Xác định vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.... Phương trình đã cho tương đương với: 2..[r]
Trang 1TRÍCH TỪ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
MÔN : TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề 1 Bài 1: ( 2.5 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: ab(a – b) – ac(a + c) + bc( 2a + c – b)
b) Tính giá trị của phân thức : A = x − y
x+ y , biết 2x2 + 2y2 = 5xy và y > x > 0.
Bài 2: ( 3 điểm)
a) Giải và biện luận phương trình: x – ax 2- với x là ẩn số, a và b là tham số
b) Cho tích xyzt
Nếu thêm y vào x thì tích tăng thêm a
Nếu thêm z vào y thì tích tăng thêm b
Nếu thêm t vào z thì tích tăng thêm c
Nếu thêm x vào t thì tích tăng thêm d
Chứng minh rằng: abcd = x4y4x4t4
Bài 3: ( 1.5 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên x ( x ≠ 3) ; sao cho x3 – 3 chia hết cho x – 3
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm, đường cao AH M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC và I là trung điểm của
AM Hạ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC
a) Tứ giác DIEH là hình gì? Chứng minh
b) Chứng minh rằng IH, DE, MG đồng quy
c) Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = CN Xác định vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất
ĐÁP ÁN Bài 1: (2.5 điểm)
a) Nhận xét rằng: 2a + c – b = (a + c) + (a – b) 0.25đ Nên: ab(a – b) – ac(a + c) + bc(2a + c – b)
=ab(a – b) – ac(a + c) + bc(a + c) + bc( a – b) 0.25đ
Trang 2= (a – b) (ab + bc) – (a + c) (ac – bc) 0.25đ
= b( a- b)(a + c) – c(a + c)(a – b) = (a – b)(b – c)(a + c) 0.25đ
b) Ta có :
A2= x2+ y2−2 xy
x2+ y2+2 xy
0.25đ
¿ 2 x2+ 2 y2−4 xy
2 x2
+ 2 y2
+ 4 xy
0.25đ
¿ 5 xy − 4 xy
5 xy +4 xy =
1 9
0.25đ
Vì y > x > 0 nên: x + y > 0 và x – y < 0 Do đó: A < 0 0.25đ
Bài 2: (3 điểm)
a) Điều kiện: x ≠ ± b Phương trình đã cho tương đương với:
x – a2x + a = x2−b2
x2−b2
0.25đ
⇔ x −a2x+a=1
Biện luận:
- Nếu : a ≠ ± 1 thì x= 1
a+1
+ Với : 1
a+1 ≠ ± b thì PT có nghiệm duy nhất x=
1
+ Với : 1
a+1 = ± b thì PT vô nghiệm
0.25đ
- Nếu a = 1 (*) thành: 0x = 0 PT có vô số nghiệm x ≠ ± b 0.25đ b) Theo đề bài ta có:
(x + y) yzt = xyzt + a , suy ra : a = y2zt (1) 0.25đ
x (y + z) zt = xyzt + b, suy ra : b = xz2t (2) 0.25đ
xy (z + t) t = xyzt + c , suy ra : c = xyt2 (3) 0.25đ xyz (t+ x) = xyzt + d, suy ra : d = x2yz (4) 0.25đ Nhân (1),(2),(3),(4) ta được điều phải chứng minh 0.50đ
Bài 3: (1.5 điểm) x3 – 3 = x3 – 27 + 24 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 24 0.25đ Theo yêu cầu đề bài (ycđb) : x3 – 3 chia hết cho x -3
Suy ra : 24 chia hết cho x – 3 hay x – 3 là ước của 24 0.25đ Vậy x – 3 có thể nhận các giá trị : 1,2,3,4,6,8,12,24,-1,-2,-3…… 0.25đ
Vì x là số tự nhiên nên x – 3 ≥ -3 và x ≠ 3, ta có : 0.25đ
x – 3 = -3 suy ra : n = 0,… (tính tất cả các trường hợp) 0.50đ
Bài 4: (3 điểm)
a) ID = ½ AM, IH = ½ AM (đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Suy ra ID = IH, nên tam giác IDH cân tại I 0.25đ Ngoài ra: DIH = 2 DAH = 600
Nên tam giác DIH đều
0.25đ
Trang 3Tương tự, tam giác IHE đều 0.25đ
b) Gọi S là trung điểm AG, O là giao điểm của HI và DE
c) Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của M và N trên AB
Tam giác vuông AQN có góc A = 600 là nửa tam giác đều, nên AQ = ½ AN 0.25đ Tương tự, PB = ½ BM, suy ra PB = ½ NC
Ta có MN ≥ PQ = AB – (AQ + PB) = AB – AC/2 = AB / 2 (không đổi) 0.25đ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MN = PQ = AB/2
Khi đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC 0.25đ