Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P5 docx

b , chú ý: khi biện luận với những trường hợp cụ thể của tham số; nên thay trực tiếp vào hệ thì việc trả lời cho các trường hợp đó tránh được sự nhầm lẫn.

Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bài 1: + đặt 1 0

4

x+ = ≥t ⇒ x = t2 - 1

4 + phương trình trở thành t2 - 1

4 +

4

t + + =t a ⇔ t2 - 1

4 + t +

1

2 = a

t2 + t + 1

4 = a ⇔ (t +

1

2)

2 = a ⇔ t + 1

2 = a

t + 1

2 = - a loại do t ≥ 0

+ giải phương trình: t = a - 1

2 ≥ 0 ⇒ đk a ≥

1

4 ⇒ x +

1

4 = ( a -

1

2 )

2

x = a - a

+ Kết luận:

- nếu a < 1

4 phương trình vô nghiệm

- nếu a ≥ 1

4 phương trình có nghiệm x = a - a bài 2 + đặt đk x > a (cho vế phải)

+ bình phương 2 vế ; chuyển vế: f(x) = x2 + 2ax + 3 – a2 < 0

+ biện luận: ∆’ = 2a2 – 3

- ∆’ ≤ 0 ⇔ a ≤ 6

2 bất phương trình vô nghiệm

- ∆’ > 0 ⇔ a > 6

2 ⇒ - a -

2

2a −3 < x < -a + 2a2−3

chú ý: f(a) = 2a + 3 > 0

⇒ a ∉ (x1; x2) ; và để bất phương trình có nghiệm cần có

3

2 > ⇔ -a > a ⇔ a < 0 a + Kết luận :

- nếu a > 6

2 bất phương trình vô nghiệm

- nếu a < - 6

2 bất phương trình có nghiệm x: x1 < x < x2 bài 3: + đặt u = x2−2m v = x2−1 đk u, v ≥ 0

v2 – u2 = 2m-1

3v2 + u2 + 4uv = 1 đây là hệ đẳng cấp giải hệ này ta có kết quả cuối cùng u,v ≥ 0

+ Kết luận: - nếu m < 0 hoặc m > 2

3 phương trình vô nghiệm

- nếu 0 ≤ m ≤ 2

3 phương trình có nghiệm duy nhất

x = 2

2 1

m

m

−

−

bài 4: + nhận xét x = a là nghiệm ⇔ a = 0 lúc đó phương trình có nghiệm x =

0

+ khi a ≠ 0 ⇒ x = a không nghiệm phương trình ⇒ chia cả hai vế của phương trình cho 3 (x a− )2 ta được

2

3 (x a) m (m 1)3 x a

+ đặt 3 x a

t

x a

+ =

− ⇒ phương trình: t

2 + (m +1)t + m = 0

⇒ t = 1; t = m

t= 1 ⇒ x a 1

x a

+ =

− vô nghiệm do a # 0

t = m ⇒ x a 3

m

x a

+ =

3 - 1)x = (m3 + 1)a (*)

nếu m # 1 ⇒ x = ( 33 1)

1

m a m

+

− nếu m = 1 ⇒ phương trình (*) vô nghiệm

kl: a = 0 với mọi m phương trình đúng với mọi x

a # 0; m # 1 phương trình có nghiệm duy nhất x = ( 33 1)

1

m a m

+

−

a # 0; m =1 phương trình vô nghiệm

bài 5: + bình phương 2 vế, chuyển vế rút y làm nhân tử chung và chia ta được 8y = 2x – 9 + 9

2x+1 + nếu x , y nguyên suy ra 2x + 1 phải là ước của 9

⇔ 2x + 1 = ± 1 2x + 1 -1 1 -3 3 -9 9

2x + 1 = ± 3

2x + 1 = ± 9 x -1 0 -2 1 -5 4

y ∉ z 0 -2 ∉ z ∉ z ∉ z

vậy phương trình có các nghiệm nguyên là

x = 0 x = -2

y = 0 y = -2

Chuyên đề VI Hệ phương trình - hệ bất phương trình

vấn đề 1: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ phương trình có chứa 1 phương trình bậc nhất

A, các tiêu chuẩn biện luận cho hệ pt bậc nhất hai ẩn, ở trong chương trình đại

số lớp 10 từ trang 62 – 66 sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 Sau đây chúng ta xét một số ví dụ với một số dạng bài cụ thể

B, một số ví dụ

1, dạng bài giải và biện luận

a, ví dụ 1: giải và biện luận hệ

ax + by = a + 1 (1)

bx + ay = b + 1 (2)

giải : * Nếu a = b = 0 hệ (I) có dạng õ + oy = 1 vô nghiệm

• tính D = a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Dx = (a - b)(a + b + 1)

Dy = (a - b)

+ biện luận:

- Nếu D # 0 ⇔ a # ± b hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất x = a b 1

a b

+ + + ; y =

1

a b+

- Nếu D = 0 ⇔ a = ± b

2, với a = b ⇒ D = Dx = Dy = 0 hệ có dạng ax + ay = a + 1

khi a # 0 ⇒ y = a 1 ax

a

+ −

lúc đó hệ có vô số nghiệm x = k tuỳ ý

y = a 1 ak

a

+ − (a = 0 đã xét trường hợp đầu tiên)

b , a = -b ≠ 0 ⇒ Dx ≠ 0 hệ vô nghiệm

Kết luận: - nếu a = b = 0 hệ vô nghiệm

- nếu a = b 3 0 hệ có vô số nghiệm

- nếu a = -b ≠ 0 hệ vô nghiệm

- nếu a ≠ ± b hệ có một nghiêm duy nhất

x = a b 1

a b

+ +

+ ; y =

1

a b+

b , chú ý: khi biện luận với những trường hợp cụ thể của tham số; nên thay trực tiếp vào hệ thì việc trả lời cho các trường hợp đó tránh được sự nhầm lẫn

2, Dạng tìm điều kiện để hệ thoả mãn một điều kiện cho trước

a, ví dụ 1: cho hệ mx + y = 2m

x + my = m + 1

a, xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m

b, tìm m ∈ z để hệ có nghiệm duy nhất và là số nguyên

giải: câu a:

+ tính D = m2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 hệ sẽ có nghiệm duy nhất

+ gọi x0 , y0 là nghiệm duy nhất của hệ ⇒

mx0 + y0 = 2m ⇔ m(x0 - 2) = - y0

x0 + my0 = m + 1 m (y0 - 1) = 1 – x0

m (x0 - 2)(y0 - 1) = - y0 (y0 - 1)

⇔ m (x0 - 2)(y0 - 1) = (1 – x0) (x0 - 2)

⇒ (1 – x0) (x0 - 2) + y0 (y0 - 1) = 0 đây là biểu thức liện hệ giữa x0, y0 là nghiệm duy nhất của hệ không phụ thuộc vào m

* chú ý : có thể làm theo nguyên tắc chung như sau:

tìm nghiệm x = 2 1 1

x

m

+ −

y =

1

y

D =m

+

⇒ y =

1

1

2

x

x

x

x

−

−

−

đây cũng là 1 biểu thức liên hệ giữa x , y không

phụ thuộc m

câu b + ta có nghiệm duy nhất của hệ là

x = 2 1 2 1

m

+ = −

+ + do đó x, y, m ∈ z ⇔ m + 1 = ± 1 ⇔ m = 0 với m = 2

y = 1 1

m

m = −m

+ kiểm tra qua đk m ≠ ± 1 ⇒ m = 0 với m = -2 là các giái trị cần tìm

c, hệ có chứa một phương trình bặc nhất

1, ví dụ 1: giải và biện luận hệ x+ y = a

x4 + y4 = a4

giải : + nhận thấy x = 0 ⇒ y = a là nghiệm của hệ

+ nếu x ≠ 0 ⇒ đặt y = tx; hệ trở thành

x + tx = a x(1+t) = a

x4 + t4x4 = a4 ⇔ x4 (1+t4) = a4

x (1+ t) = a

x4 (1 + t)4 = x4 (1 + t4) ⇔ x4 [(1 + t)4 – (1 + t4) ] = 0

⇔ x4 2t (2t2 + 3t + 2) = 0 ⇔ t = 0

⇒ y = 0 ⇒ x = a

kết luận: hệ luôn có nghiệm x = 0 x = a

và chỉ có các nghiệm đó y = a y = 0

2, ví dụ 2: cho hệ phương trình x3 – y3 = m (x - y)

x + y = -1

a, giải hệ khi m = 3

b, tìm m? để hệ có 3 nghiệm (x1, y1) ; (x2 , y2) ; (x3 , y3)

sao cho x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng và có hai số với giái trị tuiyệt đối lớn hơn 1

giải : Câu a : + hệ trên ⇔ (x - y)(x2 + xy + y2 - m) = 0

x + y = - 1

x – y = 0 x = y = - 1

2

x + y = -1 y = -1 – x thế vào phương trình*

x2 + xy + y2 – m = 0

x + y = -1 x2 + x + 1 – m = 0 (* *)

+ khi m = 3 thì (* *): x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ; x = -2

vậy nghiệm của hệ khi m = 3 là x = y = - 1

2

x = 1 ; y = -2

x = -2 ; y = 1

câu b, + ta thấy để hệ đã cho có 3 nghiệm thì (* *) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với x = - 1

2 (luôn là nghiệm của hệ); lại có x1, x2 là nghiệm của (* *) thì x1 + x2 = - 1 = 2 (-1

2 ) ⇒ chứng tỏ nếu tồn tại x1, x2 thì x1, -

1

2 , x2 là một cấp

số cộng lại có x1 > 1 ; x2 > 1 điều này tương đương với x1< -1 < 1< x2 hoặc

x2< -1 < 1< x1 t ương đ ương với

f(1) < 0 3 – m < 0

f(-1) < 0 1 – m < 0 ⇔ m > 3

Kết luận m > 3 thì hệ có 3 nghiệm thoả mãn yêu cầu của bài toán

3, Chú ý: loại hệ phương trình như trên cách làm chung nhất thường bằng

phương pháp thế từ phương trình bậc nhất vào phương trình bậc cao hơn ở trong hệ

Bài tập:

Bài 1: a, giải và biện luận hệ 6ax + (2 - a)y = 3

(a - 1)x – ay = 2

b, gọi x, y là nghiệm của hệ tìm hệ thức liên hệ

giữa x, y độc lập với a

bài 2: cho hệ ax + b = b

x + ay = c2 + c

a, b = 0 giải và biện luận hệ

b, tìm b để với mọi a luôn tìm được để hệ có nghiệm

bài 3: giải và biện luận hệ x + y = m (1)

x2 – y2 + 2x = 2 (2)

bài 4 gọi (x , y) là nghiệm của hệ x + y = m (1)

x2 + y2 = a2 + 2a – 3 (2)

tìm a để xy nhỏ nhất