Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P6 ppt

vấn đề 2: hệ phương trình bậc hai hai ẩn Một số loại hệ phương trình bậc hai hai ẩn thường gặp và cách giải chúng.. Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình có tính chất từng

Hướng dẫn giải bài tập Bài1:

Nhận xét 6a; 2-a; a-1; -a không đồng thời bằng 0

Câu a: Tính D; Dx;Dy

Biện luận

• a≠-1 và2

5 hệ có 1nghiệm duy nhất:

x = ( 4)

( 1)(2 5 )

a

− + + − ; y=

3(1 3 ) ( 1)(2 5 )

a

+

a=-1

⇒ D=0; Dx≠0 Hệ vô nghiệm

a≠2

5

(6x y a− ) = −3 2y

Câu b: (x,y) là nghiệm của hệ ⇒

(x y a− ) = + 2 x

⇒ 6 3 2

2

− = −

− + đpcm

Bài2:

ax+y=0

Câu a: hệ có dạng

x ay c+ = 2+ c

Tính D=a2− ; Dx=1 −(c2 + ;Dy=c) a c( 2+ c)

Biện luận:

1 2 2 ; ( 22 )

c c a c c

− − x tuỳ ý

a=1và c=0 hoặc c= −1 hệ có vô số nghiệm

y= − x

x tuỳ ý

a= −1và c=0 hoặc c= −1 hệ có vô số nghiệm

y x=

a= ±1 và c≠0 vàc≠ −1 hệ vô nghiệm

Câu b:

Nếu a≠ ±1⇒ hệ luôn có nghiệm duy nhất không phụ thuộc b

Nếu a=1⇒ hệ có nghiệm ⇔ Dx=Dy=0

⇔ c2+ − = có nghiệm cc b 0 ⇔ ∆ = +1 4b≥0

1

4

b≥ −

Nếu a= −1⇒ hệ có nghiệm ⇔ Dx=Dy=0

4

⇔ + + = ⇔ ∆ = − ≥ ⇒ ≤

Kết hợp các trường hợp ta có với 1 1

4 b 4

− ≤ ≤ thì với ∀a luôn tìm được c để hệ có nghiệm

3 Bài 3:

• Thế y m x= − vào phương trình (2) được:2(m+1)x= +2 m2 (3)

• m= −1⇒ (3) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm

• m≠ −1⇒ (3) có nghiệm duy nhất 2 2

m x

m

+

= +

2 2 2

y

m

=

+

4 Bài 4:

• Từ (1) ⇒ =y 2a− + thế vào (2) được f(a) (x 1)

2x2−2(2a−1)x+3a2−6a+ = (3) có nghiệm 4 0

2

a a

⇔ ∆ = − + − ≥ ⇔ −

• Có 1 ( )2 ( 2 2) 3 2

3 2 ( )

xy=  x y+ − x +y = a − a+ = f a

  1 2 -22 2 22

• f a có a( ) đ=1 nên trên khoảng 2 2 2 2

+ − ≤ ≤ + hàm đồng biến⇒

min ( ) (2 2)

2

f a = f −

Kết luận với 2 2

2

a= − thì xy min

vấn đề 2: hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Một số loại hệ phương trình bậc hai hai ẩn thường gặp và cách giải chúng

Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình có tính chất từng phương trình không thay đổi khi ta thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x Cách giải loại nay: ta có thể giải bằng phương pháp chung như: bằng phương pháp thế…Ngoài

ra còn phương pháp riêng là đặtx y+ =S; xy= P với điều kiện

x y S+ =

S2≥ 4P(khi đó hệ mới có nghiệm x,y)

xy P=

Xét một số ví dụ: x y xy m+ + =

1 Ví dụ 1: cho hệ phương trình (I)

x2+y2 = m

a.Giải hệ khi m=5

b Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: x y s+ =

Đặt

x2 +y2 = P

S P m+ = P m S= −

⇒ hệ trở thành: ⇔ (*)

S2−2P m= S2+2S−3m= 0

Câu a: Khi m=5 S= −5

Phương trình (*) trở thành:S2+2S−15 0= ⇔

S =3

Với S= ⇒ =3 P 2 không thoả mãn điều kiện S2≥4P

x y+ = 3

⇒ ⇒ x,y là nghiệm của pt: X2−3X + = 2 0

xy= 3

x=1thì y= 2

⇒ X12 =1; 2 ⇒

x=2thì y= ⇒ hệ có 2 nghiệm 1

Câu b: hệ (I) có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện S2 ≥4P

∆ = +' 1 3m≥ 0

⇔ ⇒ 1

3

m≥ −

S2 ≥4P

Phương trình (*) cho các nghiệm:

S1 = − −1 1 3+ m; S2 = − +1 1 3+ m

• Nếu S1 = − −1 1 3+ m⇒ P1 = + +m 1 1 1 3+ m

Kiểm tra điều kiện:S2 ≥4P ta thấy:

1 1 3m 4 m 1 1 3m

− − + ≥ + + + ⇔ −(m+2)≥2 1 3+ m vô nghiệm do

1

2 3

m≥ − ⇒ > −m ⇒ + > ⇒ −m 2 0 (m+2)<0

• Nếu S2 = − +1 1 3+ m⇒P2 = −m S2 =(m+ −1 1 3+ m) Kiểm tra điều kiện

2 4

S ≥ P⇒

1 1 3m 4 m 1 1 3m 2 1 3m m 2 m 8m 0 0 m 8

ết hợp điều kiện 1 0 8

3

m≥ − ⇒ ≤ ≤ là giá trị cần tìm m

2 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình x2+y2 =2 1( +a)

( )2

4

x y+ = a.Giải hệ khi a=1

b Tìm các giá trị a để hệ có đúng hai nghiệm

Giải:

Câu a:

x2 +y2 =2 1( +a) x+y= 2±

Khi a=1 hệ trở thành ⇔ ⇒

(x2+y2)= 4 xy= 0

⇒ Hệ có các nghiệm:( ) (0, 2 ; 0, 2 ; 2,0 ; 2,0− ) ( ) (− )

Câu b: Nhận xét thấy rằng nếu (x y0, 0)là nghiệm của hệ thì (−x0,−y o);

(y0,−x0)cũng là nghiệm của hệ; lại thấy nếu (x y0, 0)≡ −( x0,−y0)⇒2x0 = và 0

0

2y =0⇒x0 = y0 = nhưng 0 ( )0,0 không là nghiệm của hệ Vậy hệ có 2 nghiệm thì

(x y0, 0)≡(y x0, o) và (−x0,−y0) (≡ −y0,−x0) điều này xảy ra khi x0 = Hệ trở thành y0

2 ( )

0

2x =2 1+a a=0

⇔

2

0 4x = 4 2

0 1

x = ngược lại a=0 hệ có dạng x2+y2 = 2

⇔

( )2

4

x y+ =

x y+ = ± x= 12 ± x=1

⇔ ⇔ ⇒ Hệ có hai nghiệm

xy= 1 y= ± y=1 1

x= −1

y= − 1

Kết luận với a=0 hệ chỉ có 2 nghiệm

B Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Là hệ pt khi thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại Đối với hệ pt này ngoài cách giải thông thường còn

có cách giải riêng bằng cách xét pt hiệu của pt trong hệ ta xét một số ví dụ sau: 1.Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ sau:

x2 −ay+ = (1) 1 0

y2−ax+1=0 (2)

Giải: lấy pt (1) trừ pt (2) ta có: x2−y2+a x y( − )= ⇔0 (x y x y a− )( + + )= ⇔0

x y=

⇔

y= − − x a

• Trường hợp 1:y=x⇒ thế vào (1):x2−ax+1=0 pt có nghiệm

⇔ ∆ =a2− ≥ ⇔ IaI 24 0 ≥ và nghiệm: 1,2 2 4 1,2

2

• Trường hợp 2: y= − − thế vào (1) ta có:x a x2 +ax+a2+ = có 1 0

2

3a 4 0

∆ = − − < vô nghiệm

• Kết luận: - Với IaI<2 hệ vô nghiệm

- Với IaI 2≥ hệ có nghiệm

2 4

2

2

2 Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

y2 =x3−4x2+ax (1)

x2 =y3−4y2+ay (2)

Giải:- Điều kiện cần: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ suy ra (y,x) cũng là nghiệm của hệ; do đó để hệ nghiệm duy nhất thì y=x thế vào pt (1) ta có:

x=0

x =x −4x +ax⇔x x −5x a+ = ⇔ 0

x2−5x a+ = 0

Để hệ có nghiệm duy nhất thì pt x2−5x a+ = hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm 0 kép bằng 0 ⇔ ∆ =25 4− a<0 25

4

a

⇔ > (trường hợp nghiệm kép bằng o không xảy

ra vì 5 0

b

a

− = ≠ )

-Điều kiện đủ: Với 25

4

a> hệ đã cho tương đương hệ sau:

y2 =x3−4x2+ax (1)

(x y x− ) 2+x y( − +3) y2−3y a+ =0 (*)

x=y

(*)⇔

x2+x y( − +3) y2−3y a+ =0

với y∀ vì:δy' = −9 3 4( a+9)=36 12− a<0 với mọi 25

4

a> Từ đây ta có

4

a> do đó (*) chỉ có x=0

nghiệm x=y thế vào (1): x3−5x2+ax=0⇔

x2 −5x a+ = 0

vô nghiệm vì 25

4

a>

⇒ Khi đó hệ có 1 nghiệm duy nhất x= y= 0

- Kết luận 25

4

a> hệ có 1 nghiệm duy nhất

3 Chú ý: hệ đối xứng loại 1, loại 2 luôn nhận (x,y) làm nghiệm thì cũng nhận (y,x)

làm nghiệm

c Hệ phương trình vế trái đẳng cấp: nghĩa là mọi số hạng vế trái của các phương

trình trong hệ đều cùng 1 bậc

+ Loại hệ này ngoài phương pháp thông thường còn có cách giải riêng bằng cách

đặt x= ty hoặc y= tx

Cụ thể xét một vài ví dụ sau:

1 Ví dụ: Giải hệ sau

3x2+5xy−4y2 =38

5x2−9xy−3y2 =15

Giải: +nhận thấy y=0 ⇒ hệ trở thành

3x2 =38

5x2 =15

không nghiệm hệ do đó đặt x= ty và hệ trở thành:

(3t2+ −5t 4)y2 =38 3t2+ − > 5t 4 0

⇒

(5t2− −9t 3)y2 =15 3t2+ − 38 5t 4

= (*)

5t2− − 15 9t 3

145 417 54 0 3;

145

⇔ − − = ⇒ = − loại (không thoả mãn điều kiện)

với t=3 ⇒38y2 =38⇒ y2 = ⇒ = ± ⇒ = ± 1 y 1 x 3

Kết luận: Hệ pt có hai nghiệm:x= 3,± y= ± 1

2 Chú ý: Phương pháp phát triển có thể áp dụng với hệ pt đẳng cấp cao hơn (ví

dụ cấp 3,…)

Bài tập:

Bài 1: cho hệ x xy y m+ + = + 1

x y xy2 + 2 = m

a Giải hệ với m=2

b Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x, y >0

Bài 2: Giải và biện luận hệ 1 2 5

x y+ + =

−

+ =

−

2 2

x y

a

x y

Bài 3: Cho hệ x2−4xy y+ 2 =k (1)

y2−3xy =4 (2)

a.Giải hệ khi k=1

b Chứng minh rằng hệ có nghiệm ∀k