* Ghi chú trong quá trình giải và đánh máy, không tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm mong bạn đọc góp ý chân thành theo địa chỉ: info@123doc.org.[r]
Trang 1Bổ sung câu nghiệm nguyên
ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (CHUYÊN) TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2011-2012
Thời gian làm bài 150’
Ngày thi 08/07/2011
Câu 1 (2điểm):
Cho biểu thức:
:
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P tại x 4 2 3 4 2 3
Giải:
a) ĐKXĐ:
2 2
4 ( 4) 0
0
4 1 19
0
3
x
x x
x
x
P
b) x 4 2 3 4 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2
Thay x=2 vào P ta có
2 2
2
2 4
P
Câu 2 (2điểm):
a) Giải phương trình: 2x23210x315x0
b) Số học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước năm học 2010-2011 là một số tự nhiên ab; với a, b thỏa mãn hệ phương trình:
a b ab
a b ab
hãy tìm số học sinh giỏi của trường năm học trên.
Giải:
a) Giải phương trình:
1
2
x
x
(vì 2x 2 3 0)
Trang 2Vậy tập nghiệm của pt là:
3 1;
2
s
b)
a b
từ (1) suy ra
71 12 7
b
a
thế vào (2) ta có
2
3
3
Vậy số học sinh giỏi của trường là: 53
Câu 3 (2điểm):
a) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a b c 3
Chứng minh:
1ab1bc1ca2 Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x6 2x y y3 2 128.
Giải:
a) Theo BĐT Côsi ta có x y z 33 xyz
3
1 1 1
3 xyz
x yz
x y z 1 1 1 9 1 1 1 9
x y z x y z x y z
Áp dụng BĐT trên ta có
A
ab bc ca ab bc ca
Ta có BĐT phụ
2 3
a b c
ab bc ca
Ta có
2 2
3
3
a b b c c a a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca
a b c
a b c ab bc ca ab bc ca
mà a b c 3 nên
2 32
3
a b c
ab bc ca
Do đó:
A
ab bc ca
Dấu bằng xảy ra khi
1 3
ab bc ca
a b c
Trang 3Cách 2:
Tương tự ta có
;
ab bc ca
ab bc ca
Cần chứng minh BĐT phụ
2 3
a b c
ab bc ca
Tương tự như trên
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
3
3 3
3
3 3
3
3 3
3
3
0
)
2 8
8
16
)
2 8
8
16
)
2 8
8
0 8
)
8
y
x x
x
y
x x
x
y
x x
x
y
x y
x
0 2 8
y x x
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là (x;y)=(2;0); (2;16); (-2;-16); (-2;0).
Cách 2:
Đặt: x3 t khi đó ta có pt:
2
2t 2yt y 128 4t 4yt2y 256 2t y y 16 0 0 16
Cách 3:
Đặt: x3 t khi đó ta có pt: 2t2 2yt y 2 128 2t2 2yt y 2128 0; t/ y2256
Pt có nghiệm t/ 0 y2256 0 16 y 16
Thế y vào pt ta tìm được x.
Trang 4Câu 4 (4điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O dường phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại điểm M ( khác điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ M của (O) cắt các tia AB và
AC lần lượt ở D và E.
a) Chứng minh: BC song song với DE.
b) Chứng minh: AMBMEC ; AMCMDB Cho AC CE
AB AC
AM
( lưu ý: thí sinh có thể sử dụng định lí Ptô-lê-mê “nếu VLTC là tứ giác nội tiếp, thì
VT.LC=VL.TC+VC.LT ” để chứng minh ý d )
a) Chứng minh: BC song song với DE.
1
1
B sñAC
2
D sñACM sñMB sñAC sñCM sñMB
mà A 1 A 2 sñCM sñMB
Do đó B1 D và
1
B ,D đồng vị
nên BC song song DE.
b) Chứng minh: AMB MEC ; AMC MDB
ta có
CME BAM ( cùng bằng góc A 2 ) (1)
1
BMA C ( cùng chắn cung AB ) (2)
1
O
C
B
A
M
1
12
1
B '
Trang 5từ (1) và (4) suy ra AMB MEC (g-g)
* chứng minh tương tự ta có AMC MDB (g-g) - thí sinh phải chứng minh
c) Cho AC CE Chứng minh: AM2 MD ME
Vì AMB MEC
MA MB
MA MB
Lại có: AMC MDB
MB MD
từ (5) và (6) suy ra
MA MD
MA MD ME
AB AC
AM
trên tia đối của tia AC lấy điểm B’ sao cho CB’=AB (7)
MBA MCB' ( cùng bù góc MCA) (9)
từ (7), (8) và (9) suy ra MBA= MCB’ (c-g-c)
Mặt khác:
Theo BĐT tam giác
Mà AB’= AC+CB’=AC+AB
Do đó AM+MB’>AB’=AB+AC
AB AC
AM
(đpcm)
* Ghi chú trong quá trình giải và đánh máy, không tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm mong bạn đọc góp ý chân thành theo địa chỉ: info@123doc.org