Câu IV 1,0 điểm Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, mặt bên SBC hợp với đáy một góc 60°.. Tính thể tích khối chóp S.AMNP.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2
Năm học: 2012 - 2013
Môn: Toán - Khối B, D Thời gian làm bài: 150 phút
-******* - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= −x3 3x2−mx+2 có đồ thị là (C ) m
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2.Tìm m để (C ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với m
đường thẳng y= − +4x 3
Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
1 Giải phương trình : tan x = 4cos 2x2 + cot x
2 Giải hệ phương trình: ( )
3 3
, (x, y∈ℝ)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân bất định: 1
1 2 2x 1
=
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC), mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc 60° Gọi N là trung điểm của BC, trên
AB và AC lấy các điểm M, P sao cho AM = AN = AP Tính thể tích khối chóp S.AMNP
Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực x,y thỏa mãn: 2 + 2 =
x y 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: = 3+ 3 −
P 2(x y ) 3xy
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), biết đường thẳng ∆: 3x−4y+ =3 0 cắt (C) theo dây cung AB với AB = 2
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 1; 0), B(0; 0; -2), C(1; 1; 1) Hãy viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho khai triển 3
3 2
3 n
x x
+
Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng 631 Tìm hệ số của số hạng có chứa x 5
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B là: x+y-3=0 và chân đường cao
kẻ từ A là H(3;-3) 7 3
2 2
−
là trung điểm của AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết B có hoành độ lớn hơn 4
2 Trong không gian Oxyz, Cho bốn điểm A(0;2;1), B(2;0;0), C(3;-2;0), D(1;3;2) và đường thẳng
d: x 1 y 1 z 2
Tìm điểm M trên d sao cho nó cách đều D và mặt phẳng (ABC)
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 0,5 y
2
.Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2
MÔN: TOÁN LỚP 12 – Khối B, D
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài Bài làm của học sinh yêu
cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
I Cho hàm số y= −x3 3x2−mx+2 đồ thị (C m) 2
điểm 1đ 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
+ Học sinh tự làm bài khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1đ
1đ
2 +) y'=3x2−6x m−
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y'=3x2−6x m− =0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 ⇔ ∆ = +' 9 3m> ⇔ > −0 m 3 (*)
+) Gọi hai điểm cực trị là A x y( 1; 1) (;B x y2; 2) Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:
( )
m
m
m
= − − + + −
= = − − + + −
⇒Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2
d y= − + x+ − +) Đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng
4 3
y= − +x
( )
2 4 1
m
m
⇔ − + − = − ⇔ = −
Kết luận:
0.25
0.5
0.25
điểm
1đ
1 ĐK : sin 2x 0 x k , k
2
π
tan x cot x 4 cos 2x 4 cos 2x
sin 2x
−
cos 2x sin 4x.cos 2x 0 1 sin 4x cos 2x 0
k x
, k k sin 4x 1
x
= +
=
−π π
= −
ℤ
Kết luận:
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 31đ
2
Xét y=0, thay vào không thỏa mãn
Xét y ≠ 0 , đặ t 1 t
y =
( )
3 3
3
3
2
1 x
1 2x 1 y 1
2x 1
y
− =
⇔
− + = −
3 3
x 2t 1(1)
+ =
⇒
t x x xt t 2 0 t x
Thay t=-x vào (1) ta đượ c
( ) ( )
x 1
1 5
x 2x 1 0 x 1 x x 1 0 x
2
1 5 x
2
=
+
− − = ⇔ + − − = ⇔ =
−
=
0.25
0.25
0.25
0.25
điểm
1đ
2x 1 + = t ⇒ 2x = − t 1 ⇒ dx = tdt
ln 1 2
2 1 ln 1 2 2 1
0.25 0.5
0.25
điểm
1đ
HÌNH VẼ: hỌC SINH TỰ VẼ HÌNH +) Xác định góc SNA =600; A N =a 3 SA =3a
;
+) Chứng minh: ⊥ ⇒ A MNP = =
a
2
+) V S A MNP = S A MNP SA =a
3
0.25
0.5
0.25
điểm
+) Đặ t x+y=t
2
2
−
2x +2y ≥ x+y ⇒t ≤ ⇔ − ≤ ≤4 2 t 2
2 x y 6xy x y 3xy t t 6t 3
2
3t 3t 6, P ' 0 (tm)
t 2
=
= −
0.25
0.25
Trang 41đ
+) P(1) 13, P(2) 1, P( 2) 5
2
MaxP=13
2 khi 2 2
x +y =2, x+ =y 1
MinP=-5 khi 2 2
điểm
A Theo chương trình chuẩn
điêm
1
Gọi H là trung điểm của AB IH d(I, ) 3.1 4.1 3 2
Bán kính của đường tròn là:
2
R IH
⇒phương trình đường tròn là: ( ) (2 )2 29
x 1 y 1
25
Kết luận
0.25
0.25 0.25 0.25
2 +) Giả sử mp(P) có dạng: Ax+By+Cz+ =D 0,(A2+B2+C2≠0)
⇒nP =(A; B;C) là VTPT của mp (P)
+) (P) đi qua A và B nên ta có hệ pt: 1( )
2 2C D 0
D A B
⇒
⇒ mp (P) có phương trình là: 1( ) ( )
Ax By A B z A B 0
2
A 1 B
d C;(P) 3
A 7
B 5
= −
+) Với A 1
B= − chọn A = 1, B = -1⇒C = 1, D = 2 ⇒ (P) : x y z 2 0− + + =
Với A 7
B=5 chọn A = 7, B = 5 ⇒C = 1, D = 2 ⇒ (P) : 7x 5y z 2 0+ + + =
0.25
0.25
0.25
0.25
VII
A
1 điểm
+) Ta có:
+) Tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên là: 0 1 2
C + C + C = ⇔ =n
18
k k
Theo gt: 18 13 5 6
6
k
k
+) Vậy hệ số của số hạng chứa 5
x là 6 6
12.3
C
0.25 0.25 0.25
0.25
B Theo chương trình nâng cao
VIB
Trang 51đ
1 +) B∈d⇒B a;3 a( − )⇒A 7 a; a( − −6)
HA= −(4 a; a−3 , HB a 3; 6 a) ( − − )
H là chân đường cao của tam giác kẻ từ A ⇒ HA.HB = 0
+) ( 4 a )( a 3 ) ( a 3 6 )( a ) 0 a 3(l)
a 5(tm)
=
=
⇒ B 5; 2 , A 2; 1 ( − ) ( − )
BC là: x-2y-9=0
Đường thẳng AC qua A(2;-1) và vuông góc với d có phương trình:
x-y-3=0
+) C=AC∩BC⇒tọa độ C là nghiệm của hệ
( )
x 2y 9 0 x 3
C 3; 6
x y 3 0 y 6
0.25
0.25
0.25
0.25
2 +) Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 2x+y+2z-4=0
+) M∈d⇒M a 1; 2a 1; 2a( + − +2)
d M, (ABC)
3
+
=
MD= 9a −16a 16+
gt⇒MD=d M, (ABC)( ) 8a 1
3
+
9a 16a 16
a 1
160 269 320 17a 160a 143 0 143 M 1;3; 2 , M ; ;
17 17 17 a
17
=
0.25 0.25
0.25
0.25
VIIB
+) Đk:
x
y
< ≠
+ >
+)
y
⇔ = −
+)
=
⇔
=
+) V ớ i y = 6 ⇒ x = − 8 (tm)
V ớ i y = 4 ⇒ x = − 4 (tm) KL
0.25
0.25
0.25
0.25