Động học của nguyên tử siêu lạnh trong bẫy quang học

Trongvật lí chất rắn, biểu hiện của hệ lượng tử trong hàm thế có tính chất tuần hoàn là một bàitoán phổ biến và mang đến nhiều thông tin hấp dẫn như cấu trúc vùng năng lượng Blochhay hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

HỒ HOÀNG HUY

ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH

TRONG BẪY QUANG HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

HỒ HOÀNG HUY

ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH

TRONG BẪY QUANG HỌC

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Tp.HCM,tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và động viên từ bạn bè, Thầy Cô và Gia đình Tôi xingởi lời cảm ơn chân thành của mình đến

• Các thành viên trong gia đình đã luôn quan tâm, ủng hộ về mặt tinh thần, tạo nênnguồn động lực để tôi phấn đấu trong quá trình học tập tại trường đại học và bền chíxuyên suốt quá trình thực hiện khóa luận

• Các Thầy, Cô giảng viên của Khoa Vật lí - Đại học sư phạm Tp.HCM đã tận tâm trongquá trình giảng dạy để tôi có thể lĩnh hội kiến thức học thuật và phong cách của mộtngười giáo viên

• Thầy, TS Phạm Nguyễn Thành Vinh, người hướng dẫn khoa học đã hỗ trợ và dẫn dắttôi ngay từ những ngày đầu thực hiện nghiên cứu khoa học; giúp tôi phát triển bảnthân về tư duy học thuật, thái độ làm việc; và đã tận tình đọc và góp ý để tôi có thểhoàn thiện luận văn này

• Thầy, TS Tomotake Yamakoshi - Đại học Điện tử - Truyền thông (UEC), Tokyo, NhậtBản, người đồng hướng dẫn khoa học, đã tận tâm cố vấn về mặt nội dung cũng như

kĩ thuật tính toán và lập trình trong suốt quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học vàđặc biệt là trong khóa luận tốt nghiệp này

• Các thành viên của nhóm nghiên cứu AMO - Đại học Sư phạm Tp HCM đã quan tâm

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu khoa học từ năm thứ hai

Tp HCM, ngày 28 tháng 4 năm 2018

Tác giả

Hồ Hoàng Huy

Mục lục

Danh mục chữ viết tắt i

Danh sách hình vẽ ii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 6

1.1 Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn 6

1.2 Bài toán Wannier - Stark 7

1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark 8

1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener 10

1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học 11

1.2.3.1 Bẫy quang học 11

1.2.3.2 Dao động Bloch 14

1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển 16

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 19

2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng 19

2.2 Phương pháp chia ô Fourier 21

2.2.1 Bài toán TISE 21

2.2.2 Bài toán TDSE 22

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 24

3.1 Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán cho bài toán dao động tử điều hòa

một chiều 24

3.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều 24

3.1.2 Tính chính xác của chương trình 25

3.2 Quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh 30

3.2.1 Biểu hiện của bó sóng 30

3.2.1.1 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào cường độ của trường ngoài 31

3.2.1.2 Sự phụ thuộc của dao động Bloch vào độ cao rào thế quang học 34

3.2.2 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử 37

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

Danh mục chữ viết tắt

Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh

BEC Ngưng tụ Bose - Einstein Bose - Einstein condensationMOT Bẫy từ quang học Magneto - optical trap

RWA Phép gần đúng xoay mặt phẳng

sóng Rotating wave approximationSBA Gần đúng đơn mạng Single band approximationTBA Gần đúng tight - binding Tight - binding approximation

TISE Phương trình Schr¨odinger dừng Time - Independent Schr¨odinger

EquationTDSE

Phương trình Schr¨odinger phụ

thuộc thời gian

Time - dependent Schr¨odinger

Equation

Danh sách hình vẽ

1.1 Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener 11

1.2 Bố trí các nguồn laser để tạo ra bẫy quang học ba chiều 12

1.3 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học 14

1.4 Dao động Bloch trong không gian động lượng 16

2.1 Sơ đồ tính toán mô phỏng 20

3.1 Sự sai khác của mức năng lượng so với kết quả giải tích 26

3.2 Hàm mật độ xác suất của dao động tử điều hòa 28

3.3 Hàm mật độ xác suất của trạng thái n = 100 và sai số tương đối tương ứng 29 3.4 Sự sai khác của hàm mật độ xác suất theo thời gian 29

3.5 Biểu hiện của bó sóng dao động tử điều hòa 30

3.6 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi cường độ trường tuyến tính 32

3.7 Xác suất xuyên ngầm Landau - Zener 33

3.8 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào cường độ trường ngoài 34

3.9 Biểu hiện của bó sóng khi thay đổi chiều cao rào thế 35

3.10 Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học 36

3.11 Sự phụ thuộc của biên độ dao động Bloch vào chiều cao của rào thế quang học 37 3.12 Dao động Bloch cổ điển 37

3.13 Vận tốc nhóm và vận tốc trung bình của nguyên tử 39

ra sự ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC) ở miền nhiệt độ rấtthấp (xấp xỉ vài nK) Đặc trưng cho loại bẫy này đó chính là tính tuần hoàn hoàn hảo của

nó, mang đến nhiều ứng dụng với ưu điểm vượt trội trong nghiên cứu thực nghiệm Trongvật lí chất rắn, biểu hiện của hệ lượng tử trong hàm thế có tính chất tuần hoàn là một bàitoán phổ biến và mang đến nhiều thông tin hấp dẫn như cấu trúc vùng năng lượng Blochhay hàm sóng Bloch của hệ có tính tuần hoàn với chu kì của thế tuần hoàn Khi đặt thêmmột trường ngoài tuyến tính vào hệ nguyên tử trong thế tuần hoàn, phổ năng lượng của hệ

sẽ trở thành phổ gián đoạn, còn được biết đến với tên gọi phổ bậc thang Wannier - Stark [1].Bên cạnh đó, nhờ vào sự đóng góp của trường ngoài tuyến tính, các hạt ở mức năng lượngthấp có thể chuyển lên các vùng năng lượng cao, vượt qua cả vùng cấm năng lượng trongcấu trúc năng lượng Bloch Đó cũng chính là hiện tượng xuyên ngầm Landau - Zener [2].Ngoài bậc thang Wannier - Stark và hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener, dao độngBloch là một hiệu ứng quan trọng trong các nghiên cứu về nguyên tử siêu lạnh, nhận được

sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu Bài toán về hệ lượng tử đặt dưới tác dụng của thế

tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính hay còn được gọi là bài toán Wannier - Stark Lầnlượt vào các năm 1929 và 1934, Bloch và Zener đã công bố các nghiên cứu tính toán lí thuyếtcho electron tinh thể khi được đặt trong trường tĩnh điện [3] Theo suy luận thông thường,electron là các hạt mang điện, khi bị đặt vào trường tĩnh điện sẽ chịu tác dụng của lực điệntrường và bị gia tốc với giá trị a = qE

me Tuy nhiên, hai nhà khoa học đã cho rằng, thay vì

bị gia tốc tuyến tính, các electron này sẽ tiến hành một dao động đặc biệt, gọi là dao độngBloch với chu kì được xác định bởi

TB = 2π~

Tuy nhiên, giả thuyết này đã vấp phải một làn sóng tranh cãi dữ dội suốt nhiều năm liềngiữa các nhà khoa học Hàng loạt các công trình đã được công bố để phản bác và ủng hộ líthuyết do Bloch và Zener đưa ra [4],[5],[6] Vào thời điểm này, các nghiên cứu thực nghiệmđều chưa thể chỉ ra được liệu dao động Bloch có tồn tại hay không bởi vì chưa thể tạo rađược các thông số phù hợp để quan sát biểu hiện của hệ trong khoảng thời gian đủ dài đểkết luận về sử dao động

Với sự ra đời của bán dẫn siêu mạng (semiconductor superlattices), điều kiện tiên quyết

để tạo ra được thời gian quan sát phù hợp đã được đáp ứng Vào năm 1992, Karl Leo và cácđồng nghiệp đã gián tiếp quan sát được dao động Bloch trong bán dẫn siêu mạng [7], qua

đó chính thức chấm dứt những nghi ngờ về hiện tượng trên Mặc dù đã chứng minh được

sự tồn tại của dao động Bloch nhưng bán dẫn siêu mạng vẫn chưa phải là một công cụ tối

ưu để đưa ra những kết quả thực nghiệm rõ ràng, trực tiếp nhất Những khuyết điểm củabán dẫn siêu mạng được khắc phụ tuyệt đối bằng việc sử bẫy quang học để thay thế Nhờvào đó, năm 1996, Dahan và cộng sự đã đưa ra bố trí thí nghiệm như sau: tại thời điểm banđầu, nguyên tử bị giam trong bẫy quang học và bẫy điều hòa; sau đó, bẫy điều hòa bị tắt đi

và trường tuyến tính được bật lên đột ngột Với sự sắp xếp này dao động Bloch trong khônggian động lượng đã được quan sát, mở ra nhiều nghiên cứu tiềm năng khác liên quan đếnBEC [8] Năm 2001, Morsch công bố công trình trên tạp chí Physical Review Letters saukhi quan sát được dao động Bloch của nguyên tử87Rb ở trạng thái BEC [9] Vào năm 2013,nhóm nghiên cứu thực nghiệm ở Bắc Kinh đã đề xuất một phương pháp rút ngắn khoảng

thời gian để đưa nguyên tử 87Rb ở trạng thái BEC vào mức kích thích của mạng quang học[10], đồng thời đưa ra các tính toán lý thuyết tương ứng Để phát triển những nghiên cứunày, quá trình động học của nguyên tử siêu lạnh cần được làm rõ, được biểu hiện cụ thể quadao động Bloch Gần đây, trong năm 2017, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn diễn ra sôinổi với các công bố trên các tạp chí khoa học nổi tiếng như nghiên cứu về dao động Blochkhi không dùng đến tính tuần hoàn của mạng, công bố trên tạp chí Science [11] hay nângcao tính hiệu quả của dao động Bloch trong giới hạn của mô hình tight - binding [12], daođộng Bloch của nguyên tử BEC trong thế quang học tạo bởi các hố quang học có tính chuẩnxác cao [13] trên tạp chí Physical Review A Vì vậy, các nghiên cứu về dao động Bloch vẫn

có tính ứng dụng cao và mang tính thời sự Hiện tại trong nước, theo ghi nhận của tác giả,dao động Bloch là một chủ đề mới và chưa có công bố khoa học từ các nhóm nghiên cứu hay

cá nhân

Từ kết quả của những nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài "ĐỘNG HỌC CỦA NGUYÊN

TỬ SIÊU LẠNH TRONG BẪY QUANG HỌC" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp, để cóthể nghiên cứu sâu hơn trong chủ đề này Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi tiếnhành khảo sát dao động Bloch dưới tác dụng của bẫy quang học và trường ngoài tuyến tínhtrong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng (single band approximation), khi đó, xácsuất xuyên ngầm Landau - Zener là rất nhỏ, có thể bỏ qua

Mục tiêu luận văn

Khảo sát quá trình động học của nguyên tử87Rb siêu lạnh trong mạng quang học thôngqua nghiên cứu dao động Bloch bằng chương trình giải số phương trình Schr¨odinger phụthuộc thời gian (TDSE) trong giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải số: sử dụng giải thuật Fourier để giải TDSE Từ đó, các kết quả được

sử dụng để mô phỏng dao động Bloch trong không gian tọa độ và các đại lượng liên quan

Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 để lậptrình tính toán, xử lý số liệu.

Nội dung nghiên cứu

• Tìm hiểu về bài toán Wannier - Stark và các mô hình gần đúng để giải bài toán

• Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình giải số cho trường hợp bài toán dao động tửđiều hòa một chiều

• Sử dụng chương trình giải số tính toán các đại lượng liên quan như vận tốc trung bìnhhay cấu trúc vùng năng lượng của hệ

• Mô phỏng chuyển động của bó sóng trong không gian tọa độ và sự thay đổi của giảđộng lượng theo thời gian với mô hình gần đúng đơn mạng Từ đó, đưa ra kết luận vềphạm vi áp dụng của mô hình

• So sánh kết quả mô phỏng dựa trên việc giải TDSE với kết quả theo thuyết cổ điểnthông qua việc giải phương trình Hamilton

• So sánh kết quả giải số với kết quả thực nghiệm của Dahan đã công bố [8]

Đối tượng nghiên cứu

Trong luận văn này, các nguyên tử siêu lạnh bị giam trong bẫy quang học dưới tác dụngcủa trường thế tuyến tính sẽ được khảo sát

Nội dung của luận văn

• Chương 1: Cơ sở lí thuyết:

Trình bày về các tính chất của hệ lượng tử trong bài toán Wannier - Stark Từ đó, đisâu vào tìm hiểu về quá trình dao động Bloch của hệ Đặc biệt, chi tiết về kĩ thuật bẫy

quang học và quá trình dao động Bloch trong bẫy quang học cũng được nhấn mạnh.Ngoài ra, dao động Bloch cổ điển cũng được giới thiệu trong phần này.

• Chương 2: Phương pháp tính:

Giới thiệu về chương trình giải số sử dụng để giải bài toán Wannier - Stark Sau đó,trình bày về thuật toán được sử dụng để mô phỏng biểu hiện của bó sóng

• Chương 3: Kết quả nghiên cứu

Kiếm chứng tính chính xác của chương trình giải số thông qua bài toán dao động tửđiều hòa một chiều Ngoài ra, quá trình động học của bó sóng, mà cụ thể là dao độngBloch, dưới tác dụng của mạng quang học và trường tuyến tính cũng được khảo sát

Chương 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Bài toán hệ lượng tử trong thế tuần hoàn là một trong những vấn đề quen thuộc trong

bộ môn vật lí chất rắn, mang đến nhiều ứng dụng trong thực tế Các bài toán này thu hút

sự quan tâm của các nhà khoa học bởi tính chất tuần hoàn của hàm sóng, còn được gọi làhàm Bloch Xét Hamiltonian của hệ

V (x) = V (x + d), (1.2)bằng việc giải phương trình Schr¨odinger dừng (Time-Independent Schr¨odinger Equation -TISE)

ˆ

HBψ(x) = En(q)φnq(x), (1.3)hàm sóng của hệ với Hamiltonian Bloch (1.1) tuân theo định lý Bloch: Hàm riêng của phươngtrình sóng cho hệ trong thế tuần hoàn được xác định bằng tích của sóng phẳng và hàm tuầnhoàn uq với chu kì là chu kì của hàm thế, được biểu diễn qua biểu thức

φnq(x) = exp iqx

~



unq(x) (1.4)Trong đó hàm u(x) cũng mang tính chất tuần hoàn với chu kì tương tự với chu kì của hàmthế V (x)

unq(x) = unq(x + d) (1.5)

Bên cạnh đó, En(q) là cấu trúc vùng năng lượng theo động lượng tinh thể (crystal tum), bao gồm các mức năng lượng khác nhau của hệ Ở giữa mức năng lượng thứ nhất vàthứ hai, vùng cấm năng lượng xuất hiện tại vị trí biên của vùng Brillouin thứ nhất Tương

momen-tự, tại vị trí rìa của các vùng Brillouin tiếp theo, vùng cấm năng lượng cũng xuất hiện ứngvới các mức năng lượng cao hơn Đây là những tính chất đặc trưng của một hệ lượng tửtrong thế tuần hoàn

Do trạng thái Bloch được biểu diễn trong không gian động lượng, gọi là biểu diễn Bloch,hàm Wannier, đóng vai trò là cơ sở trong không gian tọa độ, đã được đưa ra bằng việc lấytích phân của trạng thái Bloch theo động lượng tinh thể trong vùng Brillouin thứ nhất, qua

đó biểu diễn trạng thái của hệ trong không gian tọa độ (biểu diễn Wannier)

Wln(x) =

Z π/d

−π/d

exp(idqj)φnq(x)dq, (1.6)với j là số lượng hố thế tuần hoàn trong vùng không gian khảo sát, có giá trị nguyên Hơnthế nữa, hàm Wannier có tính chất hữu hạn trong khoảng xác định, ngoài khoảng này, giátrị của hàm Wannier giảm nhanh về 0 Điều này hoàn toàn ngược lại với tính chất của hàmBloch

Hệ lượng tử được giam hãm trong thế tuần hoàn cùng với trường thế tuyến tính cũng làmột bài toán hấp dẫn, thu hút nhiều sự quan tâm từ các nhóm nghiên cứu Nguồn gốc củavấn đề này xuất phát từ quá trình tương tác của các electron tinh thể với trường tĩnh điệnqua lực tĩnh điện F = |q|E Vấn đề trên được biết đến với tên gọi bài toán Wannier - Stark,được mở rộng cho trường hợp các nguyên tử trung hòa về điện bằng cách gia tốc tuyến tínhthế tuần hoàn với gia tốc a

tạo nên trường thế tuyến tính Bên cạnh phương pháp trên, việc giam hãm các nguyên tử trongmột bẫy điều hòa theo phương thẳng đứng và tận dụng gia tốc trọng trường g = 9.8 m/s2tạo nên thế tuyến tính cũng được đề xuất Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng vìgặp phải khó khăn trong thay đổi cường độ của thế tuyến tính [14] Hamiltonian cho bàitoán Wannier - Stark này được viết dưới dạng

1.2.1 Bậc thang Wannier - Stark

Sự xuất hiện của trường ngoài tuyến tính là nguyên nhân dẫn đến tính chất đối xứngcủa Hamiltonian Bloch bị phá vỡ Bằng cách sử dụng kí hiệu của Dirac, các phương trình trịriêng và hàm riêng ứng với Hamiltonian Bloch ˆHB và trường thế tuyến tính ˆH0 sẽ là

ˆ

HB|qi = En|qi , (1.10)ˆ

H0|ji = F dj |ji , (1.11)với |qi, |ji lần lượt là trạng thái Bloch và trạng thái Wannier Bên cạnh đó, hàm sóng của

hệ còn được viết dưới dạng [15]

Ngoài ra, |qi và |ji cũng thỏa mãn tính chất trực giao

ở trên, j mang các giá trị nguyên dương, khác không Biểu thức (1.18), khi đó, trở thànhphổ năng lượng gián đoạn, tạo thành các bậc thang, được gọi là bậc thang Wannier - Stark.Trong khuôn khổ luận văn này, phổ năng lượng Wannier - Stark sẽ được trình bày trong giớihạn của mô hình gần đúng đơn mạng Ý tưởng của mô hình này đó là chỉ tập trung khảosát biểu hiện của các thành phần đang ở mức năng lượng cơ bản, bỏ qua các hiện tượng kếtcặp giữa các mức năng lượng Hay nói cách khác, xác suất để xảy ra hiệu ứng xuyên ngầmLandau - Zener là rất nhỏ và hoàn toàn có thể bỏ qua Hiện tượng xuyên ngầm Landau -Zener sẽ được trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo

Đối với các mức năng lượng càng cao, độ rộng của vùng cấm năng lượng giảm dần Nhưvậy, tần suất xuyên ngầm Landau - Zener càng thường xuyên, tức là khả năng các thànhphần ở các mức năng lượng thấp hơn chuyển lên các mức năng lượng cao hơn càng nhiều.Điều này dẫn đến hệ quả rằng số lượng các mức năng lượng giảm theo tốc độ phân rã τ đượccho bởi

τ = ~

Γn, Γn = anexp



−bnF



trong đó, an và bn là hai thông số đặc trưng của cấu trúc vùng năng lượng đang khảo sát.Phổ năng lượng (1.18) được hiệu chỉnh thành phổ năng lượng phức, với phần thực chính làphổ bậc thang Wannier - Stark; còn phần ảo phụ thuộc vào tốc độ phân rã [1]

Eq,j = Eqn+ F dj − iΓn

Mục đích cuối cùng của vấn đề bậc thang Wannier - Stark đó chính là khảo sát và mô tảđược phổ năng lượng phức của hệ.

1.2.2 Hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener

Khi khảo sát hệ lượng tử có dưới tác dụng của thế tuần hoàn và trường ngoài tuyến tính,luôn tồn tại một xác suất để các thành phần có mức năng lượng thấp có thể vượt qua vùngcấm năng lượng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn Hiện tượng này được gọi là hiệuứng xuyên ngầm Landau - Zener

Cơ chế của hiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener được giải thích như sau: Khi nguyên

tử đặt trong trường thế tuần hoàn, các hạt ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp khôngthể vượt qua được vùng cấm năng lượng để đạt được những trạng thái kích thích cao hơn.Với sự xuất hiện của trường thế tuyến tính có cường độ đủ mạnh, các hạt được cung cấpthêm năng lượng đủ để vượt qua vùng cấm và đạt được trạng thái kích thích cao hơn [16].Năm 1932, Zener đã đưa ra công thức ước tính xác suất xuyên ngầm [3]

đó chính là giới hạn của mô hình gần đúng đơn mạng [17] Khi giá trị cường độ trường ngoàităng lên đáng kể, xác suất này tăng rất nhanh, tần suất các thành phần ở vùng năng lượngthấp chuyển lên các vùng năng lượng cao hơn ngày càng nhiều

Theo cơ học lượng tử, hiệu ứng xuyên ngầm là một trong những hiện tượng đặc trưngtrong thế giới vi mô, chứa đựng nhiều thông tin về quá trình động học của hệ Sự xuyênngầm Landau - Zener cung cấp dữ liệu cho các nghiên cứu về động học giữa các mức nănglượng Nhờ vào các nghiên cứu về chủ đề này, công thức (1.19) đã được kiểm chứng bằngthực nghiệm bởi nhóm nghiên cứu của Bharucha thể hiện bởi hình 1.1 biểu thị thời gian sốngcủa trạng thái theo giá trị gia tốc của mạng tạo nên bởi sự chênh lệch tần số (chi tiết về

Hình 1.1: Tần suất xuyên ngầm Landau - Zener được đo bởi Bharucha và cộng sự vào năm

1996 cho kết quả phù hợp với lý thuyết Landau - Zener [2]

quá trình gia tốc này sẽ được trình bày trong phần giới thiệu về mạng quang học) Kết quảcho thấy thời gian sống giảm nhanh theo gia tốc, điều này hoàn toàn phù hợp với công thức(1.19), qua đó khẳng định lại nguyên nhân của sự suy giảm số nguyên tử bị giam hãm là dohiệu ứng xuyên ngầm Landau - Zener

Đặc biệt, đối với các nghiên cứu về hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein, quá trình xuyênngầm Landau - Zener thường được khảo sát vì khả năng mô tả sự chuyển mức năng lượnggiữa các vùng năng lượng Bloch [9],[17],[18]

1.2.3 Dao động Bloch sử dụng bẫy quang học

1.2.3.1 Bẫy quang học

Để tạo ra bẫy quang học một chiều, hai nguồn laser được đặt trực diện, chiếu trực tiếpvào nhau tạo nên sự giao thoa Tương tự như vậy, để tạo nên bẫy quang học ba chiều, hệgồm ba cặp laser đặt trực diện nhau cần được sử dụng Trong thực tế, bẫy quang học mộtchiều có thể được tạo ra đơn giản bằng cách chiếu một nguồn laser phân cực thẳng vào một

Hình 1.2: Ba cặp nguồn laser được bố trí như hình vẽ để tạo ra bẫy quang học ba chiề u [19].

gương phẳng để thu được hai chùm sáng trực diện nhau Tuy nhiên, cách thức này gặp phảikhó khăn trong việc điều chỉnh độ cao của rào thế Điều này được khắc phục bằng việc sửdụng tế bào Bragg để tạo ra sự sai lệch về tần số giữa các chùm sáng [16], [20]

Về cơ chế, bẫy quang học và cả các kĩ thuật bẫy nguyên tử khác sử dụng laser tác dụnglên nguyên tử đều dựa trên sự dịch chuyển Stark Khi đặt nguyên tử dưới tác dụng củatrường laser, thành phần điện trường dao động sẽ tác động và tạo ra moment lưỡng cực điệncho nguyên tử Quá trình tương tác giữa moment lượng cực điện này và thành phần điệntrường dao động của ánh sáng tạo nên sự dịch chuyển năng lượng Thông qua việc sử dụngphép gần đúng xoay mặt phẳng sóng (rotating wave approximation - RWA) [14], biểu thứctoán học mô tả thế quang học được cho bởi

V (x) = V0sin2(kRx), (1.22)

trong đó kR là động lượng giựt lùi, phụ thuộc vào bước sóng λ của xung laser sử dụng

về lực quán tính mà các nguyên tử chịu khi thế quang học bị gia tốc Khi tần số giữa hainguồn laser trực đối bị thay đổi, tạo sự chênh lệch ∆ν, thế quang học sẽ chuyển động theoquy luật

Hình 1.3: Cấu trúc vùng năng lượng của hệ trong bẫy quang học lần lượt (từ trái sang phải)cho các trường hợp hạt tự do, chiều cao rào thế bằng 3ER và 9ER [19]

.khi độ chênh lệch tần số biến đổi theo thời gian [19] Qua đó, trường thế tuyến tính được tạo

ra trên đối tượng các nguyên tử trung hòa về điện

Nhờ vào sự hoàn hảo trong tính tuần hoàn và cường độ của trường có thể dễ dàng kiểmsoát được, bẫy quang học đã trở thành một kĩ thuật được sử dụng rộng rãi trong cộng đồngkhoa học và có những đóng góp lớn vào sự phát triển của các nghiên cứu trong lĩnh vực làmlạnh nguyên tử và tạo ra trạng thái BEC Vì lẽ đó, cho đến thời điểm hiện tại, các nghiêncứu thực nghiệm lẫn lí thuyết về nguyên tử siêu lạnh đều ưu tiên chọn bẫy quang học để làmlạnh nguyên tử xuống miền nhiệt độ rất thấp [9],[17],[21],[22]

1.2.3.2 Dao động Bloch

Nguồn gốc của dao động Bloch nằm ở phổ năng lượng Bloch của hệ Trên lý thuyết, hệ

bị giam trong thế tuần hoàn bất kì, khi chịu tác dụng của trường tuyến tính bên ngoài đều

có thể xảy ra hiện tượng dao động Bloch Tuy nhiên, vì những ưu điểm đã đề cập của thếquang học, chúng tôi xem xét hệ lượng tử đang bị giam trong bẫy quang học Khi đột ngộttạo ra trường ngoài tuyến tính tác dụng lên hệ, hệ sẽ xảy ra quá trình dao động Bloch với

chu kì dao động Bloch TB Lúc đó, Hamiltonian của hệ thể hiện như sau

sử dụng để đổi biến tọa độ x thành biến tọa độ không thứ nguyên χ

χ = kRx (1.30)Khi đó, chu kì Bloch được viết theo hệ đơn vị không thứ nguyên như sau

xạ Bragg, quay trở lại và tiếp tục được gia tốc tuyến tính Trong không gian tọa độ, bó sóngcủa hệ thực hiện một dao động tuần hoàn với chu kì Bloch Bên cạnh đó, biên độ của daođộng Bloch trong không gian tọa độ được xác định thông qua

A = δ

với δ là độ rộng của mức năng lượng, được xác định thông qua phép gần đúng TBA Ngoài

ra, vận tốc lan truyền của bó sóng, gọi là vận tốc nhóm, được cho bởi đạo hàm riêng phầncủa năng lượng theo động lượng tinh thể

vg = ∂(q)

Thông qua quá trình dao động Bloch, các thông tin động học của hệ được thể hiện chi tiết.

Do đó, chủ đề này rất được quan tâm, trong đó, phải kể đến nghiên cứu của Ben Dahan vàcộng sự vào năm 1996 khi đã lần đầu tiên quan sát trực tiếp được dao động Bloch trongkhông gian động lượng (trục hoành) của hệ giam hãm trong bẫy quang học thông qua biểuhiện qua hình vẽ số nguyên tử (trục tung) với thời gian một chu kì Bloch trong hình 1.4.Một số kết quả trình bày trong nghiên cứu này cũng được chọn để so sánh với kết quả luậnvăn để kiểm chứng tính chính xác

Hình 1.4: Dao động Bloch của hệ dưới tác dụng của thể quang học được biểu diễn trongkhông gian động lượng khi tiến hành đo đạc thực nghiệm trong một chu kì Bloch [8]

1.2.3.3 Dao động Bloch cổ điển

Dao động Bloch được đề cập ở các phần trên dựa trên quan điểm cơ học lượng tử Tuynhiên, theo các quy luật của cơ học cổ điển, dao động Bloch vẫn tồn tại Phổ bậc thang

Wannier - Stark trong hệ tọa độ không thứ nguyên được mô tả bởi

n,q = nq + αχ (1.35)Trong giới hạn của luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét trường hợp chiều cao rào thế lớn, khi

đó, công thức (??) không còn phù hợp Để tính toán phổ năng lượng ở mức cơ bản khi chiềucao rào thế lớn, phép gần đúng TBA được sử dụng để đưa ra công thức cụ thể [23]

nq =pξ − 2J cos(πq), (1.36)trong đó, J được gọi là hệ số xuyên ngầm được xác định bởi công thức [16]

2 t + πq(0)

, (1.42)q(t) = q(0) − αt, (1.43)với χ(0) và q(0) là điều kiện ban đầu của hệ Thông thường, vào thời điểm ban đầu, hệ sẽđược giam hãm tại gốc tọa độ; do đó, χ(0) = q(0) = 0 Qua biểu thức trên, hệ sẽ tiến hành

dao động về phía chiều âm của trục tọa độ với tần số góc ωB = πα trong khi động lượngtinh thể được gia tốc đến vô cực

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Khi nguyên tử đang bị giam hãm trong mạng quang học, trường tuyến tính được bật lênđột ngột, dao động Bloch sẽ được thể hiện qua quá trình lan truyền của bó sóng theo thờigian trong biểu diễn Bloch và biểu diễn Wannier Để có thể thu được các kết quả mô phỏngbiểu hiện của bó sóng dưới tác dụng của bẫy điều hòa và trường ngoài tuyến tính, hàm mật

độ xác suất trong không gian tọa độ và không gian động lượng phải được tính toán và biểudiễn theo thời gian Để thực hiện được yêu cầu này, TDSE

i~∂Ψ

∂t = HWSΨ. (2.1)với Hamiltonian Wannier - Stark cần được giải để đưa ra hàm sóng biến đổi theo thời gian

và từ đó đưa ra phân bố xác suất theo thời gian của hệ

Cách tiếp cận bài toán hiệu quả và phổ biến được sử dụng là phương pháp chia ô Fourier(Fourier Grid method - FGM) với ý tưởng chính là sử dụng hàm sóng tại thời điểm banđầu thu được từ việc giải TISE để lan truyền theo thời gian, thu được hàm sóng phụ thuộcthời gian Vì thế, các kết quả đạt được trong luận văn này đều được đưa ra từ việc sử dụngphương pháp trên để lan truyền bó sóng theo thời gian

Hình 2.1 thể hiện chi tiết các bước để đưa ra kết quả khi sử dụng phương pháp chia ôFourier Trước hết, chúng tôi tiến hành nhập các dữ liệu đầu vào như đối tượng nguyên tử sẽkhảo sát, bước sóng xung laser, cường độ trường tuyến tính và chiều cao của rào thế quanghọc để tạo nên Wannier - Stark Hamiltonian rút gọn Dựa trên Hamiltonian này, TISE sẽ