Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán 11

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

 Tập giá trị:   1;1  , có nghĩa là  1 sinx  1, x 

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa là

 Sự biến thiên: HSĐB trên: 2 ; 2

 Đồ thị: ysinx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ

 Các giá trị đặc biệt:

 Tập giá trị:   1;1  , có nghĩa là  1 cosx  1, x 

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa là

 Sự biến thiên: HSĐB trên:     k 2  ; 2 k  

 Đồ thị: ycosx là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng

 Các giá trị đặc biệt:

 Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa

 Đồ thị: ytanx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ

O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng

 Các giá trị đặc biệt:

 Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa

 Đồ thị: ycotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng

Tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y  f x   là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f x   có nghĩa

Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Để xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong một khoảng hoặc đoạn (nhỏ hơn một chu kỳ của hàm số), ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trong khoảng đó và từ bảng biến thiên, suy ra kết quả cần tìm.

Để xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong toàn bộ tập xác định, chúng ta cần biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất Sau đó, dựa vào miền giá trị của hàm số đã cho, chúng ta có thể suy ra kết quả một cách chính xác.

 Chú ý:  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f x   trên X nếu  

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   trên X nếu  

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

Cho hàm số y  f x   xác định trên D : a) Hàm số chẵn trên D nếu

  b) Hàm số lẻ trên D nếu

  c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu:

 Nhận xét:  Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

 Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Tính tuần hoàn của hàm số

Để xác định tính tuần hoàn của hàm số, ta sử dụng khái niệm rằng hàm số y = f(x) xác định trên tập D được coi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một giá trị T khác 0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D.

Nếu tồn tại số T  0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn y  f x  

 Chú ý: ● y  sin  ax  b  có chu kỳ T 0 2 a

● y  cos  ax  b  có chu kỳ T 0 2 a

● y  tan  ax  b  có chu kỳ T 0 a

● y  cot  ax  b  có chu kỳ T 0 a

● y  f 1   x có chu kỳ T 1 và y  f 2   x có chu kỳ T 2 thì hàm số y  f 1   x  f 2   x có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2

Vẽ đồ thị của một hàm số suy ra từ một đồ thị của hàm số đã biết

từ một đồ thị của hàm số đã biết

Giả sử hàm số y  f x   có đồ thị là   C

 Đồ thị   C  của hàm số y  k f x k   ,   được suy ra từ   C bằng cách biến mỗi điểm  x y ;  của   C thành điểm  x ky ;  của   C 

 Đồ thị   C  của hàm số y  f kx k   ,   được suy ra từ   C bằng cách biến mỗi điểm  x y ;  của   C thành điểm 1

  k x y của   C  nếu k0 hoặc thành điểm 1

 Đồ thị   C  của hàm số y  f x   k  , k   được suy ra từ   C bằng cách biến mỗi điểm  x y ;  của   C thành điểm  x  k y ;  của

  C  hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị   C theo véc tơ u     k ; 0 

 Đồ thị   C ' của hàm số y  f x    k, k   được suy ra từ   C bằng cách biến mỗi điểm  x y ;  của   C thành điểm  x y ;  k  của

  C  hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị   C theo véc tơ u    0; k 

 Đồ thị của hai hàm số y  f x   và y   f x   đối xứng với nhau qua trục hoành

 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

một hàm số lượng giác

1 Phương trình bậc nhất đối với sin x có dạng

 Cách giải Phương trình sin sin b a x b x

a  Kết luận phương trình vô nghiệm

a  Xét hai trường hợp sau

Khi đó PT trở thành sin sin sin 2 ,

Khi đó PT trở thành arcsin 2 sin , arcsin 2 x b k b a x k a b x k a

2 Phương trình bậc nhất đối với cos x có dạng

 Cách giải Phương trình cos cos b a x b x

a  Kết luận phương trình vô nghiệm

a  Xét hai trường hợp sau

Khi đó PT trở thành cos cos cos 2 ,

Khi đó phương trình trở thành arccos 2 cos , arccos 2 x b k b a x k a b x k a

3 Phương trình bậc nhất đối với tan x có dạng

 Cách giải Điều kiện : cos 0 , x x 2 k k

Khi đó phương trình trở thành tan b tan tan , x x x k k a   

Khi đó phương trình trở thành tan b arctan b , x x k k a  a 

4 Phương trình bậc nhất đối với cot x có dạng

 Cách giải Điều kiện : sinx0xk, k

Khi đó phương trình trở thành cot b cot cot , x x x k k a   

Khi đó phương trình trở thành cot b arccot b , x x k k a  a 

 Lưu ý: nếu đề bài cho đơn vị là độ thì không được đổi sang rad và trong các công thức trên thay  thành 180 và 2 thành 360.

Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

 Bước 1 Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)

 Bước 2 Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k  k   

 Bước 3 Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng.

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

sin cos a x  b x  c Điều kiện để phương trình có nghiệm là c 2 a 2 b 2

Chia hai vế phương trình cho a 2 b 2 , ta đựợc phương trình

Khi đó phương trình trở thành

2 2 2 2 cos sin sin cos c sin c x x x a b a b

 Chú ý: Nếu ab có thể dùng công thức sau để giải: sin cos 2 sin 2 cos

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

một hàm số lượng giác

1 Phương trình bậc hai đối với sin x có dạng

Kết luận phương trình sinx1 hoặc sin c xa

Kết luận phương trình sinx 1 hoặc sin c x a

 Nếu a b  c 0 Ta đặt tsinx, điều kiện   1 t 1

Khi đó ta được phương trình at 2 bt c 0

Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay tsinx để tìm x

2 Phương trình bậc hai đối với cos x có dạng

Kết luận phương trình cosx1 hoặc cosx c

Kết luận phương trình cosx 1 hoặc cosx c

 Nếu a b  c 0 Ta đặt tcosx, điều kiện   1 t 1

Khi đó ta được phương trình at 2 bt c 0

Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay tcosx để tìm x

3 Phương trình bậc hai đối với tan x có dạng

 Đặt ttanx Khi đó ta được phương trình at 2 bt c 0 Giải phương trình bậc hai theo t, thay ttanx để tìm x

4 Phương trình bậc hai đối với cot x có dạng

 Đặt tcotx Khi đó ta được phương trình at 2 bt c 0 Giải phương trình bậc hai theo t, thay tcotx để tìm x.

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

đối với sinx và cosx

 Kiểm tra cosx0 có là nghiệm của phương trình không ?

Khi cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2x, chúng ta nhận được phương trình tan² + a tan x + b = 0 Đây là một phương trình bậc hai đối với tan x mà chúng ta đã biết ở dạng này.

 Đặc biệt: PT dạng a sin 2 x b  sin cos x x  c cos 2 x  d   2 để đưa về dạng   1 , ta làm như sau:

2 2 sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos 0. a x b x x c x d x x a d x b x x c d x

 Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa   1 về dạng phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3) Với:

 Phương trình đẳng cấp bậc 3:

3 2 2 3 sin  sin cos  sin cos  cos 0 a x b x x c x x d x

Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.

Phương trình đối xứng – Phản đối xứng

Giải phương trình   2 , chọn nghiệm thỏa điều kiện

Dạng 2: sin a  x – cos x   b sin cos x x  c   1 Đặt sin – cos 2 sin –

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện

Dạng 3: a sin x cos x  b sin cos x x  c   1 Đặt sin cos 2 sin

Giải tương tự như trên.

Phương trình lượng giác không mẫu mực

a Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:

  b Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:

  c Trường hợp 3: Sử dụng tính chất:

 Tương tự cho các trường hợp: cosucosv 2 và cosusinv 2 d Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:

 sin sinu v1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 u u v v

 sin sinu v–1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 u u v v

 Tương tự cho các trường hợp: cos cosu v 1, sin cosu v 1, cos sinu v 1.

TỔ HỢP V À XÁC SUẤT Bài 1 QUI TẮC ĐẾM

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án

- Phương án A 1 có thể làm bằng n 1 cách

- Phương án A 2 có thể làm bằng n 2 cách

- Phương án A k có thể làm bằng n k cách

Khi đó, cả công việc có thể thực hiện theo n 1 n 2   n k cách

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo k công đoạn

- Công đoạn A 1 có thể làm bằng n 1 cách

- Công đoạn A 2 có thể làm bằng n 2 cách

- Công đoạn A k có thể làm bằng n k cách

Khi đó, cả công việc có thể thực hiện theo n 1 n 2 n k cách

Khi thực hiện hai công việc đồng thời, không thể áp dụng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ, vì điều này sẽ dẫn đến trùng lặp Số cách làm của mỗi công việc nếu cộng lại sẽ tính những cách làm đồng thời hai việc hai lần Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ, ta cần cộng số cách làm của mỗi công việc và sau đó trừ đi số cách làm đồng thời của cả hai việc.

Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án 17 Dạng 2 Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số các hình thành từ tập A

bài toán đếm số phương án

 Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: H 1 , H 2 , , H k

Bước 2 Nếu:  H 1 có n 1 cách chọn khác nhau

 H 2 có n 2 cách chọn khác nhau

 H k có n k cách chọn khác nhau

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả n 1 n 2   n k phương án

 Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp: H 1 , H 2 , , H k

Bước 2 Nếu:  H 1 có n 1 cách thực hiện khác nhau

 H 2 có n 2 cách thực hiện khác nhau

 H k có n k cách thực hiện khác nhau

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả n 1 n 2 n k cách

Dạng 2 Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số các hình thành từ tập A

1 Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Số cần tìm có dạng: a a 1 2 a k , với a i  A, i1 k,

Bước 2 Đếm số cách chọn a i , (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có n i cách

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả n 1 n 2 n k số

Để đếm số lượng các số gồm k chữ số được hình thành từ tập A, chúng ta áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân Các bước thực hiện bao gồm xác định số lượng chữ số trong tập A và tính toán số cách chọn các chữ số để tạo thành số k chữ số.

Bước 1 Chia các số cần đếm thành các tập con H H 1 , 2 , … độc lập với nhau

Bước 2 Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập

Bước 3 Khi đó, ta có tất cả k 1 k 2   số.

HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

Tập hợp A có n phần tử (với n ≥ 1) cho phép tạo ra các hoán vị khác nhau Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử trong tập hợp A được gọi là một hoán vị Số lượng hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P(n) = n!.

Cho tập A gồm n phần tử ( n1) Kết quả của việc lấy k

Chỉnh hợp chập k của n phần tử trong tập hợp A, ký hiệu là A n k, là việc chọn ra k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Giả sử tập A có n phần tử  n  1  Mỗi tập con gồm k

 1  k  n  phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Kí hiệu : C n k

Tính ch ất của C n k :  C n k C n n k  với 0kn

Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

1 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

 Tất cả n phần tử đều có mặt

 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

 Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

 Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

3 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Để rút gọn các biểu thức liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, chúng ta thường áp dụng công thức phân tích Ngoài ra, trong nhiều tình huống, việc sử dụng kỹ năng đơn giản dần cũng rất cần thiết.

 Sử dụng thành thạo các công thức P n , A n k , C n k

 Nắm được các tính chất của n! chẳng hạn:

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

 Sử dụng các tính chất của số C n k , đó là:

 Ta thường sử dụng một trong các cách sau:

 Cách 1 Sử dụng các phép biến đổi

 Cách 2 Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức

 Cách 3 Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp

 Cách 4 Sử dụng phương pháp đếm

Dạng 4 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Ta thường sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1 Thực hiện việc đơn giản biếu thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để chuyển phương trình về dạng đại số quen thuộc

Cách 2 Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới

 Chú ý điều kiện cho ẩn.

NHỊ THỨC NIU-TƠN

1 Công th ức nhị thức Niu - tơn

Khai triển nhị thức Niu-tơn

 Chú ý: Đặc điểm của nhị thức Niu-tơn:

- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b ngược lại tăng từ 0 đến n

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n

- Trong công thứ   1 thay b–b thì ta được công thức   2

- Số các số hạng là n1.

Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1 Khai triển nhị thức Niu-tơn

 Chú ý: Đặc điểm của nhị thức Niu-tơn:

- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b ngược lại tăng từ 0 đến n

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n

- Trong công thứ   1 thay b–b thì ta được công thức   2

- Số các số hạng là n1

Dạng 2 Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:

Bước 1 Viết số hạng tổng quát

Bước 2 Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát Bước 3 Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau

- Số hạng không chứa x tức là số hạng chứa x 0

- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác

- Các công thức lũy thừa cần nhớ: m n m n a a a  ; m m n n a a a

Tính tổng Chứng minh

Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:

- Lựa chọn giá trị thực phù hợp

- Các phép biến đổi đại số.

Giải phương trình, bất phương trình

Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:

- Lựa chọn giá trị thực phù hợp

- Các phép biến đổi đại số

 Chú ý: Một số dạng đặc biệt:

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Không gian xác suất a Phép th ử ngẫu nhi ên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau

- Kết quả của nó không dự đoán trước được

Không gian mẫu, ký hiệu là  (ô-mê-ga), là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Việc xác định tập hợp này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm.

Một biến cố A liên quan tới phép thử T được thử đó Biến cố

A xảy ra khi và chỉ khi kết quả T thuộc tập  A Mỗi phần tử của  A được gọi là một k ết quả thuận lợi cho A

- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử

T Biến cố chắc chắn mô tả bởi tập  và được kí hiệu là 

Biến cố không thể xảy ra nếu phép thử T được thực hiện, và biến cố này không được mô tả bởi tập rỗng (), được ký hiệu là .

Xác suất của một biến cố được định nghĩa cổ điển như sau: Trong một phép thử T với không gian mẫu  là tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng, xác suất của một biến cố A liên quan đến phép thử T được tính bằng tỷ lệ giữa số lượng kết quả thuận lợi cho A và tổng số kết quả có thể trong không gian mẫu.

Trong đó  A hoặc n A   ,  hoặc n    lần lượt là số phần tử của tập  A và 

 Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra:

 0  P A    1  P     1 và P     0 b Định nghĩa thống k ê c ủa xác suất: Xét phép thử T và biến cố

A liên quan tới phép thử đó Ta tiến hành lặp đi lặp lại n phép thửT và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần

 Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là t ần số của A trong

N lần thực hiện phép thử T

 Tỉ số giữa tần số của A với N được gọi là t ần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T

Khi số lần thử N gia tăng, tần suất xuất hiện của A sẽ tiến gần đến một giá trị xác định, được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê.

Mô tả không gian mẫu Tìm số phần tử của không gian mẫu

Tìm số phần tử của không gian mẫu

Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đó mô tả tập hợp này bằng phương pháp liệt kê

 Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu

 Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không gian mẫu.

Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố Tính số phần tử của tập hợp này

cho một biết cố Tính số phần tử của tập hợp này

 Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T

 Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của A

 Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu  A

Tính xác suất của một biến cố

CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Biến cố hợp là khái niệm liên quan đến hai biến cố A và B trong một phép thử T Khi biến cố “A hoặc B xảy ra”, nó được ký hiệu là A∪B, thể hiện sự kết hợp của hai biến cố này.

Nếu gọi:   A là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho A

  B là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho B thì tập các kết quả thuận lợi cho ABlà    A B

Trong lý thuyết xác suất, hợp của k biến cố A1, A2, , Ak được ký hiệu là A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak, thể hiện sự kiện "có ít nhất một trong các biến cố này xảy ra" Ngoài ra, hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi sự xảy ra của một biến cố đồng nghĩa với việc biến cố kia không xảy ra, tức là A ∩ B = ∅ Cuối cùng, biến cố đối của A là sự kiện "không xảy ra" của A, giúp phân tích các khả năng xảy ra trong phép thử T.

A”, kí hiệu là A được gọi là bi ến cố đối của A

 Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, ngược lại không đúng Định lí: P A     1 P A  

Biến cố giao giữa hai biến cố A và B trong một phép thử T được ký hiệu là AB, thể hiện sự kiện "cả A và B cùng xảy ra".

Nếu gọi:   A là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho A

  B là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho B thì tập các kết quả thuận lợi cho ABlà    A B

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A A 1 , 2 ,,A k cùng liên quan đến một phép thử T Biến cố “tất cả k biến cố

Giao của k biến cố, ký hiệu là A A 1 2 A k, được hiểu là sự kết hợp của các biến cố đó Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu kết quả của một biến cố không ảnh hưởng đến kết quả của biến cố còn lại trong cùng một phép thử T.

Trong lý thuyết xác suất, k biến cố A1, A2, , Ak liên quan đến một phép thử T được coi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không ảnh hưởng đến sự xảy ra của các biến cố còn lại.

 Nhận xét: Nếu A, B độc lập với nhau thì A và B , A và B,

A và B cũng độc lập với nhau

2 Hai qui tắc tính xác suất a Qui t ắc cộng xác su ất:

- Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc

- Cho k biến cố A A 1 , 2 ,,A k đôi một xung khắc với nhau thì xác suất để ít nhất một trong các biến cố A A 1 , 2 ,,A k xảy ra là:

P A A A P A P A P A b Qui t ắc nhân xác suất:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì xác suất để A và B xảy ra là:

- Cho k biến cố A A 1 , 2 ,,A k độc lập với nhau thì xác suất để ít nhất một trong các biến cố A A 1 , 2 ,,A k xảy ra là:

Xác định xem các biến cố cho trước có xung khắc không ? Độc lập với nhau không ?

xung khắc không ? Độc lập với nhau không ?

 Sử dụng định nghĩa về 2 biến cố xung khắc, các biến cố độc lập

 Nếu P A P B      P A B   thì A B , không độc lập.

Mô tả biến cố theo các phép toán hoặc phiên dịch thành lời một biến cố cho trước

phiên dịch thành lời một biến cố cho trước

 Sử dụng định nghĩa về biến cố hợp, biến cố giao

 Sử dụng định nghĩa về biến cố xung khắc, biến cố đối.

Tìm xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất của hai biến cố đối

 Sử dụng định nghĩa 2 biến cố đối nhau

Tìm xác suất của biến cố là hợp của các biến cố xung khắc

các biến cố xung khắc

 Sử dụng định nghĩa 2 biến cố xung khắc, các biến cố từng đôi một xung khắc nhau

 Sử dụng định lí: Nếu A, B xung khắc thì

Tìm xác suất của biến cố là giao các biến cố độc lập

các biến cố độc lập

 Sử dụng khái niệm sự độc lập của các biến cố

 Sử dụng định lí: Nếu A A A 1 , 2 , 3 ,A k độc lập thì:

NC] BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Biến ngẫu nhiên rời rạc là đại lượng X, có khả năng nhận giá trị từ một tập hợp hữu hạn các số Những giá trị này là ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước.

2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị

 x x 1, 2,,x n  Khi đó b ảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rồi rạc X có dạng:

3 Kì vọng Định nghĩ a: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị  x x 1, 2,,x n  Kì vọng của X , kí hiệu là E X   là một số được tính:

Kỳ vọng E(X) là một con số phản ánh độ lớn của biến ngẫu nhiên X, và nó còn được gọi là giá trị trung bình của X.

4 Phương sai và độ lệch chuẩn Định nghĩa: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị  x x 1, 2,,x n 

Phương sai của X , kí hiệu là V X   là một số được tính:

- Căn bậc hai của phương sai: kí hiệu là , được gọi là độ lệch chu ẩn của X Ta có:

Ý nghĩa của phương sai (V(X)) là một số không âm, thể hiện mức độ phân tán của các giá trị X xung quanh giá trị trung bình Khi phương sai tăng, mức độ phân tán cũng gia tăng.

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC - DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Bài 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Bài 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Phương pháp quy nạp toán học là một kỹ thuật hữu ích để chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ* đúng với mọi n mà không cần thử nghiệm trực tiếp.

- Bướ c 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

- Bướ c 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp)

- Bướ c 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

 Các số tự nhiên liên tiếp: n; n1; n2; …

 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n; 2n2; 2n4; …

 Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n1; 2n3; 2n5; …

 Các số chẵn thì chia hết cho 2

 Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125

 Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6

 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6

 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho

* Phân tích đa thứ c ax + bx + c thành nhân t ử : 2

Nếu phương trình ax 2 bx c 0 có 2 nghiện phân biệt x 1 , x thì: 2 ax 2 bx c a x  –x 1  x–x 2 

 Phương pháp chung khi giả i toán b ằng phương pháp quy nạ p:

 Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết

 Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n:

- Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n 0

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ n₀, từ đó có thể chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 Như vậy, bất đẳng thức này sẽ đúng cho mọi số tự nhiên n ≥ n₀.

DÃY SỐ

Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là dãy số vô hạn, hay còn gọi tắt là dãy số.

Kí hiệu:   u n hay ở dạng khai triển u u 1 , 2 ,,u n ,

 Cách cho một dãy số:

Cách 1 Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n

Cách 2 Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là:

 Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

 Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

Cách 3 Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

Dãy số tăng được định nghĩa là dãy số \( (u_n) \) thỏa mãn điều kiện \( u_n < u_{n+1} \) với mọi \( n \) thuộc tập hợp số tự nhiên Ngược lại, dãy số giảm là dãy số \( (u_n) \) khi \( u_n > u_{n+1} \) cho mọi \( n \) trong tập hợp số tự nhiên.

 Với dãy   u n tăng, ta có: u 1 u 2 u 3  u n  

 Với dãy   u n giảm, ta có: u 1 u 2 u 3   u n  

 Dãy số bị chặn: Đị nh ngh ĩa 3 a Dãy số   u n được gọi là bị chặn trên nếu M: u n M , n 

  b Dãy số   u n được gọi là bị chặn dưới nếu  m : u n m, n 

  c Dãy số   u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là:

Xác định công thức của dãy số (u n )

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un

Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:

Bướ c 1 Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho u n

Bướ c 2 Chứng minh công thức dự đoán bằng pp quy nạp

Dạng 3 Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số (u n ) thỏa mãn tính chất K

Thực hiện theo các bước sau:

Bướ c 1 Chứng minh rằng số hạng u 1 thỏa mãn tính chất K

Bướ c 2 Giả sử số hạng u k thỏa mãn tính chất K Ta đi chứng minh u k  1 cũng thỏa mãn tính chất K

Bướ c 3 Kết luận dãy số   u n thỏa mãn tính chất K.

Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số (u n )

1 Tính tăng, giảm của dãy số:

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

 Bướ c 1 Lập hiệu H u n  1 –u n , từ đó xác định dấu của H

 Bướ c 2 Khi đó: * Nếu H 0,  n   thì dãy số   u n tăng

* Nếu H 0,  n   thì dãy số   u n giảm

Cách 2: Nếu u n 0,  n   ta có thể thực hiện theo các bước sau:

  , từ đó so sánh P với 1

 Bướ c 2 Khi đó: * Nếu P1,  n   thì dãy số   u n tăng

* Nếu P1,  n   thì dãy số   u n giảm

2 Tính bị chặn của dãy số:

 Chú ý: * Mọi dãy số   u n giảm luôn bị chặn trên bởi u 1

* Mọi dãy số   u n tăng luôn bị chặn dưới bởi u 1

CẤP SỐ CỘNG

Cấp số cộng là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó mỗi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi được tính bằng cách cộng số hạng trước đó với một số không đổi d, gọi là công sai.

③ Tính chất các số hạng của cấp số cộng:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi (trừ số hạng cuối trong cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nhau.

④ Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

⑤ Các số hạng liên tiếp:

•Nếu CSC có lẻ số hạng thì: ;x– ;a x x; a;

•Nếu CSC có chẵn số hạng thì: ;x– 3 ;a x– ;a xa x; a;

Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng 36 Dạng 2 Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng

thành một cấp số cộng

 Để chứng minh ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng ta đi chứng minh ac2b hoặc a–bb–c

 Để chứng minh dãy số u u u 1 , 2 , 3 ,,u n –1 ,u n lập thành cấp số cộng, ta chứng minh:

Dạng 2 Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng, ta sử dụng công thức:

1 –1 ; –1 n n n u u  n d u u d với n2 Tức là đi xác định số hạng đầu u 1 và công sai d.

Tìm các phần tử của một cấp số cộng (u n )

 Ở dạng đơn giản, ta có thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u 1 và công sai d:

 Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau:

1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, d là công sai Ví dụ:

 Cấp số cộng có 3 số hạng: x d x x– ; ; d

 Cấp số cộng có 5 số hạng: x– 2 ; – ;d x d x x; d x; 2d

2) Nếu số số hạng là số chẵn: 2d là công sai Thí dụ:

 Cấp số cộng có 4 số hạng: x– 3 ;d x– ;d xd x; 3d

 Cấp số cộng có 6 số hạng:

 Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số cộng.

Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng

 Bài toán 1 “Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K”, khi đó ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1 Từ giả thiết a, b, c lập thành cấp số cộng, ta được:

2 ac b hoặc biểu thức tương đương:

 Bước 2 Chứng minh tính chất K

 Bài toán 2 “Tìm điều kiện để 3 số, 4 số lập thành cấp số cộng”:

 Để 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng thì ac2b

 Để 4 số a, b, c, d lập thành cấp số cộng thì 2

Tính tổng các số hạng của cấp số cộng

 Thông thường bài toán được chuyển tính tổng của một cấp số cộng

 Sử dụng các công thức tính S n :

CẤP SỐ NHÂN

Cấp số nhân là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng là tích của số hạng trước đó với một số không đổi q, được gọi là công bội Công thức tổng quát cho cấp số nhân là u(n+1) = u(n) * q, với q là công bội và n thuộc tập số tự nhiên Đặc biệt, khi q = 0, dãy số này trở thành 1; 0; 0; 0;

Khi q1, cấp số nhân là u u u u 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 

Khi u 1 0, cấp số nhân là 0; 0; 0; 0; (với mọi q)

③ Tính chất các số hạng của cấp số nhân:

Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi (ngoại trừ số hạng cuối trong cấp số cộng hữu hạn) đều có bình phương bằng tích của hai số hạng kề bên.

④ Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

Cho cấp số nhân   u n với công bội q1 Đặt S n u 1 u 2 u 3  u n Khi đó: 1  1 

⑤ Các số hạng liên tiếp:

• Nếu cấp số nhân có lẻ số hạng thì: …;x a ; x ; xa ; …

• Nếu cấp số nhân có chẵn số hạng thì: … x 3 a ;x; a xa; xa ; … 3

Xác định số hạng tổng quát của một CSN

một cấp số cộng Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng, ta sử dụng công thức:

1 –1 ; –1 n n n u u  n d u u d với n2 Tức là đi xác định số hạng đầu u 1 và công sai d

Dạng 3 Tìm các phần tử của một cấp số cộng (u n )

 Ở dạng đơn giản, ta có thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u 1 và công sai d:

 Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau:

1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, d là công sai Ví dụ:

 Cấp số cộng có 3 số hạng: x d x x– ; ; d

 Cấp số cộng có 5 số hạng: x– 2 ; – ;d x d x x; d x; 2d

2) Nếu số số hạng là số chẵn: 2d là công sai Thí dụ:

 Cấp số cộng có 4 số hạng: x– 3 ;d x– ;d xd x; 3d

 Cấp số cộng có 6 số hạng:

 Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số cộng

Dạng 4 Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng

 Bài toán 1 “Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K”, khi đó ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1 Từ giả thiết a, b, c lập thành cấp số cộng, ta được:

2 ac b hoặc biểu thức tương đương:

 Bước 2 Chứng minh tính chất K

 Bài toán 2 “Tìm điều kiện để 3 số, 4 số lập thành cấp số cộng”:

 Để 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng thì ac2b

 Để 4 số a, b, c, d lập thành cấp số cộng thì 2

Dạng 5 Tính tổng các số hạng của cấp số cộng

 Thông thường bài toán được chuyển tính tổng của một cấp số cộng

 Sử dụng các công thức tính S n :

Cấp số nhân là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng là tích của số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội (q) Công thức biểu diễn dãy số này là u(n+1) = u(n) * q, với n thuộc tập hợp số tự nhiên Đặc biệt, khi q = 0, dãy số cấp số nhân trở thành u1; 0; 0; 0;

Khi q1, cấp số nhân là u u u u 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 

Khi u 1 0, cấp số nhân là 0; 0; 0; 0; (với mọi q)

③ Tính chất các số hạng của cấp số nhân:

Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi, ngoại trừ số hạng cuối trong cấp số cộng hữu hạn, đều có bình phương bằng tích của hai số hạng kề bên nó.

④ Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

Cho cấp số nhân   u n với công bội q1 Đặt S n u 1 u 2 u 3  u n Khi đó: 1  1 

⑤ Các số hạng liên tiếp:

• Nếu cấp số nhân có lẻ số hạng thì: …;x a ; x ; xa ; …

• Nếu cấp số nhân có chẵn số hạng thì: … x 3 a ;x; a xa; xa ; … 3

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1 Tìm các phần tử của một cấp số nhân (u n )

Muốn xác định một cấp số nhân, ta chỉ cần xác định một số hạng và công bội của nó

 Ở dạng đơn giản, ta có thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u 1 và công sai d:

 Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau:

1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, q là công bội Ví dụ:

 Cấp số cộng có 3 số hạng: x q ; x ; q x.

 Cấp số cộng có 5 số hạng: x 2 q ; x q ; x ; q x ; q x 2

2) Nếu số số hạng là số chẵn: q 2 là công sai Thí dụ:

 Cấp số cộng có 4 số hạng: x 3 q ; x q ; q.x ; q x 3

 Cấp số cộng có 6 số hạng: x 5 q ; x 3 q ; x q ; q.x ; q x 3 ; q x 5

 Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số nhân

Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta áp dụng công thức: \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \), trong đó \( u_1 \) là số hạng đầu và \( q \) là công bội.

Ứng dụng các tính chất của một CSN

Câu hỏi thường đặt ra là: “Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K”, khi đó ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Từ giả thiết a, b, c lập thành CSN, ta được: a c b 2

Bước 2 Chứng minh tính chất K.

Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một CSN

 Để chứng minh ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân ta đi chứng minh: a c b 2

 Để chứng minh dãy số u u u 1 , 2 , 3 ,,u n –1 ,u n lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: 2 3

Tính tổng các số hạng của cấp số nhân

 Thông thường bài toán được chuyển tính tổng của một cấp số nhân

Sử dụng các công thức tính S n : 1 1

Sau đó tìm được u 1 , q và n

 Đối với cấp số nhân lùi vô hạn:

 Trước tiên ta xét xem cấp số nhân có lùi vô hạn hay khôn Nếu có ta xét tiếp xem q 1 không ?

GIỚI HẠN – LIÊN T ỤC Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

   có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

 Dãy số   u n cógiới hạn là L nếu:

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limu n 0, limu n L

 Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số   u n và   v n cùng có giới hạn thì ta có:

3) lim lim lim n n n n u u v  v (nếu limv n 0)

6) lim 2 k u n  2 k limu n (nếu u n 0) (căn bậc chẵn)

7) lim 2 k  1 u n  2 k  1 limu n (căn bậc lẻ)

8) Nếu u n  v n và limv n 0 thì limu n 0

- Đị nh lí k ẹ p v ề gi ớ i h ạ n c ủ a dãy s ố : Cho ba dãy số   u n ,

  v n ,  w n  và L Nếu u n v n w n ,  n * và limu n limw n L thì   v n có giới hạn và limv n L

• Nếu limu n a và limv n   thì lim n 0 n u v 

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

, là một số vô tỉ

 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân có công bội q với |q|1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Ta có : 1 1 1 2 1

II - GIỚI HẠN VÔ CỰC

   nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

   nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limu n  

 Định lí  n n lim u = + thì lim 1 = 0

 Một vài qui tắc tìm giới hạn

Nếu limu n   và limv n  , thì lim  u v n n  là: lim u n lim v n lim  u v n n 

Nếu limu n   và limv n L0, thì lim  u v n n  là: lim u n D ấ u c ủ a L lim  u v n n 

Nếu limu n L0, limv n 0 và v n 0 hoặc v n 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì:

Khử dạng vô định  -

 Đối với dãy u n a n m m a m  1 n m  1  a a 0 , m 0 thì đặt thừa số chung cho thừa số lớn nhất của n là n m

Khi đó: limu n   nếu a m 0 và limu n   nếu a m 0.

 Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:

 Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn:

 Đối với các biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

Cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân có công bội q với |q|1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Ta có: S u 1 + 1 q u q 1 2 + 1 u u q

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

 Gi ớ i h ạ n t ạ i m ột điể m: Cho khoảng K chứa điểm x và hàm 0 số y  f x   xác định trên K hoặc trên K\  x 0

Dãy   x n bất kì, x n K\  x 0 và x n x 0 , thì lim f x   n L

 Gi ớ i h ạ n bên ph ả i: Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng  x 0; b  :

 dãy   x n bất kì, x 0 x n b và x n x 0 thì lim f x   n L

 Gi ớ i h ạ n bên trái: Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng

 dãy   x n bất kì, ax n x 0 và x n x 0 thì lim f x   n L

 Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng (a;  ):

 dãy   x n bất kì, x n a và x n   thì lim f x   n L

 Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng (; )a :

 dãy   x n bất kì, x n a và x n   thì lim f x   n L

 Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng (a;  ) dãy   x n bất kì, x n a và x n   thì lim f x   n  

 Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số 0 y  f x   xác định trên K hoặc trên K \  x 0

    dãy   x n bất kì, x n K\  x 0 và x n x 0 thì lim f x   n  

   được định nghĩa tương tự

 Nhận xét: f x   có giới hạn    f x   có giới hạn 

 Các giới hạn đặc biệt

 Định lí về giới hạn ở hữu hạn

 Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x 

 Đị nh lí 3 Đị nh lí k ẹ p: Giả sử J là một khoảng chứa x và 0 f , g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J\  x 0

 Quy tắc về giới hạn vô cực

 Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x    

 Quy tắc tìm giới hạn của thương  

Định nghĩa giới hạn

 Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)

1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f x   trên cơ sở giới hạn các dãy f x   n Nếu có 2 dãy x n và x n  cùng tiến đến x 0 mà

    lim f x n lim f x n  thì không tồn tại  

2) Với mọi số nguyên dương k, ta có: lim k x x

3) Xác định dấu  hoặc – dựa trên dấu của tích số, thương số, xx 0  , xx 0  , x .

Giới hạn một bên

Dạng 3 Khử dạng vô định 

 Trước khi giải bài toán tìm giới hạn ta thế thử xx 0 hoặc x , x – theo yêu cầu đề xem xét giới hạn cần tìm có dạng vô định không x 0 xx 0  xx 0  x

 Nếu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, … thì dùng định lí về các phép toán tổng, hiệu, thương để giải

 Nếu mẫu thức tiến đến  hoặc  và tử tiến đến một số khác 0 thì giới hạn cho bằng 0

Nếu mẫu thức tiến về 0 trong khi tử thức tiến về một số khác 0, thì giới hạn sẽ là +∞ hoặc -∞, tùy thuộc vào dấu của các thừa số trong tử và mẫu.

 Nếu có dạng vô định: 0

, 0.,    thì chọn phương pháp tương ứng để khử dạng vô định

2 Phương pháp khử dạng vô định 

Để phân tích hàm phân thức, ta cần chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x, tương tự như việc đặt thừa số chung cho lũy thừa đó Phương pháp này giống như cách tính giới hạn của dãy số.

(dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0

 Đối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức đưa về dạng phân thức đã nêu

1) Hướng tìm giới hạn hàm số này tương tự như dãy số

Đối với các biểu thức hỗn hợp, chúng ta có thể thêm hoặc bớt các đại lượng đơn giản nhất theo biến x hoặc hằng số Điều này giúp tách các biểu thức thành các phân thức, trong đó các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định.

3) Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn:

4) Một số bài phức tạp có thể đặt ẩn phụ và chuyển quan hệ giới hạn sang ẩn mới

Dạng 4 Khử dạng vô định 0

 Đối với hàm phân thức:  

 Đối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thừa số xx 0 rồi rút gọn

1) Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócner, …

Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt các đại lượng đơn giản nhất theo biến x hoặc hằng số, đảm bảo rằng các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định 0.

Dạng 5 Khử dạng vô định  - , 0.

 Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x

 Quy đồng mẫu phân thức

 Nhân chia lượng liên hợp để khử căn

Dạng 6 Sử dụng đồ thị để tìm giá trị của giới hạn Một số lưu ý khi sử dụng đồ thị:

Giả sử hàm số y  f x   có đồ thị là đường cong   C gồm 2 phần như hình vẽ sau: x 

 A    C : hình tròn rỗng bên trong

 B    C : hình tròn tô đen bên trong

Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

 Hàm số liên tục tại một điểm Đị nh ngh ĩa:

 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a b ;  và x 0 a b;  Hàm số f được gọi là liên t ụ c tại điểm x 0 nếu:

 Hàm số không liên tục tại điểm x được gọi là gián đoạ n tại điểm 0 x và điểm 0 x được gọi là điểm gián đoạ n của hàm số 0 f x  

  0 f x dần tới f x   0 x Khi dần tới 0 x 0 x

 Theo định nghĩa trên, hàm số f x   xác định trên khoảng

 a b ;  là liên tục tại điểm x 0 a b;  nếu và chỉ nếu

 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

 Hàm số f x   xác định trên khoảng  a b ;  được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 Hàm số f x   xác định trên đoạn  a b ;  được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng

 (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b)

 Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một

“đường liền” trên khoảng đó

 Tính liên tục của một số hàm số:

Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục tại một điểm đều là các hàm số liên tục tại điểm đó, với điều kiện rằng giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0.

 Hàm đa thứ c và hàm phân th ứ c h ữ u t ỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

 Các hàm y sin x, y cos x, y tan x, y cot x liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

 Tính chất của hàm số liên tục

 Đị nh lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b ;  Nếu f a    f b   thì với mỗi số thực M nằm giữa f a   và f b   , tồn tại ít nhất một điểm c   a b ;  sao cho f c    M

 H ệ qu ả 1: Nếu hàm f liên tục trên  a b ;  và f a f b      0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a b ;  sao cho f c    0

 H ệ qu ả 2: Nếu hàm f liên tục trên  a b ;  và f x    0 vô nghiệm trên  a b ;  thì hàm số f có dấu không đổi trên  a b ; 

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Để xét sự liên tục của hàm số y  f x   tại điểm tại x 0 ta thực hiện các bước:

 (trong nhiều trường hợp để tính

 và f x   0 rồi rút ra kết luận

 Chú ý: Hàm số không liên tục tại x 0 thì được gọi là gián đoạn tại x 0

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn

Để chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng hoặc đoạn, ta áp dụng các định nghĩa về hàm số liên tục và các nhận xét liên quan để rút ra kết luận.

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào

Dạng 3 Chứng minh phương trình có nghiệm

 Biến đổi phương trình về dạng: f x    0

 Tìm hai số a b, sao cho

TABLE của máy tính tìm cho nhanh)

 Chứng minh f x   liên tục trên

 a b ;  từ đó suy ra f x    0 có nghiệm

Nếu f(a) ≤ 0 và f(b) ≤ 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng [a, b] Để chứng minh rằng f(x) = 0 có ít nhất n nghiệm trên đoạn [a, b], ta chia đoạn này thành n khoảng nhỏ rời nhau và chứng minh rằng trong mỗi khoảng đó, phương trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 4 Xét dấu biểu thức

Ta áp dụng hệ quả: “Nếu y  f x   liên tục trên  a b ;  và

  0,  ;  f x   x a b thì f x   không đổi dấu trên  a b ;  ” để xét dấu biểu thức f x   trên miền Dtheo các bước sau:

Bước 1: Tìm các điểm gián đoạn của f x   trên D

Bước 2: Tìm tất cả các x i D, (i1, )n sao cho f x   i 0

Bước 3: Chia miền D thành những khoảng nhỏ bởi các điểm gián đoạn của f x   và các điểm x i D, (i1, )n vừa tìm được ở bước 2

Bước 4: Trên mỗi khoảng nhỏ lấy một số m tùy ý, tính f m   , dấu của f x   trên khoảng đó chính là dấu của f m  

Từ đó suy ra được dấu của f x   trên miền D

Bài 1 ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:

 trong đó f x   là một hàm số đã cho của đối số x

Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:

 Số gia đối số là  x x–x 0

 Số gia tương ứng của hàm số là  y f x  – f x   0

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, với x₀ thuộc khoảng (a, b), được xác định thông qua giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến gần đến 0 Ký hiệu của đạo hàm tại x₀ là y'(x₀) hoặc f'(x₀).

 Đạo hàm một bên a Đạo hàm bên trái của hàm số y  f x   tại điểm x , kí hiệu là 0

  trong đó xx 0  được hiểu là xx 0 và x  x 0 b Đạo hàm bên phải của hàm số y  f x   tại điểm x , kí hiệu là 0

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định của nó khi và chỉ khi đạo hàm bên trái f'(x₀⁻) và đạo hàm bên phải f'(x₀⁺) tồn tại và bằng nhau Khi điều này xảy ra, ta có f'(x₀) = f'(x₀⁻) = f'(x₀⁺).

Đạo hàm trên một khoảng được định nghĩa như sau: Hàm số y = f(x) được coi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó Ngoài ra, hàm số y = f(x) cũng được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a, b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm bên phải tại điểm a cũng như đạo hàm bên trái tại điểm b.

Từ nay, khi đề cập đến hàm số y = f(x) có đạo hàm mà không chỉ rõ khoảng, điều đó có nghĩa là đạo hàm của hàm số tồn tại cho mọi giá trị trong tập xác định của nó.

Mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lý cho biết rằng nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, thì hàm số đó sẽ liên tục tại điểm x.

 Chú ý: 1 Đảo lại không đúng, tức là m ộ t hàm s ố liên t ụ c t ạ i điể m x có th ể không có đạ o hàm t ại điểm đó 0

2 Như vậy, hàm số không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm đó

1 Ý ngh ĩa h ình h ọ c a Ti ế p tuy ế n c ủa đườ ng cong ph ẳ ng:

Cho đường cong phẳng   C và một điểm cố định M trên 0   C , M là điểm di động trên   C Khi đó

M M là một cát tuyến của đường cong C Nếu cát tuyến M M có vị trí giới hạn tại điểm M khi M di chuyển trên C và tiến gần tới điểm M, thì đường thẳng MT được gọi là tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M Điểm M được gọi là tiếp điểm Ý nghĩa hình học của đạo hàm là phản ánh độ dốc của tiếp tuyến tại điểm M.

Hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x₀ thuộc (a, b) Đồ thị của hàm số này được ký hiệu là C Định lý 1 chỉ ra rằng đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến MT của đồ thị C tại điểm M₀(x₀, f(x₀)) Theo đó, phương trình của tiếp tuyến tại điểm M₀ được xác định theo định lý 2.

Vận tốc tức thời của một chất điểm tại thời điểm t được xác định thông qua đạo hàm của hàm số s = f(t), trong đó f(t) là hàm số có đạo hàm Điều này cho thấy rằng vận tốc tức thời phản ánh sự thay đổi vị trí của chất điểm theo thời gian, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về chuyển động thẳng của nó.