+ − a x− ≥ 0

(1) ⇔ 4(a + x) + (a - x) – 4 a2−x2 = − +a x x a x( + )

4(a + x) = x a x( + ) 4+ a2−x2 3

5

a

x a

− ≤ ≤

4(a + x) ≥ a – x ⇔

a x+ 4 a x+ −4 a x− − x=0

⇔ 3

5

a

x a

−

≤ ≤

x = - a hoặc 4 ( a x+ − a x− )= x

+ trường hợp (1) : x = -a thoả mãn 3

5

a

x a

− ≤ ≤ khi 3

5

a

a a

− ≤ − ≤

+ trường hợp (2) : 3

5

a

x a

−

≤ ≤ ⇔ a = 0 ( a x+ − a x− ) 0≥ ; x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ a

32 (a - a2−x2 ) = x 32 a2−x2 = 32a - x ⇔ 0 ≤ x ≤ a

x = 0; x = 64.

1025

a

+ Kết luận:

- nếu a < 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phương trình (1) vô nghiệm

- nếu a = 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phương trình (1) có nghiệm x = 0

- nếu a > 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phương trình (1) có hai nghiệm x = 0; 64

1025

a

Chú ý: quá trình giải có thể kết hợp đk với phương trình thì quá trình biến đổi nhiều khi thuận tiện hơn do sự phối hợp điều kiện với biến đổi phương trình

3, ví dụ 3: cho bất phứơng trình : a+ x + a− x ≤ (1) 2

a, giải bất phương trình khi a = 1

b, giải và biện luận bất phương trình theo a

giải: câu a: khi a = 1 bất phương trình (1) : 1+ x + 1− x ≤ 2

+ đk x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1

1 - x ≥ 0

+ theo bất phương trình Bunhiacôpski ta có:

1+ x + 1− x ≤ 2(1+ x+ −1 x)= 4 2= Luôn đúng với điều kiện

1+ x& 1− x có nghiã ⇒ nghiệm của bất phương trình là: 0 ≤ x ≤ 1

câu b + đk x ≥ 0 a ≥ 0

a - x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ a2

+ bình phương hai vế phương trình (1): a2− ≤ −x 2 a (2)

+ nếu 2 – a < 0 ⇔ a > 2 ⇒ (2) vô nghiệm

nếu 2 – a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2 kết hợp với đk: 0 ≤ a ≤ 2

⇒ bình phương hai vế của (2) ta có: x ≥ 4a – 4 = 4 (a - 1)

- nếu : 4a – 4 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ nghiệp của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ a2

Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A

- nếu 4a – 4 > 0 ⇒ a > 1 và nhận thấy a2 ≥ 4a – 4 ⇔ (a - 2)2 ≥ 0

⇒ 1 < a ≤ 2 thì 0 < 4a – 4 ≤ a2 ⇒ nghiệm của bất phương trình là 4(a - 1) ≤ a2 + kết luận:

- nếu a < 0 bất phương trình (1) vô nghiệm

- nếu 0 ≤ a ≤ 1 nghiệm của (1) là 0 ≤ x ≤ a2

- nếu 1 < a ≤ 2 nghiệm của (1) là 4 (a - 1) ≤ x ≤ a2

- nếu a > 2 bất phương trình (1) vô nghiệm

4, ví dụ 4: giải và biện luận bất phương trình:

x a− ; x− a+ x− a (1)

giải : (*)đk x ≥ a

x ≥ 2a vì 3a – 2a = 2a – a = a

x ≥ 3a

- nếu a ≤ 0 ⇒ đk (*) trở thành x ≥ a (vì 3a ≤ 2a ≤ a ) (1) ⇔ x – a > x – 2a + x – 3a + 2 (x−2 )(a x−3 )a cần điều kiện 2: 4a – x > 0 nghĩa là x < 4a kết hợp đk x ≥ a ⇒ 4a > a không thể xẩy ra khi a ≤ 0 ⇒ bất phương trình (1)

vô nghiệm

- nếu a > 0 ⇒ đk (*) trở thành x ≥ 3a và như trườgn hợp trên (1) ⇔ 4a – x ≥

2 (x−2 )(a x−3 )a (2) ta có đk 2 hai vế của (2) : (4a - x)2 > 4 (x – 2a) (x – 3a) ⇔ 3x2 – 12ax + 8a2 < 0 giải bất phương trình ta được

(6 2 3) (6 2 3)

x

− < < +

kết hợp với đk trên có nghiệm của bất phương trình

là: 3a ≤ x < (6 2 3)

3

a

+ + kết luận: - a ≤ 0 bất phương trình vô nghiệm

- a > 0 bất phương trình (1) có nghiệm 3a ≤ x < (6 2 3)

3

a

+

5, ví dụ 5: giải và biện luận bất phương trình : x m− +2m≤ x+2m (1) giải : + đk x ≥ m vì m – (- 2m) = 3m nên:

x ≥ - 2m

+ nếu m < 0 đk (a) trở thành x ≥ 0 ⇒ (1) : x ≤ x nghiệm với mọi x ≥ 0

+ nếu m < 0 ⇒ đk (a) trở thành x ≥ - 2m (a1) ⇒ (1) x m− ≤ x+2m−2m

⇔ x – m ≤ x + 2m + 4m2 – 4m x+2m

⇔ 4 x+2m ≥ 3 + 4m (2)

- nếu 3 + 4m ≤ 0 ⇔ m ≤ 3

4

− ⇒ (2) đúng với mọi x thoả mãn điều kiệnu (a1) ⇒ nghiệm của (1) là x ≥ - 2m

- nếu 3 + 4m ≥ 0 ⇔ 0 > m ≥ 3

4

− ⇒ (2) : 16(x + 2m) ≥ (3 + 4m)2

⇔ x ≥ - 2m + 3 4 2

4

m

+

(thoả mãn điều kiện a1) + nếu m > 0 ⇒ đk (a) trở thành : x ≥ m (a2)

⇒ bình phương hai vế của (1) và rút gọn ta có:

3 4

4

m

x m− ≤ −

(3)

- nếu 3 4 0

4

m

−

< ⇔ m > 3

4 (3) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm

- nếu 3 4 0

4

m

− ≥ ⇔ 0 < m ≤ 3

4 ⇒ (3) có nghiệm: x ≤ m +

2 (3 4 ) 16

m

−

kết hợp điều kiện (a2): m ≤ x ≤ m + 3 4 2

4

m

− + kết luận:

- nếu m ≤ 3

4

−

bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ - 2m

- nếu 3

4

−

< m < 0 bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ - 2m + 3 4 2

4

m

−

- nếu m = 0 bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ 0

- nếu 0 < m ≤ 3

4 (1) có nghiệm m ≤ x ≤ m +

2

3 4

4

m

−

- nếu m > 3

4 bất phương trình (1) vô nghiệm

Bài tập:

1, giải và biện luận: x + 1 1

x+ + x+ =a

2, giải và biện luận: 2x2+ < −3 x a

3, giải và biện luận: x2−2m+2 x2− =1 x

4, giải và biện luận: 3 (x a+ )2 +m x a3 ( − )2 =(m+1)3 x2−a2

5, tìm nghiệm nghuyên x , y của phương trình y = x + y2+2(x+1)y+4x (ẩn y)