Phương trình đồng dư một ẩn và phương trình vô định

Trong khuôn khổ của bài luận văn, chúng tôi xin trình bày về phương trình đồng dư một ẩn và phương trình vô định.. Về nội dung, luận văn gồm 3 chương: Chương I: Trình bày một số kiến th

LỜI NÓI ĐẦU

Số học, ngành lâu đời nhất và hấp dẫn nhất của toán học, đã từng được

một nhà toán học nổi tiếng gọi là “bà chúa của toán học” Các bài toán số

học đã làm say mê nhiều người, từ những nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo những bạn yêu toán

Trong khuôn khổ của bài luận văn, chúng tôi xin trình bày về phương trình đồng dư một ẩn và phương trình vô định Đó là những chủ đề toán học

xa xưa và từ lâu rất quen thuộc với bạn trẻ yêu toán Về nội dung, luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Trình bày một số kiến thức về đồng dư thức và phương trình

đồng dư

Chương II: Trình bày về phương pháp giải phương trình đồng dư

Chương III: Trình bày về phương trình vô định

Do thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến nhận xét, đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Trong quá trình làm bài luận văn, chúng tôi có tham khảo một số tài liệu, xin chân thành cảm ơn các tác giả Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa đã tạo điều kiện cho chúng tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thuý Hằng

MỤC LỤC

Trang Lời nói đầu

Chương I ĐỒNG DƯ THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ 5

§1 Định nghĩa đồng dư thức 5

§2 Các tính chất của đồng dư thức 7

§3 Phương trình đồng dư một ẩn 11

Chương II PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ 13

§1 Phương pháp giải phương trình bậc nhất 13

§2 Phương pháp giải phương đồng dư bậc cao 17

§3 Định lý Wilson 21

Chương III PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH 23

§1 Phương trình vô định bậc nhất 23

§2 Định lý Trung Hoa về thặng dư 33

Tài liệu tham khảo

Thí dụ: 12 0 (mod 10)

Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để a ≡ b (mod m) là a – b M m

Chứng minh Nếu a ≡ b (mod m) thì luôn tồn tại q1, q2, r sao cho:

a = mq1 + r và b = mq2 + r suy ra: a – b = m(q1 – q2)

Vậy a – b M m

Ngược lại, nếu a – b M m thì tồn tại q sao cho a – b = mq

Từ đó, nếu a chia cho m dư r thì a = mq1 + r, 0 ≤ r < m và ta có b = a – mq = m(q1 – q) + r

Vậy, b chia cho m cũng có số dư là r

Nhận xét Trong định lý này, cho b = 0, ta nhận được a ≡ 0 (mod m) ⇔ a M m

Định lý 2 Quan hệ đồng dư theo môđun m là quan hệ tương đương trên Z

Chứng minh Với mọi a∈ Z, ta có: a – a = 0 M m nên a ≡ a (mod m)

Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất phản xạ

Với mọi a, b ∈ Z, a ≡ b (mod m) ⇒ a – b M m ⇒ b – a M m

⇒ b ≡ a (mod m) Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất đối xứng

Với mọi a, b, c ∈ Z, a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m)

⇒ a – b M m và b – c M m ⇒ a – c = (a – b) + (b – c) M m

⇒ a ≡ c (mod m) Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất bắc cầu

Nhận xét Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư được gọi là lớp thặng dư

Lớp thặng dư chứa n ký hiệu là n Dễ thấy quan hệ đồng dư theo m có m lớp thặng

dư là: 0, 1, 2, … , m− 1

Định nghĩa hệ thặng dư đầy đủ:

Một tập hợp H những số nguyên được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun

m nếu và chỉ nếu:

− Các số nguyên trong H đôi một không đồng dư với nhau theo môđun m

− Mọi số nguyên đều đồng dư theo môđun m với một số nào đó trong H

Mỗi một số nguyên của H được gọi là một thặng dư

§2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

1 a) Ta có thể cộng hoặc trừ từng vế một của nhiều đồng dư thức theo cùng một

Đẳng thức này chứng tỏ: a1 ± a2 ± … ± ak ≡ b1 ± b2 ± … ± bk (mod m)

b) Từ các đẳng thức ai = bi + mti , nhân từng vế một các đẳng thức, ta được:

Thật vậy, ta áp dụng tính chất 1.b) với n đồng dư thức a ≡ b (mod m)

g) Giả sử f(x) là một đa thức với hệ số nguyên Nếu ta có:

α ≡ β (mod m)

thì ta cũng có: f(α) ≡ f(β) (mod m)

Đặc biệt, nếu f(α) ≡ 0 (mod m)

thì ta cũng có: f(α + km) ≡ 0 (mod m) ∀k ∈ Z

Thật vậy, giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn Theo giả thiết:

α ≡ β (mod m), ta suy ra aiαi ≡ aiβi (mod m), i = 1, 2, …, n

Do đó a0 + a1α + … + anαn ≡ a0 + a1β + … + anβn (mod m)

Nghĩa là f(α) ≡ f(β) (mod m)

Đặc biệt, ta có α ≡ α + km (mod m), k ∈ Z nên

mà f(α) ≡ 0 (mod m)

nên ta cũng có f(α + km) ≡ 0 (mod m)

2 Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của chúng nếu

ước này nguyên tố với môđun Cụ thể là:

ac ≡ bc (mod m) , ƯCLN (c, m) = 1 ⇒ a ≡ b (mod m)

Chứng minh Nếu ac ≡ bc (mod m) ⇒ m ac – bc hay m c(a – b)

Ta có ƯCLN (m, c) = 1 nên m a – b nghĩa là a ≡ b (mod m)

3 a) Ta có thể nhân hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một số

nguyên dương Nếu ta có a ≡ b (mod m) thì ta cũng có ac ≡ bc (mod mc), với c là một số nguyên dương

b) Ta có thể chia hai vế và môđun của một đồng dư thức cho một ước chung dương của chúng Cụ thể là:

Nếu ta có a ≡ b (mod m), 0 < d ∈ Z, d ƯCLN (a, b, m) thì ta cũng có:

d

bd

a ≡ (mod

d

m )

Chứng minh

a) Nếu a ≡ b (mod m) thì tồn tại t ∈ Z sao cho

a = b + mt nên ta có ac = bc + (mc)t ⇒ ac ≡ bc (mod mc)

b) Từ giả thiết d ƯCLN (a, b, m)

Ta đặt a = da', b = db’, m = m’d với a’, b’, m’ ∈ Z

4 Nếu hai số a và b đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với

nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của các môđun ấy

Cụ thể là nếu có a ≡ b (mod mi), i = 1, 2, …, k

thì ta cũng có a ≡ b (mod m), m = BCNN (m1, m2, …, mk)

Chứng minh a ≡ b (mod mi) , i = 1, 2, …, k

⇒ a – b là bội chung của m1, m2, …, mk

Đặt m = BCNN (m1, m2, …, mk)

⇒ a – b là bội của m ⇒ a ≡ b (mod m)

5 Nếu a và b đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cũng đồng dư với nhau

theo môđun là ước dương của m

Cụ thể là nếu có: a ≡ b (mod m), d m, d > 0

thì ta cũng có a ≡ b (mod d)

Chứng minh Ta có a – b M m, d m ⇒ a – b M d ⇒ a ≡ b (mod d)

6 Nếu a ≡ b (mod m) thì ƯCLN (a, m) = ƯCLN (b, m)

Chứng minh Ta có a ≡ b (mod m) ⇒ tồn tại t ∈ Z sao cho a = b + mt

Đẳng thức này chứng tỏ tập hợp các ước chung của a và m trùng với tập hợp các ước chung của b và m

Do đó ƯCLN (a, m) = ƯCLN (b, m)

§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN

I Định nghĩa:

Phương trình đồng dư một ẩn là một đồng dư thức có dạng

f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n ≡ 0 (mod m), (1)

trong đó: m, n ∈ N*

các số nguyên a0, a1, … , an được gọi là các hệ số

a0 không chia hết cho m

x được gọi là ẩn của phương trình đồng dư

Nếu với số nguyên x = x0, ta có f(x0) ≡ 0 (mod m) là một đồng dư thức đúng

thì x0 là một nghiệm đúng của phương trình (1)

II Các tính chất đơn giản:

1 Nếu r là một nghiệm đúng của phương trình thì mọi giá trị của y với

y ≡ r (mod m) đều là nghiệm đúng của phương trình

Thật vậy, ta có y ≡ r (mod m) ⇒∀i ∈ N ta có: yi ≡ ri (mod m)

Từ đó ta có an-iyi ≡ an-iri (mod m) , (i = 0, 1, … , n)

Cộng từng vế n + 1 đồng dư thức này ta được:

f(y) ≡ f(r) (mod m)

Vì r là một nghiệm đúng của phương trình nên f(r) ≡ 0 (mod m)

⇒ f(y) ≡ 0 (mod m)

Nhận xét Lớp thặng dư theo môđun m mà mọi phần tử thuộc nó đều là

nghiệm đúng được gọi là một nghiệm của phương trình đồng dư Giải

phương trình đồng dư là tìm tất cả các nghiệm của nó

Vậy, để tìm nghiệm của một phương trình đồng dư, ta có thể lần lượt cho x

lấy các giá trị của một hệ thặng dư đầy đủ và xem giá trị nào nghiệm đúng

phương trình đã cho

2 Nếu có các số x 0 , t 0 thoả mãn

f(x 0 ) = mt 0

thì x 0 là một nghiệm đúng của phương trình

Thật vậy, mt0 ≡ 0 (mod m) ⇒ f(x0) ≡ 0 (mod m)

3 Cho m = m 1 m 2 và (m 1 , m 2 ) = 1 Khi đó x là nghiệm đúng của phương trình f(x) ≡ 0 (mod m) khi và chỉ khi x là nghiệm của hệ:

1 0

m)f(x

m)f(xMM

)f(x

)m(modm

)f(x

2 2

0

1 1

0

Chương II

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

ĐỒNG DƯ

§1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Ở đây, ta chỉ xét phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn dạng:

ax ≡ b (mod m) với a 0 (mod m)

I Điều kiện có nghiệm

Định lý Phương trình đồng dư ax ≡ b (mod m) có nghiệm khi và chỉ khi ƯCLN (a,m) là ước của b

Chứng minh

Giả sử số nguyên x0 nghiệm đúng phương trình

⇒ ax0 ≡ b (mod m)

⇒ (ax0, b) = (b, m) (theo tính chất của đồng dư thức)

Vì (a, m) là ước của (ax0, b) nên (a, m) là ước của (b, m) Vậy (a, m) là ước của b Ngược lại, giả sử ƯCLN (a, m) = d là ước của b

II Cách giải

1 Trường hợp (a, m) = 1

Phương trình có nghiệm duy nhất x ≡ x0 (mod m)

Thật vậy, nếu trái lại:

ax1 ≡ ax2 (mod m)

⇔ x1 ≡ x2 (mod m) (do (a, m) =1)

⇔ x = 1 x ta gặp mâu thuẫn vì x2 1 và x2 thuộc hai lớp thặng dư khác nhau

Do đó, mỗi hệ thặng dư đầy đủ có duy nhất một x0 để ax0 ≡ b (mod m)

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là x ≡ x0 (mod m)

b Cách xác định nghiệm

Cách thứ nhất: Chia hai vế cho a

- Nếu a là ước của b thì được nghiệm của phương trình là x ≡

a

b (mod m)

- Nếu a không là ước của b thì:

Do (a, m) = 1 suy ra tồn tại k ∈ Z để b + km là bội của a

Từ đó, phương trình có nghiệm là: x ≡

a

km

b+ (mod m) Cách xác định nghiệm như trên về lý thuyết là đơn giản, song chỉ áp dụng được trong trường hợp dễ thấy ngay k hoặc thử để tìm k trong trường hợp a là số tương đối nhỏ

Cách thứ hai: Dựa vào định lý Ơle

Vì (a, m) = 1 ⇒ aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

a(baϕ(m)-1) ≡ b (mod m)

Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình là x ≡ b aϕ(m)-1 (mod m)

2 Trường hợp (a, m) =d ≠ 1

Để phương trình có nghiệm thì b M d

Vì (a1, m1) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất : x ≡ x0 (mod m1)

Lớp thặng dư này tương đương với d lớp thặng dư môđun m

Đó là: x ≡ x0 (mod m)

Vậy, phương trình (1) có 3 nghiệm là:

Vậy phương trình có nghiệm là x ≡ 11 (mod 13)

2 Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên dương nhỏ hơn p Chứng

minh rằng phương trình: ax ≡ b (mod p) có nghiệm là:

x ≡ b(-1)a-1

! a

) 1 a p ) (

2 p )(

1 p

Giải

Ta có p – i ≡ -i (mod p)

Nên suy ra rằng (p – 1)(p – 2)…(p – a + 1) ≡ (-1)a-1(a – 1)! (mod p)

Từ đó (a – 1)!a.b(-1)a-1

! a

) 1 a p ) (

2 p )(

1 p ( − − − + ≡ b(a – 1)! (mod p)

Vì ((a – 1)!, p) = 1 nên ta được:

1) a - 2) (p - 1)(p - (p

Vậy x ≡ b(-1)a-1

! a

) 1 a p ) (

2 p )(

1 p

§2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG ĐỒNG DƯ BẬC CAO

Xét phương trình f(x) ≡ 0 (mod m), trong đó f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an

I Trường hợp m = p là số nguyên tố

Giả sử x1 là một nghiệm đúng của phương trình, tức là:

f(x1) ≡ 0 (mod p)

Chia f(x) cho x – x1 ta được

f(x) = (x – x1) f1(x) + r

Trong đó, f1(x) là đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ hơn n và r = f(x1)

Từ đó, phương trình tương đương với:

)x(f

)p(mod0xx

1 1

Ta được nghiệm x ≡ x1 (mod p) và phương trình f1(x) ≡ 0 (mod p) có bậc nhỏ hơn bậc của f(x)

Tiếp tục quá trình này, ta có thể tìm được tất cả nghiệm của phương trình

Định lý Với mọi số nguyên tố p, phương trình

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n ≡ 0 (mod p) (1)

trong đó a 0 không chia hết cho p, có nhiều nhất là n nghiệm

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử phương trình (1) có ít nhất n+1 nghiệm khác nhau là

Suy ra phương trình (1) ⇔ (x – x1)f1(x)≡ 0 (mod p) (2)

Vì x2 là nghiệm đúng phương trình (1) nên ta có:

Từ đó suy ra (2) ⇔ (x – x1)(x – x2)f2(x) ≡ 0 (mod p)

Cứ lý luận tiếp tục, sau n bước, ta được:

Vì x0 – xi 0 (mod p) (i = 1, 2, …, n), p là số nguyên tố

⇒ a0 ≡ 0 (mod p) nghĩa là a0 chia hết cho p (trái giả thiết)

Định lý đã được chứng minh

Nhận xét

1 Nếu phương trình có quá n nghiệm thì a0 M p Khi đó phương trình

a1xn-1 + … + an ≡ 0 (mod p) cũng có quá n –1 nghiệm nên a1 M p Tiếp tục quá trình đó ta được ai M p với i = 0, 1, …, n

2 Phương trình f(x) ≡ 0 (mod p) luôn tương đương với một phương trình có bậc

nhỏ hơn p

Thật vậy, nếu n ≥ p thì bằng cách chia f(x) cho xp – x ta được:

f(x) = (xp – x)g(x) + r(x)

Trong đó g(x), r(x) là những đa thức với hệ số nguyên, r(x) = 0 hoặc bậc r(x) nhỏ hơn p

Theo định lý Fermat:

xp – p ≡ 0 (mod p)

nên f(x) ≡ 0 (mod p) ⇔ r(x) ≡ 0 (mod p)

II Trường hợp m ≡ pα, p số nguyên tố, α >1

Nếu x1 là nghiệm đúng của phương trình

f(x) ≡ 0 (mod pα)

Thì x1 cũng là nghiệm đúng của phương trình f(x) ≡ 0 (mod pα-1)

Do đó, ta có thể tìm nghiệm của phương trình nhờ nghiệm của phương trình đồng dư theo môđun là luỹ thừa của p với số mũ nhỏ hơn α

Phương trình này có một nghiệm là x ≡ 1 (mod 5)

Chia 4x3 + 2x –1 cho x – 1 ta được:

4x3 + 2x – 1 = (x – 1)(4x2 + 4x + 6) + 5

⇒ 4x2 + 4x + 6 ≡ 0 (mod 5)

⇔ 2x2 + 2x + 3 ≡ 0 (mod 5)

Thử trực tiếp hệ thặng dư đầy đủ, ta thấy phương trình này vô nghiệm

Vậy, phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là:

Phương trình có nghiệm x ≡ 1 (mod 3)

Ta tìm nghiệm phương trình đã cho dạng:

Khi p = 2 kết quả là hiển nhiên

Giả sử p > 2 Xét phương trình đồng dư:

(x – 1)(x – 2)…[x – (p – 1)] – (xp-1 – 1) ≡ 0 (mod p)

Phương trình này có bậc nhỏ hơn hoặc bằng p – 2 và có p – 1 nghiệm là 1; 2; …; p – 1 (mod p)

Điều này chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số của đa thức đều là bội số của p

Hệ số tự do:

(-1) (-2)… [-(p – 1)] + 1 = (p – 1)! + 1 M p

hay (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

II Vài ứng dụng

Định lý Wilson cho ta điều kiện cần để một số tự nhiên p > 1 là một số nguyên

tố, song đó cũng là điều kiện đủ

Thật vậy, nếu p = p1d, 1 < d < p thì (p – 1)! ≡ 0 (mod d)

Giải

a) Ta có:`(p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p) (Theo định lý Wilson)

⇒ (p – 1)! ≡ -1 (mod p)

⇒ (p – 1)!a ≡ -a (mod p) vì (a, p) =1

Theo định lý Fermat: ap ≡ a (mod p)

⇒ ap + (p – 1)!a ≡ 0 (mod p) (đpcm)

b) Ta có:

(p – 1)! ≡ -1 (mod p) (Theo định lý Wilson)

ap ≡ a (mod p) (Theo định ly Fermat)

⇒ (p – 1)!ap ≡ -a (mod p)

⇒ a + (p – 1)!ap ≡ 0 (mod p) (đpcm)

2 Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng p và p + 2 là số nguyên tố

khi và chỉ khi:

4 [(p – 1)! +1] + p ≡ 0 (mod p(p + 2))

Giải

Ta có: p nguyên tố ⇔ (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

Nên cũng có p nguyên tố ⇔ 4 [(p – 1)! +1] + p ≡ 0 (mod p)

Ta còn phải chứng minh: 4 [(p – 1)! +1] + p ≡ 0 (mod p+2)

Chương III

PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH

§1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT

Chúng ta xét phương trình:

ax + by = c (1) Trong đó a, b, c là những số nguyên cho trước, a và b đồng thời khác 0, x và y là các số nguyên cần tìm

Một phương trình như thế gọi là phương trình vô định hay còn gọi là phương trình Điôphăng bậc nhất hai ẩn; a và b gọi là hệ số của ẩn, c gọi là số hạng tự do

I Điều kiện có nghiệm nguyên:

1 Định lý Điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm nguyên là ƯCLN

các hệ số của ẩn là ước của số hạng tự do

Chứng minh

Gọi D = ƯCLN (a,b)

Nếu b = 0: kết quả hiển nhiên

Nếu b ≠ 0, ta có thể giả thiết b > 0

Khi đó, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình đồng dư sau đây có nghiệm:

ax ≡ c (mod b)

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi (a, b) là ước của c

2 Hệ quả Nếu ƯCLN (a, b) = 1 thì phương trình (1) có nghiệm nguyên

Về phương diện hình học, định lý trên cho ta điều kiện ràng buộc giữa các số nguyên a, b, c để đường thẳng ax + by = c đi qua điểm (có toạ độ) nguyên Vấn

đề tiếp theo đặt ra là giả sử đường thẳng ax + by = c (a, b, c ∈ Z, ab ≠ 0) đi qua

một điểm nguyên M(x0, y0) thì hỏi rằng nó còn đi qua điểm nguyên nào khác nữa không và nếu có thì toạ độ các điểm nguyên đó có liên hệ như thế nào với