Tài liệu Parabol cơ bảm đến nâng cao doc

Tập các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến ∆ là một Parabol nhận F làm tiêu điểm và ∆ làm đường chuẩn.. Một số tính chất a Parbol y2 = 2px là

C Parabol

I định nghĩa và phương trình

1 Định nghĩa: trong mặt phẳng, cho đường thẳng ∆ và một điểm

F không thuộc ∆ Tập các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến ∆ là một Parabol nhận F làm tiêu điểm và ∆ làm đường chuẩn Số p bằng khoảng cách từ F đến

∆ được gọi là tham số tiêu

2 Phương trình chính tắc

Nếu ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm F p, 0

2



  và đường thẳng ∆ có phương trình: x = p

2

ư , thì trong hệ trục đó, Parabol có phương trình dạng:

y2 = 2px

3 Một số tính chất

a) Parbol y2 = 2px là hình không bị chặn, có 1 trục đối xứng Ox,

đó là đường thẳng qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn Parabol không có tâm đối xứng

b) Nếu điểm Mo (xo, yo) thuộc Parabol, thì MoF là bán kính qua tiêu điểm MoF = xo + p

2 c) Tâm sai của Parbol e = 1

II Tiếp tuyến

Cho Parbol (P) có phương trình y2 = 2px (p > 0)

1 Nếu điểm Mo (xo, yo) ∈ (P) thì tiếp tuyến tại điểm Mo của (P)

có phương trình dạng: yoy = p(x + xo)

2 Đường thẳng ∆ có phương trình Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P): y2 = 2px khi và chỉ khi ta có

B2p = 2AC

3 Nếu điểm Mo (xo, yo) không thuộc Parbol, thì để có tiếp tuyến qua điểm Mo, cần và đủ là y > 2px2o o Khi đó có hai tiếp tuyến qua

điểm Mo Cách viết phương trình tiếp tuyến như sau:

Cách 1 Giả sử T (x1, y1) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Khi

đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

y1y = p(x + x1)

Ta tìm (x1, y1) bởi hệ:

2

y 2px vì T(x , y ) (P)

y y p(x x ) vì tiếp tuyến qua M (x , y )







Cách 2 Xét đường thẳng (∆) qua điểm Mo(xo, yo) Phương trình (∆) có dạng: A (x ư xo) + B(y ư yo) = 0 hay Ax + By ư (Axo + Byo) =

0, (∆)

Đường thẳng (∆) tiếp xúc với (P): y2 = 2px khi và chỉ khi: B2p =

ư2A (Axo + Byo) hay B2p + 2AByo + 2xoA2 = 0

Từ đây, ta tìm được A, B sai khác một hằng số tỷ lệ

III Luyện tập

1 Cho Parabol y2 = 2px, Mo(xo, yo) là điểm trên mặt phẳng sao cho y2o >2pxo Từ M kẻ hai tiếp tuyến đến Parabol, tại các tiếp điểm

T1 và T2 Hãy viết phương trình đường thẳng T1T2

Lời giải:

Giả sử T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) Khi đó tiếp tuyến tại T1 có phương trình dạng: y1y = p (x + x1) Theo giả thiết tiếp tuyến đo qua Mo(xo,

yo), nên ta có:

yoy1 = p (xo + x1) (1)

Tương tự, tiếp tuyến tại T2 (x2, y2) có phương trình dạng: y2y = p (x + x1); Do tiếp tuyến này qua Mo (xo, yo) nên ta có:

yoy2 = p (xo + x2) (2)

Xét đường thẳng ∆ : yoy = p (x + x0) Do các hệ thức (1) và (2)

Ta có T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) ∈ ∆ Do đó phương trình T1T2 là: yoy =

p (x + xo)

2 Cho Parabol y2 = 2px, tìm tập hợp các điểm M, từ đó có thể kẻ

được hai tiếp tuyến tới Parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc

Lời giải: Giả sử M (X, Y) và ∆ là đường thẳng qua M và có hệ số

góc k Phương trình của ∆ có dạng: y ư Y = k(x ư X) hay kx ư y + (Y

ư kX) = 0 Đường thẳng ∆ tiếp xúc với Parabol khi và chỉ khi:

p = 2k (Y ư kX) hay

2X.k2 ư 2Yk + p = 0 (1)

Theo giả thiết, qua M(X, Y) có hai tiếp tuyến với Parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc, nên phương trình (1) có 2 nghiệm k1, k2 mà

k1 k2 = ư 1 hay p 1 X p

2X = ư ⇔ = ư ⇔ M (X, Y) thuộc đường 2 chuẩn của Parabol

3 Cho Parabol (P) có phương trình y2 = 10x và điểm I 5, 5

2

nằm trền (P) Một góc vuông thay đổi quanh I và hai cạnh của góc vuông đó cắt (P) tại M, N khác I Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn qua điểm cố định

Lời giải Giả sử M (10 m2, 10m), N(10n2, 10n)

Khi đó IM 10m2 5,10m 5

2

JJJG

2 5

IN 10n ,10n 5

2

JJG

Ta có IMJJJG ⊥INJJG ⇔ IM.INJJJG JJG =0

25

4

⇔ (2m ư 1) (2n ư 1) [(2m + 1)(2n + 1) + 4] = 0

Vì M,N khác I, nên m 1, n 1

≠ ≠ , nên

IM ⊥IN ⇔ (2m+1)(2n+ + =1) 4 0

JJJG JJG

⇔ 4 mn + 2(m + n) + 5 = 0 (1)

Đường thẳng MN có phương trình:

2

10n 10m

=

ư

ư

⇔ x ư (m + n)y + 10mn = 0 (2)

Thay 2(m + n) = ư 5 ư 4mn từ (1) vào (2), ta có: phương trình MN:

2x + (5 + 4mn)y + 20 mn = 0

hay 4mn (y + 5) + (2x + 5y) = 0

Dễ thấy đường thẳng MN luôn qua điểm A 25, 5

2

III Bài tập tự giải

1 Đề thi Đại học Mỏ địa chất (1998)

Cho Parabol y2 = 64x (P) và đường thẳng ∆: 4x + 3y + 46 = 0 Xác định điểm M trên Parabol sao cho khoảng cách từ M đến ∆ là nhỏ nhất

Đáp số: M (+9, ư 24)

2 Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân 1996

Cho Parabol y = ax2 (a > 0) (P)

a) Đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + 2a cắt Parabol tại hai

điểm Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng ∆ b) Cho điểm A(a, a3, đường thẳng (d) song song với tiếp tuyến tại

A của Parabol, cắt Parabol tại hai điểm MN

Tính tỷ số diện tích của tam giác AMN và diện tích của hình phẳng chắn bởi (d) và Parabol

Đáp số: a) diện tích bằng 9a

2 (đvdt)

b) 3

4

3 Cho Parabol (P) y2 = 4x Một đường thẳng bất kỳ qua tiêu

điểm của Parabol và cắt (P) tại hai điểm A, B Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A, B đến trục của Parabol là một đại lượng không

đổi

4 Cho (P): y2 = 2px, tiêu điểm F ∆ là tiếp tuyến của (P) tại tiếp

điểm M (xo, yo)

a) Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ F tới ∆ nằm trên tiếp tuyến tại đỉnh O của Parabol

b) Chứng minh rằng điểm k’ đối xứng với điểm F qua ∆ nằm trên

đường chuẩn của (P) Chứng tỏ rằng k’ là hình chiếu của M (xo, yo) lên đường chuẩn (D)

c) Đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại L Chứng minh rằng O là trung

điểm của NL, ở đó N là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox d) Pháp tuyến tại M của Parabol cắt Ox tại Q Chứng minh rằng

đoạn NQ không đổi, khi M thay đổi trên (P)

5 Các đề 2, 8, 12, 23, 30, 36, 146, 150 trong bộ đề thi tuyển sinh

đại học

Phần II Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 1 Véc tơ và tọa độ trong không gian

I Nhắc lại lý thuyết

1 Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian: Hệ thống

ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau được gọi là

hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian Kí hiệu Oxyz hay {O, e , e , e1 2 3}

JJG JJG JJG

, ở đó e , e , e là các véctơ đơn vị định hướng trục 1 2 3 JJG JJG JJG

Trục Ox gọi là trục hoành

Trục Oy gọi là trục tung

Trục Oz gọi là trục cao

2 Tọa độ của điểm và của véc tơ

Cho hệ trục tọa độ Oxyz M là điểm trong không gian Hạ MM’ vuông góc với mặt phẳng xoy Ta có véc tơ OMJJJJG = OM 'JJJJJG +M ' MJJJJJJG

3

= OMJJJJJG1+OMJJJJJG2 +OMJJJJJG

= xeJJG1+yeJJG2 +zeJGJ3

Vậy điểm M tương ứng với cặp ba số sắp thứ tự (x, y, z), được gọi

là các tọa độ của M, kí hiệu M(x, y, z)

Cho véc tơ trong không gian, khi đó có duy nhất điểm N sao cho

aG

aG =ONJJJG, tương tự ta có aG = ONJJJG =a e1 1JJG+a e2 2JJG +a e3 3JJG

Như vậy, mỗi véctơ a

G , có duy nhất cặp ba số (a1, a2, a3) để Cặp (a

1 1 2 2 3 3

a =a e +a e +a e

G

1, a2, a3) sắp thứ tự đó được gọi là các tọa độ của véctơ a , kí hiệu a

G

= {a , a , a1 2 3}hay a

G

(a , a , a 1 2 3)

3 Biểu thức tọa độ của các phép toán trên véctơ

a) Giả sử M(x1, y1, z1), N(x2, y2, z2) Khi đó tọa độ của véctơ

MN = x ưx , y ưy , z ưz

G

JJJJG

G b) Cho a = {a , a , a1 2 3}; b = {b , b , b1 2 3}; k ∈ R Khi đó:

aG+ =bG a +b ; a +b ; a +b

aGư =bG a ưb ; a ưb ; a ưb

k = aG {

}

ka , ka , ka

c) Tích vô hướng của hai véctơ a, b

G G

kí hiệu:

m

1 1 2 2 3 3 a.bG G = a b cos(a, b)G G G G = a b +a b +a b

Khi aG = bG, ta có: 2 2 2 2

aG =a.aG G = aG = a +a +a23 Như vậy

1 a2 32 12 22 2

aG = a + +a ; bG = b +b +b3 và

cos a, b

a b

=

G G

G G

a b a b a b

aG ≠0, bG G ≠ 0G

0

Chú ý: aG ⊥ ⇔bG a.bG G =

4 Tích có hướng của hai véc tơ

a) Cho hai vectơ aG =(a , a , a1 2 3), bG =(b , b , b1 2 3)

a, b

Ta gọi tích có hướng của hai véc tơ

G G theo thứ tự đó là một véctơ, kí hiệu

có các tọa độ là:

a, b

G G

G G

b) Tính chất của tích có hướng:

1 a, b  ⊥a, a, b ⊥b

2 a, bG G = 0G khi và chỉ khi a, b G G

cùng phương

3

n

a, b a b sin a, b 





G G

và như vậy độ lớn của véc tơ

có số đo bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai véc tơ a,

a, b

G G

b

4 a, b  = ư b, a

5 Tính hỗn tạp của ba véctơ

a) Cho ba véc tơ a, b, c

G G G Ta gọi tích hỗn tạp của ba véc tơ a, theo thứ tự đó là con số

b, c

G G G ( , b, c) a, b c

D aG G G =  G G G b) Tính chất của tích hỗn tạp:

1 D a, b, c(G G G)=0 khi và chỉ khi ba véctơ a, b, cG G G

đồng phẳng

2 Nếu D a, b, c(G G G) ≠0, thì D( a, b, cG G G

c

) có số đo bằng thể tích của hình hộp dựng trên ba véc tơ a, b, G G G

6 Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước

Cho hai điểm A(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2) và một số k ≠ 1 Điểm M

được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k nếu MA = kMB Nếu M (x, y, z) thì: x1 kx2

1 k

ư

=

ư

x , y y1 ky2,

1 k

ư

=

z kz

1 k

z = ư

ư JJJJG JJJG

II Luyện tập

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D trong không gian; Gọi I là trung

điểm của AB, J là trung điểm của CD, G là trung điểm của IJ

a) Chứng minh rằng GAJJJG+GBJJJG+GCJJJG+GDJJJG = OJG

b) Với mọi M trong không gian, ta có:

MAJJJJG+MBJJJG +MCJJJJG+MDJJJJG =4MGJJJJG

c) Tìm điểm M trong không gian để MA2 + MB2 + MC2 + MD2

nhỏ nhất

Lời giải:

Câu a) và b) dễ dàng chứng minh

c) Ta có:

2

MA = MAJJJJG = MGJJJJG+GAJJJG = MG +GA2 +2MG.GAJJJJG JJJG

Tương tự

2

MB =MBJJJG = MGJJJJG+GBJJJG = MG +GB +2MG.GBJ G JJJG

JJJJG JJJG

MC2 = MG2 +GC2 +2MG.GC

MD2 = MG2 +GD2 +2MG.GDJJJJG JJJG

Từ đó:

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2

+

2MG GAJJJJG JJJG( +GBJJJG+GCJJJG+GDJJJG)+

Do GAJJJG+GBJJJG+GCJJJG+GDJJJG = O

JG nên

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + (GA2 + GB2 + GC2 +

GD2)

Từ đó Do GA2 + GB2 + GC2 + GD2 là hằng nên MA2 + MB2 +

MC2 + MD2 min ⇔ M ≡ G

Bài 2 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là

điểm chia đoạn AD’ theo tỷ số k 1

2

= ư , N là điểm chia đoạn BD theo tỉ số k = ư 2 Chứng tỏ rằng MN là đường vuông góc chung của

BD và AD’

Giải

Cách 1:

Đặt ABJJJG =a, ADG JJJG = b, AA 'G JJJJG = c.G Ta có aG = bG = cG = a và a, vuông góc với nhau đôi một

b, c

G G G

Theo giả thiết, ta có:

1

3

=

JJJJG JJJJG

'

NBJJJG = ư2NDJJJG ⇒ABJJJGưANJJJG = ư2 ADJJJGưANJJJG

Vậy AN 1AB 2AD

JJJG JJJG JJJG

JJJJG JJJG JJJJG G G G G

G

Ta có: AD 'JJJJG = +bG c, BDG JJJG = ưbG c

.AD ' a b c (b c) 0

3

MNJJJJG JJJJG = G + ưG G G +G =

1

3

JJJJG JJJG G G G G G

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD

Cách 2: Có thể chứng minh dựa vào kiến thức hình học không

gian lớp 11

Bài 3 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng

a) ABJJJG ⊥ CDJJJG ⇔ AC2 + BD2 = AD2 + BC2



⊥



JJJG JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG

Lời giải

a) AC2 + BD2 = AD2 + BC2 ⇔ ACJJJG2 ưADJJJG2 =BCJJJG2 ưBDJJJG2

⇔ (ACJJJG ưADJJJG)(ACJJJG +ADJJJG) (= BCJJJGưBDJJJG)(BCJJJG+BDJJJG)

⇔ DC ACJJJG JJJG( +ADJJJG ưBCJJJGưBDJJJG)= O

⇔ DC.(AC ưBC) (+ ADưBD) =O

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

⇔ 2DC.ABJJJG JJJG = ⇔0 ABJJJG ⊥ CDJJJG

b) Theo câu a) do ABJJJG ⊥ CDJJJG nên ta có:

AC2 + BD2 = AD2 + BC2 (1)

Do ADJJJG ⊥BCJJJG nên ta có:

AB2 + DC2 = AC2 + BD2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AD2 + BC2 = AB2 + DC2 (3)

Từ đó ACJJJG ⊥ BDJJJG do kết quả trong a)

III Bài tập tự giải

1) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q là các

điểm xác định bởi

APJJJG = ưAD ',JJJJG C ' QJJJJJG = ưC ' DJJJJJG

1 Chứng minh rằng PQ qua trung điểm M của đoạn thẳng BB’

2 Tính độ dài PQ

Đáp số: PQ = 17.a

2) Đề thi Đại học xây dựng (1998)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và C1 xuống mặt phẳng (B1CD1) Chứng minh rằng AHJJJG = 2KCJJJJG1

3) Cho tam giác ABC trong không gian

1 Tìm các điểm M trong không gian sao cho

AM.CBJJJJG JJJG = AB.CMJJJG JJJJG

2 Gọi AD là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC, D ∈ (BC)

Hãy biểu diễn véctơ AD

JJJG theo các véctơ AB và AC

JJJG JJJG

4) Đề thi Đại học Giao thông vận tải (2000)

Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’, các cạnh của nó có độ dài bằng 1 Trên các cạch BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho:

B’M = CN = D’P = a (0 < a < 1)

Chứng minh rằng

a) MNJJJJG = ưαABJJJG+ADJJJG + α ư( 1)AA 'JJJJG

b) AC '

JJJJG

vuông góc với mặt phẳng (MNP)

5 Các đề 88, 92, 111, 115, 120, 123 bộ đề thi Đại học ư NXBGD

ư 1996

Bài 2 Phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng

I Nhắc lại lý thuyết