Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học toán ở bậc phổ thông

Tôi xin cam đoan đề tài: “Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông” là kết quả công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Ái Quốc, nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Anh Thư

BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

Hoàng Thị Anh Thư

BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

Tôi xin cam đoan đề tài: “Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở

bậc phổ thông” là kết quả công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn

của Thầy Nguyễn Ái Quốc, những trích dẫn trong luận văn, cũng như các kết quả nghiên cứu từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy

đủ theo đúng quy định

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Anh Thư

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Ái Quốc, người

đã dẫn dắt và góp ý cho tôi từng bước nghiên cứu, thực nghiệm để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cám ơn đến Thầy Lê Văn Tiến, Cô Lê Thị Hoài Châu, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, Cô Nguyễn Thị Nga, Cô Vũ Như Thư Hương, Thầy Tăng Minh Dũng Các Thầy Cô ấy đã bỏ nhiều thời gian và công sức giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ môn Didactic Toán Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học, cũng như các anh chị trong lớp D27 đã tận tâm giúp

đỡ và góp ý cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Cảm ơn Ban giám hiệu cùng các thầy cô tổ Toán trường TiH – THCS - THPT Ngô Thời Nhiệm Quận 9 Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm

Cuối cùng, xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và động viên tôi để có thể hoàn thành khóa học một cách tốt nhất

Hoàng Thị Anh Thư

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục bảng biểu

Danh mục hình vẽ

Danh mục sơ đồ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU NHIỆM VỤ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG TOÁN ĐẠI HỌC KINH TẾ 9

Lãi đơn 9

1.1.1 Một số khái niệm 9

1.1.2 Công thức tính lãi đơn 9

Lãi kép 16

Chuỗi tiền tệ 22

Vay vốn 28

1.4.1 Các phương thức hoàn trả 28

1.4.2 Trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định 30

1.4.3 Trả nợ dần định kỳ cố định phần trả nợ gốc 31

1.4.4 Vấn đề lập quỹ trả nợ 31

Chương 2 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU NHIỆM VỤ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG VIỆT NAM, SÁCH GIÁO KHOA TOÁN MỸ 34

2.1 Chương trình Toán phổ thông Việt Nam 34

2.1.1 Chương trình Toán 5 34

2.1.4 Chương trình Toán 8 40

2.1.5 Chương trình toán 9 42

2.1.6 Chương trình Toán 11 ban nâng cao 44

2.1.7 Chương trình Toán 12 45

2.1.8 Các đề thi bậc phổ thông 54

2.2 Chương trình Toán Mỹ 9 60

Chương 3 THỰC NGHIỆM 74

3.1 Bài toán thực nghiệm 74

3.2 Phân tích tiên nghiệm 77

3.2.1 Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến 77

3.2.2 Phân tích chi tiết các bài toán 78

3.3 Phân tích hậu nghiệm 85

KẾT LUẬN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 PHỤ LỤC

GD&ĐT Giáo dục và Đào tạo

Bảng 1.1 Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi đơn trong Toán tài chính 15

Bảng 1.2 Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi kép trong Toán tài chính 21

Bảng 1.3 Công thức tính giá trị tương lai, hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ và đầu kỳ 23

Bảng 1.4 Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định 23

Bảng 1.5 Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật 24

Bảng 1.6 Thống kê số lượng bài tập chủ đề chuỗi tiền tệ trong Toán tài chính 27

Bảng 1.7 Bảng hoàn trả 29

Bảng 1.8 Thống kê số lượng bài tập chủ đề vay vốn trong Toán tài chính 32

Bảng 3.1 Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 1 của HS 85

Bảng 3.2 Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 2 của HS 86

Bảng 3.3 Thống kê kết quả bài làm nhóm thực nghiệm 2 của HS 96

Hình 3.1 Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 1 86

Hình 3.2 Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 2 86

Hình 3.3 Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 3 87

Hình 3.4 Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 4 87

Hình 3.5 Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 5 88

Hình 3.6 Trích bài làm nhóm 1 92

Hình 3.7 Trích bài làm nhóm 2 93

Hình 3.8 Trích bài làm nhóm 5 95

Hình 3.9 Trích bài làm nhóm 8 95

Hình 3.10 Trích bài làm nhóm 3 95

Hình 3.11 Trích bài làm nhóm 3 96

Sơ đồ 1.1 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì 22

Sơ đồ 1.2 Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì 22

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu

Với chủ trương “Đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn” (Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam, 2013), bên cạnh nắm được những kiến thức được giảng dạy trên lớp, học sinh còn được yêu cầu vận dụng chúng vào đời sống hằng ngày Để thực hiện được chủ trương này thì chương trình dạy học ở phổ thông cần hướng đến giải quyết các bài toán thực tế Chính vì thế, trong chương trình lớp 9, từ năm học 2016 – 2017, bài toán tính LSNH đã được đưa vào kì thi tuyển sinh 10 Cụ thể:

Câu 3b: Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với

kì hạn 1 năm là 6% Tuy nhiên sau thời hạn một năm, ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh Khi đó số tiền lãi có được sau một năm được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế với mức lãi suất cũ Sau 2 năm ông Sáu nhận được số tiền là 112360000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi) Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?

(Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh, 2016) Đối với bậc THPT, LSNH được giảng dạy trong chương trình Toán 12, chương

2 “Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số Logarit”, với bài toán “lãi kép”

Ví dụ 1 Bài toán “lãi kép”

Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm (n   ), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra

và lãi suất không đổi?

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

Với kĩ thuật được trình bày như sau:

Gọi số tiền gửi là P , lãi suất là r , số năm gửi là n n  

Tính số tiền được lĩnh (vốn tích lũy, gồm vốn và lãi) được sau năm thứ nhất:

Tính số tiền được lĩnh sau n năm: P n P1 rn

(Trần Văn Hạo et al., 2008) Không chỉ vậy, với hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng từ năm học 2016 -

2017, LSNH cũng được đưa vào đề thi THPT Quốc gia 2017:

Câu 35: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra

(Bộ GD&ĐT, 2017)

Để kịp thời đáp ứng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, các trường THPT trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh đã soạn thảo các đề cương ôn tập dưới dạng tự luận

và trắc nghiệm, do vậy, bài toán LSNH với nhiều dạng hơn được đưa vào Cùng với

đó, bài toán LSNH cũng được xuất hiện trong đề cương một số trường ở lớp 11 Không chỉ vậy, trong dự thảo ngày 19 tháng 01 năm 2018, nội dung “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” của bộ GD&ĐT, chủ đề Toán tài chính đã được yêu cầu đưa vào chương trình học của HS từ lớp 5, xuyên suốt nội dung từ lớp 6 đến lớp 12, LSNH được yêu cầu đưa vào “Hoạt động thực hành và trải nghiệm”, cụ thể là bài toán tính lời, lãi ngân hàng, lãi suất trong quá trình gửi tiết kiệm hay vay vốn,… Những thay đổi nêu trên cho thấy LSNH ngày càng được chú trọng hơn và trở thành nội dung không thể thiếu trong quá trình đánh giá kết quả học tập ở HS

Do đó, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi ban đầu sau:

1 Lãi suất ngân hàng xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán phổ thông? Gồm những dạng toán nào? Phương pháp giải ra sao?

2 Cách trình bày của sách giáo khoa và sách bài tập Toán phổ thông có tạo điều kiện cho học sinh giải quyết các KNV liên quan lãi suất ngân hàng không?

Những câu hỏi vừa nêu trên đã đưa chúng tôi đến đề tài: “Bài toán lãi suất ngân

hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”

1.2 Tổng quan các công trình có liên quan

LSNH đã xuất hiện từ bậc tiểu học, đến bậc THPT thì đối tượng này mới được trình bày một cách tường minh, cụ thể là trong chương trình Toán 12, khái niệm LSNH

được nêu ở phần mở đầu của bài “Hàm số mũ, hàm số logarit” với dạng thức “lãi

kép” Bên cạnh đó, cấp số nhân cũng là nội dung quan trọng của bài toán LSNH Vậy nên, chúng tôi sẽ tham khảo các luận văn liên quan đến cấp số nhân và hàm số mũ, hàm số logarit để làm cơ sở nghiên cứu cho luận văn của mình

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Thị Hồng Dân (2016), “Nghiên cứu vai

trò công cụ của cấp số nhân trong dạy học ở trường phổ thông”

Phân tích thể chế dạy học toán 11 hiện hành ở Việt Nam, tác giả nhận thấy vai trò công cụ của cấp số nhân được xuất hiện trong Toán học, Vật lí, Sinh học, vấn đề dân số và lĩnh vực Tài chính Bên cạnh đó, để thấy rõ hơn sự ràng buộc của thể chế dạy học Toán 11, tác giả tiến hành phân tích giáo trình Toán tài chính 1, SBT Di truyền và giáo trình Precalculus Kết quả cho thấy vai trò công cụ của cấp số nhân xuất hiện một cách mờ nhạt và chưa được quan tâm nhiều trong các môn học ở trường phổ thông, một số KNV đã bị lược bỏ so với các giáo trình được nghiên cứu Sau đó, tác giả tiến hành thực nghiệm với 4 bài toán với các KNV thuộc các môn Sinh học, Vật lí, lĩnh vực tài chính và nhận thấy: HS chưa nhận diện được cấp số nhân, cũng như chưa biết cách xây dựng, vận dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán trong các môn học khác và thực tiễn cuộc sống Trong nội dung thực nghiệm, với bài toán về Vật lí và lĩnh vực tài chính, hầu hết các HS đều bỏ trống Với

khó khăn trên của HS, tác giả xây dựng thực nghiệm 2 nhằm giúp HS nhận

ra và vận dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tiễn

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Viết Hiếu (2013), “Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ

thông”

Trên cơ sở tổng hợp một số cách tiếp cận khái niệm logarit và những lợi thế riêng của từng cách mang lại, tác giả đã đưa ra một số ứng dụng mà logarit đóng vai trò công cụ

+ Đơn giản hóa các phép tính phức tạp của logarit: đơn giản các phép tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính đơn giản hơn nhờ các tính chất của logarit Để minh họa cho một trong các vai trò của mình, tác giả đưa ra hai ví dụ là bài toán tính số năm gửi tiền N từ công thức lãi kép

1 N

C A r và bài toán tính thời gian phân rã t của các chất phóng xạ

Với các giả thiết được cho, bài toán sẽ dẫn đến MHTH có dạng af x   b ,

Tuy nhiên, khi tiến hành phân tích SGK Toán 12, tác giả nhận thấy rằng thể chế dạy học môn Toán ở trường phổ thông lại chưa tạo điều kiện cho HS tiếp cận với những ứng dụng này Chính vì vậy, việc học logarit mang nặng tính lí thuyết

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), “Khái niệm logarit trong trường trung học phổ thông”

Để phân tích mối quan hệ cá nhân HS với đối tượng khái niệm logarit trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông, tác giả đã tiến hành nghiên cứu SGK và

SBT Toán 12 hiện hành, từ đó kết luận cách trình bày của SGK và SBT chủ yếu giúp cho HS tiếp cận với những kĩ thuật biến đổi đại số chứ không cho

HS tiếp cận được nghĩa cũng như vai trò công cụ của logarit trong việc giải quyết các bài toán thực tế

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Đoàn Nhật Duật (2014), “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông”

Sau khi phân tích SGK Vật Lí, Hóa học, Sinh học, tác giả nhận thấy khái niệm logarit xuất hiện trong các tình huống thực tế với hình thức là logarit

cơ số 10 (lg) và logarit Neper (ln) chủ yếu dưới dạng thức mà logarit đóng vai trò “Giải phương trình dạng af x   b a b  ,  0, a  1 ” và “Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi” Tuy nhiên hai vai trò này lại không được SGK Toán chú trọng truyền tải cho HS Nhận thấy được tầm quan trọng cũng như khả năng vận dụng cao trong nhiều môn học, tác giả đã tiến hành xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm nhằm giúp HS rèn luyện kĩ năng mô hình hóa kiến thức thực tế vào toán học

và làm rõ hai vai trò công cụ của logarit được trình bày ở trên Tình huống được đưa ra là “Sự phân đôi của tế bào, sinh trưởng của vi sinh vật” và “Chu

liên quan đến LSNH Do vậy, chúng tôi đã hướng đến đề tài “Bài toán lãi suất ngân

hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”, với mục đích giúp cho HS hiểu rõ hơn

về khái niệm LSNH cũng như các vấn đề liên quan LSNH Bên cạnh đó, xây dựng tình huống dạy học mà qua đó, HS có thể tự mình xây dựng MHTH để giải quyết bài toán LSNH

2 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Để đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi xuất phát được đưa ra trên, chúng tôi sẽ đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ lí thuyết didactic toán:

- Thuyết nhân học: quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học Thông qua các tổ chức toán học để tìm hiểu cách HS tiếp cận khái niệm LSNH và các KNV liên quan

- Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa toán học với quá trình mô hình hóa được tiến hành như sau:

 Bước 1: Giữ lại những yếu tố quan trọng của bài toán, lược bỏ những yếu tố không cần thiết

 Bước 2: Xây dựng MHTH bằng cách biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng bằng ngôn ngữ toán học

 Bước 3: Giải quyết bài toán ở trên bằng các công cụ toán học

 Bước 4: Dựa trên kết quả ở bước 3, phân tích, kiểm định lại để trả lời câu hỏi của bài toán thực tế được đặt ra ban đầu

Với những giả thuyết được đặt ra sau khi tiến hành phân tích thể chế, chúng tôi

sử dụng đồ án dạy học của lí thuyết tình huống, trên cơ sở đó, xây dựng bài toán thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm để dự đoán các lời giải có thể có ở HS, sau đó tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, kiểm chứng những giả thuyết của mình

3 Phạm vi nghiên cứu

Với đề tài “Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”

nên trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ tìm hiểu sự xuất hiện, cũng như các KNV liên quan đến LSNH ở chương trình Toán phổ thông, từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông, các dạng toán LSNH được xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh 10 và THPT quốc gia Trước đó, để làm rõ hơn sự lựa chọn của thể chế, chúng tôi sẽ nghiên cứu Toán tài chính – giáo trình đại học của khoa Tài chính doanh nghiệp trường Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh Bên cạnh đó, chúng tôi cũng phân tích thêm sách Toán Mỹ để tìm hiểu cách họ cho HS tiếp cận LSNH như thế nào theo quan điểm mô hình hóa Và cuối cùng, dựa trên các kết luận sau khi nghiên cứu và phân tích, chúng tôi sẽ tiến hành xây dựng một tình huống dạy học Lựa chọn đối tượng thực nghiệm là

HS 12 - đã được học bài hàm số mũ, hàm số logarit cũng như đã được tiếp cận dạng toán tính LSNH, chúng tôi dự kiến tiến hành thực nghiệm vào tháng 4 năm 2018 Sau khi thực nghiệm sẽ tiến hành phân tích và tổng hợp để hoàn thành luận văn vào tháng

9 năm 2018

4 Mục tiêu nghiên cứu - câu hỏi nghiên cứu

Với mục tiêu làm rõ sự hiện diện của LSNH trong thể chế Toán Việt Nam, từ những ảnh hưởng mà thể chế tác động lên đối tượng này, chúng tôi tiến hành xây dựng một tình huống dạy học, góp phần giúp HS cải thiện được thiếu sót mà thể chế mang lại

Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học và trung học, đối tượng lãi suất ngân

hàng được hiện diện như thế nào? Có các tổ chức toán học nào gắn liền với đối tượng lãi suất ngân hàng? Trong sách Toán Mỹ (Mathematics for the international student 9), bài toán lãi suất ngân hàng đã được tiếp cận như thế nào?

CH2: Để học sinh có thể giải được bài toán lãi suất ngân hàng thì cần phải xây

dựng tình huống dạy học như thế nào?

5 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phương pháp nghiên cứu thực tiễn Cụ thể, chúng tôi tham khảo Toán Tài chính để nghiên cứu khái niệm LSNH, các dạng toán liên quan LSNH được trình bày ở bậc đại học, sau đó, để xem xét sự lựa chọn của thể chế Toán phổ thông, chúng tôi nghiên cứu và phân tích chương trình Toán phổ thông cũng như một số đề thi tuyển sinh Toán trong những năm gần đây Và cuối cùng, chúng tôi sẽ phân tích sự hiện diện của LSNH trong sách Toán Mỹ Với công cụ là phương pháp đồ án didactic, chúng tôi sẽ xây tình huống dạy học và tiến thực nghiệm trên HS lớp 12

6 Nội dung nghiên cứu

6.1 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích giáo trình Toán Tài chính của Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh

- Phân tích mối quan hệ thể chế dạy học Toán phổ thông đối với khái niệm LSNH

và bài toán LSNH theo quan điểm mô hình hóa

- Phân tích bài toán LSNH đã xuất hiện trong đề thi tuyển sinh 10, đề tham khảo

và đề thi chính thức THPT quốc gia từ năm 2016 đến nay

- Phân tích cách tiếp cận LSNH trong sách Toán Mỹ

Chương 1 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU NHIỆM VỤ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG

TOÁN ĐẠI HỌC KINH TẾ

Trong nội dung này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự hiện diện của khái niệm LSNH trong thể chế Toán Đại học Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu các hình thức tính lãi suất nào được xuất hiện, cũng như các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm này Bên cạnh

đó, chúng tôi cũng đặt khái niệm LSNH trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học, tập trung ở bước 2 (xây dựng MHTH) và bước 4 (trả lời bài toán thực tế) của quá trình

mô hình hóa

Lãi đơn

1.1.1 Một số khái niệm

Trước khi xây dựng công thức tính lãi đơn, Toán tài chính đã trình bày một số

định nghĩa như sau:

- Lợi tức được hiểu theo hai góc độ Ở phía người cho vay hay nhà đầu tư, lợi tức

là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một thời gian nhất định Còn ở phía người đi vay, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay để sử dụng vốn trong một thời gian nhất định

- Lợi tức đơn được định nghĩa là một lợi tức chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban đầu trong suốt thời gian vay

- Tỷ suất lợi tức (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay trong một đơn vị thời gian:

Tỷ suất lợi tức = Lãi suất = ã ả ả ậ đượ ộ đơ ị ờ

ố Đơn vị thời gian có thể là năm, tháng, quý, ngày,…

1.1.2 Công thức tính lãi đơn

Trong phần đặt vấn đề, Toán tài chính xây dựng công thức tính lãi đơn một cách

rõ ràng bằng công thức quy nạp, thông qua đó, sinh viên không chỉ biết được cách

chứng minh công thức mà còn củng cố được khái niệm lợi tức đã được trình bày trước

đó

Ta đưa vào sử dụng vốn V0 với mong muốn đạt được lãi suất là i%/năm Vào cuối

mỗi năm ta rút lợi tức và chỉ để lại vốn

Lợi tức của năm thứ 2: V i0

Lợi tức của năm đầu tiên V i0

trên” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004), Toán tài chính đã nhắc nhở một sai lầm thường

gặp phải ở HS và sinh viên trong quá trình tính toán là không thống nhất đơn vị đo Bên cạnh lãi suất đơn, Toán tài chính còn hiện diện một số hình thức tính lãi suất hoàn toàn mới

- Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá)

Ngoài lãi suất i được tính theo năm, lãi suất còn được tính theo kỳ và được gọi

là lãi suất ngang giá 'i với công thức

' i

i

k

 (với k là số kỳ trong năm)

- Lãi suất trung bình

Trên thực tế, lãi suất có thể khác nhau trong những khoảng thời gian khác nhau,

do đó, để tính được giá trị cuối cùng thu được, ta tính lãi suất trung bình i:

k k k

“Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Sau mỗi định nghĩa mới được đưa vào, Toán tài chính đều gắn với ví dụ minh

họa có hướng dẫn giải cụ thể Do đặc trưng của khối ngành kinh tế nên các ví dụ được đưa vào, bên cạnh tính các đại lượng trong công thức, Toán tài chính còn yêu cầu có

sự so sánh các kết quả với các thời hạn vay khác nhau, từ đó sinh viên sẽ rút ra nhận xét trường hợp nào sẽ có lợi cho người đi vay Cụ thể

Ví dụ 5: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng, với các điều kiện sau

- Lãi suất 9,6% năm

- Phí hồ sơ 200.000 đồng

- Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc

Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong các trường hợp sau:

- Thời gian vay là 1 năm

- Thời gian vay là 4 tháng

Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực sẽ thay đổi như thế nào?

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Hệ thống bài tập với mục đích giúp sinh viên củng cố và vận dụng các công thức

vừa học cũng tương đối đa dạng và phong phú Bên cạnh đó, Toán tài chính còn đưa

vào một số bài tập ở mức độ cao hơn, không chỉ thuần túy giải quyết bài toán toán học

Bài 14: Ông Hai có một số tiền chia ra gởi ở hai ngân hàng: 3/5 số tiền gởi ở ngân

hàng X trong 9 tháng, 2/5 số tiền gởi ở ngân hàng Y trong 15 tháng Phương pháp

tính lãi được áp dụng là tính lãi đơn Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng bằng 11,4% tổng số tiền gởi Hãy xác định lãi suất tiền gởi (Lãi suất ở ngân hàng

X bằng lãi suất ở ngân hàng Y)

Giải

Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng

Số tiền gởi ngân hàng X là 3 / 5 X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là

với nhau để thiết lập một phương trình mà kết quả của nó chính là đáp án của bài toán Đây cũng chính là các bước của mô hình hóa

Do ở các bài toán lãi suất được trình bày, bước 1 và 2 của quá trình mô hình hóa không hoàn toàn tách biệt mà gần như là giống nhau, nên trong quá trình phân chia dưới đây, chúng tôi sẽ gộp chúng lại với nhau và sẽ chỉ chia làm 3 bước theo thứ tự sau: xây dựng MHTH – giải quyết bài toán toán học – kết luận

Bước 1: Xây dựng MHTH

Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng

Số tiền gởi ngân hàng X là 3/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là

3 / 5 9X i5, 4 X i

Số tiền gởi ngân hàng Y là 2/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng Y là

Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là 5,4Xi6Xi11,4Xi

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

Theo đề bài ta có 11,4Xi0,114X  i 1% /tháng

Bước 3: Kết luận

Thiếu vắng

Trong nội dung lãi đơn, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau:

 KNV T1: Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư

- Kĩ thuật:

+ Xác định số tiền gốc V0, lãi suất i%, thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian)

+ Áp dụng công thức VnD  V0 1  ni 

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

 KNV con T1.1: Tính lợi tức đạt được sau một thời gian cho trước

I  (lãi suất theo năm còn thời hạn theo ngày)

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lợi tức và công thức tính lãi đơn

 KNV T2: Tính vốn cần sử dụng để thu được khoản tiền mong muốn

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

 KNV T3: Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn

nD

nD

V V

i



- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

 KNV T4: Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay

V n

   (lãi suất theo năm còn thời hạn theo ngày)

- Công nghệ - lí thuyết: Định nghĩa lãi đơn

 KNV T5: Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay

n



- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi suất trung bình

 KNV T6: Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay

V





- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất thực

 KNV T7: Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay

- Kĩ thuật:

+ Xác định lãi suất ban đầu i , số kỳ trong năm k

+ Áp dụng công thức ' i

i k



- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất tương đương

Bảng 1.1 Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi đơn trong Toán tài chính

có sẵn

Xây dựng kĩ thuật thông qua MHTH Tổng

Tính giá trị đạt được/số tiền

vay ở cuối đợt đầu tư 3 0 3 Tính vốn cần sử dụng để thu

được khoản tiền mong muốn 6 2 8

Tính thời gian đầu tư để thu

được khoản tiền mong muốn 3 0 3 Tính lãi suất tương đương của

quá trình đầu tư/ cho vay 1 0 1 Tính lãi suất trung bình của

quá trình đầu tư/ cho vay 3 0 3 Tính lãi suất thực của quá trình

Tính lãi suất của quá trình đầu

Tính lợi tức của quá trình đầu

Với nhiều hình thức tính lãi suất (lãi suất, lãi suất tương đương, lãi suất trung

bình, lãi suất thực) nên ở chương Lãi đơn, KNV “Tính lợi tức của quá trình đầu tư/

cho vay” và KNV liên quan đến tính các hình thức lãi suất chiếm số lượng lớn (12/42

và 16/42 trên tổng số bài tập) Bên cạnh hệ thống bài tập vận dụng các công thức

(MHTH) sẵn có, Toán tài chính còn hiện diện các bài toán yêu cầu sinh viên xây dựng

kĩ thuật giải thông qua MHTH sẵn có, qua đó giải quyết bài toán được đưa ra (tương

tự bài toán 14 chúng tôi đã trình bày ở trên), dù số lượng không nhiều (3/42 bài) nhưng cũng cho thấy sự quan tâm của giáo trình đối với dạng toán này

Lãi kép

“Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để

tính lãi kỳ sau” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Lãi kép còn được gọi là lãi gộp vốn,

lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn Ở đây, không chỉ vốn sinh ra lợi tức mà lợi tức cũng sinh ra ra lợi tức

Tương tự như công thức lãi đơn, công thức tính lãi kép cũng được suy ra từ phương pháp quy nạp

 , với m là số kỳ trong năm

- Lãi suất tương đương 'i

“Lãi suất tương đương là một mức lãi suất mà bất kỳ kỳ ghép lãi dài hay ngắn

thì lợi tức đạt được vẫn không thay đổi” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

- Lãi suất trung bình

f chi phí vay vốn khác (lệ phí vay, chi phí phát hành,…)

Ở cả hai hình thức tính lãi đơn và lãi kép, nếu thời gian vay càng ngắn thì lãi suất thực it sẽ càng cao do phải trả các chi phí vay vốn f cố định mỗi kỳ

Với “lãi suất trung bình” và “lãi suất thực”, Toán tài chính đều trình bày ví dụ

mở đầu rồi thông qua đó xây dựng công thức tính, điều này đã giúp sinh viên tiếp cận công thức một cách dễ dàng hơn cách thức đưa ra công thức một cách trực tiếp như ở những nội dung trước đó

Bên cạnh được giới thiệu cả hai hình thức tính lãi suất, sinh viên còn có sự so sánh giữa hai hình thức này

Xem xét 2 công thức tính giá trị đạt được theo lãi đơn và lãi kép

nD

n nK

đề kinh tế, thông qua đó, mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện rõ hơn Trong nội dung này, chúng tôi nhận thấy có các KNV chính sau

 KNV T1*: Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư

- Kĩ thuật:

+ Xác định số tiền gốc V0, lãi suất i% (lưu ý cùng đơn vị thời gian)

+ Áp dụng công thức V n V0 1i n

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

 KNV con T1.1*: Tính lợi tức đạt được sau một thời gian cho trước

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

 KNV T3*: Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn

log 1

n n

n

V V

i



- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép, định nghĩa logarit

 KNV T4*: Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

 KNV T5:* Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay

- Kĩ thuật:

+ Xác định lãi suất i k/kỳ trong thời gian n k kỳ

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi suất trung bình

 KNV T6*: Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay

V i

V f



- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

 KNV T7*: Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay

- Kĩ thuật:

+ Xác định lãi suất ban đầu i , số kỳ ghép lãi trong năm m

+ Áp dụng công thức i '   m1 i 1

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất tương đương

Ngoài các bài tập vận dụng công thức (MHTH) cho sẵn, còn có một số nội dung bài tập yêu cầu sinh viên phải dựa trên MHTH có sẵn để thiết lập kĩ thuật giải Cụ thể bài toán được đưa ra như sau

Bài 16: Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân hàng X và Y

Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng x với lãi suất 2% quý trong thời gian 15 tháng,

số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y lãi suất 2,15% quý trong thời gian 12 tháng Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng lợi tức đạt được ở cải hai ngân hàng là 18.984.100 đồng, hãy xác định số tiền ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Giải

Bước 1: Xây dựng MHTH

Gọi x là số tiền gửi ở ngân hàng X, số tiền gửi ở ngân hàng Y 200000000 x 

Giá trị thu được ở ngân hàng X là  5

1 2%

x 

Giá trị thu được ở ngân hàng Y là   4

Lời giải chi tiết trên đã được chúng tôi phân chia theo các bước của mô hình hóa

và dễ nhận thấy, các bước của quá trình này đều hiện diện đầy đủ và rõ ràng Đối với những dạng toán như trên, sinh viên không chỉ được yêu cầu nắm vững công thức đã được cung cấp mà còn phải vận dụng chúng một cách linh hoạt để giải quyết bài toán được đưa ra

Bảng 1.2 Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi kép trong Toán tài chính

Xây dựng kĩ thuật thông qua MHTH

Tổng

Tính giá trị đạt được/số tiền vay

Tính lãi suất của quá trình đầu tư/

Tính lợi tức của quá trình đầu

Số lượng bài tập ở chương Lãi kép có phần vượt trội hơn với 86 bài tập Tương

tự như nội dung Lãi đơn, KNV liên quan tính các hình thức lãi suất: lãi suất, lãi suất

tương đương, lãi suất trung bình và lãi suất thực vẫn chiếm số lượng lớn (37/86) Bên cạnh đó, số lượng bài toán yêu cầu vận dụng MHTH cho sẵn để thiết lập kĩ thuật giải cũng tăng lên với 8/86 tổng số bài tập

Chuỗi tiền tệ

“Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng

cách thời gian bằng nhau” và được dùng để “tạo ra một khoản vốn hoặc trả dần một

khoản nợ” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Khoảng cách giữa hai khoản tiền phát sinh liền nhau (có thể tính theo tháng, quý, năm,…) được gọi là một kỳ hạn

Phân loại theo thời điểm phát sinh mà ta phân loại chuỗi tiền tệ và được minh họa bằng sơ đồ sau

Sơ đồ 1.1 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì

Sơ đồ 1.2 Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Dễ nhận thấy, đối với chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì, khi nhà đầu tư gửi một khoản tiền vào ngân hàng, thì đến cuối kì hạn tiền lãi mới được tính Còn trong trường hợp chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì, ở đầu kì hạn gửi, nhà đầu tư sẽ có ngay số tiền lãi tương ứng với mức lãi suất của ngân hàng đưa ra Do vậy, căn cứ vào lợi ích kinh tế thì nhà đầu tư sẽ chọn hình thức tính đầu kỳ hay cuối kỳ hạn cho phù hợp

Trong nội dung này, hầu hết các khái niệm và công thức mới đều được Toán tài

chính chứng minh và gắn với ví dụ minh họa cụ thể

 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ, đầu kỳ

Phát sinh cuối kỳ Phát sinh đầu kỳ

Giá trị tương lai V nlà tổng giá trị tương

lai của các kỳ khoản được xác định vào

thời điểm cuối cùng của chuỗi tiền tệ

1

11

n

n k

k n

Hiện giá là tổng hiện giá của các kỳ

khoản được xác định ở thời điểm gốc

(thời điểm 0)

 

0 1

1

n

k k

0 1 0

11

n

k k

 Chuỗi tiền tệ cố định (chuỗi đều): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ đều bằng nhau

Bảng 1.4 Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định

Phát sinh cuối kỳ Phát sinh đầu kỳ

Giá trị tương lai 1  1

n n

 Chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật: số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau

Bảng 1.5 Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ biến đổi

1

n n

n n

 KNV T2**: Tính giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

n n

- Công nghệ - Lý thuyết: công thức cấp số nhân

 KNV T3**: Tính số kỳ hạn cần thiết để nhà đầu tư thu được số tiền mong muốn trong tương lai

.log

1

log 1

n n

- Công nghệ - Lý thuyết: định nghĩa cấp số nhân và logarit

Tương tự ở nội dung lãi đơn và lãi kép, nội dung này vẫn trình bày hệ thống các bài tập giúp sinh viên rèn luyện các công thức vừa cung cấp Bên cạnh đó, do đặc trưng của chuyên ngành kinh tế nên các bài toán ở đây đòi hỏi sự chính xác rất cao, chúng tôi sẽ trình bày một bài toán điển hình ngay dưới đây

Bài 2: Một công ty muốn có một số vốn tích lũy là 1 triệu USD Khả năng tài chính của công ty có thể tích lũy hàng năm 100000USD và nếu gửi số tích lũy

hằng năm vào ngân hàng (gởi vào đầu mỗi năm) với lãi suất 4% năm thì sau bao nhiêu kỳ gởi công ty sẽ đạt được số vốn như mong muốn

Giải

Ta có công thức '  1 1 

1

n n

1 4% 1, 384185 log1, 384615

8, 297208 log1, 04

đáp số với thực tế Ngoài ra, Toán tài chính còn xây dựng tình huống yêu cầu có sự

sánh giữa các hình thức gửi/ trả để xác định hình thức mang lại lợi nhuận cao nhất cho nhà đầu tư/người vay vốn

Không chỉ vậy, các tình huống được đưa vào là sự kết hợp của nhiều giai đoạn, đòi hỏi sinh viên phải có sự phân tích kĩ lưỡng

Bài 5: Một người gửi tiền đều đặn vào ngân hàng cuối mỗi năm: năm đầu tiên gửi

10 triệu đồng và năm sau tăng hơn so với năm trước 1 triệu đồng, liên tiếp trong

8 năm Ba năm sau ngày gởi tiền cuối cùng, người này rút ra đều đặn hằng năm

những khoản tiền bằng nhau trong 5 thì tài khoản kết toán Xác định số tiền người

này rút ra hằng năm, nếu lãi suất gửi tiền là 8%

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004) Bài toán trên gồm có ba giai đoạn:

- Gửi liên tiếp trong 8 năm, mỗi năm số tiền nhiều hơn 1 triệu đồng: Chuỗi tiền

tệ biến đổi theo cấp số cộng 8 kỳ khoản

- Để số tiền đó trong ngân hàng 3 năm: bài toán lãi kép 3 kỳ khoản

- Rút tiền đều đặn trong 5 năm: Chuỗi tiền tệ đều 5 kỳ khoản

Có thể thấy rằng, bài toán trên đòi hỏi vận dụng linh hoạt và có sự phối hợp giữa

các công thức đã được cung cấp chứ không chỉ đơn thuần sử dụng 1 công thức như

các bài toán đã được trình bày ở trước đó

Không chỉ riêng nội dung lãi đơn và lãi kép, ở các bài tập trong chương Chuỗi

tiền tệ cũng xuất hiện các bài toán yêu cầu phải xây dựng kĩ thuật giải thông qua việc

kết hợp các MHTH có sẵn

Bảng 1.6 Thống kê số lượng bài tập chủ đề chuỗi tiền tệ trong Toán tài chính

KNV

Sử dụng MHTH có sẵn

Xây dựng kĩ thuật thông qua MHTH

Tổng

Tính số kỳ hạn cần thiết để đầu tư/trả

Tính giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ 17 0 17

Tính giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ 25 0 25

Tính lãi suất ngân hàng 13 1 14

Tính lợi tức đạt được 1 0 1

Với số lượng tổng cộng 63 bài toán, trong đó, KNV tính giá trị tương lai (17/63)

và giá trị hiện tại (25/63) chiếm số lượng lớn, cho thấy sự quan tâm của giáo trình đối

với 2 KNV này Đối với KNV “Tính số kỳ hạn cần thiết để đầu tư/trả nợ”, có tổng

cộng 6 bài tập trong nội dung này và chúng đều có yêu cầu phải đối chiếu với thực tế sau khi nhận được kết quả từ bài toán toán học Bên cạnh đó, trong từng KNV đều tồn tại bài tập yêu cầu khả năng phối hợp giữa các công thức với nhau, chúng tôi liệt kê được 6/63 bài toán có hình thức này

Ở phần trình bày kĩ thuật giải chi tiết cho từng KNV, chúng tôi không trình bày KNV “Tính lãi suất ngân hàng” vì tính phức tạp trong kĩ thuật giải, yêu cầu sử dụng kiến thức chỉ được học ở đại học là “Công thức nội suy” Tuy nhiên, do trong các bài tập thuộc KNV này, chúng tôi thấy hiện diện 1 bài toán có yếu tố đòi hỏi mô hình hóa

mà không phải sử dụng công thức nội suy, nên chúng tôi vẫn sẽ liệt kê KNV này vào bảng thống kê Tuy nhiên, đây là bài toán buộc phải sử dụng mô hình hóa duy nhất ở nội dung này

Vay vốn

Có hai đối tượng chính trong hoạt động vay vốn là người cho vay và người đi vay Người cho vay có thể giao vốn cho người đi vay 1 hay nhiều lần, người đi vay có thể trả cả vốn lẫn lãi theo nhiều hình thức khác nhau Trong nội dung dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày các hình thức hoàn trả (redemption) và công thức tính tương ứng với từng hình thức

1.4.1 Các phương thức hoàn trả

1.4.1.1 Trả vốn vay (nợ gốc) là lãi một lần khi đáo hạn

Phương thức này ít được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn vì không mang lại lợi nhuận nhiều cho người cho vay, bên cạnh đó, người đi vay cũng gặp phải nhiều khó khăn về tài chính do phải trả một số tiền lớn vào ngày hết hạn hợp đồng

Số tiền mà người đi vay phải trả được tính theo công thức K 1i n

Trong đó: K : số tiền cho vay (vốn gốc)

i: lãi suất cho 1 kỳ (tháng, quý, năm,…)

n: thời hạn vay (tháng, quý, năm,…)

1.4.1.2 Trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn

Lãi định kỳ là Ki

Số tiền mà người đi vay phải trả được tính theo công thức K 1i

Kỳ khoản trả nợ  a p

1 Giá trị tương lai của vốn cho vay bằng tổng giá trị tương lai của các kỳ khoản nợ