MỘT SỐ BÀI HAY TRONG ĐỀ THI HSG TOÁN MTCT TỈNH BÌNH ĐỊNH 2013 Nhận xét : Đề thi năm nay hay vì không chỉ yêu cầu HS biết tính toán tốt, nhanh nhẹn mà còn đòi hỏi học sinh có kĩ năng suy [r]
Trang 1MỘT SỐ BÀI HAY TRONG ĐỀ THI HSG TOÁN MTCT TỈNH BÌNH ĐỊNH 2013
Nhận xét : Đề thi năm nay hay vì không chỉ yêu cầu HS biết tính toán tốt, nhanh nhẹn mà còn
đòi hỏi học sinh có kĩ năng suy luận, phân tích… tránh được sự rập khuông các kiểu bài thường gặp.
-Đặc biệt có nhiều bài toán không khó nhưng nhiều học sinh không làm được vì không xử lý được trước khi tính toán Ví dụ như những bài sau:
Bài 1: Tính
1 2 2 1 2 3 3 2 99 100 100 99
Bài này khá đơn giản nhưng nhiều HS giải sai vì viết công thức
sai
Do đó:
1 2 2 1 2 3 3 2 99 100 100 99
10
( có thể tính trên máy:
99 1
1
x x 1 x 1 x
) Đây là bài toán quen thuộc ở chương trình toán 9:
Bài 2: Cho đa thức f(x) biết f(0) = 0; f(x+1)= f(x)+2x+1 Tính f (…).
Để tính f(n) ta phải xác định được công thức f(n) Có hai cách:
Cách 1: Tìm quy luật
Ta có: f(0) = 0 = 02
f(1) = f(0)+2.0+1= 1=12
f(2)=f(1)+2.1+1= 4=22
f(3)=f(2)+2.2+1=9=32
Dự đoán f(n) = n2 (1) Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp toán học:
Ta có (1) đúng với n = 0 Vì f(0) = 02 đúng
Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là f(k) = k2
Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là chứng minh : f(k+1)=(k+1)2
Ta có f(k+1) = f(k) + 2k+1= k2+2k+1=(k+1)2 đúng
Vậy f(k) = k2
Cách 2: Ta có: f(1) = f(0)+2.0+1
f(2)=f(1)+2.1+1 f(3)=f(2)+2.2+1
f(n-1)=f(n-2)+2.(n-2)+1 f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được:
Trang 2
2
n n 1 f(x) f(x) 2 1 2 3 n 1 1 1 1 f(x) 2 n f(x) n
2
( để thuận tiện tôi dùng kí hiệu
)chuyển vế thu gọn ta được: f(n) = n2 Lúc này muốn tính giá trị của đa thức tại bao nhiêu mà chẳng được
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 17n -1 25
Bài nay cũng không khó nhưng lại có nhiều học sinh lúng túng vì không giới hạn được:
Ta có 17n
-1 25 17n -1 có 2 chữ số tận cùng là 00; 25; 50 ; 75 17n có 2 chữ số tận cùng
là 01; 26; 51 ; 76 mà 7n
chỉ có thể có chữ số tận cùng là 1; 3; 7 ;9 17n có 2 chữ số tận cùng là 01 hoặc 51 mà để 7n có chữ số là 1 thì n = 4k ( với k ) 17n có 2 chữ số tận cùng là 01 hoặc 51 và
n = 4k ( với k )
Ta có 174 21 (mod 100)
178 (21)2 41(mod 100)
1712 (21)3 61(mod 100)
1716
(21)4
81(mod 100)
1720
(21)5
01(mod 100)
1724
1720 174
01.21 21(mod 100)
1728 1720 178
01.41 41(mod 100)
1732 1720 1712
01.61 61(mod 100)
1736 1720 1716
01.81 81(mod 100)
1740 1720 1720
01.01 01(mod 100)
1744 1740 174
01.21 21(mod 100)
Ta thấy 174k có 2 chữ số cuối cùng lặp đi lặp lại là 21; 41; 61; 81; 01 và 174k chỉ có hai chữ số cuối là 01 khi n = 4k = 20 m (với m )
Vậy 17n
-1 25 n = 20 m (với m )
Bài 4: Cho ∆ ABC cân tại A có Â=200 Trên cạnh AB lấy điểm D
sao cho AD = BC Lập quy trình tính tan ACD
Đặt AD=BC = a ; AC = b Vẽ DH AC => DH =a.sin200 và AH = a.cos 200
Lại có:
0 0
a b b a.sinB a.sin80
sinA sinB sinA sin20 => HC= b-AH =
0
0 0
a.sin80 a.cos20 sin20
=> tan ACD =
DH a.sin20 : a.sin80 a.cos20 sin 20