Bài giảng xác suất và thống kê ( tiếp )- Trấn An Hải

Bài giảng xác suất và thống kê ( tiếp )- Trấn An Hải

a) Các biên cô độc lập

s Hai biên cô A và B liên quan đên một phép thử

T được gọi là độc lập nếu P(AB) = P(A)P(B)

Khi P(B)>0, thì P(AB) = P(A)P(B)

© P(A)= F (3B) ` p(A)= P(A/B)

P(P)

Chú ý

Nếu A và độc lập thì hai biễn cô trong mỗi cặp

sau cũng độc lập : A và B; A và B; A và B

Định nghĩa

Các biên cô Á¡, Ap, ., An liên quan đên phép thử

ï được gọi là độc lập toàn phân nêu với mọi tÔ hợp 1< < j< k< < n, ta có các đẳng thức sau:

P\A, 2 P(A,)P\ Ờ

P\A.A,A J=P (A,)P\A,)P(A,)

P(A,A, -A,) = P(A, )P(A,)- P(A.)

Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phê phâm Hút ngẫu nhiên lân lượt 4 sản phẩm theo kiều mỗi lân rút thì kiểm tra xong và hoàn lại Nêu tat ca 4 sản phẩm này đêu tốt thì lô hàng được

nhận Tìm xác suất đề lô hàng này được nhận.

Ai, As, ., A› độc lập toàn phần => độc lập từng

đôi một Nhưng điêu ngược lại có thê không đúng

Gieo một khôi tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ,

mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt

thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng Ký hiệu 2, X

⁄ tương ứng là biễn cô xuất hiện mặt có màu đỏ,

xanh, vàng.

b) Công thức xác suất đây đủ

= P(A)= > P(AH ) theo Quy tac cộng xác suất

Do Cong thức nhân xác suất:

P(AH) = P(H)P(A/H) (¡= 1 , n),

ta có

Nn P(A)=Š`P(H,)P(A!H,) ©

I=Ì

Lây ngâu nhiên một hộp và từ đó lây ngâu nhiên

một sản phẩm Tìm xác suất để lây được chính phẩm

hing peasant

“©

#2

250p og”

penn

hg Oyen

H000 du

Do đó, theo Công thức Xác suất đây đủ

F(A) = F\(H.)F\(A/H;) + F(H,)FLAIH,) + F\(H›) FUANH.)

3 20

— _ +

310 3 1

Nhận xét mang tính kinh nghiệm:

Trong ví dụ trên, giai đoạn đầu của phép thử là lây

ra 1 trong 3 hộp, giai đoạn hai là lây ra một sản

phâm từ 1 hộp đã được lây ra.

c) Công thức Bayes

Dinh li

Chứng minh

Từ Công thức nhân xác suất

P(A) P(H/A) = P(AH) = PCH) P(A/H))

ta co

F(A) ŠP(H,)P(A/H,)

/

Trong ví dụ trên, trước khi phép thử được tiên hành

P(H,) = 1/3 Còn sau khi đã biết kết quả của phép

thử, thì xác suât của H; bằng 36/121

Người ta đã phỏng vân ngẫu nhiên 200 khách hàng vê một sản phẩm định đưa ra thị meng va thay có:

°« 34 người trả loi “Sé mua’,

°Ổ 96 người trả lời “ có thế ‹ Sẽ mua”

« _ 70 người trả loi “Khong mua’

phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% va 1%

1) Hãy đánh giá thị trường tiêm năng của sản phẩm

đó (hay tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó)

2) Trong sô khách hàng thực sự mua sản phẩm thì

có bao nhiêu phân trăm da tra loi “Sé mua”?

P(H,) = P(“Người đó trả lời Sẽ mua”)

1) Theo Công thức xác suât đây đủ

F(A) = F\(H.)F\(A/H;) + F(H,)FLAIH,) + F\(H›) FUANH.)

Vậy thị trường tiêm năng của sản phẩm đó là

16,75%

2) Theo Công thức Bayes

pi) = P(A JP(A/H,) _ 0.17<0,4

~ 0,40597 = 40,597% ©

MỘT SÓ KIÊN THỨC VỀ TÔ HỢP

Phân này cung cấp cho ta cách tính gián tiễp số

phân tử của một tập hợp hữu hạn

@ Quy tắc cộng

trong các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc

máy bay Mỗi ngày có 10 chuyên ôtô, 5 chuyên tàu hỏa, 3 chuyên tàu thủy, 2 chuyên máy bay Theo Quy tắc cộng, ⁄Ø có 20 cách làm

© Chinh hợp

s Một tập con gồm k phân tử sắp thứ tự của một

tập n phân tử được gọi là một chỉnh hợp chập

k của n phân tử này

Đặc biệt, một chỉnh hợp chập n của n phân tử được gọi là một hoán vị của n phân tử này

x.-.A

Sử cả các anv in nghn tứ tản

Có A£ = 3-2 = 6 cách chọn 2 trong 3 người đi làm

nhiệm vụ, trong đó một người làm đội trưởng.

@ Tổ hợp

s Một tập con gồm k phân tử không quan tâm

đên thứ tự cua mot tap n phan tử được gọi là

mot to hop chap k cua n phân tử này

Có C£ = 3 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm

vụ.

© Quy tắc chia nhóm

Ví dụ

Có bao nhiêu cách chia một bộ bài tulơkhơ (52

con) thành 4 phân bằng nhau?

52I (131) Nêu mỗi giây đông hô chia được một cách thì mật

khoảng 1680 tỉ tỉ năm đề chia xong

BIEN NGAU NHIEN

§1= KHAI NIEM BIEN NGAU NHIEN

Những đại lượng như: lượng khách vào 1cửa hàng

trong ngày, sô khuyêt tật của 1 sản phẩm vừa làm

ra, nhiệt độ ở 1 thời điểm trong ngày, con số mũi

tên trỏ tới trong trò chơi Chiễc nón kỳ diệu có đặc

điểm chung là ta không thể đoán trước được giá trị

nó sẽ nhận Những đại lượng kiểu này được gọi là

biên ngẫu nhiên (bmn) Ta dùng những chữ cái hoa nhu X, Y, Z dé ký hiệu biễn ngẫu nhiên

Nhu câu dự báo dẫn đến việc phải nghiên cứu bmn.

Biên ngẫu nhiên được chia làm 2 loại:

> Một bnn được gọi là rời rạc nêu ta có thể liệt

kê tât cả các giá trị có thê của nó thành một

dãy sô hữu hạn hoặc vô hạn

Ví dụ Số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra

> Một bnn X được gọi là liên fục nêu:

Các giá trị có thể của X lâp đây một hay một

số khoảng của trục sô, thậm chí lấp day ca trục số

Ví dụ Nhiệt độ ở một thời điểm trong ngày

Nhưng nói chung PLX = j # PLY = it Vi vay, mot

Một hình thức cho phép làm điều đó được

gọi là quy luật phân phối xác suat cua bnn

Những hình thức cho quy luật ppxs: công thức, bảng ppxs, hàm pbxs, hàm mật độ.

Một người nhằm bắn một mục tiêu cho tới khi

trúng được một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế) Xác suất trúng đích của mỗi phát bắn bằng p Tìm quy luật poxs của sô viên đạn được

sử dụng.

I

a

=> Quy lu

# Tính P{X= 1} + P(X= 2} + P{X = 3} +

® Cho quy luật ppxs bằng bảng

Giả sử bnn X có thể nhận các giá trị X;, Xa, , Xa

với các xác suất tương ứng là p:, f;, , Dạ

Quy luật ppxs của X được cho bởi bảng

©Cho quy luật ppxs bằng hàm phân bồ xác suất

e‹ Hàm phân bô xác suât (hay hàm phân bô) của bmn X là

F(x) := F{X < xt.

* F(x) c6 lién tuc tai x # ivi ie {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

lim F(x), lim F(X), lim F(X)

x> 2"

+ Tính P{1,5<X < 4}

Nếu X là bmn rời rạc và có tập giá trị được sắp là x; < x <

F(x) =O néu x< x;

F(X) = P; NEU X;< X Xo F(X) = 01 + Po NEU Xo< X < Xa

Tính chất

@ Cho quy luật ppxs bằng hàm mật độ

Người ta chứng minh được : Nếu X là bmn liên tục thì P[X = a} = 0 VaeR Tuy nhiên giá trị X có thể

nhận lại có thể tập trung vào một khoảng nào đó

Ví dụ

Gọi X là thời điểm một đoàn tàu đến ga Hà Nội

Theo quy định tàu đên đúng là lúc 5 giờ Rõ ràng X

là bmn liên tục nên H{X = 5} = 0 Vac R Tuy nhiên,

VỚI £ > 0 cho trước khá bé, nếu tàu càng đến đúng

Tổng quát, ta có định nghĩa

se Hàm mật độ của bmn liên tục X, ký hiéu la p(x),

là hàm thỏa mãn điêu kiện

Tính chất

Từ 3) Suy ra “Totoat =1

# Ném ngẫu nhiên một điểm lên đường tròn

(C): ⁄ + = 2

Tìm hàm pbxs và hàm mật độ của hoành độ điểm

đó.