Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học giải phương trình bậc hai một ẩn

Do đó, khi nghiên cứu cho các giai doạn chương trình trước chương trình hiện hành, chủng tôi tiến hành trên các bộ SGK môn Đại số các khối lớp có liên quan đến việc dạy học giải phương t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Thanh

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Thanh

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

Trước hét, tôi xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu săc đên TS Nguyên Ai Ọuôc, ngưòi đã tận tình hướng clan, giúp đỡ và động viên tôi rất nhiêu trong quá trình làm luận văn Tôi xin trán trọng còm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giai đáp những thac mắc đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tot nhất về chuyên ngành nghiên cứu rát thú

vị - Didactic Toán Tôi xin chân thành cảm ơn :

• Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SDH, ban chủ nhiệm vù giang viên khoa Toán - Tin của trường ĐHSP Tp Hồ Chi Minh đã tạo thuận lợi cho chủng tôi trong suốt khoá học vừa qua.

• Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT chuyên Lê Hông Phong (TP.HCM), Tran Biên (Đồng Nai), các trường THCS chuyên Nguyễn Binh Khiêm, Trần Hưng Đạo, Lê Lợi Tam Hiệp, Tam Hòa (Đồng Nai) dã hô trợ tôi thực hiện các thực nghiệm doi với giáo viên.

• Ban giám hiệu và các giáo viên trường THPT Nguyên Huệ (Thu Đức, TP.HCM) dã In') trợ tôi thực hiện các thực nghiệm đối với học sinh.

• Ban giám hiệu và giáo viên trường THCS Long Tân (Đồng Nai) dã tạo diêu kiện cho tôi dự giờ, quan sát nhiều giờ học liên quan đê tài hum văn.

• Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tô Toán trưcxng THPT Nhơn Trạch (Đông Nai) đã tạo điểu kiện và hô trợ đê tôi có thê hoàn thành luận vân này.

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi những buôn vui và khó khăn trong quá trình học tập.

Cuôi cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhát đen những ngirời thân yêu trong gia đĩnh tôi những bạn bè tâm giao của tỏi Họ, những người

đã luôn ở bên tỏi mọi lúc và chinh là động lực đê tôi hoàn tất tot luận văn.

Nguyên Thị Thanh Thanh.

1'ra Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Bảng danh mục các chừ viết tắt

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chưong 1 7

MÓI QUAN HỆ THẺ CHẾ ĐÓI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 7 1.1 Sự tiến triển của các TCTI ỉ qua các giai đoạn chương trình giáo dục kể từ 1986 đến nay 9

1.1.1 Một sô kêt quả được rút ra từ công trình nghiên cứu trước đó 9

1.1.2 Giai đoạn chương trình cải cách giáo dục 15

1.1.3 Giai doạn chương trình chỉnh lý giáo dục 21

1.1.4 Giai doạn chương trình đôi mới giáo dục 25

1.2 Phân lích sách giáo khoa hiện hành 26

1.2.1 Phân tích chương trình lóp 9 và lớp 10 26

1.2.2 Sách giáo khoa lớp 9 28

1.2.3 Sách giáo khoa lóp 10 39

1.3 Kết luận 42

Chương 2 46

PHÂN TÍCH THỤC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 47

2.1 Thực tế giảng dạy việc giải phương trình bậc hai một ẩn của giáo viên 47

2.1.1 Tổ chức toán học và tổ chức didactic: một quan điểm động 48

2.1.2 Tố chức toán học và tổ chức didactic: một quan điểm tĩnh 79

2.1.3 Đánh giá tổ chức toán học 83

2.2 Quan điểm so sánh 86

2.3 Kết luận 86

Chương 3 88

3.1.1 Mục tiêu thực nghiệm 88

3.1.2 Đối tượng thực nghiệm 88

3.1.3 Mô tả thực nghiệm 88

3.1.4 Phân tích a priori giai đoạn thứ hai của thực nghiệm 90

3.1.5 Phân tích aposteriori các bài toán thực nghiệm 95

3.2 Thực nghiệm đối với giáo viên 113

3.2.1 Mục tiêu thực nghiệm 113

3.2.2 Phân tích câu hỏi thực nghiệm 114

3.2.3 Phân tích câu trả lời của giáo viên 117

3.3 Kết luận 125

KÉT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 128

TÀI LIỆU THAM KHẢO 130

PHỤ LỤC 133

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Qua quan sát các chương trình từ THCS đến 'ĨHPT, chúng tôi nhận thấy phương trình bậc hai xuất hiện khá nhiều ở cả dạng tường minh và ngầm ân Tất nhiên biến trong phương trình có thể không hiểu hoàn toàn theo nghĩa thuần túy chỉ

là X hay một chừ khác, mà nó còn có thể là những biểu thức chứa biến tương đối phức tạp và phong phú Khi đó, việc tìm giá trị biến, bước đầu phải thông qua việc giai phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai có thể giải theo nhiều cách khác nhau 'ITiy nhiên, số cách giải này không được giới thiệu nhất quán trong các bộ sách giáo khoa Các bài tập được giải bàng delta hay đưa về phương trình tích thì được giới thiệu trong lất cả các bộ SGK đã và đang sử dụng trong chương trình, còn các cách giải khác thì được giới thiệu không thống nhất trong các bộ SGK dược tái bản mồi năm (chăng hạn các bộ SGK THCS trước 2ƠƠ2)

Việc phương trình bậc hai dược sử dụng như một công cụ giải các bài toán khác, phức tạp hơn làm chúng tôi quan tâm dến mục đích tôn tại của nỏ trong chirơng trình

Trong lịch sử, người ta đã giải phương trình bậc hai băng việc chuyên vê giai bài toán hình học - phương pháp này được thirc hiện bởi nhà Toán học Alkhcnvarizmi

Phương trình bậc hai và việc giải quyết nó xuất hiện ở các bậc học, khối lớp với mức độ khác nhau Trong chương trình hiện hành, đối với bậc 'THCS đầu tièn, chúng xuất hiện như bài tập vận dụng trong sách bài tập lớp 7 Sau dó, chúng xuất hiện như các ví dụ minh họa cho việc giải phương trình tích ở lớp 8 Còn lớp 9, giải phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng và chiêm nhiêu thời lượng của chương trình Còn ở bậc TTIPT, phương trình bậc hai xuất hiện ở lớp 10 với yêu cầu khó khăn hơn, nhưng mức dộ khác nhau ở hai ban Trong chương trình, công thức nghiệm và định lý Viét là công cụ được sử dụng chủ yếu Thậm chí, trong xu hướng hiện nay, việc sử dụng máy tính bỏ túi để giải quyết các bài toán trong nhiều ITnh vực ngày càng được chú trọng, do đó, việc giải phương trình cũng không ngoại lệ

Từ những ghi nhận này, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi ban đầu như sau:Tại sao giải phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng và chiếm nhiều thời lượng của chương trình phổ thông?

Khi giải một phương trình bậc hai chính tắc, phương pháp đồ thị còn dược thừa nhận trong thể chế hiện hành hay không?

Những ứng dụng của phương trình bậc hai khi giải các bài toán khác?

Có hay không sự ràng buộc giữa giáo viên và học sinh khi lựa chọn cách giải quyết một phương trình bậc hai?

2 Khung lý thuyết tham chiếu:

Lí thuyết nhân chủng học:

Phần này chúng tôi chỉ mô tả một cách ngẩn gọn các khái niệm cần tham chiếu đê tìm các yếu tổ cho phép trả lời những câu hỏi dã đặt ra

• Quan hệ thế chế, quan hệ cá nhân:

Ọuan hệ của thê chế I với tri thức o - R(l 0): là tập hợp các tác động qua

lại mà thẻ chế I có với tri thức o Nó cho biết o xuất hiện ở đâu như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì?

Quan hệ cá nhân X với tri thức o - R(X, 0): là tập hợp các tác động qua

lại mà cá nhân X có với tri thức o Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu thế nào về o C(S thô thao lác o ra sao

Việc học lập của cá nhân X về đổi tượng tri thức o chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh quan hệ R(X, O) Hiển nhiên, dối với một tri thức o, quan hệ của thê chế I (mà cá nhân X là một thành phần) luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ R(X O) Do đó, muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần dặt nó trong R(I, O)

• Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội, cho nên, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chính trên quan điếm này mà

Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.

Theo Chavallard, mồi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, r ,ớ ,0 J,

trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, T là kỹ thuật cho phép giải quyết T, ớ là công nghệ giãi thích cho kỹ thuật r , 0 là lí thuyết giải thích cho e Một praxeologie mà

các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học

Bosch.M và Chevallard Y (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế đối với một đối tượng, với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập

làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thế (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên"

Do đó, việc phân tích các tố chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức

o cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với o, từ đó hiếu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với o.

• Tổ chức didactic

Câu hỏi thứ hai của chủng tôi liên quan đến thực hành của giáo viên Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hởi:

□ Làm thế nào để phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học nào dó ?

□ I.àm thé nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo

\ iên dã triển khai dế truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thc‘.^

'ha thấy xuất hiện ở đây thuật ngữ tô chức didactic Đó là một praxéologie

mả kiểu nhiệm VỊI cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu Cụ thề hơn một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiêu "Nghiên cứu tác phàm o như thế nào?"

Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra đề giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu Theo ông, dù không phải

là mọi tồ chức toán học đều được tố chức tìm hiếu theo một cáeh thức duy nhất, thì vẫn cỏ những thời điểm mà lất cả các hoạt động nghiên cứu đều phải trải qua Cụ thể, ông cho rằng một tình huống học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm, và ông gọi chúng là các thời điểm nghiên cứu hay thời điểm didactic

Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học

OM được xem là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng o Sự gặp gở như vậy có thế xảy ra theo nhiều cách khác nhau Tuy nhiên, có một cách gặp, hay "gặp lại", hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu o rất hời hợl, là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên o Sự

"gặp gỡ lần đầu tiên" với kiểu nhiệm vụ Tj có thể xẩy ra qua nhiều lần, tùy vào môi

bièt rõ.

Thời điểm thứ hai', là thời điểm nghiên cứu kiêu nhiệm VỊI Ti được đặt ra,

vá xây dựng nên một kỹ thuật Ti cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này Thông thường, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỳ thuật tương ứng Kỳ thuật này sau đó sẽ lại là phương tiện để giải quyết mọi bài toán cùng kiểu

Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết

[0/0] liên quan đến Tị, nghĩa là tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập

Thời điểm thứ tư: là thời điếm làm việc với kỳ thuật Thời điểm này là thời

dicm hoàn thiện kỳ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất - điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã dược xây dựng cho đến lúc dó Đồng thời đây cũng là thời diêm làm tăng khả năng làm chủ kỳ thuật: thời diêm thử thách kỹ thuật này dòi hỏi phái xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ

Thời điêm thứ năm: là thời diêm thê chê hóa Mục đích của thời điôm này

là chi ra một cách rõ ràng những yéu tố của tổ chức toán học cần Xcây dựng Nhừng ycư tố này có thổ là kiểu bài toán liên quan, kỳ thuật được giữ lại để giải, cơ sở công nghệ -lý thuyết của kỳ thuật đó, cách ghi hay ký hiệu mới

Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá Thời điểm đánh giá nối khóp

với thời điểm thể chế hóa Trong thực tế, việc dạy học phải đi đến một thời điểm mà

ở dó người ta phải '‘diểm lại tình hình”; cái gì có giá trị, cái gì đã học được, 6 thời điẻm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỳ thuật thực hiện kiếu nhiệm vụ dạy một

tô chức toán học như thế nào? Phân tích một tố chức didactic có nghĩa là phân

tích cách thức mà sáu thòi điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không đưọ'c thụx hiện) Lưu ý răng Chevallard không áp đặt phải thực hiện các thời diêm

theo đúng trình tự đã nêu Chẳng hạn, có thể đi đến thời điểm thứ tư rồi lại quay trở lại với thời diêm thứ hai Khái niệm thời điểm nghiên cứu sẽ mang lại cho chúng tôi một mô hình lý thuyết thỏa đáng đê quan sát hoạt động của giáo viên nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi Q3

mức dộ khác nhau về hình thức, số lượng và yêu cầu Một phương trình bậc hai lại có thể được giải bằng nhiều cách

Trong dạy học giải phương trình bậc hai, mối quan tâm của giáo viên đối với việc giải quyết các dạng bài toán liên quan không như nhau Điều này có ảnh hưởng đến việc học sinh tìm phương án giải quyết các bài toán này không?

Với khung lý thuyết tham chiếu và giới hạn của đề tài đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi nghiên cứu mà việc tìm kiếm câu trả lời chính

là mục đích nghiên cứu của luận văn;

Ql Sự tiên triên của các TCTH xoay quanh kiêu nhiệm vụ “Giải phương trình

bậc hai một an’' qua các giai đoạn thay đổi chương trình giáo dục phố thông từ năm 1986 cho đến nay?

Q2 Trong the chế hiện hành, các tổ chức didactic nào cho phép triến khai các

Q5 1 rong dạy học, giáo viên có sự quan lâm thỏa đáng đến tính hiệu quá của

mỗi kỹ thuật (tính biệt số delta, nhân tử hóa, MTBT, ) khi giải quyết kiểu nhiệm vụ "Giải phương trình bậc hai một ẩn” hay không?

4 Phưong pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn:

Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là: thực hiện một nghiên cứu thể chế bằng cách phân tích các chương trình và SGK liên quan Trong giới hạn của đề tài, chúng tôi chỉ nghiên cứu sơ lược các giai đoạn chương trình thay đối trong khoảng 20 năm gần đây Tiếp đến, vận dụng lý thuyết nhân chủng học để nghiên cứu sự cho phép triển khai các TCTH tìm được trong thể chế phô thông hiện nay Đồng thời, chúng tôi tìm hiểu trong thực tế, chúng, các TCTH đã được tiến hành ra sao, từ đó tìm hiểu sự chênh lệch của các TCTH cần dạy và được dạy Tuy nhiên, theo chúng tôi như thế chưa đầy đủ, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên học sinh với mong muốn kiểm chứng các giả thuyết mà chúng tôi đặt ra, bên cạnh đó, chúng tôi sẽ tìm được lời giải thích tốt nhất cho sự

Dựa vào phương pháp nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tô chức nghiên cứu của chúng tôi như sau;

■ Phàn tích mối quan hệ thể chế đối với phương trình bậc hai một ấn

■ Phân tích một vài giờ dạy trên lớp của giáo viên

■ Tổng hợp kết quả 2 phần trên để đề xuất các hợp đồng didactic hay giảthuyết nghiên cứu

■ Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu hói đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu

Luận văn này gồm 3 phần lớn: phần mở đầu; phần nội dung gồm chương 1, chương 2 và chương 3; cuối cùng là phần kết luận chung Chúng tôi có phần phụ lục dể hỗ trợ thêm cho luận văn

Trong phần kết luận chung, chúng tôi tóm tẳt những kết quả đạt được ở chương I, 2, 3 và ncu lên hướng mở ra từ luận văn này

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy nội dung chương trình và nội dung yêu càu giảng dạy của SGK trước đây là tương tự nhau Do đó, khi nghiên cứu cho các giai doạn chương trình trước chương trình hiện hành, chủng tôi tiến hành trên các

bộ SGK môn Đại số các khối lớp có liên quan đến việc dạy học giải phương trình bậc hai một ẩn ở bậc THCS và THPT, cùng với sự hồ trợ của các sách tham khảo khác, ơ đày, trong phạm vi đề tài, chúng tôi chỉ nghiên cứu các bộ SGK lớp 7, lớp 8

và lớp 9 đối với bậc THCS và lớp 10 đối với bậc THPT

Dẻ phục vụ cho mục đích nghiên cứu, chủng tôi tiến hành nghiên cứu các

bộ SGK từ năm 1986 trở lại đây Thực tế, có ba giai đoạn chương trình trong quãng thời gian này dó là giai doạn cải cách chưong trình giáo dục phô thông, giai đoạn chinh lý chương trình giáo dục phô thông và giai đoạn đôi mới chương trình giáo dục phô thông (chúng tôi viêt tăt các giai đoạn này tương ứng là CCGD, CLGG và DMGD) Dặc biệt, với mỗi giai doạn có một bộ SGK dùng ricng cho nó Thời gian liên hành mỗi giai đoạn ở mỗi bậc học là không giống nhau Các quá trình này đều dược tiến hành theo kiểu cuốn chiếu ở từng bậc học

Qua quan sát các bộ SGK ở các giai đoạn này chúng tôi nhận thây có

những diêm giông và khác nhau vê cả nội dung và hình thức trình bày cỏ những nội dung được giữ lại cho bộ SGK sau này, nhưng cũng có những nội dung bị lượt

bo hoặc được thêm vào Do đó, đê thuận lợi cho cho việc nghiên cứu và trình bày, chúng lôi thống nhất khảo sát bộ SGK dùng cho miền Nam và xem:

'y Giai đoạn chương trình CCGD: là giai doạn tiên hành chương trình

CCGD từ năm 1986 đến năm 1994 đối với THCS và từ năm 1989 đến năm 2000 dối với rHPT;

>■ Giai đoạn chương trĩnh CLGD: là giai doạn tiên hành chương trình

CLGD từ 1994 đến năm 2002 đối với THCS và lừ năm 2000 dến năm 2006 đối với

> Giai đoạn chương trình ĐMGD: là giai đoạn triên khai chương trình

giáo dục hiện hành, bắt dầu từ năm 2002 đối với 4'IICS và từ năm 2006 đối với 11IP1' cho dến nay

Sách giáo viên Đại số (SGV) các lớp 7, 8, 9 và 10 tương ứng với các giai doạn Riêng với lớp 10 chinh lý hợp nhất năm 2000, chỉ có sách Tài liệu hướng dần giảng dạy Toán, tuy nhiên đề thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi cũng gọi là SGV 2000)

Sách bài tập Đại số (SBT) tương ứng với các lớp 7, 8, 9 và 10

Sách Bài soạn Đại số (SBS) tương ứng với các lớp 7, 8, 9 ở giai đoạn CCGD trưrk năm 1994 Mục đích của các sách này nhằm giúp giáo viên có điều kiện thuận lợi đô soạn giáo án lên lớp đạt hiệu quả cao Qua tìm hiêu chúng tôi dirọc biết chúng được phát hành song song với các SGK chúng có vai trò như SGV nhung rõ ràng và chi tiết hmi Chúng tôi sử dụng các sách này hồ trợ cho quá trinh nghicn cửu của minh với lý do tác giá biên soạn sách là ít nhât một trong các soạn gia các bộ SGK trên, họ bicn soạn dựa trcn những quy dịnh VC nội dung chương trình \à phân phối các licl học của Bộ Giáo dục, các sách do NXB Giáo dục phát hành; dồng thời cũng vì một lý do khác là chủng tôi không tìm dược đầy dú các SBT Vì \ậy, chúng tôi nhận thấy tính hợp lý của việc sử dụng các SBS này trong quá trình nghicn cứu dc lài SBS phan nào cũng the hiẹn ý do cúa Noosphèrc dôi vói nội dung cân giảng dạy dược trình bà}’ trong SGK ở giai doạn mà chúng lôi nghiên cứu

Chúng tôi sẽ kế thừa những thành quả đạt được trong luận án tiến sĩ năm

2006 của Nguyễn Ái Quốc có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi cần nghiên cứu Kiêu nhiệm vụ mà chúng tôi nghiên cứu ở đây chính là “Giải các phương trình bậc hai một ẩn", đê gọn gàng hơn nhưng không thay đổi ý nghĩa, chúng tôi xin nói vắn tắt là “Giải phương trinh bậc hai”

Dưới đây, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích thể chế dạy học ở trường phổ thông thông qua các bộ SGK như đã nói ở trên, nhàm tìm hiểu sự tiến triến của các

TC ri I liên quan đến đổi tượng phương trình bậc hai qua các giai đoạn Đồng thời, trong phạm vi nghiên cứu của đê tài và khả năng giới hạn, đế tìm hiếu xem các TCd'H ấy được cho phép triển khai ra sao, chúng tôi tiến hành phân tích bộ SGK lớp 9 và lớp 10 hiện hành Bên cạnh đó chúng tôi mong muốn tìm hiểu xem có sự tồn tại của quy tắc ngầm ẩn nào giữa giáo viên và học sinh trong việc giải một phương trình bậc hai hay không?

1.1.1 Một số kết quả được rút ra từ một công trình nghiên cứu trưóc đó

Liên quan đến đối tượng phương trình bậc hai mà chúng tôi dang nghiên cứu, chúng tôi tìm được công trình: Luận án tiến sĩ năm 2006 [33] của Nguyễn Ái Quôc

Trong luận án, Nguyễn Ái Quốc có sử dụng các bộ SGK gồm lớp 7 và 8 theo chương trình hiện hành và các bộ SGK lớp 9 và 10 theo chương trình chỉnh lý giáo dục (khi ấy hai bộ sách này vẫn đang được sử dụng chính thức) Qua tham khao công trình này, chúng tôi đã rút ra được một sô kêt quả phục vụ cho đê tài đang nghiên cứu

Trước hết, chúng tôi xin tóm tắt ngắn gọn lại các kiêu nhiệm vụ các kỳ thuật cũng như các khối công nghệ - lý thuyết đã được định nghĩa và trình bày trong luận án này, dồng thời để thuận lợi cho việc theo dõi và trình bày chúng tôi cũng quyết định sử dụng lại chúng trong nghiên cứu của mình

Trong phân tích sách giáo khoa của luận án, bôn nhiệm vụ con của kiêu nhiệm vụ “Giải một phương trình bậc hai” được định nghĩa phân biệt bởi dạng của các bièu thức dại số của phương trình bậc hai Cụ thể;

C1 - Giải phương trình bậc hai chứa;

biểu thức đã phân tích thành nhân lử [P(x)xQ(x)=0j,

- biểu thức có một nhân tử chung lộ rõ [P(x)xR(x)+P(x)xS(x)=0], cho phép dưa về trường hợp C1 trên [P(x)x(R(x)+S(x))=0]

C2 - Giải các phương trình bậc hai, trong đó phương trình có thê đưa về

dược dạng C1 sau khi phân tích được thành nhân tử từng phần, hoặc áp dụng một hằng đắng thức đáng nhớ Cụ thể, phương trình có một trong những dạng sau:

- P(x)xQ(x)+R(x)xS(x)=0 (trong đó, các đa thức này là các đa thức bậc nhất thỏa R(x) hay S(x) là một bội của P(x) hay của Q(x))

- P^(x)-Q^(x)=0; k,.p2(x)- k2.Q‘(x)=0; k,.p2(x)-k2=0 hay p2(x)- k = 0 (\ ới k| > 0, k2> 0, k > 0)

C3 - Giải các phương trình bậc hai, trong đó biểu thức không được khai triển, không phải là dạng C1 và C2, không sẵn sàng cho phép nhân tử hóa

C4 - Giải các phương trình trong đó biểu thức đã được khai triên và rút

gọn thành; ax- + bx + c = 0 (dạng chuẩn tắc)

I ỉai khối công nghệ - lý thuyết sinh ra các loại kỹ thuật tương ứng được giới thiệu trong luận án là: (0vi, ©v) và (0v2, ©v), trong đó các công nghệ 0V], 9v2 và

0, được trình bày như sau:

Các yếu tố công nghệ 0vi: các tính chất của "Phép nhân và chia các đa thức", các quy tac "Nhân tử hóa một đa thức'’, tính chất của phép nhân trong R:

í:/xố = 0<=>a = 0 hay 6 = 0” và tính chất trong tập hợp các đa thức R[X] với hệ số

trong R: "A(x)xB(x) = 0 « A(x) = 0 hay B(x) = 0”

Công nghệ 0v2: các yếu tố công nghệ 9vi, tính toán biệt số và tính toán dại

số các nghiệm theo dấu của biệt số

Lý thuyết ẩn 0y trong R[X] (vành nhân tử hóa, giao hoán, đơn vị và

nguyên), mọi đa thức bậc hai ax- + bx + c có một phân tích duy nhất thành hai nhân

tư bất khả quy (đa thức bậc nhất) nếu b' - 4ac > 0 và mỗi đa thức bậc nhất, mọi đa thức ax' + bx + c với b' - 4ac < 0 là bất khả quy

Như vậy, có hai tổ chức toán học vùng khác nhau liên quan đến việc giải phương trình bậc hai đó là (Tjj, T,J, 9j, ©v), với j=vl hay v2 Khối (9vi, 0v) cho phép

sinh ra hai loại kỳ thuật ĩG/ací và ĩRègỉes và khối (0v2, ©v) cho phép sinh ra hai

loại kỹ thuật ĩDiscr và iGdév Cụ thể như sau;

ĩG/act là các kỹ thuật cho phép đưa về việc triệt tiêu một tích của hai đa

thức dại số bậc 1 sau khi đã phân tích thành thừa số

rRègles: là các kỳ thuật dựa trên việc áp dụng các quy tắc như; triệt liêu một tích của các nhân tử (ProdN), hay triệt tiêu một bình phương {CarN), dăng thức hóa hai bình phương (EgaCar) hay lấy căn bậc hai hai vế của một dăng thức

(Rac)

TDiscr là kỹ thuật sử dụng tính biệt số và các công thức nghiệm cho việc

giải phương trình bậc hai dạng chuẩn tắc

ĩGdév: là các kỹ thuật cho phép khai triển biểu thức đại số cho trước đế

đưa về một phương trình dạng chuẩn tắc

Chi tiết từ bốn nhóm kỹ thuật nêu trên, các kỹ thuật dưới đây đã được tìm thấy trong quá trình nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ "Giải phương trình bậc hai”, chúng được trình bày trong luận án như sau:

• CarN : Kỹ thuật triệt tiêu bình phương theo quy tắc '^a =0 a = (r

• ProdN ; Kỹ thuật giải phương trình tích dựa trên quy tắc:

"ữ.ố ^ 0<^ a = 0 hoăc b = ớ”

• ỉdR ProdN: Kỳ thuật gồm hai giai đoạn liên tiếp: sử dụng hằng đàng

thức dáng nhớ đưa phương trình đã cho về dạng P(x).Q(x)=0, rồi giải phương trình tích này

• EgaCar: Kỹ thuật dựa trên quy tắc: “ư* = ổ‘<=> a ^ b hoặc a = - b".

• Rac : Kỳ thuật dựa trên quy tắc: "a- = k <=> a ^ hoặc a - -'Jk'’' (k

là số ihirc dương)

• Discr : Kỳ thuật sử dụng các công thức nghiệm sau khi tính biệt số

delta

• Dév_Fact_ProdN: Kỹ thuật gồm ba giai đoạn liên tiếp: khai triến và

rút gọn biểu thức, đưa phương trình đã cho về dạng P(x).Q(x) = 0, cuối cùng giải phương trình tích này

• Dec_Fact_ProdN ; Kỹ thuật gồm ba giai đoạn lièn tiêp; phân tích số

hạng bx nhằm dưa phương trình đã cho về dạng P(x).Q(x) = 0, sau cùng giải phương trình lích này

• Aj_ỉdR_EgaCar: kỹ thuật gồm ba giai đoạn liên tiếp: thêm một số

hạng hay một nhân lử đế làm xuât hiện một hằng đẳng thức mà vẫn báo toàn đẳng thức, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đưa phương trình đã cho về dạng p^(x) = k, rồi giài phương trình bang kỳ thuật Ega_Car

• Aj_ỊdR_ProdN: kỹ thuật gồm ba giai đoạn liên liếp: thêm một số hạng

hay một nhân tử để làm xuất hiện một hằng đẳng thức mà vẫn bảo toàn dắng thức,

sư dụng các hằng đắng thức đáng nhớ dưa phương trình đã cho về dạng P(x)^ - Q(x)" = 0, rồi tiếp lục biến đổi về dạng R(x)xS(x) = 0 và giải phương trình tích này

• Aj_IdR_Car: kỹ thuật gồm ba giai đoạn liên tiếp: thêm một số hạng

hay một nhân tử nhàm làm xuất hiện một hàng đẳng thức mà vẫn bảo toàn đẳng thức, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đưa phương trình đã cho về dạng P(x)“ = 0, sau đó giải phương trình theo quy tắc = ỡ <z> ữ - ớ”

Qua nghiên cứu luận án của Nguyễn Ái Quốc, chúng tôi rút ra một số kết quả có liên quan đen việc dạy học giải phương trình bậc hai như sau:

Khái niệm phương trình được định nghĩa như đẳng thức của hai đa thức ở bậc THCS và đẳng thức của hai hàm số ở lóp 10 THPT Việc giải phương trình gồm việc tìm các giá trị của biến số để hai đa thức của hai vế phương trình nhận cùng

một giá trị số Trong trường hợp này, các đa thức và hàm đa thức nhận cùng một vai trò trong việc nghiên cứu phương trình khi biến số nhận giá trị trong trường sổ thực.

Việc giải phương trình bậc hai được đưa vào từ lớp 7 và được học chủ yếu

ơ hai lớp 8 và 9 ở lớp 10 xuất hiện dưới dạng các phương trình có chứa tham số

về kiểu nhiệm vụ, sự phân bố và xuất hiện các kiểu nhiệm vụ ở các khổi lớp là không đều nhau Các kiểu nhiệm vụ C1 và C2 xuất hiện nhiều chủ yếu ở lớp

8 trong đó sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và phương trình tích, số lượng của chúng giảm đáng kể khi chuyến qua chương trình lớp 9, tha> vào đó là sự tăng lên rất lớn của số các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ C4 mà ở lớp trước đó nhiệm vụ thuộc kiểu C4 này xuất hiện không nhiều Riêng đối với số nhiệm vụ thuộc kiêu C3, chúng có mặt rât ít trong toàn bộ chương trình

Sự tiên triên của các kiêu nhiệm vụ này trong SLiôt chương trình có thê

quan sát rõ hơn qua bảng sau:

c 1 và C2 được giải quyết chù yếu ở lớp 8

về kỹ thuật, việc giải phương trình bậc hai băng kỹ thuật phân tích thành

nhân tử CarN và ProciN được bắt đầu ở lớp 1 với một số lượng rất ít các bài tập

(xuất hiện trong SBT)

Sau đó, nó được học và giải quyết ở lớp 8 chủ yếu bằng cách sử dụng các

kỳ thuật CarN, ProdN, Fact_ProdN, IdR ProdN, EgaCar dựa trên tính chất phân

phối cúa phép nhân đối với phép cộng các đa thức

Các kỳ thuật khác như Dec_Fact_ProdN, Aj_ỉdR_ EgaCar và Aj_ỉdR_ProdN được giới thiệu ở cả lớp 8 và 9 (trong phần bài tập ở lớp 8 và bài

học lý thuyết ớ lớp 9) để giải các phương trình chuẩn tắc (dạng C4)

ớ lớp 10, mục đích quan trọng là việc nghiên cứu phương trình bậc hai (hay đưa về phương trình bậc hai) chứa tham số và biện luận theo các giá trị của tham số

Sự tiến triến của các kỳ thuật cũng như các khối công nghệ - lý thuyết đối với kiếu nhiệm vụ “giải một phương trình bậc hai” được làm rõ hơn qua bảng sau:

Kỷ thuật

CarN, ProdN, Fact ProdN, ỉdRProdN

Dec Fact ProdN,

Aj IdR EgaCar, AjJdR_ProdN

Discr

Bảng 28 : Tổng kết các TCTI l [33]

F)ặc biệt, việc giải phưcmg trình bậc hai bằng đồ thị có một vị trí hẹp ở

riics và dầu THPT, với sự hiện diện của một số rất ít bài tập được giải bàng kỹ thuật này Kỹ thuật đồ thị thường được gắn liền với bài toán biện luận số nghiệm và dâu các nghiệm của một phương trình bậc hai ở kVp 10

Như vậy, có thể nói rằng các kỹ thuật dại số giải phương trình bậc hai thông lĩnh trong thê chê phô thông Đây chính là những gì giải thích cho việc kỹ thuật sử dụng biệt số được xem như kỹ thuật chủ yếu khi nghiên cứu việc giải các phương trình bậc hai Việc sử dụng các kỹ thuật nhân tử hóa (một đa thức) chỉ dược học ở lớp 8 pho thông cơ sở ở lớp 9, việc sử dụng này chi' được lặp lại như một kỹ thuật cần thiết cho việc chuyển sang kỳ thuật dùng biệt số

Kỳ thuật biệt số xuất hiện và được nghiên cứu ngay ở lớp 9 với một số lượng lớn các bài tập được cho có dạng chuẩn tắc ax^+bx+c = 0, đồng thời phần lớn các bài tập trong SGK và SBT được dành cho việc sử dụng kỹ thuật biệt số Vcà các công thức nghiệm Điều này thể hiện tầm quan trọng của kỳ thuật này trong chương trình

Hơn thế, “toàn thể sức mạnh” của kỹ thuật dùng biệt số cũng được xác nhận qua những dấu vết ngầm ẩn được tìm thấy trong kỹ thuật phân tích thành thừa

số các phương trình dạng chuẩn tắc (được dạy trước kỳ thuật biệt số) trong SGK 9

về các lỗi sinh ra khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ, chúng có thể được sắp xếp thành 3 loại: sử dụng một kỹ thuật hợp thức hóa về mặt khoa học nhưng không

thích hợp khi xét đến quan hệ thể chế đối với đối lượng nghiên cứu; chất lượng của chính bản thân kỳ thuật; không làni chủ các yểu tố công nghệ sinh ra các kỹ thuật cần thiết cho việc giải quyết một số nhiệm vụ hay nhiệm vụ con gặp phải trong việc

sử dụng một kỳ thuật họp thức Các lồi này thường xuyên và dai dắng, phần lớn chúng có nguồn gốc “khái niệm", chẳng hạn các lỗi là hệ quả của các công nghệ

■■ 4(.v)x D(x) = C' <=> A{x) = 0 hay B{x) = 0" hay /1(a')x B{ x ) = 0 <=> A{x) = 0 và B{x) = 0

t)ối với kỹ thuật biệt số, thường người ta chỉ đặt ra cho học sinh một số phương trình dạng chuẩn tắc, điều này dẫn đến việc làm chủ tốt kỳ thuật biệt số ở học sinh phổ thông, thể hiện qua mối quan hệ cá nhân đối với việc giải một phương trình bậc hai là: đưa về một phương trình chuẩn tắc rồi sử dụng kỳ thuật biệt số, mà không tự đặt vấn đề lựa chọn một kỹ thuật khác có thế hiệu quả hơn đối với dạng phương trình cần giải ở phần lớn học sinh vào cuối quá trình luyện tập

Trong thể chế dạy học phổ thông, nhấn mạnh sự tiếp cận về mặt lý thuyết nhiều hơn, sau đó là thực hành Thật vậy, người ta ưu tiên phương diện đối tượng cua phương trình bậc hai, quan tâm đến việc nghiên cứu một kỳ thuật giải chúng hơn là học sinh có thể huy động được các kỹ thuật thích đáng tùy theo kiêu của nhiệm vụ

Qua đó chúng tôi đặt ra câu hỏi sau:

1) Dối với kicu nhiệm vụ "Giải phưcmg trình bậc hai một ân", sự thay dôi các chương trình giáo dục qua các giai đoạn có ảnh hưởng như thế nào đến các

TCTỈI gan liên với cac kỳ thuật giải quyết nó? Kỹ thuật biệt số delta, Discr, luôn là

công cụ chính khi giãi quyết một kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình bậc hai một ấn"?

2) Hiệu quả của các kỹ thuật giải phương trình bậc hai được quan tàm nhưthế nào?

Dặc biệt, đối với loại kỳ thuật rDiscr, vì mục đích nghiên cứu của đề tài,

trong loại kỹ thuật này chúng tôi phân biệt các kỹ thuật con khác nhau được tạo bởi

các công thức nghiệm Ngoài ký hiệu kỹ thuật Discr mà chúng tôi xem như kỹ thuật

tính biệt số delta và tìm nghiệm theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng tôi sử dụng thêm ký hiệu sau;

• "Nhâm nghiệm'’-, kỹ thuật được sinh bởi hệ thức Vi-ét, gồm hai kỳ

thuật con sau đây:

:ua các nghiệm theo công thức

Nhâm xem các hệ sô a, b, c có thỏa ư + ố + c = 0 (hoặc

ơ - ố + c = 0, khi đó phương trình ax“ + bx + c = 0 có nghiệm là 1 (hoặc -1), nghiệmkia là — (hoặc - —

Ngoài ra, qua nghiên cứu các SGK, chúng tôi cũng quan tâm đến hai kỹ thuật khác và ký hiệu chúng như sau:

• "Đồ ihf': kỹ thuật gồm các giai đoạn: chuyển phương trinh đã cho về

dạng ax" = - bx - c (hoặc ax^ + bx = - c), vẽ đồ thị của hai hàm số y = ax^ và

y = -hx - c (hoặc y = ax’ + bx và y = - c) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy, rồi dựa

vào dồ thị xác định hoành độ giao điếm của hai hàm số ấy, đó cũng chính là nghiệm cua phương trình đã cho

• "MTBT': kỹ thuật giải phương trình bậc hai bang một algorit được lập

trình sẵn trong M lipr Thao tác kỹ thuật này bàng việc nhập trực tiếp các hệ số a, b,

c của phương trình ax" + bx + c 0, MTBT sẽ cho ngay giá trị nghiệm cùa phương trinh

Việc nghiên cứu các giai đoạn chương trình giáo dục cho phép chúng tôi giải thích phần nào lý do tồn tại của một TCTH trong các giai đoạn ấy Từ đó, có thể hiếu đúng đắn về sự tồn tại của chúng trong thể chế hiện hành, điều này sẽ ảnh hưởng đến việc triển khai chủng trong thực tế giảng dạy Với lý do tồn tại đó, cho phép triên khai chúng như thế nào là đạt hiệu quả nhất Đồng thời để tìm câu trả lời cho các câu hỏi nêu ra ở trên, chúng tôi tiến hành việc nghiên cứu như sau;

1.1.2 Giai đoạn chương trình CCGD

Qua quan sát các SGV Đại số, chúng tôi nhận thấy mục số IV là phần thể hiện bài giải hay hướng dẫn cho các bài tập trong SGK, tuy nhiên, không phái bài học nào cũng có mục IV này Có the nghĩ ràng không có giới hạn và yêu cầu cho cách giải và nội dung kiến thức của nó đối với một bài toán ở giai đoạn này Hay, có thể nghĩ ràng không có ràng buộc nào cho kỹ thuật giải quyết một kiểu nhiệm vụ

được đề nghị trong SGK giai đoạn này? Đe tim câu trả lời, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các SGK Đại số của các lớp dưới đây;

Nghiên cứu SGK lớp 7 giai đoạn này, chúng tôi nhận thấy chưa có sự xuất hiện của kiểu nhiệm vụ '‘Giải phương trình bậc hai một ẩn’’ Tuy nhiên, chúng tôi

quan sát thấy "bóng dáng” của một số kỹ thuật EgaCar, Fact ProdN ProcIN Các

kỹ thuật này xuất hiện ở dây nhằm giải quyết các kiếu nhiệm vụ khác với kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi đang nghiên cứu Chang hạn;

"3.C) Tìm \ biết: c = 4" [37 tr.52j

“3 I ính nghiệm của các đa thức; X" - 5x” [37, lr.l22]

"4 Tính nghiệm cùa các đa thức: 3 A' + — ” 137, tr 1231

**** Ló p 8

Trong chương 1, phương trình chưa được dịnh nghĩa, tuy nhiêm phương trinh bậc hai một ân đã XLiàt hiện dưới một vài dạng không clìuàn tăc, lồng ghép trong các ví dụ minh họa hay các bài tập về phương pháp phân tích đa thức thành nhân lư Chăng hạn;

"Ví dụ, giãi phirong trình: 3.x’- X = 0.

Rõ ràng ta chưa biết cácli giải phương trình này 'ĩuy nhiên, ta có thê viết:

3x' - X = x(3 - x) Do đó phương trình đă cho có thể viết dưới dạng:

x(3 - x) = 0.

Nhưng một tích bang 0 khi và chỉ khi có một nhân từ bang không Vi thế

1 x(3- x) = 0 khi và chi khi X = 0 hoặc 3x - 1 = 0, nghĩa là X = 0 hoặc -V = — [45 ir 1 7|

Ví dụ trên cho thây nhiệm vụ xuất hiện ở đây thuộc kiêu C1 cùng kỹ thuật

giải là Fact_ProdN được giới thiệu ngay trong bài giải, một phần công nghệ giải

thích cho kỹ thuật này được phát biếu bàng lời, phần còn lại đã xuất hiện ngay trong bài học lý thuyết

() chương này, chúng tôi cũng tìm thây một sô bài tập thuộc kiêu nhiệm vụ C2 có kỹ thuật giải mong đợi chính là vận dụng kết hợp nhiều phương pháp phân tích vế trái thành nhân tử đã được học trong các bài trước đó, như:

"Giải các phirơng trình: 5.a) (2x - 3)" - (x + 5)' = 0” [45 tr.26]

Bài giải được thế hiện trong SGV như sau:

5.a)

Qua bài giải trên, có thể thấy kỹ thuật được sử dụng ở đầy chính là

UiR_ProdN.

Vị trí các bài tập cũng như nội dung được trình bày trong bài giải cho chúng tôi suy nghĩ rằng các kỳ thuật trên cũng được giải thích bởi một phần công nghệ xuất hiện trong các bài học và bài giải của các bài tập này

Chúng tôi cũng tìm thấy một phần của hai kỳ thuật khác dược giới thiệu trong bài dọc thêm của SGK:

Qua hai ví dụ trên, có thể xem một phần của hai kỹ thuật Dec Fact_ProdN

và AJ_ỉdR_ProdN đã được giới thiệu dù không chính thức Tuy nhiên, chúng được

giới thiệu ớ dây không phải là một kỳ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình bậc hai một ẩn” SGV có cung cấp cho GV công nghệ tạo ra kỹ thuật

Dec_Fací_ProdN’ “Đối vói GV, trong nhiều triròng hợp có thể áp dụng định lý Vi-ét đoi với phương trình bậc hai để tách” [46, tr,37] Chúng không thấy tiếp tục được sử dụng trong các nội dung còn lại của SGK lớp 8, nhưng xuất hiện đầy đủ ở lớp 9

Phương trình được giới thiệu chính thức ở chương 111, nhưng chúng tôi không tìm dược kiêu nhiệm vụ cũng kỹ thuật giải quyêt liên quan phương trình bậc hai

*** Lóp 9

Nghiên cứu chương I của SGK, chúng lôi tìm thấy một số bài tập có sử

dụng kỳ thuật EgaCar (kỹ thuật đã biết ở lớp 7) nhưng không giải quyết cho kiêu

nhiệm vụ chúng tôi nghiên cứu

"ỉlai so hằng nhan hoặc đoi nhan có bình phương băng nhan và ngược lại nên hai sô

có bình phương hang nhau thì chúng bang nhan hoặc đối nhau.

Chứng minh:

a) - Nếu a = b thì a - b = 0, cio đó a' - b‘ = (a - b)(a + b) = 0 hay a‘ = b7

- Nếu a = - b tliì a - (- b) = a + b , do đó a’ - b" = (a - b)(a + b) = 0 hay a‘=b‘

b) Ngược lại, nếu a^ = b" thi a' - b^ = 0 hay (a - b)(a + b) = 0 Suy ra hoặc a - b = 0

nghĩa a = b hoặc ơ + h = 0 nghĩa a = - b

Đặc biệt, nếu a‘ = b' và a > 0, b > 0 thì a = b" [ 18, tr.3]

Dây chính là khối công nghệ giải thích cho kỹ thuật EgaCar và một phần

còng nghệ này dược giãi thích

Và ở dó, chúng tôi cũng tìm thấy công nghệ của kỳ thuật CarN và một

phần yếu tố lý thuyết giải thích nó dù không thấy có bài tập nào liên quan ở SGK

lóp 9 này cần sử dụng kỹ thuật CorN này:

'"Bình plnnrng hay lữ)' thừa bậc hai cna mọi sô (lèn không âm.

I hật vậy, nếu a = 0 thì a" = 0, nếu 'd ^ ữ thì a' = a.a > 0 (theo quy lác về dấu cua tích)"

[18, tr,3J

Các công nghệ trên được trình bày trong SGK nhưng thuộc phần trách nhiệm của giáo viên Giải thích cho các công nghệ này không bắt buộc đôi với học sinh

'l ìr dịnh nghĩa "Căn bậc hai cua một so a là một sổ mà hình phifong hằng a" chúng lôi cho ràng kỳ thuật Rac dã được tạo ra dù không thay bât cứ bài tập liên

quan nào sử dụng kỳ thuật này trong SGK

Tiếp tục nghiên cứu chưtmg 111, chúng tôi nhận thấy người ta liến hành xét một số ví dụ cụ thè với dụng ý sắp xếp rõ rệt, nhàm dần dắt đến phương pháp giải tông quát Với các ví dụ thuộc kiêu nhiệm vụ C1 (dạng ax' + hx = 0) với kỳ thuật giai Eact_ProcỉN và thuộc kiểu nhiệm vụ C2 (dạng av'+c = 0) với kỹ thuật giải

ỉdR ProcỉN đuợc xem như biết trước đó, trách nhiệm giải quyết dược giaơ cho học sinh

Sắp xểp sau dó là các vi dụ thuộc kiêu nhiệm vụ C4 được dặt sau các ví dụ

thuộc c 1 và C2 nhăm “chú ý các bước biến dổi phưong trình về dạng X' - B' = 0 dê chuân bị

cho Ị}4" [20, tr.86] về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn rừ bài giải các ví dụ, chúng tôi nhận thấy kỹ thuật được sử dụng chính là Aj_ IdR_ProdN

Không có yếu tố công nghệ nào được đưa ra

chúng tôi còn thấy xuất hiện kỹ thuật Aj_IdR_Car Như vậy, có thổ xem kỹ thuật AJ_ldR_ProdN và AjJdR Car là các yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật Discr.

Các kỳ thuật giải được thế ện ngay trong yêu cầu bài toán:

“Giải các phương trinh bậc hai sau (dùng công thức nghiệm)

5 b) t-5 = ,Y 25”[18, tr.73]

Đối với bài tập này (thuộc kiểu nhiệm vụ C2), quan sát thấy rằng vẫn có

thẻ sứ dụng kỳ thuật khác để giải quyết chúng (chẳng hạn kỹ thuật ỊdR_ProdN), tuy nhiên SGV cũng chi đề cập duy nhất một kỹ thuật là Discr sau khi biến đổi về dạng chuân tắc Do đó, chúng tôi vẫn xem kỹ thuật giải quyết ở đây vần là Discr Điều

này cho thấy ưu thế của kỹ thuật này

llai bài lập thuộc kiểu nhiệm vụ C3 được tìm thấy trong phần bài lạp sau

bài học về Câng thức nghiệm của phương trình bậc hai:

“3 Giải các phương trinh:

hạn; “Hãy giải các pliương trình sau bang cách nhâm nlianh nhất: " [18, tr.771

Hướng dẫn trong SGV củng cố thêm cho chúng tôi vê suy nghĩ răng kỹ

thuật "Nhâm nghiệnr' sẽ được sử dựng Kỳ thuật này được tạo ra từ các phát biêu in

nghiêng trong SGK các phát biểu này được giải thích một phần bởi những phàn chừ dược in nhỏ bên dưới, tuy nhiên, chúng không mang lính bắt buộc phải diễn ra trong giờ học Q đây, qua quan sát, chúng tôi nghĩ dịnh lý Vi-él có vị trí thứ yếu, nó

là một công cụ dề tính nhẩm nghiệm

Cũng trong SGK Đại số 9 này, chúng tôi lìm thấy một kỳ thuật nữa Tên cua bài học phần nào thể hiện kỹ thuật sẽ được giảng dạy; “Giải phương trình bàng

phương pháp dồ thị” Như trên, chúng tôi đã ký hiệu đây là kỳ thuật "Đồ thị'', rừ

việc xét một ví dụ cụ thế, SGK đã phát biểu tổng quát để từ đó có được kỹ thuật

"Đồ thị" này số lượng bài tập có thể sử dụng kỹ thuật này không đáng ke (chí có 7

THƯ VIỆN

Trưởng Đai-Hoc Sư-Pham

TP HÓ-CHI-MINH

bài) và dồu thuộc kiểu C4, tuy nhiên, các bài tập ấy tìm dược trong SGK dôu thè hiộn kỹ thuật mong đợi ngay trên dê bài toán.

Vói kiến thức dã học về hàm số bậc hai y = a\^ việc giải phương trình bậc hai ư.v'+■ +c = 0 được xét qua dồ thị của hai hàm số quen thuộc y = ax' và

y = -hx-c Như vậy ở dây có một bước chuyên từ quan diêm phương trình là đăng

thức cua hai da thức sang dăng thức giữa hai hàm sô SGV cũng nêu rõ: 'Thưòng ta kct iiọp giài bằng dồ thị với giải bằng đại số, lấy kết quá cùa giái bàng đại số hỗ trọ’ cho giải bằng pliưoiig pháp đồ thị \à ngược lại lấy kết quà cùa phương pháp đồ thị kiêm tra lại tính toán của plnrơng pháp đại số.” [19 ir.94]

❖ Lóp 10

Bộ SGK lớp 10 mà chúng tôi sử dụng cho việc nghiên cứu của mình trong giai doạn này là bộ sách do nhóm tác giả Fran Vãn Hạo - Phan 'ĩrương Dần -

1 loãng Mạnh Dê - I ran 1'hành Minh biên soạn (bộ sách dùng cho miền Nam)

I rong SGK lớp 10 phương trình bậc hai dược nhác lại trong bài học dầu chương 111 Dịnh nghĩa và công thức nghiệm của nó dược giới thiệu ngắn gọn ngay sau dịnh ngliTa vê phương trinh bậc hai, SGK đã giới thiện sơ lược lại quá trình xây dựng công thức nghiệm tông quát và cỏ ghi chú khi nào thì nên sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp "Đô thị" cũng dược nhăc lại nhưng chỉ dừng ở việc minh họa

vè sô nghiệm cua phương trình bậc hai dựa trên số giao dicMP của dồ thị hàm số

y = ax~ +bx + c và trục hoành Các ví dụ được giới thiệu sau nội dung này chì là

các phương trình bậc hai chứa tham số chúng được giải và biện luận dira vào công thức nghiệm dã biết ở phần trước Hơn nữa, chúng lôi cũng không tìm dược bài tập

nàơ cỏ sử dụng phương pháp “Đồ thị" vừa được hướng dẫn trong bài.

Dịnh lý Vi-él (thuận) cũng dược trình bày lại và kỳ thuật con "Nhâm nghiệm" lúc này dược nhắc trong Ghi chú của bài học Không có ví dụ minh họa

cho phần này ơ lớp này, qua nghiên cứu SGK, chúng tôi thấy định lý Vi-ct dược trinh bày có hệ thống theo linh thần phát triển sâu dần cả lý thuyết lẫn ứng dụng SGK dã dành ưu thế cho các ứng dụng cúa định lý Vi-él (với phương trình bậc hai được dùng như một công cụ để giải các bài toán ấy)

Nghiên cứu SGK lớp 10 giai đoạn này, chúng tôi nhận thấy ràng việc giải phương trình bậc hai được đòi hỏi ở mức dộ cao hơn, chủ yếu giải các phương có chứa tham số ớ lớp này, phương trình bậc hai được quan tâm chủ yếu ở phương diện còng cụ hơn là đối tượng được nghiên cứu Các bài tập liên quan đến phương

trinh bạc hai dều cho dưới hình thức có chứa tham số và kỳ thuật dùng dô giải

chúng mà chúng tôi quan sát dược chính là kỳ thuật Discr Còn các bài toán thực tế

thì không còn thấy xuất hiện ở lớp 10 này

Như mục liêu ban đầu, chúng tôi chủ yếu quan tâm dến các phương trình bậc hai không chứa tham số mà thôi, ớ đây, chúng tôi tìm được duy nhất một bài tập VC phương trình bậc hai không chứa tham số thuộc kiểu nhiệm vụ C3:

nghĩ răng kỳ thuật được sử dụng giải quyct bài tập trên là Dév_Nhãm nghiệm Kỷ

thuật này dã không dược dự trù trong các kỹ thuật chúng tôi nêu ở trên

1.1.3 Ciai đoạn chu'O’ng trình chỉnh lý giáo dục

Dây là giai doạn chinh sửa và bô sung một số nội dung cúa chương trình và các bộ SGK thuộc giai doạn CCGD Do dó, trong giai doạn này, chúng tôi chỉ nôu

ra những vấn dê liên quan đến dề tài nghiên cứu mà có sự khác biệt với chương trinh vất các bộ SGK của giai doan CCGD đã nêu trên

❖ Ló p 7

Kỹ thuật EgaCar được thể hiện rõ hơn trong SGV ở mục c Hướng dẫn

giai bài tập dù không có công nghệ nào giải thích cho nó được giới thiệu:

"2 Bài lập 3 đè liọc sinh tập làm bài toán ngược, cho biết số mữ và lũy thừa, tìm cơ

số Dòi hỏi học sinh phải vững về lũy thừa để làm nhấm hay viết; 4={±2)v " [38, tr.56]

Còn ở chương IV, chúng tôi không còn thấy sự hiện diện của kỹ thuật

Fact_ProdN (hay ProdN) hay một phần công nghệ giải thích nó trong việc tìm

nghiệm của một đa thức bậc lớn hơn 1 Chúng tôi chưa thê kết luận gì về kỹ thuật

đã xuất hiện trong ví dụ sau:

"Đa thức \ + 2x có hai nghiệm là X = 0 và X = - 2” [39, tr 111J

Ngay cả bài tập lương tự cho trong SBT, cũng chỉ đưa ra kết quả mà không

hồ có giải thích gì them Chúng tôi cũng không tìm thấy bài lập nào có liên quan den giai phương trình bậc hai ở chương này

♦♦♦ Lóp 8

So với giai đoạn trước, SGK lớp 8 này có hai bài học ở chương I bị hoán

dôi vị trí dó là bài Phân tích đa thức thành nhân tư băng phương pháp dừng hăng dăng thúc dược đảo lên trước bài Phân tích đa thức thành nhân tứ bằng phương pháp nhỏm nhiều hạng tư.

Kỳ thuật Facf_ProdN chưa từng xuất hiện ở kVp 7 nhưng lại chính thức

xưàl hiện trong chưoTig I của SGK lóp 8 này còn các nội dung liên quan khác không có thay đối gì so với giai đoạn trước

I rong chưtmg III của SGK này, diem khác biệt lớn so với giai đoạn trước

là cỏ thêm một nội dung mới, dược chính thức giảng dạy và liên quan dến phương

trình bậc hai một ấn Dó là bài Phương trình tích Bài học này cho thấy kỳ thuật ỉh-odN băt dàu xuất hiện nham giải quyết kiêu nhiệm vụ C1 và dược ncu rõ ràng

\à ngược lại Do đtr, đê giài phưcmg trinh (1) ta giái hai pliưong trình (2) và (3).

Phương trinh (2) có nghiệm: X = 3

Plurơng trình (3) có nghiệm: X = - A

2 Vậy phương trìnli (1) có hai nghiệm: x = 3, X = - ^

Pliưưng trình có dạng (1) trên đây gọi là pììưmig trình tích” [47, tr.72]

Chúng tôi cũng tìm thấy khối công nghệ - lý thuyết giai thích cho kỹ thuật này trong SGV như sau;

■■phưong trình lích Ai(xJ A„{.xJ = 0(1) tưong đương VC7Ì một tập hợp n phương trình:

r.-t,(.x-)=o

Ị (2)

li(-O = 0

IrcMi giao của các tập xác định của các phưong trình A,(.x) = 0, i = 1 n.

Chứng minh sự tưoiig đương này dựa vào điều là:

"Tích của các số ai a„ - 0 daj = 0, i = u n’'

Cjia sư X() là một nghiệm cua (I) Suy ra ít nhât một số 0 Ngu’ợc lại, nếu \(;

lluiộc giao cùa các tập xác định cùa các phương trình A/xJ = 0 thì X() thuộc tập xác định

cua (!) và A/Xi,) = 0 Do đó /I/(Xi/J A/X//J A„fxij)= 0” [49, tr 107]

Do dối lượng nghiên cứu của đề lài luận văn này dược quan lâm chính thức

\ à chu yốLi ở lớp 9 và kVp 10 nên ngoài những kết quả kế thừa dã nêu ở mục 1.1.1, chúng lôi xin bô sung một số kết quả dưới đây, theo chúng tôi là cần thiết và phục

\ ụ cho dê lài của mình từ việc nghiên cứu các SGK lớp 9 và kVp 10 của giai đoạn chinh lÝ' nàv:

Lóp 9

Dối với chương I, khác với giai doạn trước, So vô ti, so thực dược định nghĩa ngay trong bài đầu tiêm của chương ỉ sau phần Nhắc lại về so hữu ti "11113111 yèu cầu cho học sinh có dược hình ảnh cụ thể về số vô ti là số biểu diễn đưọc dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn," [21, tr 16]

Chủng tỏi không thấy có bài tập nào chuân bị cho việc học Khái niệm căn hậc hai Các khối công nghệ - lý thuyết giải thích cho các kỹ thuật CarN, EgaCar

cũng dược giới thiệu như giai đoạn trước Tuy nhiên ớ dây, chúng xuất hiện trong

nội dung dược nhăc lại cua bài học vè Căn bậc hai Định nghĩa và kí hiệu sau khi ,90 thực đã được dạy, nhằm chuẩn bị cho việc học về khái niệm mới này dù không

cỏ bài tập nào trong phân Bài tập cân sứ dụng chúng.

() dây, kỹ thuật Rac xuất hiện qua hài toán dẫn dắt đen dịnh nghĩa càn bậc

hai của một sô:

"Bùi toán 2: Clio số tlựrc a 14ãy lìm số thực X sao clio X" = a Ta thấy;

- Nếu a < 0 thi không tồn tại số thực nào thòa mãn x’ = a (theo §2,1.1

- Nếu a > 0 như bài toán ! cho thấy có hai sổ tlnrc X mà x’ = a, một số tlụrc dưong X|

>0 mà .V|' = a và một số thực âni X2 < 0 mà xị = a hưn nữa đó là hai số đối nhau (theo

kỹ thuật Discr được giới thiệu, thế nhưng, khi nghiên cứu SGK 2001 chúng tôi phát

hiện răng cùng một ví dụ thuộc kiêu C4, ngoài cách giải đã từng đề cập trong SGK

‘ "Binh phương hay ỉũy thừa bậc hai của mọi sổ đều không âm ” [22 tr.8]

^ ""Hai sỗ bang nhau hoặc đoi nhau có bình phương bằng nhau và ngược lại nếu hai so có bình phương bằng nhau thì chúng bủng nhau hoặc đói nhau ” [22, lr.8|

1992 (là cách 3 trong SGK 2001), SGK 2001 lại giới thiệu nhiều cách giải khác nhau Chăng hạn:

Cách 2: Có 3x^ - 5x - 2 = 0, a = 3, b = - 5, c = - 2.

Nhân cà hai vế với 4a = 4.3 = 12 ta được

36x^ - 60x - 24 = 0 hay : (6,x)^ - 2.5(6x) = 24.

Thêm b- = (-5)- = 25 vào hai vế cùa phương trinh, ta được

Dối với cách 2, không có công nghệ giải thích, chúng tôi nhận thấy kỳ

thuật dược sử dụng là Aj IdR EgaCar, đây là một kỹ thuật mới xuất hiện, dù ràng

không có lý do nào được tìm thấy mà giải thích cho việc tại sao lại làm dược như thế

Kỳ thuật “Đơ thr không còn thấy xuất hiện ở đây dù việc nghicn cứu hàm

so y = ax' và dó thị của nó vẫn được nghiên cứu chính thức trong chương trình và SGK Chúng tôi gặp được 4 bài tập ở phần Bài tập ôn tập chương 111 trong SBT',

trong đó chỉ có một bài tập liên quan đến việc giải bàng đồ thị của phương trình dạng ax- - c = 0:

■‘4 Vẽ đồ thị các hàm số y = 2x^, y = 2x^ + 5 ; y = 2x^ - 8 trên cùng một hệ trục tọa độ Căn cứ vào đồ thị, tìm các nghiệm của phương trinh 2.X- -8 = 0.

Chửng tò rằng phương trình 2x^ + 5 = 0 không có nghiệm” [23, tr 1 14]

Rõ ràng kỹ thuật "‘Đồ thự' có xuất hiện lại ở giai đoạn này, tuy nhiên vị trí

của nó (trong SBT) cho thấy kỳ thuật này không được chính thức giảng dạy

Lóp 10

0 giai doạn này đối với phương trình bậc hai, có thay dối đôi chỗ về nội dung trình bày sau khi giới thiệu lại công thức nghiệm SGK minh họa bằng dồ thị ròi chiụ ên sang trình bày kĩ hơn về định lý Vi-ét và các ứng dụng, đặc biệt là xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai và tính giá trị các biểu thức dối xứng cua các nghiệm

về việc minh họa bằng đồ thị khi giải phương trình bậc hai, SGK dã dề cập

kỹ thuật như sau:

■'Giái pliưưng trình bậc hai ax^ + b.\ + c = 0 (a ít 0) (1) là tim hoành độ các giao điẽm cua parabol y = a.\^+ bx + c với trục hoành.” [28, tr 100J

ha>'

"GHI c 'HỦ. Đòi khi bằng cách biến dồi phương trình (1) thành dạng: ax" + bx = - c, ta

•xct giao diêm của parabol y = a.x^ + bx và đường thẳng y = - c.” [28, tr 101J

Sau phân ghi chú, có một ví dụ VC giải và biộn luận phương trình bậc hai chứa tham số nhằm minh họa cho mục này Qua bài giải của ví dụ ấy chúng tôi

nhận thây việc sử dụng kỹ thuật "Đo thị" à dày không nhăm dên việc tìm dược giá

irị nghiệm cụ thể của phương trình dã cho mà chủ yếu quan tâm dến sô nghiệm của phương trình Ngoài ví dụ này, chúng tôi không tìm thấy bài tập nào có cùng yêu càu vcVi nó Còn 4 bài tập khác là các phương trinh có chứa tham số dạng chuân tắc

trong phân Bài tập, hướng dẫn dược trình bày trong SB4' cho chúng tôi biết kỳ thuật dirợc sử dụng là Di.scr.

I rong SGK này, chúng tôi chỉ tìm được 4 bài tập thuộc kiếu nhiệm vụ C4 (không chứa tham số) Các kỹ thuật giải chúng không được nêu rõ ràng, kết quả

được tìm thấy trong SBT Tuy nhiên, hầu hết các bài dều được giới thiệu trong Bài tập ngay sau phần bài học về phương trình bậc hai; thêm vào dó, lý thuyết được

giới thiệu trong bài học là công thức nghiệm và định lý Viét Điều này cho phép

chúng tôi nghĩ ràng kỹ thuật được huy động giải 4 bài tập ấy chính là Discr.

1.1.4 Giai đoạn chưong trình đôi mói giáo dục

Các bộ SGK hiện hành có nhiều thay đổi về cấu trúc, nội dung cũng như phương pháp giảng dạy So với giai đoạn CCGD, chương trình có giảm tải một số nội dung, đông thời cũng tăng cường một số nội dung mang tính thực tiễn Cách trinh bày của các bộ SGK này với mục đích giúp học sinh hoạt động trong giờ học

là chính, ở đây, chúng tôi chỉ xem xét đến các vấn đề liên quan đến việc dạy học giài phương trình bậc hai trong giai đoạn này thông qua chương trình và các bộ SGK được sứ dụng hiện nay Nhìn một cách tổng quan, chúng tôi thấy so với giai

doạn chính lý, nội dung cơ bản không đối Đối với chương trình và các bộ SGK, hiện hành, học sinh được hoàn thiện về hệ thống số từ giữa lớp 7, các nội dung tương dối thống nhất và hạn chế chồng chéo Phạm vi và hệ thống biểu đạt được thể liiộn thống nhất hơn so với các giai đoạn CCGD, chẳng hạn: ở SGK lóp 8 hiện hành, dối với bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ Giải phương trình, xuât hiện dưới hình thức "Tìm X biết ” trong chương l, đến khi khái niệm phương trình được giới thiệu

ơ chương III thì nó xuất hiện dưới hình thức là giải phương trình, đồng thời học sinh có trách nhiệm tìm tất cả các giá trị X thỏa mãn phương trình đã cho

Với mục đích đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và phân tích các SGK hiện hành như đã thực hiện đối với giai đoạn CCGD

Việc phân tích chương trình và SGK lóp 7 và lóp 8 đã được thực trong luận

an tiên sĩ năm 2006 [33] của Nguyễn Ái Quốc mà kết quả đạt được, chúng tôi đã kế thừa ở mục 1.1.1 nêu trên, do đó, cc3ng việc dưới đây của chúng tôi sẽ là phân lích chương trình và SGK lớp 9 và lớp 10 hiện hành;

1.2 Phân tich các chuông trình và các sách giáo khoa hiện hành

1.2.1 Phân tích chưong trình lớp 9 và lớp 10

Lóp 9:

Nghiên cứu chương trình lớp 9 hiện hành, chúng tôi nhận tháy phương

trình bậc hai xuất hiện trong chương IV 7/ờ/ư số y - ax~ (a Ĩ^O) Phương trình hậc hai một an của SGK Đại số.

Quan sát thấy thời lượng dành cho nội dung chương này khá lớn, 21 tiết Chương IV bao gồm các bài sau đây:

13 à i 1 Hàm số V = ax‘ (a ^ 0)

Bài 2 Phương trĩnh bậc hai một án

Bài 3 Định lý Vi-ét và ứng dụng

Bài 4 Phương trình quy về phương trĩnh bậc hai

Bài 5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ân.

Đối với nội dung bài 2 Phương trình bậc hai một ẩn, chương trình có hai

mức độ cần đạt về kiến thức và về kĩ năng như sau:

về kiến thức, học sinh hiểu được khái niệm phương trình bậc hai một ấn

về kĩ năng, học sinh phải vận dụng được cách giải phương trình bậc hai một ân, đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình đó (nếu phương trình có nghiệm)

Còn dối với bài 3 Định lý Vi-ét và ứng dụng, có mức độ cân đạt vê kiên

thức và kĩ năng là: học sinh hiểu và vận dụng được định lý Vi-ét để tính nghiệm cua phương trình bậc hai một ân, tìm hai sô biêt tông và tích của chủng

'ĩ rong 21 tiết dành cho nội dung chương IV thì phương trình bậc hai và những kiến liên quan đến việc giải nó đã chiếm hết 8 tiết, hơn 1/3 thời lượng của cả chương

Diêu này cho thây của việc dạy học giải phương trình bậc hai một ân chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình phổ thông hiện hành

Lớp 10

Nghiên cứu chương trình lớp 10, chúng tôi thấy ràng phương trình bậc hai

xuàt hiện cy chương 111 Phương trình Hệ phương trình của SGK.

Nội dung chương III bao gồm các bài sau đây:

1 Đụi cương vế phương trình

2 Phirơng trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

3 Phương trình và hệ phương trĩnh bậc nhất nhiều ẩn

I rong bài 2 Phương trình quy về phirơng trình bậc nhất, bậc hai gồm các

chú dề: giải và biộn luận phương trình ax + b = 0; công thức nghiệm của phương trình bậc hai; ứng dụng của định lý Vi-ét; phương trình quy về bậc nhất, bậc hai

Đôi với nội dung Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai,

chương trình có hai mức độ cần đạt về kiến thức và về kĩ năng như sau

về kiến thức, học sinh hiểu cách giải và biện luận phương trình ax + b = 0; phương trình ax^ + bx + c =0; hiểu cách giải phương trình quy về bậc nhất, bậc hai, chăng hạn phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích

về kĩ năng, học sinh biết giải và biện luận thành thạo phương trình ax+b=0; giải thành thạo phương trình bậc hai; giải được các phương trinh quy về bậc nhất, bậc hai: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích; biết vận dụng định lý Vi-ét vào việc xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai Học sinh biết giải các bài toán thực tế đưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai bằng cách lập phương trình

Một mức độ cần đạt trong nội dung chương này cho thấy có thể xuất hiện một kỳ thuật giải phương trình bậc hai nhanh chóng và hiệu quả, đó là kỹ thuật

"MTBT' Tuy nhiên, khi liến hành nghiên cứu các SGK hiện hành, chúng tôi lại

không thấy nội dung này được chính thức giảng dạy

Nội dung đưa ra trong Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 10 âõ cho phép

chủng tôi giải đáp thăc măc trên: “Tuy nhiên đối với một bộ phận học sinh hiện nay, việc mua MTBT còn khó khăn, do đó những nội dung liên quan đến MTBT chúng tôi không đưa vào phần bất buộc Phần này được giới thiệu và khuyến khích nơi nào có điều kiện thì nên sừ dụng’'[l, lr.54|

Dưới đây, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các SGK lớp 9 và lớp 10 để tìm hicu các môi quan hệ dưới quan diêm didactic

1.2.2 Phân tích sách giáo khoa lóp 9

ở lớp 9, việc giải phưoTig trình bậc hai một ẩn trở thành đối tượng nghiên cứu chính thức, chiếm nhiều thời lượng của chương trình Định nghĩa và việc giải phương trình bậc hai được giới thiệu trong chương IV ở lớp 9 Không có sự thay đổi

VC thời lượng dành cho nội dung này, số tiết dành cho cả chương là 21 tiết, trong đó phirơng trình bậc hai một ấn và những vấn dề liên quan chiếm 12 tiết, 3 tiết cho hàm

số y = ax" (a ^ 0) và dồ thị của nó Như vậy, hơn nửa số tiết của chương dành cho

phương trình bậc hai và những vấn đề liên quan cho thấy mức độ quan trọng của nội dung này trong chương trình

() chương 1, việc phân bố các bài tập liên quan dến giải phương trình bậc hai trong các § đã phần nào gợi đến kỹ thuật giải chúng Chúng tôi tìm thấy một số bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ C2 và C4 ở chương này, chủ yếu là C2 với dạng P(x)‘=k hoặc P(x)^- k= 0 (với k > 0 và P(x) thường là một dơn thức) và duy nhất một bài tập thuộc kiêu C4

Vì căn bậc hai của một số a không âm đã dược định nghĩa ở lớp 7 và được

sứ dụng phần nào ở lớp 8, nên tiết học về Căn bậc hai chỉ nhắc lại và củng cố qua

bài tập về nghiệm của phương trình x“ = a (có thể xem dây thuộc kiểu nhiệm vụ C2), chúng tôi tim thấy 4 bài tập dạng này trong phần bài tập sau đó:

“3 Dùng máy tính bỏ, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a)x‘=2; b),x"=3; c).x'=3.5; d)x"=4,12

Hưchỉg dan Nghiệm của phương trình x“ = a (với a > 0) là các căn bậc hai cùa a” [ 12,

lr.6]

Hướng dẫn trong SGV:

“a) phương trình có 2 nghiệm X| = x/i và X2 = - \/2

Dùng máy tính, ta tìm được XịS;! 414 và Xis:-! ,414.

Với các câu khác, ta làm tương tự.” [ I 5, tr 18Ị

Ycu cầu bài toán và hướng dẫn giải chủng cho thấy M TBT được sử dụng ở dây chi dể khai căn bậc hai của một số thực mà thôi, còn kỹ thuật giải quyết các bài

tập này tuy không được nói rõ nhưng có thê nghĩ đó chính là kỹ thuật Rac Bởi vì trong SGK có một vài nhận xét mà có thể xem đó là một phần của kỳ thuật Rac\

"Số dưong a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là yfct và số

âm ký hiệu là - Vã

“Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai cùa

nó Chẳng hạn, căn bậc hai số học cùa 49 là 7 nên 49 có hai căn bậc hai là 7 và -7” [12, tr.4-5]

Chúng tôi tiếp tục thấy sự xuất hiện của kỳ thuật Rac trong một hướng dẫn cho bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ C2 ở phần Luyện tập của bài Căn thức bậc hai vù hằng đẳng thức yíÃ^ = |/l| dù vị trí cũng như yêu cầu của các bài tập ấy cho phép nghĩ đến một kỹ thuật khác kỹ thuật Roc.

Một kiêu nhiệm vụ dã từng xuất hiện ở lóp 8, được giới thiệu lại ở dây:

Sau đó là nhiệm vụ thuộc kiểu C2:

"15 Giải phương trinh

IdR ProdN hay CarN Hướng dẫn cho bài tập 15 dưới đây đã củng cố cho suy nghĩ

đó:

“a) Cách I: Đưa về y} = 5, viết ngay được X|=Vs ; .X2 = -Vs (cùng cố định nghĩa căn bậc hai)

Cách 2 Biến đổi thành x" - ( n / s )■ = 0 và đưa về pt tích (x - n / s )(x - >/5 ) = 0

b) Đưa về pt tích (x - \íũ )“ = 0” [ 15 tr.22]

Như vậy, trong chương I, để giải quyết kiểu nhiệm vụ C2, có hai kỹ thuật

dược giới thiệu, đó là Rac\à ỉdR_ProdN Tuy nhiên, kỹ thuật Rac được sử dụng

nhàm mục đích củng cố định nghĩa căn bậc hai Vì thế, có thể xem định nghĩa này

chính là công nghệ giải thích cho kỳ thuật Rac Còn hai kỳ thuật IdR ProdN và CarN thì được cho phép giảng dạy thông qua hoạt động của học sinh trong tiết

luyện tập với vai trò chủ đạo của giáo viên:

“GV cho HS làm các câu a) và d) bài tập 14” [ 15, tr.21 ]

Sau bài Liên hệ giữo phép chia và phép khai phương, chúng tôi thây bài lập

“33 Giải phương trinlv’

i lay trong bài Bủng căn bậc hai có bài tập:

"42 Dùng bảng căn bậc hai đề tìm gía trị gần đúng cùa nghiệm mỗi phương trình sau: a) V = 3,5;

Rõ ràng, các bài tập trên đều thể hiện ưu thế của kỹ thuật Rac khi giải

quyết kiểu nhiệm vụ C2 nếu phương trình chuyển được về dạng P(x)^ = k (k>0)

riếp tục nghiên cứu chương IV, chúng tôi quan sát thấy các dạng bài tập chủ yếu thuộc các TCTH xoay quanh kiểu nhiệm vụ C4 Bên cạnh đó, các bài tập dành cho các kiểu nhiệm vụ còn lại xuất hiện khá ít.

Nội dung chương IV bao gồm:

Hàm số y = ax' (a ;^0) Đồ thị Phương trình bậc hai một ân Công thức nghiệm Hệ thúc Vi-ét và áp dụng (lính nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng và tích của chúng).

Phương trình quy vê phương trình bậc hai một ân.

Giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ấn

Cấu trúc chương IV cho phép chúng tôi nghi ngờ về việc xây dựng hàm bậc hai cơ bản y = ax^ có thể liên quan đến việc dạy học giải phương trình bậc hai Thế nhưng, SGV không hề đề cập đến chi tiết nào cho thấy ứng dụng hàm số nàyvào giải phương trình bậc hai như giai đoạn CCGD đã từng thê hiện Qua nghiêncứu chúng tôi thấy ràng mục đích của việc dạy học dạng hàm số bậc hai đơn giản nhất y = ax' nhằm làm nền tảng cho việc học hàm số bậc hai tổng quát ở lớp 10

Chương trình lớp 9 cung cấp cho học sinh biết hầu như trọn vẹn mọi diều

vê lý thuyết cũng như kỳ thuật giải toán phương trình bậc hai một ẩn Do dó, yêu cầu dặt ra đoi với giáo viên là:

" khi giáng dạy vắn đề này, ta không được bò sót một chi tiết nào về lý ihnyét cùng như kỹ thuật tính toán Thực te cho thấy nhiều học sinh sau khi tốt nghiệp TMCS không biết sử dụng hoặc sử dụng kém công thức nghiệm trong trường hợp có thể dùng

A', không biết dùng hệ thức Vi-ét, thậm chí không nhẩm được nghiệm trong trường hợp a+b+c= 0 hoặc a - b + c == 0 Đó là những điều rất đáng khắc phục.” [ 16, tr.30-3 1 ]

Yeu Cầu cần đạt được đôi với học sinh khi học xong chương này là;

Nắm vừng quy tắc giải phương trinh bậc hai các dạng ax^ + c = 0, ax“ + bx = 0 và dạng tổng quát Mặc dù rằng cỏ thể dùng công thức nghiệm đê giải mọi phương trình bậc hai, song cách giải riêng cho hai dạng đặc biệt nói trẽn rất đơn giản Do đó cần khuyên HS nên dùng cách giải riêng cho hai trường hợp ấy.

- Nấm vừng các hệ thức Vi-ét và ứng dụng của chúng vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là trong hai trường hợp a + è + c + 0 và r/-/? + c + 0

116, tr.30-31]

Như vậy, các kỳ thuật được mong đợi giải quyết các kiều nhiệm vụ liên quan đến việc giải phương trình bậc hai một ẩn ở chương này đều được cung cấp trong SGK Với mồi kiểu nhiệm vụ Cl, C2 và C4, học sinh đều được cung cấp một

kỳ thuật riêng để giải quyết chúng Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích nội dung chương này để làm rõ điều đó, đồng thời để tìm hiểu xem có sự thay đổi nào so với các giai đoạn trước (1986 - 2002)

mộí án, các kiểu nhiệm vụ Cl, C2 và C4 được giới thiệu dưới hình thức là các ví

'l a có thề giải như sau

- Chuyền ỉ sang vế phải: 2x“ - 8x = - 1

- Chia hai vế cho 2- la dược: x“- 4x = —

Ví dụ 1 là một dạng thuộc kiêu nhiệm vụ Cl, kỹ thuật giải quyêt được giới

thiệu trong bài giải chính là kỹ thuật Fact_ProdN đã biết ở lớp 8 Tuy là một kiều

nhiệm vụ dã biết cùng với kỹ thuật giải nó, nhưng thể hiện của SGV cho thấy trách nhiệm đầu tiên khi gặp lại kiểu nhiệm vụ này là của giáo viên, sau đó là phần trách nhiệm của học sinh (cá nhân hoặc nhóm) đối với hoạt động tương tự được đề nghị:

“a) Trường hợp c=0 sau khi trình bày VDl, cho học sinh thực hiện hoạt động ?2 Có thể cho nhiều ví dụ tương tự để nhiều nhóm cùng làm Chẳng hạn: Giải các pt; 4.\' - 8x

= 0, 2x- + 5x= 0, -7X-+21 x=0, ” [ 16, tr.39]

Quan sát hoạt động liên quan được giới thiệu trong SGK, chúng tôi thấy kỳ thuật giải thế hiện ngay trên yêu cầu bài toán;

"?2 Giai phưưỉig trình 2v‘ + J,v =0 hằng cách đặt nhàn tư chung đê đưa nó ve ptmưng

trình lích" 113 tr.41 J

ớ lớp 8, tuy kỹ thuật Fact_ProdN đã được sử dụng giải quyết các phương

trình thuộc c 1 nhưng chúng tôi không thấy có bài học nào chính thức chứa đựng đầy đủ kỳ thuật này Như vậy, có thể xem ví dụ 1 và hoạt động ?2 là biểu hiện họp thức cho kỹ thuật này khi giải quyết bài tập dạng P(x).Q(x) + P(x).S(x) = 0 thuộc kiều Cl

Ví dụ 1 đã từng xuất hiện như một hoạt động dành cho học sinh trong chương I ở lớp 8 dưới hình thức là: “Tìm X biết 3x‘- 6x =0” [8, tr.l8], cùng với kỹ thuật

được gợi ý cũng chính là Fact ProdN Nhưng ở lớp 9, hình thức cũng như kỳ thuật

giai nó dược thê hiện rõ ràng qua bài giải, trong đó người ta chú trọng cả hình thức trình bày Như vậy, có thể khẳng định việc xem các hình thức “Tìm X biết ’' hay

■■'rim X sao cho ” được rút ra từ kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình ”

Trong bài giải của ví dụ 2, kỳ thuật dược huy động chính là Rac Việc xuất hiện của kỷ thuật Rac trong bài học này như dể gút lại rằng nếu gặp dạng P(x)' = k (k>0) của kiêu nhiệm vụ C2 thì huy động kỳ thuật Roc giải nó Trách nhiệm của

giáo viên và học sinh dôi với kiêu nhiệm vụ này cũng tương tự như đôi với c 1:

"b)Trường hợp b=0 GV gthiệii VD2, rồi cho hs thực hiện hoạt động ?3 với nhiều VD tương tự để nhiều HS cùng hoạt động Chẳng hạn: Giải các plurơng trinh: 5x^100 = 0,

?5 Giải phương Irinh x~ - 4x + 4 = —

thuộc phần trách nhiệm của học sinh Mục đích của sự trình bày ấy chính là chuân

bị cho việc giải phương trình dạng tổng quát:

“Thực hiện hoạt động ?4, ?5, ?6, ?7 để chuẩn bị cho việc giải phương trình dạng tổng quát” [16, tr.40]

Việc chuẩn bị xây dựng công thức nghiệm giải phương trình bậc hai được tính đến thông qua ví dụ 3, ý đồ này được nêu rõ trong SGV:

"Giáo viên giới thiệu ví dụ 3 cần nhấn mạnh từng bước đề áp dụng vào bài công thức nghiệm sau này” [16 tr.40]

Chúng tôi gợi kỹ thuật được tìm thấy qua ví dụ 3 là kỹ thuật Aj_IdR_Rac

Dây là kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ C4 xuất hiện lần đầu tiên trong chương trinh, kê từ giai đoạn CCGD đến nay

Yêu cầu đối với học sinh khi học về Công thức nghiệm của phương trình hộc hai là nhớ và vận dụng thành thạo công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai Kỳ thuật giải quyết C4 có được sau khi học bài này chính là kỹ thuật Discr,

mong muốn ở đây chỉ là việc thao tác trên kỹ thuật này, còn việc giải thích cho công nghệ lạo ra nó là không cần thiết đối với học sinh:

"Phần đưa những phương trình, ax’ + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số cụ thể về dạng

- chì cần thực hiện để HS có thề nắm được kỹ thuật và hiểu được

Nghiên cứu SGK, chúng tôi quan sát được rằng việc các ví dụ cụ thế cũng như các hoạt động được thiết kế nhằm tạo thuận lợi cho học sinh định hình một kỳ

thuật mới đê giải phương trình bậc hai một ân Đó chính là kỹ thuật Discr Từ một

ví dụ cụ thê, quá trình ấy được tiến hành dưới sự hướng dẫn của giáo viên bàng cách:

" có thể bẳt chước các bước biến đổi pliưong trình 2x” 8x + 1=0 bàng cách chia bảng thành hai cột, cột bên trái chép lại quá trinh biến đổi phương trinh 2x"- 8x + 1=0, cột bẽn phải tiến hành biến đổi từng bước phương trinh ax* + bx + c = 0 (a 9Í: 0).” [16, tr.41]

Các bước biến đổi cho dạng tổng quát ấy cũng được trình bày lại trong SGK cùng với các hoạt động đi kèm dành cho học sinh Qua đó, chúng tôi nghĩ ràng

kỹ thuật AjJdR Rac cùng là một yếu tố công nghệ giải thích cho kỷ thuật Discr Đặc biệt, sau khi kỳ thuật Discr xuất hiện, chúng tôi không còn thấy dấu vết của kỹ thuật AjJdR Rac nữa Như vậy, mục đích xuất hiện của kỳ thuật này có thể nghĩ là trung gian để dẫn đến công nghệ tạo ra kỳ thuật Discr mà thôi.