Ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông

Lþ do chån · t i Tam thùc bªc hai l mët trong nhúng iºm s¡ng thó và trong ch÷ìngtr¼nh ¤i sè ð bªc Trung håc Phê thæng.. Do â, chóng ta th÷íng ti¸n h nh b¬ng ph÷ìng ph¡p tamthùc bªc hai..

„I HÅC € NŽNGTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M



LÊ THỊ TRÀ LINH

ÙNG DÖNG PH×ÌNG PHP TAM THÙC BŠC HAIV€O CC B€I TON TRUNG HÅC PHÊ THÆNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

€ NŽNG - N‹M 2020

„I HÅC € NŽNGTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M



L– THÀ TR€ LINH

ÙNG DÖNG PH×ÌNG PHP TAM THÙC BŠC HAIV€O CC B€I TON TRUNG HÅC PHÊ THÆNG

LÍI CAM OAN

Luªn v«n n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa c¡ nh¥n tæi, ÷ñc thüc hi»n d÷îi

sü h÷îng d¨n cõa TS Ho ng Quang Tuy¸n v  TS L÷ìng Quèc Tuyºn.C¡c sè li»u, nhúng k¸t luªn nghi¶n cùu ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n

n y ho n to n trung thüc Tæi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· líi cam

oan n y

  N®ng, ng y 30 th¡ng 4 n«m 2020

Håc vi¶n

L¶ Thà Tr  Linh

LÍI CƒM ÌN

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o,TS Ho ng Quang Tuy¸n v  TS L÷ìng QuècTuyºn, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n

n y

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡otrong khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc   N®ng ¢ d¤y b£otæi tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa

Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n t§t c£ b¤n b±, çng nghi»p, °c bi»t l c¡c th nh vi¶n trong lîp Th¤c s¾ Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p K36 ¢ gióp

ï tæi tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

  N®ng, ng y 30 th¡ng 4 n«m 2020

Håc vi¶n

L¶ Thà Tr  Linh

MÖC LÖC

1 Têng quan v· ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai 4

1.1 Tam thùc bªc hai v  ph÷ìng tr¼nh bªc hai 4

1.2 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc hai 5

1.3 ành l½ Vi±te 9

1.4 ành l½ v· d§u cõa tam thùc bªc hai 13

1.5 ç thà cõa tam thùc bªc hai 21

2 Sû döng tam thùc bªc hai trong vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh 22 2.1 D§u cõa tam thùc bªc hai tr¶n mët mi·n v  b i to¡n bi»n luªn b§t ph÷ìng tr¼nh 22

2.2 Ph÷ìng tr¼nh chùa d§u gi¡ trà tuy»t èi 28

2.3 Ph÷ìng tr¼nh væ t 31

2.4 Ph÷ìng tr¼nh bªc cao 34

2.5 Ph÷ìng tr¼nh mô v  ph÷ìng tr¼nh logarit 41

2.6 Ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c 46

3 Ùng döng tam thùc bªc hai trong kh£o s¡t h m sè 49 3.1 T¼m mi·n x¡c ành v  mi·n gi¡ trà cõa h m sè 49

3.2 H m sè çng bi¸n, nghàch bi¸n tr¶n mët mi·n 513.3 Cüc trà v  d¤ng ç thà cõa h m sè 553.4 Gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè chùa tham sè 573.5 Sü t÷ìng giao cõa ç thà h m sè vîi mët ÷íng th¯ng 59

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Tam thùc bªc hai l  mët trong nhúng iºm s¡ng thó và trong ch÷ìngtr¼nh ¤i sè ð bªc Trung håc Phê thæng Nâ câ nhi·u ùng döng trong vi»cgi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh v  h» b§t ph÷ìngtr¼nh câ chùa tham sè C¡c d¤ng to¡n n y th÷íng xuy¶n xu§t hi»n trongc¡c · thi håc sinh giäi c¡c c§p, · thi v o c¡c Tr÷íng ¤i håc v  Trunghåc Chuy¶n nghi»p Ta th§y r¬ng, ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai cho ph²pchóng ta ti¸p cªn nhanh nhúng b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìngtr¼nh bªc hai phùc t¤p

C¡c b i to¡n kh£o s¡t h m sè, b i to¡n v· cüc trà, çng bi¸n v  nghàchbi¸n cõa h m sè khæng cán xa l¤ trong c¡c · thi Tuyºn sinh ¤i håc tøx÷a ¸n nay C¡c d¤ng n y, nhí cæng cö ¤o h m, ta câ thº ÷a chóng v·

b i to¡n so s¡nh c¡c nghi»m cõa tam thùc bªc hai vîi c¡c sè v  b i to¡nbi»n luªn d§u cõa tam thùc bªc hai Ri¶ng b i to¡n v· x¡c ành tham sè

º h m a thùc ìn i»u tr¶n mët kho£ng cho tr÷îc, ph÷ìng ph¡p ¤o

h m khæng cán tèi ÷u núa n¸u chóng ta khæng thº cæ lªp tham sè mëtc¡ch d¹ d ng Do â, chóng ta th÷íng ti¸n h nh b¬ng ph÷ìng ph¡p tamthùc bªc hai

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, Bë Gi¡o döc v   o t¤o ¢ nhªp Ký thiTèt nghi»p Trung håc Phê thæng v  Ký thi ¤i håc tr÷îc ¥y th nh mët

ký thi, â l  Ký thi Trung håc Phê thæng Quèc gia Hìn núa, trong ký thi

n y, mæn to¡n ÷ñc thi d÷îi h¼nh thùc tr­c nghi»m Nh÷ vªy, vi»c gi£i mët

b i to¡n nhanh v  hi»u qu£ l  r§t thi¸t thüc èi vîi c¡c em håc sinh bªcTrung håc Phê thæng Ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai s³ ¡p ùng ph¦nquan trång èi vîi y¶u c¦u n y Tuy nhi¶n, º vªn döng ÷ñc c¡c ki¸n thùcv· tam thùc bªc hai v o gi£i c¡c d¤ng to¡n trong ch÷ìng tr¼nh Trung håcPhê thæng, c¡c em håc sinh c¦n ph£i n­m ch­c ki¸n thùc v· tam thùc bªchai, ph£i bi¸t c¡ch vªn döng linh ho¤t, s­c b²n, s¡ng t¤o v  câ nh¢n quantrong vi»c gi£i to¡n

Th§u hiºu nhúng khâ kh«n nh÷ tr¶n, chóng tæi quy¸t ành t¼m hiºu

v  i s¥u nghi¶n cùu nhúng v§n · n y nh¬m phöc vö cæng vi»c gi£ngd¤y cõa b£n th¥n Nhí â, b£n th¥n câ ki¸n thùc vúng ch­c hìn, ph÷ìngph¡p truy·n thö ki¸n thùc ¸n c¡c em håc sinh mët c¡ch hi»u qu£ hìntrong vi»c d¤y håc Ch½nh v¼ nhúng lþ do §y, chóng tæi quy¸t ành chån ·

t i: Ùng döng ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai v o c¡c b i to¡nTrung håc Phê thæng

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Tam thùc bªc hai, ành lþ v· d§u cõa tam thùc bªc hai, c¡c b i to¡n

÷ñc gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai

4 Ph¤m vi nghi¶n cùu

· t i tªp trung chõ y¸u v o c¡c b i to¡n ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìngtr¼nh, b§t ¯ng thùc, b i to¡n kh£o s¡t h m sè v  b i to¡n h¼nh håc trongch÷ìng tr¼nh Trung håc Phê thæng

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

• Thu thªp, åc, tra cùu s¡ch, t i li»u tham kh£o, b¡o khoa håc

• Nghi¶n cùu mët c¡ch logic v  h» thèng c¡c t i li»u thu thªp ÷ñc Sau

â têng hñp, ph¥n t½ch v  trao êi vîi th¦y h÷îng d¨n k¸t qu£ angnghi¶n cùu

6 C§u tróc luªn v«n

Luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Têng quan v· ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai Trongch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· tam thùc bªc hai, nghi»mcõa tam thùc bªc hai, ành l½ Vi±te v  ành l½ v· d§u cõa tam thùc bªchai nh¬m phöc vö cho c¡c ch÷ìng ph½a sau Ngo i ra, chóng tæi công tr¼nh

b y mët sè v½ dö minh håa

Ch÷ìng 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sèb¬ng ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai Trong ch÷ìng n y, chóng tæitr¼nh b y c¡c d¤ng to¡n v· vªn döng tam thùc bªc hai v o vi»c gi£i v  bi»nluªn ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh trong khuæn khê cõa ch÷ìng tr¼nhgi¡o döc phê thæng Hìn núa, méi d¤ng to¡n chóng tæi cho nhúng v½ dö

cö thº

Ch÷ìng 3 Ùng döng tam thùc bªc hai gi£i c¡c b i to¡n v·kh£o s¡t h m sè Ch÷ìng n y º th§y ÷ñc ùng döng cõa ành lþ £otrong mët sè b i to¡n v· h m sè chóng ta nghi¶n cùu c¡c b i to¡n sau:T¼m i·u ki»n º h m sè x¡c ành, h m sè çng bi¸n (nghàch bi¸n) tr¶nmi·n n o â, h m sè câ gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t thäa m¢n i·uki»n cho tr÷îc, giao iºm cõa ç thà h m sè bªc ba vîi ÷íng th¯ng, giao

iºm cõa ç thà h m bªc 4 vîi ÷íng th¯ng, giao iºm cõa c¡c nh¡nhhypebol vîi ÷íng th¯ng

Ch֓ng 1

Têng quan v· ph÷ìng ph¡p tam thùc bªc hai

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· tam thùc bªchai, nghi»m cõa tam thùc bªc hai, ành l½ Vi±te v  ành l½ v· d§u cõa tamthùc bªc hai nh¬m phöc vö cho c¡c ch÷ìng ph½a sau Ngo i ra, chóng tæicông tr¼nh b y mët sè v½ dö minh håa Nëi dung ch÷ìng n y ÷ñc thamkh£o trong c¡c t i li»u [1], [4], [6]

1.1 Tam thùc bªc hai v  ph÷ìng tr¼nh bªc hai

ành ngh¾a 1.1.1 Tam thùc bªc hai èi vîi x l  biºu thùc câ d¤ng

f(x) = ax2 +bx+c,trong â a, b, c l  c¡c h» sè vîi a 6= 0

ành ngh¾a 1.1.2 Ph÷ìng tr¼nh bªc hai l  ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

ax2 +bx+c = 0,trong â x l  ©n v  a, b, c l  c¡c h» sè vîi a 6= 0

ành ngh¾a 1.1.3 B§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai l  b§t ph÷ìng tr¼nh câ mëttrong c¡c d¤ng sau

f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≤0, f(x) ≥ 0,

trong â f(x) l  mët tam thùc bªc hai

1.2 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc hai

• N¸u b l  sè ch®n, th¼ ta °t b = 2b0, ∆0 = b02− ac Khi â, ∆ = 4∆0 v 

B÷îc 2: X²t c¡c tr÷íng hñp cõa ∆ n¸u ∆ câ chùa tham sè.

B÷îc 3: T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh theo tham sè â

V½ dö 1.2.1 Gi£i v  bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh sau theo tham sè m

(m −1)x2 −2mx+m+ 2 = 0 (1.2)Líi gi£i N¸u m −1 = 0 ⇔ m = 1, th¼ (1.2) trð th nh

−2x+ 3 = 0 ⇔ x = 3

2.N¸u m −1 6= 0 ⇔ m 6= 1, th¼ ta câ

♣ Tr÷íng hñp 1 N¸u a = 0, th¼ bx+c = 0 Do â,

• N¸u b = 0 v  c 6= 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

• N¸u b = 0 v  c = 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m

• N¸u b 6= 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m duy nh§t x = −c

b

♣ Tr÷íng hñp 2 N¸u a 6= 0, th¼

• f(x) = 0 væ nghi»m khi v  ch¿ khi ∆< 0

• f(x) = 0 câ nghi»m khi v  ch¿ khi ∆ ≥ 0

• f(x) = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ∆> 0

• f(x) = 0 câ nghi»m k²p khi v  ch¿ khi ∆ = 0

V½ dö 1.2.2 Cho ph÷ìng tr¼nh

mx2 + (2m+ 3)x+m+ 5 = 0 (1.3)T¼m c¡c gi¡ trà cõa m º ph÷ìng tr¼nh (1.3) thäa m¢n

1 Væ nghi»m;

2 Câ nghi»m k²p;

3 Câ hai nghi»m ph¥n bi»t

Líi gi£i Ta câ

(1.3) câ nghi»m k²p ⇔∆0 = 0 ⇔ m = 9

8.(1.3) câ hai nghi»m ph¥n bi»t ⇔ ∆0 > 0 ⇔ m < 9

8.K¸t luªn:

Líi gi£i Ta câ

2

+ 3

4 > 0.

Do â, ph÷ìng tr¼nh (1.4) câ hai nghi»m ph¥n bi»t.

Nh÷ vªy, ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ nghi»m vîi måi m ∈ R. 2

Do â, ta câ ành l½ sau

ành l½ 1.3.1 N¸u x1, x2 l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc hai

Tr¡i l¤i, gi£ sû hai sè câ têng b¯ng S v  t½ch b¬ng P N¸u ta gåi mët sè

l  x, th¼ sè kia l  S − x Theo gi£ thi¸t ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh

x(S − x) = P ⇔ x2 − Sx+P = 0

Nh÷ vªy, i·u ki»n º hai sè tr¶n tçn t¤i l  S2 −4P ≥ 0 Nhí â, ta thu

÷ñc ành l½ sau

ành l½ 1.3.2 N¸u hai sè câ têng b¬ng S v  câ t½ch b¬ng P thäa m¢n

S2−4P ≥ 0, th¼ hai sè â l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx2−Sx+P = 0.Nhªn x²t 1.3.2 i·u ki»n º ph÷ìng tr¼nh bªc hai câ

1 N¸u ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m b¬ng 2, t¼m m v  nghi»m cán l¤i;

2 N¸u ph÷ìng tr¼nh câ hi»u cõa hai nghi»m b¬ng 7, t¼mm v  hai nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh

Líi gi£i 1 Thay x1 = 2 v o ph÷ìng tr¼nh (1.5) ta câ

Do â x1 = 6, x2 = −1, m = −6 2

V½ dö 1.3.2 Gåi x1, x2 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

(m −1)x2 −2mx+m −4 = 0 (1.6)Chùng minh r¬ng biºu thùc A = 3(x1+x2) + 2x1x2 −8 khæng phö thuëc

v o gi¡ trà cõa m

Líi gi£i Ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ 2 nghi»m x1, x2 khi v  ch¿ khi

x1 +x2 = 2m

m −1, x1x2 =

m −4

m −1,thay v o A ta câ

Nhªn x²t 1.3.3 L÷u þ i·u ki»n cho tham sè º ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câhai nghi»m Sau â, düa v o h» thùc Vi±te rót tham sè theo têng nghi»m,t½ch nghi»m Nhí â, çng nh§t c¡c v¸ ta s³ ÷ñc mët biºu thùc chùanghi»m khæng phö thuëc v o tham sè

V½ dö 1.3.3 Cho ph÷ìng tr¼nh

x2 −(2m+ 1)x+m2 + 2 = 0 (1.8)T¼m m º ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m x , x thäa m¢n h» thùc

y1 = 1

x1 + 1, y2 =

1

x2 + 1.Líi gi£i Do x1, x2 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.10) n¶n theo ành l½Vi±te ta câ

x1 +x2 = −5

2, x1x2 = −6

2 = −3

1.4 ành l½ v· d§u cõa tam thùc bªc hai

H ành l½ thuªn v· d§u cõa tam thùc bªc hai

Cho tam thùc bªc hai

f(x) = ax2 +bx+c,vîi a 6= 0, ∆ =b2 −4ac Khi â,

• N¸u ∆ < 0, th¼ af(x) > 0 vîi måi x ∈ R.

• N¸u ∆ = 0, th¼

af(x) > 0 vîi x 6= − b

2a ho°c af(x) ≥ 0 vîi måi x ∈ R.

• N¸u ∆ > 0, th¼ tam thùc câ hai nghi»m x1 < x2 Ta câ

V½ dö 1.4.2 T¼m m º b§t ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m

mx2 −(m + 1)x+ 2m > 0 (1.12)Líi gi£i Ta x²t hai tr÷íng hñp sau

H ành l½ £o v· d§u cõa tam thùc bªc hai

Cho tam thùc bªc hai f(x) =ax2 +bx+c v  sè thüc α Khi â,

• N¸u af(α) < 0 th¼ f(x) câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1, x2 thäa m¢n

x1 < α < x2

• N¸u af(α) > 0 th¼ f(x) væ nghi»m ho°c câ nghi»m x1 ≤ x2 khi

α ∈ (−∞, x1)∪(x2,+∞).V½ dö 1.4.3 Chùng minh ph÷ìng tr¼nh sau luæn câ nghi»m vîi måiα ∈ R.

f(x) = (5α4 + 3)x2 −(α8 + 6α4 −3)x+α8 −4α4 −9 = 0 (1.13)Líi gi£i Ta th§y 5α4 + 3 > 0 n¶n (1.13) l  tam thùc bªc hai X²t x = 1,

ta suy ra vîi måi α ∈ R, ta câ

f(1) = (5α4 + 3)−(α8 + 6α4 −3) +α8 −4α4 −9 = −5α4 −3 < 0.Suy ra

af(1) = (5α4 + 3)(−5α4 −3) = −(5α4 + 3)2 < 0.Nh÷ vªy, theo ành l½ £o v· d§u cõa tam thùc bªc hai ta suy ra ph÷ìngtr¼nh f(x) = 0 luæn câ hai nghi»m x1, x2 v  x1 < 1 < x2 2

Nhªn x²t 1.4.1 B i to¡n chùng minh ph÷ìng tr¼nh bªc hai câ nghi»mth÷íng ÷ñc gi£i quy¸t b¬ng c¡ch t½nh ∆ v  chùng minh ∆ ≥ 0 Tuynhi¶n, khi c¡c h» sè cõa x phùc t¤p th¼ vi»c t½nh v  chùng minh ∆ ≥ 0s³ cçng k·nh, khâ kh«n Do vªy, ¡p döng ành l½ £o v· d§u cõa tam thùcbªc hai khi¸n nhúng b i to¡n nh÷ tr¶n trð n¶n ìn gi£n v  d¹ d ng hìn

Ð v½ dö tr¶n, ta ¢ x¡c ành ÷ñc h» sè cõa x2 d÷ìng n¶n ch¿ c¦n chån

α sao cho f(α) < 0 thäa m¢n Tuy nhi¶n, èi vîi b i to¡n m  h» sè cõa

x2 ch÷a x¡c ành d§u, ta ph£i chùng minh m  khæng phö thuëc d§u cõah» sè cõa x2 b¬ng c¡ch ¡p döng h» qu£ rót ra tø ành l½ tr¶n nh÷ sau.H» qu£ 1.4.1 Cho tam thùc bªc hai f(x) = ax2+bx+c v  sè thüc α, β

(α < β) Khi â, f(α)f(β) < 0 khi v  ch¿ khi f(x) câ hai nghi»m ph¥nbi»t x1 < x2 v  câ duy nh§t mët nghi»m n¬m trong kho£ng (α, β)

V½ dö 1.4.4 Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh sau luæn câ nghi»m vîi måi

sè thüc α, β

f(x) = 2x2 −2(α − β)x − αβ = 0 (1.14)

Líi gi£i X²t

f(α − β) = 2(α − β)2 −2(α − β)(α − β)− αβ = −αβ

f(α) = 2α2 −2(α − β)α − αβ = αβ

Ta th§y f(α − β)f(α) = −αβ.αβ = −(αβ)2 ≤ 0 vîi måi α, β ∈ R.

Nh÷ vªy, ph÷ìng tr¼nh (1.14) luæn câ nghi»m vîi måi α, β ∈ R. 2

Nhªn x²t 1.4.2 N¸u f(α)f(β) = 0, th¼α ho°c β l  nghi»m Khi â, n¸u

α, β l  hai sè thäa m¢n f(α)f(β) ≤0, th¼ câ thº k¸t luªn ngay r¬ng f(x)luæn câ nghi»m

Khi ¡p döng ành l½ £o v· d§u cõa tam thùc bªc hai, v§n · khâ kh«nnh§t l  chån α th¸ n o cho phò hñp Nhúng b i to¡n n y th÷íng câ tham

sè, do â câ thº chån α sao cho trong qu¡ tr¼nh t½nh f(α), tham sè bà tri»tti¶u c ng nhi·u c ng tèt

H So s¡nh nghi»m

Tø ành l½ £o v· d§u cõa tam thùc bªc hai, chóng ta rót ra quy t­c sos¡nh nghi»m cõa tam thùc bªc hai vîi c¡c sè thüc nh÷ sau:

Cho tam thùc bªc hai f(x) = ax2+bx+c câ hai nghi»m thüc l  x1 v 

x2, S = x1+x2; α, β ∈ R º thüc hi»n so s¡nh nghi»m cõa tam thùc bªc

hai vîi sè thüc, tr÷îc h¸t ta t½nh c¡c ¤i l÷ñng ∆, af(α), af(β), S

B¥y gií, x²t ph÷ìng tr¼nh 2x2 + 6mx −3 = 0, ta câ

∆0 = 9m2 + 6 > 0 vîi måi m ∈ R.

Do â, tam thùc luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1 < x2 Theo h» thùcVi±te ta câ x1x2 = −3

2, k²o theo x1 v  x2 tr¡i d§u Tø â suy ra h» (1.15)

væ nghi»m khi x1, x2 thäa m¢n i·u ki»n



− 5

12,

512



V½ dö 1.4.6 Cho ph÷ìng tr¼nh

(m −1)x2 −2(m + 1)x −3(m −2) = 0 (1.16)H¢y t¼m c¡c gi¡ trà cõa m sao cho

1 Ph÷ìng tr¼nh câ óng mët nghi»m thuëc kho£ng (−1,1);

2 N¸u ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m th¼ nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh thuëckho£ng (−2,1)

Líi gi£i 1 Ta x²t hai tr÷íng hñp sau

◦ Tr÷íng hñp 1: (1.16) câ nghi»m k²p thuëc (−1,1), ngh¾a l 

khæng thäa m¢n i·u ki»n · b i

2 º nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thuëc kho£ng (−2,1), i·u ki»n l 

4 < m < 1

⇔ 3

4 < m < 1

2

1.5 ç thà cõa tam thùc bªc hai

Cho tam thùc bªc hai f(x) = ax2 +bx + c Khi â, ç thà cõa f(x)

÷ñc chia th nh c¡c tr÷íng hñp sau

Ch֓ng 2

Sû döng tam thùc bªc hai trong vi»c gi£i ph÷ìng

tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c d¤ng to¡n v· vªn döng tamthùc bªc hai v o vi»c gi£i v  bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nhtrong khuæn khê cõa ch÷ìng tr¼nh gi¡o döc phê thæng Hìn núa, méi d¤ngto¡n ÷ñc chóng tæi cho nhúng v½ dö minh håa cö thº Nëi dung cõa ch÷ìng

n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1], [2], [3], [4], [5], [6]

2.1 D§u cõa tam thùc bªc hai tr¶n mët mi·n

v  b i to¡n bi»n luªn b§t ph÷ìng tr¼nh

D§u cõa tam thùc bªc hai tr¶n mët mi·n l  mët v§n · quan trång cõac¡c b i to¡n v· b§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai, m  °c bi»t l  c¡c b i to¡n câtham sè D÷îi ¥y l  c¡c d¤ng to¡n th÷íng g°p

D¤ng 1 Cho tam thùc bªc hai f(x) = ax2+bx+c H¢y t¼m i·u ki»n

º f(x) > 0 (ho°c f(x)< 0) vîi måi x

Líi gi£i Ta câ

• f(x) > 0 ∀x ∈ R ⇔



a > 0

∆ < 0

• f(x) < 0 ∀x ∈ R ⇔ a < 0

D¤ng 2 Cho tam thùc bªc hai f(x) = ax2+bx+c H¢y t¼m i·u ki»n

º f(x) > 0 (ho°c f(x)< 0) vîi måi x > α

Líi gi£i Ta câ

• N¸u a > 0, th¼ f(x) câ ç thà l  parabol quay b· lãm l¶n tr¶n Do â,

V½ dö 2.1.1 Cho b§t ph÷ìng tr¼nh

f(x) = (a −1)x2 + (2a+ 3)x+a −3 > 0 (2.1)

1 T¼m a º (2.1) câ nghi»m;

2 Vîi gi¡ trà n o cõa a th¼ (2.1) câ nghi»m óng vîi måi x > 1

Líi gi£i 1 Ta dòng ph÷ìng ph¡p gi¡n ti¸p, ngh¾a l  tr÷îc ti¶n ta ti¸n h nht¼m a º (2.1) væ nghi»m i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi t¼m a º f(x) ≤ 0 cânghi»m vîi måi x ∈ R, tùc l 

K¸t hñp vîi a > 1 ta câ a > 1 Nh÷ vªy, a ≥ 1 l  c¡c gi¡ trà c¦n t¼m 2

D¤ng 3 T¼m i·u ki»n º b§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai

f(x) = ax2 +bx+c > 0nghi»m óng vîi måi x ∈ (α, β)

Líi gi£i Ta câ

• N¸u a > 0, th¼ f(x) câ ç thà l  parabol quay b· lãm l¶n tr¶n Do â,

(2.4) ⇔ msin2x+ (2m −1) sinxcosx+ (m −3) cos2x > 0.

Bði v¼ x ∈ −π,π n¶n cosx > 0, do â

K¸t hñp vîi m > 0 ta suy ra b§t ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.

• N¸u m < 0, th¼ do ç thà cõa f(y) l  parabol câ b· lãm quay xuèngd÷îi Do â, (2.5) khæng thº câ nghi»m vîi måi y < 1

Tâm l¤i, khæng tçn t¤i m thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n 2

2.2 Ph÷ìng tr¼nh chùa d§u gi¡ trà tuy»t èi

º gi£i ph÷ìng tr¼nh chùa d§u gi¡ trà tuy»t èi ta câ thº chuyºn ph÷ìngtr¼nh th nh ph÷ìng tr¼nh bªc hai b¬ng c¡ch sau:

Líi gi£i Ta câ

i

= (m −3)2(2m −5).Khi â,

◦ ∆0 < 0 ⇔ 2m −5 < 0 ⇔ m < 5

2, ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0 væ nghi»mn¶n h» (2.9) væ nghi»m

◦ ∆0 = 0 ⇔ 2m − 5 = 0 ⇔ m = 5

2, ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0 câ nghi»mk²p x1 =x2 = −3

2 n¶n h» (2.9) væ nghi»m

nh§t º gi£i ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh væ t Tuy nhi¶n, khi n¥ngl¶n lôy thøa vîi sè mô ch®n th¼ ph£i £m b£o hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh,b§t ph÷ìng tr¼nh ph£i khæng ¥m.

Ngo i ra, c¡c ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh câ chùa c«n thùc công câthº ÷ñc gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p °t ©n phö Khi gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p

n y, ta ph£i chó þ trong vi»c °t mi·n cõa ©n phö

V½ dö 2.3.1 T¼m m º ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m

p

2x2 −2(m+ 4)x+ 5m+ 10− x+ 3 = 0 (2.10)Líi gi£i Ta câ

â, x£y ra c¡c tr÷íng hñp sau

◦ N¸u f(x) câ nghi»m l  x = 3, th¼