PHẦN MỞ ĐẦU
Mục đích nghiên cứu
Để giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa đồ thị hàm số y = f(x) và các vấn đề liên quan đến hàm số này, việc nắm vững kiến thức sẽ hỗ trợ các em giải quyết hiệu quả các dạng toán Điều này không chỉ giúp các em có kết quả cao trong các kỳ thi, mà còn đặc biệt quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia 2018-2019.
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là ứng dụng một số lý thuyết trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 nhằm giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số y = f(x).
Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu 33 PHẦN II NỘI DUNG SKKN
Để dạy học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán, cần xây dựng những cơ sở lý luận vững chắc Qua việc mô tả và phân tích, chúng ta có thể xác định các biện pháp hiệu quả nhằm hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập và giải quyết vấn đề.
1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y f x và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x 0
2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x x 0
Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x x 0
2.1.3 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
2.1.4 Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng
2.1.5 Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y f x có đồ thị (C) Khi đó, với số a 0 ta có:
Hàm số y f x a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
Hàm số y f x a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
Hàm số y f x a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
Hàm số y f x a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
Khi phân tích đồ thị của hàm số f(x), việc xác định các khoảng đơn điệu, điểm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = f(x) hoặc các hàm số hợp là rất quan trọng Những yếu tố này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm và tối ưu hóa các giá trị cần thiết.
( ) f u x , bây giờ ta đi xét một số dạng bài toán thường gặp sau đây
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm khoảng đơn điệu của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm khoảng đơn diệu của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 1: ( Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018 ) Cho hàm số y f x Hàm số
'( ) y f x có đồ thị như hình bên Hàm số
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x Biết f x có đạo hàm f x ' và hàm số y f x ' có đồ thị như hình vẽ Đặt g x f x 1 Kết luận nào sau đây đúng?
A Hàm số g x có hai điểm cực trị.
B Hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;3
C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;4
D Hàm số g x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y f x ' Xét hàm số g x f x 2 2 Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 2
B Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;
C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;0
D Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2
Lập bảng biến thiên của hàm số ta chọn đáp án C.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R, với điều kiện f(2) = f(-2) = 0 Đồ thị của hàm số y = f'(x) có hình dạng nhất định Câu hỏi đặt ra là hàm số y = (f(x))^2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng đã cho.
Ta có bảng biến thiên : x 2 1 2
Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a, b) Đồ thị của hàm số f'(x) được cung cấp trong hình vẽ Để tìm điều kiện của m cho hàm số này, cần phân tích các đặc điểm của đồ thị và mối liên hệ giữa f(x) và f'(x).
Ta có g x ' 2019 ln 2019 ' 2019 x f x m Để hàm số g x đồng biến trên 0;1 thì
với mọi x 0;1 Đặt h x 2019 ln 2019 ' 2019 x f x thì m min 0;1 h x
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta xét trên đoạn 0;1 thì
Lại có y 2019 x đồng biến và dương trên 0;1
Nên h x 2019 ln 2019 ' 2019 x f x đồng biến trên 0;1
Suy ra min 0;1 h x h 0 2019 ln 2019 ' 2019 0 f 0 ln 2019 ' 1 f 0
(vì theo hình vẽ thì
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm cực trị của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm cực trị của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 6: Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y f x ' trên K như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số y f x trên K
Hướng dẫn: Để xác định số điểm mà đồ thị y = f(x) cắt trục Ox, ta chỉ cần tìm các điểm cắt mà không cần quan tâm đến các điểm tiếp xúc với trục Ox.
Khi xét một thực a dương, chúng ta có thể thay đổi yêu cầu thành việc tìm số cực trị của hàm số y = f(x + a) hoặc y = f(x - a) trên K Kết quả sẽ không thay đổi Lưu ý rằng số cực trị của các hàm số y = f(x), y = f(x + a) và y = f(x - a) là bằng nhau, nhưng mỗi hàm số sẽ đạt cực trị tại các giá trị x₀ khác nhau.
Ví dụ 8: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi đó trên K , hàm số
2018 y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f x ' 2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f x ' 2018 vẫn cắt trục hoành 1 điểm.
Ví dụ 9: Cho hàm số f x ( ) xác định trên và có đồ thị f x ( ) như hình vẽ Đặt
( ) ( ) g x f x x Hàm số g x ( ) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
Ví dụ 10: Cho hàm số y f x và đồ thị hình bên là đồ thị của hàm f x ' Hỏi đồ thị của hàm số g x 2 f x x 1 2 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?
Đồ thị hàm số g(x) có thể có tối đa 7 điểm cực trị, vì hàm số h(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm Số điểm cực trị của g(x) tỉ lệ thuận với số giao điểm của h(x) với trục hoành.
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm GTLN, GNNN của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm GTLN,GNNN của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x), trên đoạn [a, b]
Bước 1: Tính đạo hàm y’ trên đoạn [a ; b]
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 11: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
2;2 , có đồ thị của hàm số y f x như hình bên Tìm giá trị x 0 để hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên 2;2
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: x 2 1 1 2 y , + 0 + 0 - y
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) Đồ thị của hàm số y = f'(x) được mô tả trong hình vẽ Theo điều kiện f(0) + f(1) - 2f(2) = f(4) - f(3), chúng ta cần xác định giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn đã cho.
Dựa vào BBT ta có M f 2 , GTNN chỉ có thể là f 0 hoặc f 4
Trong ví dụ 13, người ta nghiên cứu gia tốc a(t) của một vật thể đang chuyển động, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, được đo từ giây thứ nhất đến giây thứ n.
Trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10, hàm số liên tục a(t) cho thấy đồ thị của vận tốc của vật thể Để xác định thời điểm vật thể có vận tốc lớn nhất, cần phân tích hình dạng đồ thị và các giá trị của hàm số trong khoảng thời gian này.
A giây thứ 7 B giây thứ nhất C giây thứ 10 D giây thứ 3.
Ví dụ 14: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và đồ thị của hàm số f x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?
Ví dụ 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và đồ thị của hàm số f x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào đồ thị của hàm số f x '( ) ta có:
Ví dụ 16: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số
' y f x như hình vẽ sau Đặt g x f x x
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Ta có g x ' f x ' 1 Ta vẽ thêm đường thẳng
Ví dụ 17: ( Câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018 )
Cho hàm số y f x Đồ thị của hàm số y f x như hình bên Đặt g x 2 f x x 1 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Như vậy ta có: g 1 g 3 g 3 Ta chọn đáp án D.
Dạng 4: Một số bài toán l iên quan đến đồ thị của hàm số
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.
Phương Pháp1: Đồ thị hàm số f x ' cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f x
Phương pháp 2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có) Sau đó dựa vào tính chất sau.
Trong ví dụ 18, đồ thị của ba hàm số y = f(x), y = f'(x) và y = f''(x) được trình bày trong hình dưới đây Câu hỏi đặt ra là xác định đồ thị của các hàm số này theo thứ tự tương ứng với các đường cong nào.
Trong khoảng 0; thì C 2 nằm trên trục hoành và C 3 “đi lên”.
Trong khoảng ;0 thì C 2 nằm dưới trục hoành và C 3 “đi xuống”. Đồ thị C 1 nằm hoàn toàn trên trục hoành và C 2 “đi lên” Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 19: Cho đồ thị của ba hàm số y f x , y f x , y f x được vẽ mô tả ở hình dưới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số y f x , y f x và y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
Đồ thị C 2 cắt trục Ox tại 3 điểm, tương ứng với 3 điểm cực trị của hàm số C 1 Đồng thời, đồ thị C 3 cắt trục Ox tại 2 điểm, thể hiện 2 điểm cực trị của hàm số C 2 .
Dạng 5: Một số bài toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y f x '
Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0), đồ thị (C) của hàm số này tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm Hình vẽ bên minh họa đồ thị của hàm số y = f'(x) Nhiệm vụ là xác định diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Ta có f x ' 3 ax 2 2 bx c Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta thấy đồ thị hàm số
' y f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0 Đồ thị hàm số y f x ' đi qua 2 điểm 1;0 , 0, 3 ta tìm được: a 1; c 3
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm nên ta có:
Như vậy (C) đi qua điểm 1;4 ta tìm được C 2 f x x 3 3 x 2
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
Ví dụ 21: Cho hàm số y f x ax 3 bx 2 cx d a b c d , , , ; a 0 có đồ thị (C)
Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị hàm số
' y f x cho bởi hình vẽ bên
Ta có f x ' 3 ax 2 2 bx c Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta thấy đồ thị hàm số
' y f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0 Đồ thị hàm số y f x ' đi qua 2 điểm 1;5 , 0; 2 ta tìm được: a 1; c 2
Suy ra: f x ' 3 x 2 2 f x x 3 2 x C , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên C 0 f x x 3 2 x f 3 f 2 21 Ta chọn đáp án D.
Trong ví dụ 22, một vật di chuyển trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) theo đồ thị vận tốc Trong 3 giờ đầu, đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung Trong khoảng thời gian còn lại, đồ thị chuyển sang đoạn thẳng song song với trục hoành Cần tính quãng đường s mà vật đã di chuyển trong 4 giờ này.
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol v t at 2 bt c km h / x y
Ta có 3 27 v 4 suy ra phương trình chuyển động của vật tốc theo đường thẳng là
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 4 giờ là:
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Cho đồ thị của ba hàm số y f x , y f x , y f x được vẽ mô tả ở hình dưới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số y f x , y f x và y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
Bài tập 2: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số
' y f x như hình vẽ bên Hàm số y f x 2 có bao nhiêu cực trị ?
Bài tập 3: (C âu 47- đề 104-TNTHPTQG 2017-2018 )
Cho hàm số y f x ( ) Đồ thị của hàm số y f x , ( ) như hình bên Đặt g x ( ) 2 ( ) ( f x x 1) 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Bài tập 4: ( câu 49-đề 101-TNTHPTQG 2017-2018 ) Cho hàm số y f x ( ) Đồ thị của hàm số y f x ( ) như hình bên. Đặt h x ( ) 2 ( ) f x x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Bài tập 5: Cho hàm số y f x Đồ thị hàm y f x như hình vẽ Cho bất phương trình 3 f x x 3 3 x m ( m là tham số thực) Điều kiện cần và đủ để bất phương trình
Bài tập 6: Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường s t , hàm vật tốc v t và hàm gia tốc a t theo thời gian t được mô tả ở hình dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây đúng
Bài tập 7: Cho hàm số f ( ) x có đạo hàm là f ' ( ) x Đồ thị của hàm số y f ' ( ) x được cho như hình vẽ bên Biết rằng
(0) (1) 2 (2) (4) (3) f f f f f Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f
Bài tập 8: Cho hàm số
4 2 ( 0) y f x ax bx c a có đồ thị (C), đồ thị hàm số y f x ' như hình vẽ Biết đồ thị hàm số
' y f x đạt cực tiểu tại điểm
Đồ thị hàm số y f x tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
Giải quyết vấn đề
Khi phân tích đồ thị của hàm số f(x), việc xác định các khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = f(x) hoặc các hàm số hợp là rất quan trọng Những yếu tố này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm và tối ưu hóa các giá trị cần thiết trong nghiên cứu và ứng dụng.
( ) f u x , bây giờ ta đi xét một số dạng bài toán thường gặp sau đây
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm khoảng đơn điệu của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm khoảng đơn diệu của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 1: ( Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018 ) Cho hàm số y f x Hàm số
'( ) y f x có đồ thị như hình bên Hàm số
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x Biết f x có đạo hàm f x ' và hàm số y f x ' có đồ thị như hình vẽ Đặt g x f x 1 Kết luận nào sau đây đúng?
A Hàm số g x có hai điểm cực trị.
B Hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;3
C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;4
D Hàm số g x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y f x ' Xét hàm số g x f x 2 2 Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 2
B Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;
C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;0
D Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2
Lập bảng biến thiên của hàm số ta chọn đáp án C.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R, với điều kiện f(2) = f(-2) = 0 Đồ thị của hàm số y = f'(x) có hình dạng nhất định Câu hỏi đặt ra là hàm số y = (f(x))^2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng đã cho.
Ta có bảng biến thiên : x 2 1 2
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng R Đồ thị của hàm số f'(x) được cung cấp trong hình vẽ Cần xác định điều kiện của m để hàm số f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có g x ' 2019 ln 2019 ' 2019 x f x m Để hàm số g x đồng biến trên 0;1 thì
với mọi x 0;1 Đặt h x 2019 ln 2019 ' 2019 x f x thì m min 0;1 h x
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta xét trên đoạn 0;1 thì
Lại có y 2019 x đồng biến và dương trên 0;1
Nên h x 2019 ln 2019 ' 2019 x f x đồng biến trên 0;1
Suy ra min 0;1 h x h 0 2019 ln 2019 ' 2019 0 f 0 ln 2019 ' 1 f 0
(vì theo hình vẽ thì
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm cực trị của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm cực trị của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 6: Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y f x ' trên K như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số y f x trên K
Hướng dẫn: Để xác định số điểm mà đồ thị y = f(x) cắt trục Ox, chúng ta chỉ cần tìm các điểm cắt mà không cần tính đến những điểm tiếp xúc với trục Ox.
Khi xem xét một thực a dương, ta có thể thay đổi yêu cầu thành việc tìm số cực trị của hàm số y = f(x + a) hoặc y = f(x - a) trên K, và kết quả vẫn không thay đổi Điều quan trọng là số lượng cực trị của các hàm số y = f(x), y = f(x + a) và y = f(x - a) là bằng nhau, tuy nhiên, mỗi hàm số sẽ đạt cực trị tại các giá trị x₀ khác nhau.
Ví dụ 8: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi đó trên K , hàm số
2018 y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f x ' 2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f x ' 2018 vẫn cắt trục hoành 1 điểm.
Ví dụ 9: Cho hàm số f x ( ) xác định trên và có đồ thị f x ( ) như hình vẽ Đặt
( ) ( ) g x f x x Hàm số g x ( ) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
Ví dụ 10: Cho hàm số y f x và đồ thị hình bên là đồ thị của hàm f x ' Hỏi đồ thị của hàm số g x 2 f x x 1 2 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?
Đồ thị hàm số g(x) có tối đa 7 điểm cực trị, do hàm số h(x) có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm Điều này cho thấy rằng số điểm cực trị của g(x) tỉ lệ thuận với số giao điểm của h(x) với trục hoành.
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm GTLN, GNNN của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x) Tìm GTLN,GNNN của các hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x), trên đoạn [a, b]
Bước 1: Tính đạo hàm y’ trên đoạn [a ; b]
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 11: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
2;2 , có đồ thị của hàm số y f x như hình bên Tìm giá trị x 0 để hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên 2;2
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: x 2 1 1 2 y , + 0 + 0 - y
Cho hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ Biết rằng điều kiện f(0) + f(1) - 2f(2) = f(4) - f(3) được thỏa mãn Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn đã cho.
Dựa vào BBT ta có M f 2 , GTNN chỉ có thể là f 0 hoặc f 4
Trong ví dụ 13, người ta tiến hành khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể đang chuyển động, trong đó t đại diện cho khoảng thời gian tính bằng giây, bắt đầu từ giây thứ nhất cho đến giây thứ n.
Trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10, hàm số liên tục a(t) có đồ thị được khảo sát Câu hỏi đặt ra là thời điểm nào vật thể đạt vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian này.
A giây thứ 7 B giây thứ nhất C giây thứ 10 D giây thứ 3.
Ví dụ 14: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và đồ thị của hàm số f x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?
Ví dụ 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và đồ thị của hàm số f x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào đồ thị của hàm số f x '( ) ta có:
Ví dụ 16: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số
' y f x như hình vẽ sau Đặt g x f x x
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Ta có g x ' f x ' 1 Ta vẽ thêm đường thẳng
Ví dụ 17: ( Câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018 )
Cho hàm số y f x Đồ thị của hàm số y f x như hình bên Đặt g x 2 f x x 1 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Như vậy ta có: g 1 g 3 g 3 Ta chọn đáp án D.
Dạng 4: Một số bài toán l iên quan đến đồ thị của hàm số
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.
Phương Pháp1: Đồ thị hàm số f x ' cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f x
Phương pháp 2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có) Sau đó dựa vào tính chất sau.
Trong ví dụ 18, đồ thị của ba hàm số y = f(x), y = f'(x) và y = f''(x) được mô tả trong hình dưới đây Câu hỏi đặt ra là xác định đồ thị của các hàm số này theo thứ tự tương ứng với đường cong nào.
Trong khoảng 0; thì C 2 nằm trên trục hoành và C 3 “đi lên”.
Trong khoảng ;0 thì C 2 nằm dưới trục hoành và C 3 “đi xuống”. Đồ thị C 1 nằm hoàn toàn trên trục hoành và C 2 “đi lên” Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 19: Cho đồ thị của ba hàm số y f x , y f x , y f x được vẽ mô tả ở hình dưới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số y f x , y f x và y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
Đồ thị C 2 cắt trục Ox tại 3 điểm, tương ứng với 3 điểm cực trị của hàm số C 1 Đồng thời, đồ thị C 3 cắt trục Ox tại 2 điểm, phản ánh 2 điểm cực trị của hàm số C 2 .
Dạng 5: Một số bài toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y f x '
Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0, đồ thị (C) của hàm số này tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại một điểm có hoành độ âm Hình vẽ minh họa cho đồ thị hàm số y = f'(x) Nhiệm vụ là tìm diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Ta có f x ' 3 ax 2 2 bx c Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta thấy đồ thị hàm số
' y f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0 Đồ thị hàm số y f x ' đi qua 2 điểm 1;0 , 0, 3 ta tìm được: a 1; c 3
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm nên ta có:
Như vậy (C) đi qua điểm 1;4 ta tìm được C 2 f x x 3 3 x 2
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
Ví dụ 21: Cho hàm số y f x ax 3 bx 2 cx d a b c d , , , ; a 0 có đồ thị (C)
Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị hàm số
' y f x cho bởi hình vẽ bên
Ta có f x ' 3 ax 2 2 bx c Dựa vào đồ thị hàm số y f x ' ta thấy đồ thị hàm số
' y f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b 0 Đồ thị hàm số y f x ' đi qua 2 điểm 1;5 , 0; 2 ta tìm được: a 1; c 2
Suy ra: f x ' 3 x 2 2 f x x 3 2 x C , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên C 0 f x x 3 2 x f 3 f 2 21 Ta chọn đáp án D.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h), có đồ thị vận tốc biểu diễn một phần của đường parabol với đỉnh I (2;9) trong 3 giờ đầu và một đoạn thẳng song song với trục hoành trong khoảng thời gian còn lại Cần tính quãng đường s mà vật đã di chuyển trong 4 giờ này.
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol v t at 2 bt c km h / x y
Ta có 3 27 v 4 suy ra phương trình chuyển động của vật tốc theo đường thẳng là
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 4 giờ là:
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Cho đồ thị của ba hàm số y f x , y f x , y f x được vẽ mô tả ở hình dưới đây.
Hỏi đồ thị các hàm số y f x , y f x và y f x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
Bài tập 2: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số
' y f x như hình vẽ bên Hàm số y f x 2 có bao nhiêu cực trị ?
Bài tập 3: (C âu 47- đề 104-TNTHPTQG 2017-2018 )
Cho hàm số y f x ( ) Đồ thị của hàm số y f x , ( ) như hình bên Đặt g x ( ) 2 ( ) ( f x x 1) 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Bài tập 4: ( câu 49-đề 101-TNTHPTQG 2017-2018 ) Cho hàm số y f x ( ) Đồ thị của hàm số y f x ( ) như hình bên. Đặt h x ( ) 2 ( ) f x x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Bài tập 5: Cho hàm số y f x Đồ thị hàm y f x như hình vẽ Cho bất phương trình 3 f x x 3 3 x m ( m là tham số thực) Điều kiện cần và đủ để bất phương trình
Bài tập 6: Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường s t , hàm vật tốc v t và hàm gia tốc a t theo thời gian t được mô tả ở hình dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây đúng
Bài tập 7: Cho hàm số f ( ) x có đạo hàm là f ' ( ) x Đồ thị của hàm số y f ' ( ) x được cho như hình vẽ bên Biết rằng
(0) (1) 2 (2) (4) (3) f f f f f Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f
Bài tập 8: Cho hàm số
4 2 ( 0) y f x ax bx c a có đồ thị (C), đồ thị hàm số y f x ' như hình vẽ Biết đồ thị hàm số
' y f x đạt cực tiểu tại điểm
Đồ thị hàm số y f x tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
Bài tập 9 yêu cầu tính quãng đường s mà một vật di chuyển trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) Đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung.
Bài tập 10: Cho hàm số y f x ( ) Hàm số y f x ( ) có đồ thị như hình bên Hàm số y f (1 x ) đồng biến trên khoảng
Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Hoằng Hóa 4, huyện Hoằng Hóa
Gồm: Lớp thực nghiệm 12A7 và Lớp đối chứng 12A10
Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 12A7 có 40 học sinh, lớp 12A10 có 38 học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 5 năm 2019.
- Lớp thực nghiệm (TN): 12A10 Điểm
Kết quả lớp thực nghiệm có 36/40 ( chiếm 90%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 27/40 (chiếm 62,5%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 25/38 (chiếm 65,8%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 15/38 (chiếm 39,4%) đạt khá giỏi.
Kết quả nghiên cứu cho thấy, tỷ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi ở các lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, trong khi tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình lại cao hơn ở lớp đối chứng Điều này chứng tỏ học sinh lớp thực nghiệm tiếp thu kiến thức tốt hơn Nguyên nhân chủ yếu là do lớp học diễn ra nghiêm túc, học sinh có hứng thú và tích cực tham gia, chủ động "đóng vai", tạo ra không khí lớp học sôi nổi, kích thích sự sáng tạo và khả năng hiểu biết.