Giáo án- Chương 5: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên

Giáo án- Chương 5: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên

Chương V CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ

CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1 Các đặc trưng số

Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó (giúp

ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là các đặc trưng số

1.1 Mod[X] (mode)

Định nghĩa

Mod[X] là giá trị mà tại đó X nhận xác suất lớn nhất (nếu X rời rạc) hay hàm mật độ đạt cực đại (nếu X liên tục)

VD Cho X rời rạc có luật phân phối

X 0 1 2 4 5 8

PX 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1

1.3 Kỳ vọng toán M(X)

1.3.1 Định nghĩa

Cho X rời rạc có phân phối

X x1 x2 … xi … xn

PX p1 p2 … pi … pnthì

VD Trong bình đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác trọng lượng gồm 5 quả nặng 1kg, 2 quả 2kg và

3 quả 3 kg Lấy ngẫu nhiên 1 quả, gọi X là trọng lượng quả cầu đó X có luật phân phối

X 1kg 2kg 3kg

PX 0,5 0,2 0,3

Suy ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8kg

Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên X, là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó

1.3.2 Ý nghĩa

a/ Trường hợp X rời rạc

1.4.1 Định nghĩa

2

D(X) = M{[X - M(X)] }

hoặc D(X) = M[(X - m) ], 2 m= M(X)

Công thức thường dùng

Bài 1 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Xác suất sinh con trai là 0,51 Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh Tính kỳ vọng và phương sai của X

Bài tập

Bài 2 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra Tính kỳ vọng và phương sai của X

Bài 3 Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 1000 USD, phí bảo hiểm là 10 USD Hỏi công ty đó có lãi không ?

Bài 4 Một người mua 1 vé xổ số trị giá 2.000 đồng Biết rằng vé số có 6 chữ số Cơ cấu trúng giải:

+ Một giải 8 trúng 2 chữ số cuối thưởng 20.000đ

+ Một giải 7 trúng 3 chữ số cuối thưởng 50.000đ

+ Năm giải 6 trúng 4 chữ số cuối thưởng 100.000đ + Hai giải 5 trúng 4 chữ số cuối thưởng 200.000đ + Ba giải 4 trúng 5 chữ số cuối thưởng 500.000đ

+ Hai giải 3 trúng 5 chữ số cuối thưởng 1 triệu

+ Một giải nhì trúng 5 chữ số cuối thưởng 2 triệu

+ Một giải nhất trúng 5 chữ số cuối thưởng 5 triệu

§2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y)

2.1 Đặc trưng của phân phối có điều kiện

2.1.1 Trường hợp rời rạc

a/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = yj

b/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y

+ M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị M(X/yj) khi Y = yj và Y(Y ) = M(X / Y )

+ M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị M(Y/xi) khi X = xi và Y(X) = M(Y / X)

2.1.2 Trường hợp liên tục

M(X / y) = ị xf(x/ y)dx = Y(y)M(Y / x) = ị yf(y/ x)dy = Y(x)

2.2 Kỳ vọng của hàm 1 vector ngẫu nhiên (rời rạc) Cho (X, Y) có phân phối P[X=xi, Y=yj] = pij và

VD Cho Z = j (X, Y ) = X + Y và bảng sau