Vậy ∀K hệ luôn có nghiệm.. Bài 37: hệ phuương trình hai ẩn tiếp theo D.. Hệ phương trình chứa căn thức; 1... chú ý: có thể biến đổi trực tiếp đưa về quan hệ giữa x, y dưới dạng bậc nhất
Trang 1hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
+ đặt x y+ =S điều kiện S2 ≥4P (*)
xy =P
+ Hệ trở thành S P+ =m+ 1
⇒ ,S P là nghiệm của pt
SP =m
X m X m S= m; P=1
S=1; P=m
Câu a:
+ Khi m =2 ⇒ theo điều kiện (*) ta có S = 2; P=1⇒ x = y = 1 là nghiệm của hệ Câu b:
+ Nếu S= m: P = 1 theo yêu cầu của bài toán ta có S > 0⇔ m > 0 và
≥
S P ⇔m2 ≥ ⇒4 m ≥ ⇒2 kết hợp: m≥ 2
+ Nếu S = 1; P=m ⇒m> 0 và S2 ≥4P ⇔ ≥1 4m ⇒ <0 ≤ 1
4
m
+ Kết luận: m≥ 2
thì hệ có ít nhất 1 nghiệm x, y >0
0< ≤ 1
4
m
Bài 2:
+ Đặt =
−
1
2 u
x y ; x+2y v với = u ≠ 0⇒ hệ trở thành
u v+ = 5
⇒ u,v là nghiệm của pt: X2−5X a+ =0 (*)
uv =a
+ Biện luận:
=
−
1 5 2
x y = 1
10
x
- a = 0 ⇒ (*) có X = 0; X = 5 ⇒ ⇒
x+2y =0 = − 1
20
y
- khi a≠ 0: ∆ =25 4− ≥ ⇒ ≤0 25
4
Trang 2
± −
= = − 1 5 25 4 2 2 a u x y
( + ±) ( + ) − = 5 1 1 25 4 4 a a a x a ⇒ ⇔
= + = 5∓ 25 4− 2 2 a v x y ( − ) ( − ) −
=5 1 ∓ 1 25 4 8 a a a y a
+ > 25 ⇒ 4 x pt (*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm Bài 3: Câu a: K=1 hệ có dạng x2−4xy y+ 2 =1
⇔
y2−3xy =4
y2−3xy =4
⇔ ⇔
4(x2−4xy y+ 2)=y2−3xy ⇔(4x y x− )( −3y)=0 y2−3xy =4 x = 1 x = -1 ⇔ hoặc y = 4x y = 4 y = -4 ⇔
y2−3xy =4
hệ vô nghiệm x = 3y Câu b: + Ta thấy y = 0 không có nghiệm pt (2) + (2) ⇒ = 2 −4 3 y x y (3) thế vào pt đầu ta được 11y4+(9K−49)y2−16 0=
vì = −16<0 11 c a phương trình luôn có nghiệm y2 >0⇒ luôn tồn tại y ⇒ thế vào (3) sẽ được x tương ứng Vậy ∀K hệ luôn có nghiệm Bài 37: hệ phuương trình hai ẩn (tiếp theo)
D Hệ phương trình chứa căn thức; 1 ví dụ 1: x2+y2 + 2xy =8 2 (1) giải hệ phương trình: (I) x + y = 4 (2)
Giải: Nhân hai vế pt(1) với (2); bình phương hai vế pt(2): 2x2+2y2 + 4xy =16 Trừ từng vế 2 pt ta có:
Trang 3(I) ⇔ ⇒ 2x2+2y2 = +x y
x y+ + 4xy =16
⇒ Bình phương 2 vế: ( − )2 = ⇔ =
0
x y x y Thay vào (2) ta được:
= ⇔ = =
2 x 4 x y 4
+ Kết luận: hệ có 1 nghiệm x = y = 4
2 Ví dụ 2: Giải hệ 2(x y+ )=3(3 x y2 +3 xy2)
3 x +3 y =6
Giải:
+ đặt 3 x =u; 3 y =v thì hệ trở thành 2(u3+v3)=3uv u v ( + )
⇔
u v+ = 6
2(u v u+ ) ( 2+v2−uv)=3uv u v ( + )
⇔
u v+ = 6
( + ) − =
12 u v 3uv 18uv 12 36 3[ − uv]=18uv
⇔ ⇔ ⇔
u v+ = 6 u v+ = 6
uv = 8 u= 2 u= 4
⇔ ⇔ hoặc ⇔
u v+ = 6 v = 4 v = 2
x = 8 x = 64
⇔ hoặc
y = 64 y = 8
3 chú ý: có thể biến đổi trực tiếp đưa về quan hệ giữa x, y dưới dạng bậc nhất rồi áp dụng phương pháp thế hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ không căn thức
4 Ví dụ 4: tìm a để hệ x+ +1 y+ =2 a
x y+ = 3a có nghiệm
Giải: đặt x+ =1 u; y + = ≥2 v 0 Hệ đã cho trở thành
u v+ =a ⇔ v= a -u
u2+v2 =3(a+1) f u( )=2u2−2au a+ 2−3a− =3 0 (*)
u, v >0 ⇒ ≤ ≤o u a
+ Với a≤ 0 pt u v+ =a không thoả mãn ⇒ hệ vô nghiệm
Trang 4+ Với a>0 pt (*) cần có nghiệm u∈ 0,[ ]a ⇒ v = a – u ∈ 0,a[ ](do vai trò u, v như nhau) ⇒f u( )= 0 có cả 2 nghiệm tuộc đoạn [ ]0,a Vậy ta có:
∆ ≥' 0
⇔ 2 (0) 0f ≥ ; 2f a( )≥0 ⇔
0< <
2
a
a
− +a2 6a+16 0≥ ⇔ −3 15≤ ≤ +a 3 15
⇔ 2− − ≥ ⇔ ≤3− 21 ≥ 3+ 21
vì (f a( ) ( )=f 0 )
⇔ 3+ 21≤ ≤ +3 15
0 3+ 15
3− 15 3− 21
2
+
3 21
2 + Kết luận: với 3+ 21
2 ≤ ≤ +a 3 15 hệ pt có nghiệm
5 Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ: 2x+ y− =1 m
2y+ x−1
Giải:
+ đặt u = x−1; v = y −1⇒u v, ≥0 Hệ trở thành:
2u2+ =v m−2 (1)
2v2+ =u m−2
Lấy hiệu hai vế của 2 pt ta có: (u v− )(2u+2v − =1) 0
+ Trường hợp u v− = ⇔ =0 u v thế vào 1 trong 2 pt trên ta có:
Trang 52u2+ + −u 2 m=0 Ta thấy nếu ptcó hai nghiệm âm; do đó để pt có nghiệm không âm thì = − ≤ ⇔ ≥ ⇒
1 2
2
2
m
u u m u1≤ ≤0 u2 và
− + −
= 2 = = 1 8 15
4
m
⇒ = = + = +
2
4
m
x y u
+ − ⇒ =1 2
2 2 1
2
u
u v v thế vào (1) ta có
( )=4 2−2 + −5 2 =0
f x u u m pt này có nghiệm
∈
1
1 0, 2
u (vì u, v ≥ 0 và
−
=1 2 ≥ ⇒ ≤0 1
a
∈
0,
v u u vàf x( )= 0 cũng cần có hai nghiệm thuộc đoạn
1 0,
2 điều này tương đương với ∆ ≥' 0 8 −19 0≥ ⇔ ≥19
8
( )≥ ≥
1
4 0 0;4 0
2
f f ⇔ −5 2 ≥ ⇔0 ≤5
2
m m ⇔
0≤ ≤2 1
8 2 ( do ( )=
1 0
2
⇔ 19 ≤ ≤5
8 m 2 và phương trình f u( ) cho hai nghiệm
u u hoặc = 1 u u = 2
v =u 2 v =u 1
=
12
1 8 9
4
m
u và u= x+1;v = y−1
E Hệ pt có chứa giá trị tuyệt đối
1 Ví dụ 1: cho hệ x2+2xy−3y2 =0
x x +y y = −2
+ y = 0 không nghiệm hệ vì khi đó x2 =0
x x = −2 vô nghiệm
+ đặt x = ty⇒y t2( 2 +2t−3)= ⇔0 t2+2t− = ⇒ = −3 0 t 1; 3 với:
t = 1⇒ = ⇒x y 2y y = − ⇒ = − =2 y 1 x
t = -3 ⇒ = −x 3y ⇒ −3y −3y +y y = − ⇒ −2 8y y = −2
= 1, = −3
+Kết luận: hệ có các nghiệm x = = −1y
Trang 6= −3
2
x
= 1
2
y
2 Ví dụ 2: tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
x2−5x+ −4 9x2−5x+ +4 10x x =0 (1)
x2−2(a−1)x a a+ ( −2)=0 (2)
Giải:
• Từ (1) ⇔ x2−5x+ +4 (x2−5x+4)+10x x( −x)=0 (3)
+ Ta thấy 1≤ ≤ ⇒x 4 x2−5x+ ≤4 0 nên (3) trở thành
−(x2−5x+4) (+ x2−5x+4)+10 (x x x− ) 0= với ∀ ∈ 1,4x [ ] nghiệm của pt (1)
là 1≤ ≤x 4
+ Nếu 0≤ <x 1 ⇒x2−5x+ >4 o và x =x nên (3) trở thành:
x > 4
2(x2−5x+4)>0 không có nghiệm
+ Nếu x < 0 ⇒x2−5x+ >4 o và x = −x nên (3) trở thành:
2x2 −10x+ −8 20x2 = ⇔0 18x2+10x− =8 0 pt có nghiệm x = -1; = 8 = 4
18 9
x
loại ⇒ (1) có nghiệm x = -1⇒ vậy pt (1) có nghiệm là x = -1; ≤ ≤1 x 4
• Giải pt (1) ta được 2 nghiệm x2 =a ; x1= −a 2
• Để hệ có nghiệm duy nhất ta cần xét các trường hợp sau:
+ Nếu x1= − = −a 2 1⇒ = ⇒a 1 x2 =1 Hệ lúc đó có 2 nghiệm: -1; 1 không thoả mãn
+ Nếu x2 = = − ⇒a 1 x1= − = − ⇒a 2 3 hệ có 1 nghiệm duy nhất x = −1 thoả mãn + Nếu x1< <1 x2 <4 ⇔ a− < < <2 1 a 4 ⇔ 1< <a 3
1<x1< <4 x 2 1< − < <a 2 4 a 4< <a 6
Khi đó hệ có 1 nghiệm duy nhất là x hoặc 2 x 1
+ Nếu x1= ⇒ = ⇒1 a 3 x2 =3 hệ có 2 nghiệm không thoả mãn
x2 = ⇒ = ⇒1 a 1 x2 = −1 hệ có 2 nghiệm không thoả mãn
+ Nếu x1= ⇒ = ⇒4 a 6 x2 =6 hệ có 1 nghiệm thoả mãn
x2 = ⇒ = ⇒4 a 4 x1=2 hệ có 2 nghiệm không thoả mãn
Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi:
a = -1; 1 <a <3;4< ≤a 6
3 Chú ý: Khi giải hệ có chứa giá trị tuyệt đối cần rất cẩn thận, nếu không dễ bị thiếu sót
Bài tập:
Trang 7Bài 1: Giải hệ x y +y x = 30 (I)
x x y y+ = 35
Bài 2: Giải và biện luận hệ x + y =a (1)
x+y- xy =a (2)
Bài 3: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 2x + x = +y x2+a
x2+y2 =1
Bài 4: Giải hệ
2+ 2 = 82
19
x y (1)
+ 1 = 10− + =10+ + 1