Phương pháp toán tử FK giải phương trình schrodinger cho exciton hai chiều trong điện trường đều

Còn đối với trường hợp 2D, một số nhóm cũng sử dụng phương tương tự, tác giả đã phân tích phương trình Schrödinger thành hai phương trình trị riêng một chiều của dao động tuyến tính phi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ MỸ HẢO

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

TP Hồ Chí Minh - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ MỸ HẢO

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM

TP Hồ Chí Minh - 2019

Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn thầy cô trong phòng Vật lý tính toán của Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn Xin cảm ơn bạn bè và người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian làm luận văn

Mặc dù tôi đã cố gắng để hoàn thành luận văn nhưng chắc chắn tôi không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót trong quá trình hoàn thành Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019.

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC BẢNG ii

DANH MỤC HÌNH VẼ ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU 6

1.1 Phương pháp toán tử FK 6

1.2 Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều 10

1.3 Phép biến đổi Levi-Civita 13

1.4 Phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường 14 Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH 19

2.1 Chương trình tính toán 19

2.2 Trường hợp điện trường bằng không 10,2 0 20

2.3 Trường hợp điện trường khác không 10,2 0 26

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 29

DANH MỤC CÔNG TRÌNH 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

PHỤ LỤC 34

Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm ˆ , ˆ r G H H 34

Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrödinger về dạng không thứ nguyên 36 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita 38

Phụ lục 4: Tính giao hoán tử của Hamiltonian và ˆ z L 40

Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hoán a aˆ ˆ, ,b bˆ ˆ,     42

Phụ lục 6: Biểu diễn , ˆ z H L theo các toán tử a a b bˆ ˆ, , ,ˆ ˆ 44

Phụ lục 7: Các công thức tác dụng và tìm các yếu tố ma trận H và R 47

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 Giá trị năng lượng ở các trạng thái n được tính bằng phương pháp toán

tử FK và trong công trình [7] 25Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái cơ bản (n1) phụ thuộc vào cường độ điện trường 26Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất n2 phụ thuộc vào cường

độ điện trường 26

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n1

trong trường hợp nmax  50 22

Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ

nhất n2 trong trường hợp nmax  50 22

Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n3 trong trường hợp nmax  50 23

Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ

nhất n2 trong trường hợp nmax  80 24

Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n3 trong trường hợp nmax  80 24

Hình 2.6 Phổ năng lượng của exciton theo điện trường 27

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật liệu hai chiều (2D) có tính chất vật lý và hóa học quan trọng đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ [27], [28], [30] Kể từ báo cáo đầu tiên của Geim và Novoselov et al vào năm 2004, graphene là một đơn lớp phẳng bao gồm các nguyên

tử carbon được sắp xếp trong mạng tinh thể tổ ong hai chiều (2D), đã nhanh chóng trở thành một trong những chủ đề nóng nhất trong khoa học vật liệu vào thời điểm đó do tính chất hấp dẫn và có tiềm năng lớn Do năng lượng vùng cấm bằng không, cấu trúc siêu mỏng và phẳng, graphene đã thể hiện các tính chất điện tử, nhiệt, quang và cơ học đáng chú ý như: tính di động cao của các hạt mang điện ở nhiệt độ phòng, dẫn nhiệt vượt trội, hệ số truyền quang học cao, Dù graphene đã mang lại những tính chất độc đáo nhưng vì năng lượng vùng cấm bằng không nên nó được xem như một kim loại,

đã làm hạn chế những ứng dụng của nó Ngoài graphene còn có các chất bán dẫn hai chiều có cấu trúc tương tự ví dụ transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonal boron-nitride (h – BN),… Chất bán dẫn 2D là chất bán dẫn tự nhiên có kích thước nguyên tử Khi mà kích thước của nó giảm đáng kể, các chất bán dẫn này thể hiện một

số tính chất độc đáo, chẳng hạn như chuyển từ tính chất bán dẫn gián tiếp sang trực tiếp do đó được ứng dụng trong điện tử, lưu trữ năng lượng, cảm biến và vật liệu tổng hợp [27]

Trong các vật liệu 2D, two-dimensional transition metal dichalcogenides (TMDs) trở thành trọng tâm của nghiên cứu cơ bản và ứng dụng công nghệ do cấu trúc tinh thể của chúng, một loạt các thành phần hóa học và nhiều tính chất vật liệu [28] Do đó, nghiên cứu về TMDs ngày càng tăng và chiếm tỉ lệ khá cao trong số lượng công bố nghiên cứu về vật liệu 2D [8] 2D TMDs thường được kí hiệu MX2 trong đó M là nhóm kim loại chuyển tiếp (ví dụ như Ti, V, Nb, Mo, Hf, Ta, W) và X là nhóm chalcogen (S, Se và Te) TMDs đơn lớp sẽ bao gồm một lớp của nguyên tử kim loại chuyển tiếp được kẹp giữa là hai lớp nguyên tử chalcogen trong cấu trúc lăng trụ tam giác (trigonal prismatic structure) [20] Do cấu trúc tinh thể dị hướng và độc đáo cao, các tính chất vật liệu của 2D TMD có thể được điều chỉnh một cách hiệu quả thông qua các phương pháp khác nhau bao gồm giảm kích thước, xen kẽ,… Cụ thể như ta có thể thay đổi cấu trúc dãy bằng cách làm mỏng lớp 2D thành đơn lớp [28] Đơn lớp

TMDs với năng lượng vùng cấm “trực tiếp” nằm trong khoảng vùng gần hồng ngoại đến khả kiến Hiện nay, các nghiên cứu về đơn lớp TMDs thuộc nhóm VI đang được chú ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, và WSe2 Đây là chất bán dẫn với những tính chất quang học và điện tử đặc biệt, hứa hẹn có nhiều ứng dụng quang điện tử ví dụ như tế bào quang điện, diode phát quang,…[8] Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMDs là hình thành exciton [20]

Exciton là một chuẩn hạt được tạo thành khi có tương tác Coulomb giữa điện tử mang điện tích âm và lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro Exciton thường được phân loại tùy vào tính chất vật liệu đang xét Đối với chất bán dẫn thì exciton này được gọi là exciton Mott-Wannier, với chất cách điện thì người ta gọi là exciton Frenkel Trong chất bán dẫn, exciton được tạo thành khi một photon bị hấp thụ, kích thích điện tử từ vùng hóa trị lên vùng dẫn và để lại một lỗ trống mang điện tích dương Sau đó, điện tử và lỗ trống kết hợp với nhau bằng tương tác Coulomb tạo ra giả hạt exciton đồng thời sẽ phát ra một photon [23] Đối với các chất bán dẫn hai chiều (2D), exciton càng có ý nghĩa đặc biệt, bởi khi số chiều giảm làm tăng tương tác Coulomb [30], đây là nguồn gốc của các hiệu ứng của exciton Hiệu ứng của exciton lại tham gia nhiều quá trình hình thành cơ sở của một lượng lớn các thiết bị exciton ở kích thước nano và các hiệu ứng vật lý, ví dụ như nguồn photon đơn (single photon sources), laser exciton (excitonic lasers), transistor quang điện tử (optoelectronic transistors),… [29]

Phổ năng lượng của exciton là thông tin để tìm hiểu trực tiếp về tính chất vật lý trong chất bán dẫn Nó cũng là nền tảng để nhận biết hiệu ứng của exciton trong thí nghiệm phổ quang học Vì thế việc nghiên cứu phổ năng lượng rất có ý nghĩa Khi số chiều của hệ giảm thì tương tác giữa điện tử và lỗ trống tăng đáng kể đi nên phổ exciton 2D sẽ có cấu trúc rõ nét hơn [16] Tuy nhiên, năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích cao khó đo trong thực nghiệm [21] Vì thế người ta thường tìm cách đặt trường ngoài bao gồm điện trường hoặc từ trường vào để dễ đo đạc phổ hơn Ngoài ra, đặt điện trường song song có cường độ lớn vào các vật liệu khác nhau là một phương pháp hiệu quả để điều chỉnh tính chất quang học của chúng Cụ thể ví dụ như ở công trình [15] khi khảo sát phổ quang phát quang của đơn lớp và hai lớp WS2 trong trường hợp đặt điện trường song song, kết quả cho thấy là khi tăng cường độ điện trường đối

với đơn lớp WS2 thì dẫn đến dập tắt quang phát quang (PL quenching) trong khi đối với hai lớp WS2 thì làm tăng phát xạ quang phát quang; khám phá này có thể giúp ích rất nhiều trong việc phát triển hiệu quả hơn các các thiết bị quang điện tử dựa trên cơ

sở vật liệu 2D TMDs Trong một số nghiên cứu, điện trường ngoài có cường độ lớn được sử dụng để điều chỉnh năng lượng vùng cấm của hai lớp graphene, hai lớp TMDs,… [25] Đặc biệt, điện trường đóng vai trò quan trọng trong các quá trình ion hóa trong TMDs Trong những vật liệu có năng lượng liên kết exciton lớn như TMDs, việc ion hóa bằng nhiệt không hiệu quả nên thay vào đó người ta thường sử dụng điện trường mạnh [22] Ngoài ra, thì việc đặt điện trường ngoài vào giúp ta có thể quan sát hiệu ứng vật lý quen thuộc như hiệu ứng Stark [26] Từ đó, ta có thể nói bài toán exciton hai chiều trong điện trường với các cường độ khác nhau đóng vai trò quan trọng đối với cả lý thuyết và thực nghiệm

Việc giải phương trình Schrödinger để tìm ra phổ năng lượng cho bài toán exciton trong điện trường đều đã được một số nhóm nghiên cứu thực hiện Đối với trường hợp ba chiều (3D), một số nhóm thực hiện việc chuyển phương trình Schrödinger thành cặp hai phương trình trị riêng một chiều [9], [10] Còn đối với trường hợp 2D, một số nhóm cũng sử dụng phương tương tự, tác giả đã phân tích phương trình Schrödinger thành hai phương trình trị riêng một chiều của dao động tuyến tính phi điều hòa nhưng có những điểm khác nhau, cụ thể như công trình [19] của tác giả A J Linssen và M J Gelten được đề cập đến năm 1974 Công trình này đã tính toán được ảnh hưởng của điện trường đều đến mức năng lượng của exciton Wannier hai chiều bằng cách đưa phương trình Schrödinger về tọa độ parabol chứa các tham số không thứ nguyên, sử dụng phương pháp tách biến, tách phương trình Schrödinger thành hai phương trình Các trị riêng năng lượng của exciton ở trạng thái liên kết sẽ được tính gần đúng bằng phương pháp WKB Trong công trình [18] được công bố bởi Frank L Lederrnan and John D Dow năm 1976, phương trình Schrödinger của exciton hai chiều đặt trong điện trường đều cũng được chuyển về tọa

độ parabol tuy nhiên được định nghĩa khác với công trình của Linssen và được tách thành hai phương trình; kết hợp với công thức của Elliott về hệ số hấp thụ của exciton trong vật liệu phân lớp Nhờ đó phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong điện trường đều có cường độ tùy ý được giải chính xác (bằng số) Vào năm 2001, S I Pokutnyi et al đã tìm ra cách để giải quyết bài toán một exciton Wannier-Mott hai

chiều trong điện trường đều [24] Tương tự như hai công trình trên, tác giả sử dụng tọa

độ parabol được định nghĩa tương tự công trình của Linssen Cuối cùng, để giải phương trình Schrödinger một chiều thu được tác giả sử dụng phương pháp số dựa trên công thức ma trận của phương pháp Numerov và đồng thời sử dụng phương pháp gần đúng WKB để tính toán được hệ số xuyên ngầm

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp toán tử FK để giải quyết bài toán trên Phương pháp toán tử FK (viết tắt FK - OM) được đưa ra bởi nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov ở Đại học Belarus vào năm 1982 [12] Phương pháp

có ý tưởng chính dựa trên tư tưởng của thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành hai thành phần: phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn Tuy nhiên, khác so với phương pháp nhiễu loạn thì việc tách Hamiltonian không chỉ phụ thuộc vào yếu tố vật lý mà phụ thuộc vào hình thức của các toán tử trong Hamiltonian Phương pháp FK-OM đã ứng dụng thành công cho các bài toán vật lý nguyên tử, vật

lý chất rắn và bài toán lý thuyết trường [5], [6], [11], [13] Cụ thể hơn là phương pháp này đã giải quyết thành công cho các bài toán đặt trong từ trường ví như: nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kì [1], exciton hai chiều trong từ trường đều [2],… Vì thế kế thừa ý tưởng từ những công trình trước, chúng tôi tiếp tục phát triển

FK – OM cho trường hợp trường ngoài là điện trường và bước đầu là áp dụng cho bài toán exciton hai chiều trong điện trường đều

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là phát triển phương pháp toán tử FK cho bài toán

exciton 2D trong điện trường để xác định nghiệm chính xác bằng số

Mục tiêu trên được thực hiện thông qua những nội dung nghiên cứu sau:

 Tìm hiểu tổng quan

 Thiết lập Hamiltonian của hệ và đưa về dạng toán tử sinh hủy

 Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và tính toán các yếu tố ma trận

 Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số chính xác

 Phân tích, so sánh, nhận xét kết quả

3 Phương pháp nghiên cứu

 Tính toán lý thuyết sử dụng phương pháp toán tử FK

 Lập trình FORTRAN sử dụng gói LAPACK

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận thì luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Exciton hai chiều trong điện trường đều

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp toán tử FK và nguyên

tắc chính của phương pháp này dựa vào các công trình trước Phần tiếp theo là xây

dựng phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường và đưa nó về

dạng không thứ nguyên Sau đó, phép biến đổi Levi-Civita đã đưa phương trình

Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường về phương trình cho dao động tử

phi điều hòa Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho bài toán exciton

hai chiều để tìm ra yếu tố ma trận, sau đó chương trình tính toán được xây dựng dựa

vào gói LAPACK của bài toán trị riêng hàm riêng

Chương 2: Kết quả và phân tích

Chương này, chúng tôi giới thiệu về các yếu tố cần quan tâm khi sử dụng chương

trình tính toán đã xây dựng để tìm ra nghiệm chính xác của phương trình Schrödinger

cho exciton hai chiều trong điện trường và chú ý ở đây chính là phổ năng lượng của

exciton Chương trình tính toán được áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợp

điện trường bằng không tức là bài toán trở thành exciton hai chiều, trường hợp điện

trường “nhỏ” Đối với trường hợp không điện trường, chương trình tính toán thu được

nghiệm chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi viết về dạng chuẩn Còn đối

với trường hợp có điện trường, kết quả thu được phổ năng lượng của trạng thái cơ bản

và một số trạng thái kích thích giúp ta quan sát được hiệu ứng Stark

Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

Phần đầu trong chương trình bày một cách tổng quan, ngắn gọn về phương pháp toán tử FK và quy trình áp dụng phương pháp vào các bài toán đã được trình bày ở các công trình [1], [2], [3], [17] bao gồm bốn bước :

 Hamiltonian được đưa về dạng toán tử sinh hủy

 Hamiltonian được tách thành hai thành phần: thành phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn

 Chuyển động của hạt tự do

Sau đó, phương trình Schrödinger mô tả chuyển động tương đối của lỗ trống và electron được đưa về dạng không thứ nguyên để thuận tiện cho việc tính toán Hamiltonian trong phương trình thu được ở đây có số hạng gây khó khăn do có thành phần ở mẫu số, vấn đề này sẽ được giải quyết khi áp dụng phép biến đổi Levi-Civita Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho exciton hai chiều trong điện trường để tìm ra nghiệm số chính xác Đặc biệt, ở bước cuối trong quy trình áp dụng phương pháp ngoài việc sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm ra các bổ chính bậc cao để thu được nghiệm số chính xác, ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở phần sau

1.1 Phương pháp toán tử FK

Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản của cơ lượng tử,

nó đóng vai trò tương tự phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển Vì vậy các bài toán chuyển động phi tương đối tính của hệ vật lý trong thế giới vi mô đều dẫn tới việc giải phương trình này Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, nhờ đó ta có thể khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian Trường hợp phương trình Schrödinger có sự phân ly biến số

giữa thời gian và tọa độ người ta gọi là phương trình Schrödinger dừng, đây là trường hợp đặc biệt nhưng chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được nghiên cứu Nghiệm của

nó là hàm sóng mô tả trạng thái và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét [14] Tuy nhiên, nghiệm giải tích chính xác của phương trình này chỉ được xác định trong một số trường hợp đơn giản tiêu biểu như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt chuyển động trong hố thế vuông góc,… Còn đối với bài toán phức tạp hơn thì phải dùng đến các phương pháp gần đúng có thể kể đến phương pháp nhiễu loạn và biến phân mà trong đó phương pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điển được sử dụng của cơ học lượng tử

Phương pháp toán tử FK được đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk và Komarov thuộc nhóm nghiên cứu ở đại học Belarus đã xây dựng phương pháp này vào những năm 1980 cho bài toán dao động tử điều hòa bậc bốn [12] Phương pháp này đã được phát triển và ứng dụng thành công cho nhiều bài toán vật lý khác nhau như bài toán vật

lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử và phân tử [5], [6], [11], [13] Phương pháp toán tử FK là một trong những phương pháp tìm nghiệm số chính xác bao gồm

cả hàm sóng lẫn năng lượng cho phương trình Schrödinger

Ý tưởng chính của phương pháp này tương tự như thuyết nhiễu loạn tức là tách thành phần Hamiltonian thành hai thành phần, trong đó thành phần chính đã có nghiệm chính xác và phần còn lại là nhiễu loạn Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian trong lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương tác trường ngoài và phải đủ nhỏ mới áp dụng phương pháp này Còn đối với phương pháp toán tử việc phân chia hai thành phần này chỉ dựa vào hình thức toán tử trong Hamiltonian Ngoài ra, phương pháp toán tử FK còn đưa vào một tham số tự do  để hiệu chỉnh sự tương quan về độ lớn của thành phần chính và nhiễu loạn nhằm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn Nhờ vậy, bán kính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn được làm tăng, cho phép xác định nghiệm số chính xác bằng số với

trong đó  là tham số thực dương được đưa vào để tối ưu quá trình tính toán

Hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hủy:

ˆ ˆ , 1

a a

là công cụ chính trong quá trình tính toán

Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần:

Như vậy, tương tự phương pháp nhiễu loạn, trong phương pháp toán tử FK,

Hamiltonian cũng được tách thành hai thành phần: thành phần chính ˆ 0OMˆ ˆ, , 

có nghiệm chính xác và thành phần ˆOM ˆ ˆ, , , 

V a a   đóng vai trò thành phần nhiễu loạn Tuy nhiên, việc phân chia lúc này chỉ dựa vào hình thức số hạng của

Hamiltonian Hệ số phi điều hòa  có mặt trong cả hai thành phần của Hamiltonian

nên một tham số tự do  phải được đưa vào; tham số này không có mặt trong

Hamiltonian toàn phần H a aˆ ˆ ˆ ,  ,nhưng xuất hiện trong hai thành phần trên Ta có

thể thay đổi giá trị  để làm cho thành phần ˆOM ˆ ˆ, , , 

V a a   thực sự nhỏ nhằm thỏa mãn điều kiện của thuyết nhiễu loạn với độ lớn bất kì của trường ngoài

Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:

    0   0   0 0

Ta thấy toán tử Hˆ 0OM a aˆ ˆ, ,    giao hoán với toán tử a aˆ ˆ cho nghiệm riêng là:

Từ hệ thức giao hoán (1.3) ta dễ dàng chứng minh được a a nˆ ˆ n n từ đó có thể suy

ra được trị riêng của ˆ 0OM ˆ ˆ, , 

H a a   là năng lượng gần đúng bậc zero

Bước bốn: Xác định yếu tố ma trận tìm ra nghiệm số chính xác

Bước này ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chính bậc cao Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao chúng ta có thể sử dụng sơ đồ vòng lặp có ý tưởng sau:

Hàm sóng chính xác của bài toán có thể được biểu diễn chồng chập các trạng thái (1.6) như sau:

1.2 Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều

Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đặt theo phương song song với bề mặt vật liệu   1, 2, 0 là phương trình không dừng Vì exciton có thể bị ion hóa và thời gian sống của nó là hữu hạn, nên cần phải sử dụng phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian Tuy nhiên, giả thuyết rằng thời gian sống của exciton tương đối dài, nên ta có có thể áp dụng phương trình Schrödinger dừng có dạng như sau:

ˆ

Z e V

Ue r r là toán tử thế năng của lỗ trống và electron

do điện trường gây ra

Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều:

Ngoài ra, việc electron và lỗ trống trong exciton tương tác với nhau, các hạt này còn chịu tương tác của các vi hạt khác trong cấu trúc mạng tinh thể Vì thế ở đây ta sử dụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, mối liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng với

Hamiltonian bao gồm hai thành phần động năng và thế năng do điện trường gây

ra nên có thể tách thành hai phần bao gồm của lỗ trống và electron, tuy nhiên thành phần thế Coulomb ta không thể thực hiện tương tự Vì vậy, ta viết (1.15) trong hệ tọa

độ chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối hai hạt Với r R, lần lượt vector tọa độ mô tả chuyển động tương đối của electron và lỗ trống, chuyển động khối tâm của hệ giả hạt được định nghĩa như sau:

Áp dụng phương pháp tách biến, phương trình (1.14) có thể tách thành hai phương trình trị riêng hàm riêng:

với năng lượng và hàm sóng của hệ lần lượt làEE r E G,  r   r G R

Ta có thể tách chuyển động của exciton thành hai chuyển động trong đó là chuyển động tương đối giữa electron, lỗ trống có khối lượng hiệu dụng *trong trường xuyên tâm Coulomb; chịu tác dụng của điện trường có phương trình Schrödinger (1.20) và chuyển động của hạt có khối lượng M có phương trình Schrödinger là phương trình *

(1.21) đã có nghiệm sẵn, do đó phương trình ta cần quan tâm đó là phương trình (1.20)

Để đơn giản trong quá trình tính toán ta chuyển phương trình (1.20) về dạng không thứ nguyên với Z 1, ta được:

, 16

2 *

4

a e

1.3 Phép biến đổi Levi-Civita

Một trong những công đoạn quan trọng khi sử dụng phương pháp toán tử FK chính là đưa Hamiltonian về dạng toán tử sinh hủy, tuy nhiên trong bài toán này nói riêng và các bài toán về nguyên tử phân tử nói chung thì các số hạng biểu diễn tương tác Coulomb chứa thành phần tọa độ ở phía mẫu số gây khó khăn trong việc đưa về dạng chuẩn khi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy Một trong những cách khắc phục khó khăn trên là sử dụng mối liên hệ giữa bài toán exciton hai chiều và dao động tử điều hòa hai chiều trong công trình [17]

Ta sẽ giải phương trình (1.22) bằng phương pháp toán tử FK dựa trên ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn với thành phần chính là dao động tử điều hòa Các nghiên cứu trước [3], [17] đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử trong không gian ( , )x y với bài toán dao động tử phi điều hòa trong không gian ( , )u v thông qua phép biến đổi Levi-Civita:

Để đảm bảo tính Hermit của Hamiltonian trong tọa độ mới (u, v) phương trình

(1.22) tương đương phương trình sau:

ˆ .2

Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán u uˆ ˆ ,  1, v vˆ ˆ ,  1

Khi sử dụng phương pháp toán tử FK người ta thường quan tâm đến tính đối xứng của bài toán Trong các bài toán exciton hai chiều, exciton hai chiều trong từ trường vuông góc,…thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Ozbảo toàn, nghĩa là Hamiltonian và toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz

 ˆ

z

L giao hoán với nhau Vì thế ta sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của

toán tử Lˆz Cách đơn giản nhất để thực hiện điều này là định nghĩa toán tử sinh hủy mới là tổ hợp tuyến tính của toán tử sinh hủy cũ sao cho Lˆz có dạng trung hòa Mặc

dù đối với bài toán này, do ảnh hưởng của điện trường nên đại lượng này không bảo toàn (Phụ lục 4), nhưng để thống nhất với công trình trước [3], ta vẫn sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của toán tử Lˆz để tính toán Ta định nghĩa các toán

tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa ˆ

Các toán tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hoán a aˆ ˆ,    1, b bˆ ˆ,  1.

Ở đây, các toán tử (1.30) được đưa vào một tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc

độ hội tụ Tham số này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả bài toán vì nó không có mặt trong Hamiltonian toàn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần nhiễu loạn, nó đóng vai trò điều chỉnh độ lớn của hai thành phần này để áp dụng điều kiện nhiễu loạn

Hamiltonian (1.27) được biểu diễn dưới dạng toán tử sinh hủy (1.30) như sau (xem phụ lục 6):

1.4.3 Các yếu tố ma trận của Hamiltonian

Ta giải phương trình (1.25) với hàm sóng khai triển (1.40) khi đó phương trình được viết lại :

Thực hiện các tính toán đại số để tìm biểu thức của các yếu tố ma trận (1.42), làm

cơ sở để xác định nghiệm số chính xác của bài toán Kết quả thu được biểu thức của các yếu tố ma trận khác không như sau:

21

n n

n n R

n n

n n R

n n

n n R

1 ,

3 !1

Các yếu tố ma trận H (1.45) có chứa cả phần thực lẫn phần ảo Điều này dự đoán

năng lượng của exciton cũng có dạng phức E   i / 2, phù hợp với bản chất vật lý của hệ nguyên tử trong điện trường ngoài, trong đó thành phần ảo đặc trưng cho xác suất ion hóa xuyên ngầm của nguyên tử [22], là một đại lượng có ý nghĩa trong việc xác định các tính chất vật lý của hệ

1.4.4 Nghiệm số chính xác của phương trình

Phương trình (1.42) tương đương với phương trình sau:

Để giải bài toán exciton hai chiều trong điện trường đều ta xây dựng chương trình tính toán dựa trên ngôn ngữ FORTRAN Phần quan trọng nhất trong chương trình chính là sử dụng gói LAPACK tìm trị riêng cho bài toán trị riêng, hàm riêng trong thư viện Intel Math Kernel

Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH

Trong chương này, đầu tiên ta sẽ giới thiệu về chương trình tính toán cùng một

số tham số liên quan Tiếp theo, chương trình tính toán được áp dụng để tìm năng lượng của exciton trong hai trường hợp: trường hợp điện trường bằng không, trường hợp điện trường khác không Trường hợp điện trường bằng không, tức là bài toán trở thành exciton hai chiều không chịu tác dụng của trường ngoài, ta sẽ khảo sát năng lượng của exciton theo các tham số trong bài và so sánh kết quả thu được với nghiệm giải thích trong công trình [7] nhằm kiểm tra chương trình tính toán được xây dựng Sau đó, chương trình được áp dụng cho trường hợp điện trường khác không thì ta thu được phổ năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích, quan sát được hình ảnh của hiệu ứng Stark

Từ phương trình (2.2) sẽ thu được một hệ phương trình tuyến tính có các yếu tố ma trận đã được xác định, có dạng như sau:

R , x là vector riêng của ma trận B A1 có các phần tử là C jk,  là trị riêng chính là

các giá trị năng lượng của exciton

1 , 2

n n

E Trị riêng  là chính nghiệm của phương trình detB A 1 I 0 gọi là phương trình đặc trưng Các giá trị năng lượng của exciton chính là nghiệm của phương trình đặc trưng trên Do đó, chương trình tính toán được xây dựng sử dụng gói LAPACK để giải bài toán trị riêng hàm riêng

2.2 Trường hợp điện trường bằng không 1 0,2 0

Trước tiên, để kiểm tra tính chính xác của chương trình tính toán, chương trình được áp dụng trường hợp không có điện trường tức là12  0 và kết quả được so sánh với kết quả trong công trình [7] Trong công trình này, nghiệm giải tích của bài toán exciton hai chiều không chịu tác dụng của trường ngoài, được xác định như sau:

2 1 1 2 2

trong đó: E là kết quả tính được bằng phương pháp FK, E nn1, 2,3  là kết quả của công trình [7], x số mũ để chữ số có nghĩa thứ 15 của EE n trở thành hàng đơn vị của *

2.2.1 Khảo sát năng lượng theo tham số 

Việc lựa chọn tham số  đóng vai trò quan trọng đối với độ chính xác của kết quả Trước tiên, giá trị nmax được cố định sau đó khảo sát năng lượng ở trạng thái cơ bản và các trạng thái kích ứng với những giá trị khác nhau của  Cụ thể, áp dụng chương trình cho nmax 50, sự phụ thuộc của năng lượng exciton ở một số trạng thái vào tham số  được khảo sát Ứng với trạng thái cơ bản n1, kết quả thu được chính xác khi giá trị 1,3;12 (hình 2.1), kết quả này thu được cho thấy vùng hội tụ khá rộng Tương tự, ứng với trường hợp năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất

n2, giá trị  giúp thu được năng lượng chính xác nằm trong đoạn 0, 6;3, 4 (hình 2.2) Còn mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ hai n3,  giúp ta thu được kết quả chính xác thuộc đoạn 0, 4;1, 7 (hình 2.3) Từ đó, nhận xét thấy là ứng với trạng thái kích thích khi n càng tăng thì khoảng giá trị  cho giá trị chính xác càng bị thu hẹp lại khá nhanh, dịch chuyển về phía  nhỏ

Tuy nhiên, trường hợp nmax50 chương trình chỉ có thể khảo sát 0,1, còn ứng với trường hợp nhỏ hơn thì các kết quả thu được chênh lệch lớn rất nhiều so với kết quả chính xác Nguyên nhân được dự đoán là có thể do khoảng  có ý nghĩa đối với năng lượng trạng thái kích thích cao nhưng nmax  50 chưa đủ lớn để thu được trạng thái kích thích đó Trong khoảng  được khảo sát thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n 20, và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n 25

Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n1

Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ

nhất n2 trong trường hợp nmax  50 Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với 0, 6;3, 4.

0, 222222222222222 10

E  E

Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n3 trong trường hợp nmax  50 Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ hai thu được kết quả chính xác với 0, 4;1, 7

0, 0800000000000000 10

2.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc vào tham số nmax

Khi xây dựng chương trình tính toán thì tham số nmax được sử dụng thay cho vô cùng, nên nmax được chọn phải đủ “lớn” Nhưng vì thời gian khảo sát có hạn nên khi tiếp tục tăng nmax, ta chọn nmax  80 để áp dụng chương trình Tương tự với trường hợp

max 50

n  , sự phụ thuộc của năng lượng ở các trạng thái theo  cũng được khảo sát Ở trường hợp nmax  80, giá trị thu được năng lượng chính xác ở trạng thái kích thích thứ nhất n2 là 0,35;5, 0 (hình 2.4) Còn khi 0,3; 2, 4 kết quả thu được năng lượng ở trạng thái kích thứ ba n3 chính xác (hình 2.5) Ở cả hai mức năng lượng kích thích thì đoạn  giúp thu kết quả chính xác so với trường hợp nmax  50

đều được mở rộng ra về hai phía

Tuy nhiên, tương tự với nmax  50thì giá trị  có thể khảo sát cũng phải lớn hơn

0,1 Và trong khoảng  được khảo sát thì thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n 24, và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n 28