Theo chương trình nâng cao Câu VIb: 2 điểm 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=2... http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Nội dung.[r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1
Năm học: 2012 – 2013
Môn: Toán khối B, D lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số y=x2−2x−2 có đồ thị (P)
1) Tìm tập xác định, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị (P)
2) Đường thẳng d: y=m Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2
2 4 (1 1 )
x
x
x = −
2) Giải hệ phương trình: 3 3 2
26
x y
x y
+ =
Câu III: (1 điểm) Giải bất phương trình: x2− ≤ −1 x 1
Câu IV: (1 điểm): Cho tam giác ABC Gọi P, Q là hai điểm lần lượt thỏa mãn
2PB+PC =0 và 5QA+2QB+QC =0
Tìm vị trí của điểm Q và chứng minh ba điểm P, Q, A thẳng hàng
Câu V: (1 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x (y z) y (z x) z (x y) P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1 hoặc phần 2
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có AM, AH lần lượt là đường trung tuyến, đường cao của tam giác, biết C(-2;-4), M(2;0) và G(0;4) là trọng tâm của tam giác
1) Tính: MA MC
2) Tìm tọa độ của điểm H
Câu VIIa: (1 điểm) Cho góc x tuỳ ý, rút gọn biểu thức:
A= 3(sin4x+cos4x)-2(sin6x+cos6x)
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=2 Tính BA BC
2) Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;2) , C(5;4) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác
Câu VIIb: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: ( )2
2
1 sin
1 sin
1 cos cos
+
với α khác 900 - HẾT -
Họ tên thí sinh:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
Đáp án
m
I 1) +) TXĐ: R
+) xét sự biến thiên
+) lập bảng biến thiên
+) vẽ đồ thị (P)
2) +) Lập đúng PTHĐGĐ của (P) và d là: x2−2x− − =2 m 0(1)
+) d cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt
⇔ khi pt(1) có hai nghiệm phân biệt
⇔∆’>0 ⇔ m>-3
+) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) với x1, x2 là nghiệm của pt(1), ta có:
x1.x2=-m-2; y1=y2=m; OA=(x1;m) ; OB=(x2;m)
+) Tam giác OAB vuông tại O
1 2
1
2
m
m
= −
=
(tmđk) Vậy m=-1; m=2 là giá trị cần tìm
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
1) Phương trình:
2
2 4 (1 1 )
x
x
x = −
+) Đk: x>-1
+) x=0 không là nghiệm của pt(1) Xét x khác không Khi đó:
2
1
x
x tmdk
x x
≥
+ = −
Vậy x=3 là nghiệm của pt (1)
0.25 0.25
0.5
3
xy
= −
0.5
II
3
1
x y
=
⇔
= −
hoặc
1 3
x y
= −
=
KL:
0.5
1 0
1 ( 1)
x
− ≥
− ≤ − ⇔ − ≥
0.5 III
2
1
1
x
x
≥
≤
KL:
0.5
IV +) Tìm vị trí của điểm Q:
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
5QA+2QB QC+ = ⇔0 2QA+(2QA+2QB) (+ QC+QA)=0
2QA 4QI 2QJ 0
⇔ + + = , với I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC 0.25
4QK 4QI 0
⇔ + = , với K là trung điểm của AJ
+) Tính được: 2 1
AP= AB+ AC; 1 1
Suy ra: 3
8
AQ= AP nên A, P, Q thẳng hàng 0.25
Ta có :
x x y y z z P
y z z x x y
= + + + + + (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ℝ
Do đó : x3 + y3≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay
x y
x y
y + x ≥ + ∀x, y > 0
0.5
V
Tương tự, ta có :
y z
y z
z + y ≥ + ∀y, z > 0
z x
z x
x + z ≥ + ∀x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1
3 Vì vậy, minP = 2
0.5
MA=3MG= −( 6;12); MA MC =24-48=-24 0.5 2) MA= −( 6;12); Suy ra: A(-4;12) 0.25
VIa
Gọi H(x;y), MC= − −( 4; 4); AH = +(x 4;y−12); MH = −(x 2; )y Vì AH vuông góc với
MC và H, M, C thẳng hàng nên ta có:
4( 4) 4( 12) 0
2
4 4
− =
0.5
5 3
x
y
=
⇔
=
Vậy H(5;3)
0.25
A=
3 sin x+cos x −2sin x.cos x−2 sin x+cos x −3sin x.cos x sin x+cos x
0.5
VII
a
1)
2
.cos
BA BC BA BC B
BA
BA BC BA
BC
=
0.5 0.5
2) Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC
AH = x y− BC= BH = −x y− AC
0.5 VIb
Ta có AH vuông góc BC và BH vuông góc AC nên:
5( 1) 3( 2) 0 17 0
BH AC
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn
2
cos 1 sin cos 1 sin
0.5 VII
b
1 sin 2 sin 2 tan
cos 1 sin
+
0.5
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa