Hình chiếu của điểm A’ lên ABC trùng với I là tâm đường tròn nội tiếp với đáy.. Tính thể tích khối chóp ABCC’.. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B sao cho khoảng cách từ D đến mặt phẳn
Trang 1NHÁY B 2009
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số : y = - x4 + 2x2 + 3
a) Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị (C)
b) Với giá trị nào của m, phương trình : (x2 + 1)|x2 – 3| = m có 6 nghiệm phân biệt
Câu 2 (2 điểm ) :
3 sin 3x 2(2 cos 2x +cos x) +
2 Giải hệ: x x 2 82 2 2
x y + 4 + 2xy 19
y
+ + =
⎧
⎨
=
⎩
Câu 3 (1 điểm ) Tính tích phân : 1 2
0
2 ln(x+1)
x (x +3)
=∫
Câu 4 (1 điểm ) Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a và hợp với đáy một góc 600 Hình chiếu của điểm A’ lên (ABC) trùng với I là tâm đường tròn nội tiếp với đáy Đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc B = 600 Tính thể tích khối chóp ABCC’
Câu 5 (1 điểm ) Cho hai số x, y dương thay đổi sao cho : x2 + y2 + 3xy ≥ 5, tìm GTNN của biểu thức :
T = x 4 + y4 + x2y2 - 2(x2 + y2) + 8
Câu 6 (3 điểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) biết nó qua gốc toạ độ O, tiếp xúc với đường thẳng d: x – y + 2 = 0 và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C’): (x – 2)2 + y2 = 4
2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; 1; 2), B(0 ; 1 ; 1); C(2 ; 1 ; 0); D(- 4; - 3 ; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B sao cho khoảng cách từ D đến mặt phẳng gấp 2 lần khoảng cách từ C đến mặt phẳng
3 Gọi © là đồ thị hàm số : y = 2x - x - 6 2
x 1+ Tìm sao cho đường thẳng y = x + m cắt © tại hai điểm M
N sao cho độ dài MN nhỏ nhất
GIẢI VẮN TẮT
Câu 1
a) y’ = - 4x3 + 4x = 0 Ù x = 0 hay x
= 1 ±
b) f(x) = - x4 + 2x2 + 3 = - (x2 + 1)(x2
- 3)
Phương trình Ù |f(x ) | = m Số
nghiệm là số giao điểm của đường
thẳng y = m và đồ thị hình dưới
Phương trình có 6 nghiệm Ù 3 < m
< 4
1 2 3 4
x y
Trang 2Câu 2
1 cosx (1 – 2cos2 x) – sin2xcosx - 3 sin 3x = 2(2cos2 2x – 1)
Ù cos x cos2 x - sin2xcos x - 3 sin 3x = 2cos4x
Ù cos 3 x - 3 sin 3x = 2 cos 4 x Ù cos(3x ) cos 4x
3
π
2 Chia hai vế của phương trình đầu cho y và phương trình sau cho y2 vì y = 0 không là nghiệm :
2
2
x 2
x 8
4 2x
x + + =19
⎧ + + =
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
2 x
x 8
2 2x
x 19
⎧ + + =
⎪
⎪
⎨
⎩ Thế:
2
x 2 x 35 0
Câu 3
u = 2 + ln(x + 1), dv = d x 2
(x +3) => du =
1
;
dx
=> I =
1 1 0 0
.ln(x 1)
d
−
Câu 4
A
B
C
A’
B’
C’
B
Ta có AI = AA’ cos600 = a => bán kình đường tròn nội tiếp là a/ 2
Chiều cao lăng trụ là A’I = AA’sin600 = a 3
2
Ta có: S = pr Ù AB AC = (AB + AC + BC) R
Trang 3Mà : AC = AB 3,BC=2A B, suy ra: AB2 3 (3 3).
2
a AB
=> AB = ( 3 1)
2
=> SABC = AB2 3 / 2 =
Ta có: V ABCC' =V A ABC' =S ABC 'A H
Câu 5 Từ giả thiết và : x y ≤
x + y
2 , ta suy ra : 5 ≤
5 (x +y )
2 + y2 ≥ 2
T = (x2 + y2)2 - x2 y2 - 2(x2 + y2) + 8 ≥ (x2 + y2)2 1 2 2 2
(x +y ) 4
− - 2(x2 + y2) + 8
≥ 3t2 / 4 - 2t + 8 = f(t) với t = x2 + y2 ≥ 2
f’(t) = 3t/2 – 2 > 0 khi t > 2
Hàm số f(t) đồng biết khi t ≥ 2 do đó f(t) ≥ f(2) = 7
Vậy minT = 7 khi x = y = 1
Câu 6
1 I(a ; b), ta có: d(I; d) = R Ù | 2 |
2
a b
R
− + = (1)
(C’) có tâm J(2 ; 0), bán kính 2, do đó : IJ = R + 2 Ù (a – 2)2 + b2 = (R + 2)2
Ù a2 + b2 – 4a + 4 = R2 + 4R + 4 (2)
Ngoài ra: IO = R Ù a2 + b2 = R2 (3)
Từ (2) và (3) : a = - R => b = 0
Thế vào (1) : (- R – 0 + 2)2 = 2R2 Ù R2 + 4R – 4 = 0 Ù R = 2( 2 1)−
Tâm I(2(1 - 2 ); 0)
2 ax + by + cz + d = 0 : a + b + 2c + d = 0 (1)
b + c + d = 0 (2)
2 | 2a b d| | 4a 3b c d|
=
(1) – (2): a + c = 0 => d = - b - c
Thế vào (3) : 2| - 3c| = |4c – 4b| Ù - 6c = 4c – 4b hay – 6c = 4b – 4c
Ù b = 5c/2 hay c = - 2b
* Chọn c = - 2 : 2x + y – 2z + 1 = 0 hay 2x - 5y – 2z + 7 = 0
2x - x 6 (x − = +m)(x 1)+ 2 - (m + 2) x – m – 6 = 0 > 0
Δ = + + 8
MN2 = 2(x2 – x1)2 = 2 2
a
Δ
= 2 (m2 + 8m + 28) = 2[(m + 4)2 + 12]
Vậy min MN = 24 Ù m = - 4