Khảo sát chuyển động của một vật thể trong môi trường có ma sát bằng phần mềm maple 17

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài

Hiện nay, sự phát triển của khoa học công nghệ đã làm tăng tầm quan trọng của máy tính, đặc biệt trong giáo dục và nghiên cứu Con người ngày càng sáng tạo nhiều chương trình hỗ trợ dạy và học, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về hiệu quả và tiết kiệm thời gian trong việc giải quyết các bài toán, phần mềm Maple đã được phát triển để đáp ứng nhu cầu này.

Lý do lựa chọn đề tài

Hiện nay, sự phát triển của khoa học công nghệ đã làm cho máy tính trở thành công cụ quan trọng trong giáo dục và nghiên cứu Để nâng cao chất lượng dạy học, nhiều chương trình đã được phát triển nhằm hỗ trợ việc dạy và học Người dùng ngày càng yêu cầu các giải pháp hiệu quả, nhanh chóng và tiết kiệm thời gian Phần mềm Maple ra đời để đáp ứng nhu cầu này, giúp giải quyết các bài toán một cách đơn giản và hiệu quả.

Việc khảo sát chuyển động của vật trong trường có ma sát là một bài toán khó, đòi hỏi các phương pháp giải gần đúng Phần mềm Maple là công cụ mạnh mẽ giúp tính toán các biểu thức và giải số Ứng dụng Maple trong việc tìm lời giải gần đúng cho các bài toán chuyển động của vật thể trong trường có ma sát không chỉ quan trọng mà còn giúp sinh viên làm quen với nghiên cứu khoa học.

Mục tiêu đề tài

 So sánh nghiệm số với nghiê ̣m giải tích của bài toán về chuyển động của một vật thể trong trường có ma sát.

 Đánh giá và bàn luận về các kết quả thu được

 Thu thập tư liệu từ internet, sách báo.

 Giải số bằng phần mềm Maple, chạy chương trình.

 So sánh với kết quả khảo sát bằng giải tích.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Bài toán chuyển động của vật thể trong trường ma sát.

 Khảo sát chuyển đô ̣ng của vâ ̣t có vâ ̣n tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vâ ̣n tốc ánh sáng.

 Vật thể chuyển động trong môi trường khí, lỏng.

 Nghiên cứu vận dụng một số công cụ tính toán của Maple 17 để tính toán những vấn đề liên quan trong đề tài.

 Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Mở rộng nghiên cứu lực cản 2 thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối.

Chương 1: TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MỘT SỐ TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

1.1 Hàm số và đồ thị

Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như: a Các hàm số cho số nguyên (Integer)

Trong toán học, các hàm số sau đây có ý nghĩa quan trọng: hàm abs(x) tính trị tuyệt đối của x, min(x1, x2, …) tìm giá trị nhỏ nhất trong tập hợp x1, x2, …, trong khi max(x1, x2, …) xác định giá trị lớn nhất Hàm irem(m, n) trả về dư số trong phép chia m/n, và hàm iquo(m, n) cho thương số trong phép chia m/n Để tìm ước số chung lớn nhất, sử dụng igcd(n1, n2, …), còn ilcm(n1, n2, …) giúp xác định bội số chung nhỏ nhất Hàm isprime(n) kiểm tra tính nguyên tố của số n, nextprime(n) tìm số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n, và prevprime(n) tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn n Cuối cùng, ithprime(n) cho biết số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố, trong khi ifactor(n) cung cấp thừa số nguyên tố của n.

Ví dụ: b Các hàm số cho số thực (Float)

Hàm số exp(x) biểu thị e mũ x, trong khi ln(x) hay log(x) là logarit nêpe (cơ số e) của x Logarit thập phân được ký hiệu là log10(x) hoặc lgx, và logarit cơ số b được ký hiệu là log[b](x) Hàm căn bậc hai được biểu diễn bằng sqrt(x) Các hàm lượng giác bao gồm sin(x), cos(x), tan(x), và cot(x), tương ứng với các ký hiệu sinx, cosx, tgx, cotgx Hàm sec(x) và csc(x) được định nghĩa là 1/cosx và 1/sinx Các hàm nghịch đảo là arcsin(x), arcos(x), arctan(x), và arccot(x), tương ứng với arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx Cuối cùng, hàm sinh(x) và cosh(x) được sử dụng để tính tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) và coth(x) = cosh(x)/sinh(x).

 Biểu diễn biểu thức: theo Maple

 Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx c Các hàm số cho số phức (complex)

Re(z) Phần thực của số phức z

Im(z) Phần ảo của số phức z argument(z) Argument của số phức z abs(x) môđun của số phức z

1.1.2 Vẽ đồ thị hàm số a Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, option1, option2, …);

 f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x

 h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a b

 v: miền dọc (vertical range) tùy chọn

The article outlines the various options for customizing a graph, including the title, which can be set as "graph title," and the title's font attributes such as family, style, and size Additionally, it discusses color settings and styles, which can include point, line, or patch formats The smoothness of the graph is determined by the number of points drawn, while the axes can be configured to none, normal, boxed, or framed Lastly, it mentions the inclusion of a legend, which consists of a list of annotations.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx (màu đỏ, từng điểm) và (màu xanh, kiểu line)

Khi viết lệnh plot không dùng x = -3 3 mà dùng -3 3

Hình 1.3 b Hàm dạng tham số

 Hệ tọa độ Descartes: plot([x(t), y(t), t = a b], option);

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị đường asteroid

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

 Hệ tọa độ cực: plot([r(t), ,t=t0 t1], coords = polar, option);

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số r = 2sin3

Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots, implicitplot);

Và vẽ bằng lệnh: implicitplot (F(x,y), x=a b, y=c d):

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm ẩn: x 3 + y 3 – 3xy = 0

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị x 2 – y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4

Dùng lệnh: plot3d (expr1, x=a b, y=c d, options) plot3d (f, a b, c d, options) plot3d ([exprf, expfg, exprh], x=a b, y=c d, options) plot3d ([f, g, h], a b, c d, options)

Trong đó: expr1, exprf, exprg, exprh là biểu thức chứa x, y f, g, h là các hàm hai biến options bao gồm các lựa chọn sau:

 coords = c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical (trụ), spherical (cầu)

 orientation = [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham số ( ) trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45].

 Projection = r: chọn chiếu phối cảnh với r [0,s1], r=0 (‘FISHEYE’), r=0.5

(‘NORMAL), giá trị ngầm định (default) là r=1 (‘ORTHOGONAL’).

 style = s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh ghép – default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức), PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE.

Ví dụ: Vẽ đồ thị z = x 2 + y 2 trong miền D: -10 x 10 và -10 y 10

Câu lệnh: int(expr, x): Tích phân bất định int(expr, x=a b, …): Tích phân xác định

Expr – một biểu thức đại số x – tên biến tích phân a, b – cận tích phân

Ví dụ 1: Tính tích phân bất định

Ví dụ 2: Tính tích phân xác định

Ví dụ 3: Tính tích phân suy rộng

Câu lệnh : dsolve(ODE); dsolve({ODE, ICs}, y(x), Options);

ODE – phương trình vi phân thường ( y(x) – hàm 1 biến độc lập

Options – tùy chọn bao gồm: implicit (dạng ẩn), explicit (dạng hiện – ngầm định), useInt (Dạng tích phân), series (chuỗi), numeric (dạng số)…

ICs – điều kiện ban đầu (để tìm nghiệm riêng) dạng y(a) = b, D(y)(a) = c,

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: y’ = y.tgx

Trong đó _C1 là hằng số tùy ý.

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân: y’ 12

Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân: y’ Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân: xy’’ = y’ln(

Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân: y’’ - = x(x-1) thỏa điều kiện: y(2) = 1, y’(2) = -1

Ví dụ 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: yy’’-y’ 2 =0 thỏa: y(0)=1, y’(0)=2

Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân: xy’’ + y’ + 4x 2 y = 0

Chương 2: SƠ LƯỢC VỀ CÁC LỰC CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG

2.1 Lực cản do ma sát

Khi chất lưu có vận tốc thấp và ở trong lớp biên với chế độ chảy thành lớp, chất lưu sẽ chảy quanh vật một cách nhịp nhàng mà không bị đứt đoạn Các đường dòng trong trường hợp này tương tự như trong hiện tượng chảy lượn của chất lưu lý tưởng.

Trong trường hợp chất lưu lý tưởng chảy quanh quả cầu, tổng các áp lực tác động lên bề mặt quả cầu bằng 0 nhờ sự đối xứng của các đường dòng Điều này cũng áp dụng cho trường hợp chất lưu nhớt, khi tổng các áp lực vuông góc với mặt cầu cũng sẽ bằng 0.

Lực tác dụng lên quả cầu do chất lưu gây ra là lực ma sát γdS, ảnh hưởng đến từng phần tử của mặt cầu Ứng suất γ phụ thuộc vào gradient vận tốc, mà gradient này lại liên quan đến độ dày của lớp biên Lớp biên mỏng nhất xuất hiện tại các điểm C và D, trong khi lớp dày nhất ở các điểm A và B Do đó, gradient vận tốc và ứng suất γ sẽ đạt giá trị cao nhất tại các điểm C và D, và thấp nhất tại các điểm A và B Từ đó, lực tổng hợp được hình thành.

Lực ma sát Fms của tất cả các lực phụ thuộc vào độ nhớt η, vận tốc tương đối v0 (vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn) và bán kính R của cầu, do sự đối xứng của sự chảy mà hướng theo dòng.

Ta xác định được x, y, z bằng tính chất thứ nguyên: thứ nguyên của vế trái bằng thứ nguyên của vế phải.

Thứ nguyên của vế trái: [F ms ] [M][ ][ ]L T  2 (2)

Thứ nguyên của vế phải:

So sánh (2) và (3) ta được hệ phương trình:

Từ đó ta tìm được: x = 1, y = 1, z = 1

Trong đó k là hê ̣ số không có thứ nguyên

Phép tính chính xác ms ms

Kết quả ta thu được công thức Stokes: Fms= 6πηRv0 (4)

Lực nhớt tác dụng lên quả cầu tỷ lệ thuận với hệ số nhớt, bán kính R và vận tốc chuyển động tương đối v0 của quả cầu Công thức Stokes chỉ ra rằng lực nhớt Fms phụ thuộc một cách tuyến tính vào v0.

Công thức Stokes cho phép xác định vận tốc ổn định của một quả cầu nhỏ rơi trong chất lưu nhớt, từ đó giúp đo hệ số nhớt η.

2.2 Lực cản do áp suất:

Thí nghiệm cho thấy khi tăng vận tốc dòng, tại một thời điểm nhất định, sự chảy xung quanh vật sẽ thay đổi đột ngột Đằng sau vật, các xoáy sẽ tách ra và bị dòng cuốn đi xa, tạo thành các rãnh xoáy và dần tan biến ở một vị trí cách xa vật Quá trình này cho thấy dòng chảy xung quanh vật và các rãnh xoáy hình thành một lớp chảy riêng biệt.

Vật có hình dạng đối xứng thường tạo ra hai xoáy phía sau, với mômen xung lượng bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều Điều này tuân theo định luật bảo toàn mômen xung lượng trong hệ kín giữa vật và chất lưu.

Các xoáy hình thành làm phá vỡ tính đối xứng trong phân bố chất lưu trên mặt trụ Nếu áp suất trong vòng chất lưu không bị nhiễu loạn và giữ ở mức p0, thì trong khu vực có xoáy sẽ có áp suất nhỏ hơn p0.

Mă ̣t khác trong miền tiếp giáp với mă ̣t trước của hình trụ (điểm A) áp suất chất lưu theo định luâ ̣t Bernoulli bằng 0 0

Tổng áp lực phân bố trên mặt trụ không bằng 0 do sự đối xứng, và lực cản do áp suất Fa sẽ hướng theo dòng Hiệu của áp suất ở trước và sau hình trụ là yếu tố quan trọng trong việc xác định lực này.

Tổng hợp lực tỉ lệ với mật độ chất lưu và bình phương vận tốc tương đối v0 Lực tổng hợp F cũng phụ thuộc vào kích thước của vật, ảnh hưởng đến miền xoáy phía sau vật.

Kích thước đặc trưng của vật ảnh hưởng đến độ lớn của các lực cản Fa Cụ thể, diện tích tiết diện S của vật, được xác định là mặt phẳng lớn nhất vuông góc với dòng tiết diện tiền đầu, là yếu tố quan trọng Tóm lại, lực cản Fa phụ thuộc vào mật độ ρ, diện tích S và vận tốc v0, và có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát.

Và áp dụng phương pháp thứ nguyên đã mô tả ở trên ta tìm thấy : x=1, y=1, z=2.

Như vâ ̣y ta đi tới định luâ ̣t về lực cản chính diê ̣n khi ở đằng sau vâ ̣t xuất hiê ̣n các xoáy:

Nội dung nghiên cứu

 Nghiên cứu vận dụng một số công cụ tính toán của Maple 17 để tính toán những vấn đề liên quan trong đề tài.

 Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Mở rộng nghiên cứu lực cản 2 thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối.

TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MỘT SỐ TÍNH TOÁN LIÊN

Hàm số và đồ thị

Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như: a Các hàm số cho số nguyên (Integer)

Hàm số abs(x) trả về trị tuyệt đối của x, trong khi min(x1, x2, …) xác định giá trị nhỏ nhất trong tập hợp x1, x2, … và max(x1, x2, …) tìm giá trị lớn nhất Hàm irem(m, n) tính dư số trong phép chia m/n, còn iquo(m, n) cho thương số Hàm igcd(n1, n2, …) tìm ước số chung lớn nhất của n1, n2, … và ilcm(n1, n2, …) xác định bội số chung nhỏ nhất Để kiểm tra tính nguyên tố, sử dụng isprime(n), trong khi nextprime(n) trả về số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n và prevprime(n) tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn n Cuối cùng, ithprime(n) cung cấp số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố, và ifactor(n) cho thừa số nguyên tố của n.

Ví dụ: b Các hàm số cho số thực (Float)

Hàm số exp(x) biểu thị hàm mũ với cơ số e, trong khi ln(x) hay log(x) là logarit nêpe của x Logarit thập phân được ký hiệu là log10(x) hoặc lgx, và logarit với cơ số b là log[b](x) Hàm căn bậc hai được biểu diễn bằng sqrt(x) Các hàm lượng giác bao gồm sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) với các ký hiệu tương ứng là sinx, cosx, tgx, cotgx Các hàm sec(x) và csc(x) được tính là 1/cosx và 1/sinx Các hàm nghịch đảo gồm arcsin(x), arcos(x), arctan(x), arccot(x) tương ứng với arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx Cuối cùng, các hàm hyperbolic như sinh(x), cosh(x) và tanh(x) được định nghĩa với tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) và coth(x) = cosh(x)/sinh(x).

 Biểu diễn biểu thức: theo Maple

 Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx c Các hàm số cho số phức (complex)

Re(z) Phần thực của số phức z

Im(z) Phần ảo của số phức z argument(z) Argument của số phức z abs(x) môđun của số phức z

1.1.2 Vẽ đồ thị hàm số a Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, option1, option2, …);

 f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x

 h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a b

 v: miền dọc (vertical range) tùy chọn

The article discusses various options for graph customization, including the title, which can be set as "graph title." Users can specify the title font using parameters such as family, style, and size The color option is defined by a numerical value, while the style can be chosen from point, line, or patch Additionally, the number of points, which determines the smoothness of the graph, can be adjusted The axes can be configured as none, normal, boxed, or framed, and a legend can be included by providing a list of annotations.