Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0;1 và tạo với hai đường thẳng d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.. Viết phương trình đường thẳng d..[r]
Trang 1Trường THPT Ngô Sỹ Liên
Môn : toán 12
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề _o o o
I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm):
Câu I ( 2,5 điểm)
Cho hàm số y = x4 - 8x2 + 7
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
2 Xỏc định m để đường thẳng (d): y = mx - 9 tiếp xỳc với đồ thị hàm số trờn
Câu II (2,5 điểm)
1 Giải hệ phương trỡnh
2
2
x 1 y(x y 4) 0
+ + + ư =
+ + ư =
2 Giải phương trỡnh:
sin x.sin 3x cos x.cos3x 1
8 tan x- tan x
+
Câu III (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a Hỡnh chiếu vuụng gúc của A' lờn (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC Một mặt phẳng chứa BC và vuụng gúc với AA' cắt lăng trụ theo một thiết diện cú diện tớch là
2
a 3
8 Tớnh VABC.A'B'C' theo a
Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c thỏa món a + b + c ≤ 3 Tỡm giỏ trị lớn nhất của
P =
+ + + + + + + + + + +
II Phần riêng (3 điểm):
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu Va (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x - 7y + 17 = 0 và (d2): x + y - 5 = 0 Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(0;1) và tạo với hai đường thẳng (d1), (d2) một tam giỏc cõn tại giao điểm của hai đường thẳng (d1), (d2)
Câu VIa (1 điểm)
Cho a, b, c dương đụi một khỏc nhau và khỏc 1 Chứng minh rằng trong 3 số 2b 2b 2b
log , log , log
ớt nhất một số nhỏ hơn 1
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu Vb (2 điểm)
Cho (P) cú phương trỡnh y2 = 8x Đường thẳng (d) đi qua tiờu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho AB = 8 Viết phương trỡnh đường thẳng (d)
Câu VIb (1 điểm)
Xỏc định m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm thực
x 3 2 x ư ư ư + 4 x + ư 5 6 x ư = 4 2012m
Học sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2§¸p ¸n:
I.2
Yêu cầu đầu bài ⇔ hệ
3
4x 16x m
− =
Thay pt(1) vào pt(2) ta được x 2
=
⇔ =
= −
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
0,5
0,5
II
1
2
2
x 1 y(x y 4) 0
+ + + − =
+ + − =
2
2
x 1 y(x y) 4y
+ + − =
2
2
x y 2 2 y
y
+ + + − =
+
Đặt u =
2
2
+
và v = x + y - 2 ta được hệ u v 2 u 1
+ = =
⇔
Suy ra
2
1
, 2
x y 2 1
⇔
= =
+ − =
Kết luận
0,5
0,25
0,5
II.2
Vậy
sin x.sin 3x cos x.cos3x 1
8 tan x- tan x
+
sin x.sin 3x cos x.cos3x=
8
+
⇔ 1 cos2x cos2x - cos4x 1 cos2x cos2x + cos4x 1
⇔ 2(cos2x + cos2x.cos4x) = 1
cos 2x cos2x =
= ⇔
⇔
6
6
π
= + π
π
= − + π
Kết hợp đk ta được x = k
6
π
− + π là họ nghiệm của phương trình
0,25
0,25
0,5
0,25
III
1
Vẽ hình đúng
Gọi M là TĐ của BC, H là hình chiếu vuông góc của M lên AA' khi đó(P) là (BCH) Vì A'AM là góc nhọn
nên H nằm giữa AA' Vậy thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH và SBCH =
2
a 3 8
AM
2
= , 2 a 3
HM.BC
2
a 3
8 ⇒
a 3 HM
4
=
Vậy VABC.A'B'C' =
3
ABC
A ' O.S A 'O.AM.BC a
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 3IV
+ + + + + + + + + + +
a b c
+ + + + + + + +
Xột hàm số f(x) =
2
x 1
+ + cú TXĐ: R và f'(x) = ( 2 ) 2
1 x
− + + f'(x) = 0 ⇔ x = 1 Lập bbt của hs y = f(x) ta được f(x) ≤ 2 với mọi x
Vậy
Theo giả thiết a + b + c ≤ 3 Nờn
a b c
+ + + + + + + +
Vậy Max P = 3 2 + 3 và đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Va
Gọi ∆ là đường phõn giỏc của d1 và d2 Vậy đường thẳng d cần tỡm là đường thẳng đi qua M và ⊥ với d
Giả sử I ∈∆ ⇒ d(I,d1) = d(I, d2) ⇔ x 7y 17 x y 5
− + + −
= ⇔ 2x 6y 21 0
3x y 4 0
+ + =
− − =
Nếu ∆ : 2x + 6y + 21 = 0 thỡ d cú phương trỡnh 3x - y + 1 = 0
Nếu ∆ : 3x - y - 4 = 0 thỡ d cú phương trỡnh x + 3y - 3 = 0
0,5
1
0,25 0,25
log log log 1
b c a = Vậy ta cú điều phải chứng minh
1
Vb
(P) cú tiờu điểm là F(2,0)
+ Nếu F ∈ (d) và d ⊥ Ox thỡ d cú phương trỡnh x = 2
Giải hệ
2
y 8x
⇔
= ±
+ Nếu F ∈ (d) và d khụng ⊥ Ox thỡ d cú phương trỡnh y = k(x - 2)
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trỡnh
y k(x 2) y k(x 2)
⇔
⇒ k2x2 - 4(k2 + 2)x + 4k2 = 0(*)
NX: k ≠ 0 vỡ nếu k = 0 thỡ d trựng với Ox, khi đú d chỉ cắt (P) tại 1 điểm
Vỡ ∆ = 16k2 + 16 nờn (*) luụn cú hai nghiệm phõn biệt ⇒ d luụn cắt (P) tại hai điểm A(x1 kx1 - 2k) và B(x2,
kx2 - 2k) và x1 + x2 = ( 2 )
2
4 k 2 k
+
và x1 x2 = 4
Vỡ AB = 8 ⇔ (1 + k2)(x1 + x2) = 64 ⇔ ( 2) ( )2
1 k + x + x − 4x x = 64
⇔ ( 2) ( 2 )2
4
16 k 2
k
+ − =
2
2
8 k 1
64 k
⇒ Vụ nghiệm
Vậy phương trỡnh d cần tỡm là x = 2
0,5
0,5
0,5
0,5
VIb
Đặt u = x − 4, u ≥ 0 ⇒ x = u2 + 4
Ta được pt u2− 2u 1 + + u2− 6u + = 9 2012m ⇔ f(u) = u 1 − + − = u 3 2012m
Ta cú f(u) =
2u 4 0 u 1 2 1 u 3 2u 4 3 u
− + ≤ <
≤ <
Vẽ đồ thị hàm số y = f(u)
Từ đồ thị hàm số ta được (1) cú đỳng hai nghiệm ⇔ (2) cú đỳng hai nghiệm u ≥ 0
< ≤ ⇔ < ≤
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn đ−ợc điểm tối đa