Bài toán dựng hình trong chương trình hình học ở trường trung học cơ sở trường hợp bài toán dựng tam giác và hình thang

Hơn thế, để tìm ra giả thuyết nghiên cứu và các ứng xử của học sinh cũng như của giáo viên dối với bài toán dựng hình đưỢc trình bày trong chương trình, chúng tôi cũng phải sử dụng thêm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Quốc Hào

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TRƯỜNG HỢP: BÀI TOÁN DỰNG TAM GIÁC VÀ

HÌNH THANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Quốc Hào

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TRƯỜNG HỢP: BÀI TOÁN DỰNG TAM GIÁC VÀ

HÌNH THANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp Dạy học Môn toán

Mã số : 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006

^9'itớe liết, tỏi «r/// bỉuỊ tồ lịtỉíỊ bìèt ưti sùíi sẩe đèềt ^(V ^Đóti ^ùữíi Hùiíi, ỉtíẬtểíP đã tậíỉ tìiilt tỉiểớmi itảit, tậỉtiệỉ ítờ ó đỘỊiíẶ oiètỉ tỏi vất idiiẻii tvOiií/ íỊitá trìiitt lătti jỊíìễt í H ĩểị ,

^âi ừíiHíỊ ttuìít tvíUiiặ (ỊỞi lời euềỊỊ ưềt đến ede (ậiíío Mt t)ả eúe íậỉíuuậ oiètt đủ lỉtutii tậia tềítỚỊiíậ iíùst etỉO uttĩa tiọe etia etiiítiíậ tỏỉ (i)iti tvùn tvottiậ eủttt ưềt:

^Pí}tS Mê ^/// Tỉơoiíỉ (^íiùtt, iặiảễUỊ ỉdèit khoa 'Jiutit - ^Đ^tkS^P ^^p

lCẨ^i/ỉ

7fV Me ^Oăti ^ìếtt, ế/iiíiiiỊ iìièíi UttOii ^oútỉ - ^ìti '"^tì^tkS^Ị) ^^P ^(Ắ^JH

i}S ^fS (HiHíile (^Oiềiỉti - ^viểừtttỆ ^O^C) ^Jo\eplị ^^úịtvỉet' C}veíỉotỉle ^(ytiâp ij(S 7<s < /ểiẩiỉể' ^Jie^iift - ^»'itởiUỊ ^í)U() Cfosepti (^i)nvier iịretioble 7), ^pttúp L)tS ^<S ( ỉtaiit ^Jịìvebent - ^Viểừtni (/iiâeplt <^OíỊVỈev iịvetiobte ^ptệáp

Mnùn Oíĩn nùỉậ iẽ UhỏtUỊ tite đượe eiititjeti síiỊỉíậ tieỊỉt/ ^ptuíp ttếti UtiỏềUỊ eĩ M/ ụitíp đữ nỉ títíiĩ ilịelt thnật etiíi eí) QỉiỊHiậeỊỉ (Mjtfiin 7í/ JũttiỊètt, i)ì oủtỊ eíto pttefj tỏỉ íỊỚi lt'ì (áiH ưềi eítủềt tlỉùsilt đếtỉ (^í)

^ỏì etlíií/ rầÌtỉ ếiii ơn ^ỊÌíỊ^C) tvườtuị ^Più ^()0€' Siể ^ptniỊật ^^p.TKX^^JU,

tvườtéậ ^(H)ùníỊ Mè ~Klta - ^ủiỆ Qiỉnti^ ^)ÌLị^t) eảe tvịểừntậ: MotuỊ 'Jliutit ^lĩCM^íS ^vitỜỊỉiị ^ùịu (^ơỏu ^liùítlt - ^áíỊ Qiìníiị, đủ tíW đìen Uiett tlnnịv lí/i eho tỏi ttọe tập i)ả Itoảtt tltủtili eỏiUỊ oìèe etiíi /////#//.

(^nổì eiìití/f tịi eííHíỊ ,MÌít ehủn tlnìíilt eỉun (fti ếe bati bè étỉíỊ utiíhi^ ếe íĩồstíỊ nfjhitp, nt/itờỉ thản đả ti í) trự, đỏễỉíậ Ịìỉèn tỏi vất ttiiiền nề tintt tltugf tv€)niậ Miíít ếỊitíí tvìíitt ttn/e Ỉtii/Ểt tíiậtt i)ứn nủtp

MỞ ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: 1

2 Mục đích nghiên cứu - Phạm vi lí thuyết tham chiếu: 1

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu: 4

4 Tổ chức của luận văn: 5

CHƯƠNG 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 7

1.1 Nguồn gốc của khái niệm bài toán dựng hình: 7

1.2 Một số chiến iược dựng hình gắn với bộ công cụ Euclide: 9

1.2.1 Chiến iược dựng hình gần đúng : 9

1.2.2 Chiến iược dựng hình tiệm cận: 10

1.2.3 Dựng hình VỞ! bộ công cụ Euclid bị hạn chế: 10

1.3 Kết luận: 11

CHƯƠNG 2: Mối QUAN HỆ THE CHÊ VỚI BÀI TOÁN DựNG HÌNH 12 2.1 Giai đoạn trước lớp 8: 12

2.1.1 Giai đoạn lớp 6: 13

2.1.2 Các “bài toán vẽ hình cơ bản”: 14

2.1.3 Giai đoạn lớp 7: 16

2.1.4 Kết luận giai đoạn trước lởp 8: 18

2.2 Giai đoạn từ lớp 8 về sau: 19

2.2.1 Giai đoạn lớp 8: 19

2.2.1.1 Tmh huông đưa vào định nghĩa bài toán dựng hình: 19

2.2.1.2 Tmh huông đưa vào “Các bài toán dựng hình đã biết”: 21

2.2.1.3 Tmh huông “Dựng hình thang”: 24

2.2.2 Giai đoạn lớp 9: Vai trò công cụ của bài toán dựng hình 26

2.2.3 Kết luận giai đoạn từ lởp 8 về sau: 28

2.3 Một sô'khác biệt cơ bản về dựng hình của các sách giáo khoa 1986 và 2002: .28

2.3.1 Các khác biệt: 28

2.3.2 Lí do của các khác biệt: 30

hình thang: 32

CHƯƠNG 3: THựC NGHIỆM 49

3.1 THựC NGHIỆM ĐÔI VỚI GIÁO VIÊN 49

3.1.1 Mục đích thực nghiệm: 49

3.1.2 Hình thức thực nghiệm: 49

3.1.3 Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi dành cho giáo viên: 50

3.1.4 Phân tích Aposriori thực nghiệm giáo viên: 59

3.1.5 Kết luận phần thực nghiệm giáo viên 65

3.2 THựC NGHIỆM Đốl VỚI HỌC SINH 66

3.2.1 Mục đích thực nghiệm học sinh: 66

3.2.2 Hình thức thực nghiệm: 66

3.2.3 Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi dành cho học sinh : 67

3.2.4 Phân tích Aposriori thực nghiệm học sinh: 77

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 95

PHỤ LỤC 97

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuâ't phát:

Trong chương trình THCS bài toán dựng hình luôn xuât hiện trong các bộ sách (trước cải cách, sau cải cách (trước 1986), sách chỉnh lí (sau 1986)) Kiến thức về bài toán dựng hình hầu như không thể thiếu, nó chỉ cổ thể giảm nhẹ hoặc đặt nặng ở từng loại sách nià thôi Như vậy có thể nói bài toán dựng hình là bài toán truyền thống trong chương trình và SGK Việt Nam Tuy vậy vai trò của nó dường như ngày càng kém quan trọng so với các đối tưỢng tri thức khác

Hầu hết ở các bộ sách, trước tiên dựng hình là đôì tưỢng giảng dạy, sau đó nó góp phần vào việc giảng dạy hình học ở vai trò công cụ

Nhưng việc trình bày có hỢp lí không? Có mang tính kê thừa? Và học sinh có nắm dưỢc ý đồ của các lác giả?

Ngoài ra, tham khảo vài ý kiến của các giáo viên THCS, họ cho rằng; dựng hình là một loại toán khó, nó chỉ thích hỢp với học sinh khá giỏi, các cuộc thi vòng Huyện, vòng Tỉnh, còn học sinh đại trà khó nắm dưỢc loại bài toán này Hơn nữa, các giáo viên còn cho biết thêm: Việc học hình học của học sinh là yếu, việc vẽ hình thôi cũng là khó khăn đôi với họ

Một điều khác cũng làm chúng tôi quan tâm để đưa vào nghiên cứu là việc Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã tung ra bộ sách mới vào năm 2002, và hiện tại họ đã hoàn thành việc thay sách cuốn chiếu ở bậc THCS

Vài nhận xét trôn tạo điều kiện cho chúng tôi xem xét khái niệm dựng hình đã nảy sinh và phát triển như thế nào trong lịch sử ? Nó có đặc trưng cơ bản nào? Còn ở

và khác biệt nào giữa lịch sử và giảng dạy? Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thê nào đôd với hiểu biết của giáo viên và học sinh về khái niệm dựng hình?

2 Mục đích nghiên cứu - Phạm vi lí thuyết tham chiêu:

2.1 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích chung của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số trong các câu hỏi

đưỢc đặt ra ở phần trên Cụ thể những câu hỏi có thể đưỢc trình bày như sau;

1 Bài toán dựng hình đã đưỢc đưa vào chương trình và sách giáo khoa toán THCS như thê nào? Các tổ chức toán học nào đưỢc xây dựng xung quanh bài toán dựng hình về tam giác và hình thang? Các đặc trưng của chúng?

diểm của dựng hình trong lịch sử toán hay không?

3 Đâu là những điều kiện và ràng buộc của thể chế trên việc dạy học bài toán dựng hình nói chung và dựng tam giác, hình thang nói riêng?

Các câu hỏi ở phần trên đều liên quan tới thể chế dạy học ở trường THCS, do

đó để trả lời tôt các câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng lí thuyết nhân chủng học (môi quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân) làm lí thuyết tham chiếu Hơn thế, để tìm ra giả thuyết nghiên cứu và các ứng xử của học sinh cũng như của giáo viên dối với bài toán dựng hình đưỢc trình bày trong chương trình, chúng tôi cũng phải sử dụng thêm khái niệm hỢp đồng didactic của lí thuyết tình huống

Sau đây, xin nêu tóm tắt nội dung 2 lí thuyết mà chúng tôi sẽ tham chiếu

2.2 Phạm vi lí thuyết tham chiếu:

2.2.1 HỢp đồng didactic:

Hợp đồn^ didactic Hên quan tới một đối tượng dạy - học, là sự mô hình hóa các

quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đôi vơi đôi tưỢng dó Nó là một tập hỢp những quy tắc (thường không đưỢc phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,

về một tri thức đưỢc giảng dạy

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên

và học sinh, tìm ra ý nghĩa các hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát đưỢc trong lớp học Để thây đưỢc hiệu ứng của hỢp đồng didactic ta có thể làm như sau:

tình huống phá vỡ hợp đồng.

+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

+ Phân tích các đánh giá học sinh trong việc sử dụng tri thức

thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hỢp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ đưỢc quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc tình huống sử dụng tri thức, vào những ước định đưỢc hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy.

Việc nghiên cứu các quy tắc của hỢp đồng didactic là cần thiêt, vì, để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hỢp đồng hiện hành là dạng thế hiện thực tê của nó Phá vỡ hỢp đồng là nguyên tắc chủ đạo dể có sự tiến triển mong dợi

2.2.2 Lí thuyết nhân chủng học:

Phần này chúng tôi chỉ mô tả một cách ngắn gọn hai khái niệm mà chúng tôi cần tham chiếu để tìm các yếu tô cho phép trả lời những câu hỏi đã đặt ra

• Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân:

Quan hệ của thể chê ỉ với tri thức o, R(l, O), là tập hỢp các tác động qua lại mà thể

Quan hệ cá nhãn X với tri thức o, R(X, O), là tập hỢp các tác động qua lại mà cá

ra sao

I, mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại dííu ân trong quan hệ R(X, O) Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O)

• Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tê toán học cũng là một kiểu thực tê xã hội nên cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép

mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chính trên quan điểm này mà Chevallard (1998) đã

dưa vào khái niệm praxeologie.

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần |T, r ,ớ,0 ], trong đó:

T là một kiểu nhiệm vụ, r là kỹ thuật cho phép giải quyết T, 6 là công nghệ giải thích cho kỹ thuật r, 0 là lí thuyết giải thích cho 0 Một praxeologie mà các thành

phần đều mang bản châ"t toán học đưực gọi là một tổ chức toán học

đôi với một vị trí thể chê xác định, đưỢc định hình và biến đổi bởi một tập hỢp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suôt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần kíựt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tưỢng nói trên”

mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh chẳng hạn)

của hỢp đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứn:

Phưtíng pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là; Thực hiện một tìm hiểu sơ lược về khoa học luận của khái niệm dựng hình, sau đổ là một nghiên cứu thể chế Chúng tôi biết rằng nếu thực hiện tỗl nghiên cứu khoa học luận thì nỏ sẽ là yếu tố tham chiếu rât tốt cho nghiên cứu thể chế, thê nhưng trong trường hỢp của chúng tôi thì việc có đưỢc một nghiên cứu khoa học luận sâu sắc là điều vượt quá tầm Cho nên chúng tôi chỉ tìm hiểu sơ lược, chứ không phải là làm một nghiên cứu khoa học luận Sau khi thực hiện xong 2 phần trên thì chúng tôi sẽ có cơ

sở đề xuất các câu hỏi và đặc biệt là các hỢp đồng didactic mà chúng tôi sẽ kiểm tra

sự hỢp thức bằng các thực nghiệm

Dựa vào phương pháp nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tổ chức nghiên cứu của chúng tôi như sau:

■ Tim hiểu sơ lược về khoa học luận của khái niệm dựng hình

■ Phân tích chưeíng trình và sgk Toán THCS để làm rõ mối quan hệ thể chế với

đôi tưỢng bài toán dựng hình, đặc biệt là tìm các ràng buộc của mối quan hệ này.

nghiên cứu

■ Xây dựng tình huông thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu hỏi đãđặt ra hay để hợp thức các hỢp đồng hoặc giả thuyết nghiên cứu

Luận văn này gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận chung.

■ Trong Phần mở đầu, trình bày vài ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài, mục

đích của đề tài, phương pháp và tổ chức nghiên cứu, tổ chức của luận văn

■ Trong Chương 1, tìm hiểu sơ lược về khoa học luận của khái niệm dựng hình.

■ Trong Chương 2, chúng tôi phân tích chương trình và sgk Toán THCS để làm

rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm bài toán dựng hình Từ dó chúng tôi làm rõ các ràng buộc của thể chế và các quy tắc hỢp đồng chuyên biệt gắn liền với bài toán dựng hình Tổng hỢp kết quả Chương 1 và Chương 2 để đề xuât các hựp đồng didactic hoặc giả thuyết nghiên cứu

■ Trong Chương 3, trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính hợp thức

của các hỢp đồng hoặc giả thuyết mà chúng tôi đã đề ra

■ Trong Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả dạt đưỢc ở chương 1, 2,

3 và nêu lên hương mở ra từ luận văn này

Trong luận văn, chúng tôi sử dụng các thuật ngữ hình hình học, hình vẽ, vẽ hình,

dựng hình theo các nghĩa sau đây;

a/ Hình hình học:

-là những hình dưỢc mô tả qua những tiên đề, định nghĩa, tính chât [\, tr.l88]

-các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các dôi tưỢng hiện thực Các hình hình học chỉ có trong ý thức của con người [8,tr.l36|

b/ Hình vẽ:

-là hình biểu diễn phẩng của các hình hình học [1, tr.l88J

-là mô hình của một đc)i tưỢng hình học Hình vẽ không thể phản ánh dũng nhừng tính chát hình học vô"n cỏ đỏi với bài toán Vị trí của hình vẽ trên lờ giây

“vị trí” cụ thể của một đối tưựng hình học (Đoàn Hữu Hải)

-là bản vẽ vật chât của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, các sô đo giữ vai trò trung tâm

c/ riiuật ngữ “vẽ hình” và thuật ngữ “dựng hình”:

“Chương trình dùng thuật ngữ “vẽ hình" để chỉ việc vẽ các hình bằng

bât kì dụng cụ gì (thước thẳng, thưđc chia khoảng, compa, êke, thước đo góc

V.V hoặc vẽ phác bằng tay, còn thuật ngữ "dựng hình" để chỉ việc vẽ bằng hai

dụng cụ : thước và compa” Ị16, tr.6]

1,1 Nguồn gôc của khái niệm bài toán dựng hình:

^'Ngay từ thế kỉ Vì - V trước Công nguyên, người ta đã nghiên cứu các hài toán dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa" - [16, tr 116|

Chúng ta hãy cùng nhau xem xét vân đề này Trước hết chúng ta xét 2 quy luật mà

nỏ đã khai sinh ra bài toán dựng hình:

/ Với cây thước kẻ chúng cho phép ta vẽ một dường thẳng có chiều dài không xúc

dịnh di qua 2 diểni phân hiệt cho trước.

2 Với chiếc conipa cho phép ta vẽ một đường tròn với hất kì điểm nào cho trước làm tâm và di qua I diểm thứ 2 bất kì nào [5, tr.95]

Dựng các hình bằng thước kẻ và compa đưỢc xem như một trò choi phải tuân

theo hai luật nêu trên, đã tỏ ra rằng đó là 1 trò chơi hấp dẫn' nhíít đưọc nghĩ ra lừ

IrưOc tOi nay Thật đáng ngạc nhiên khi các phép dựng hình thực sự phức tạp lại có thể thực hiện dưọc bằng cách này và cũng khổ có thể tin rằng các bài toán dựng hhih tưởng chừng nhưdOn giản lại không thể thực hiện dưọc

Dụng cụ Euclid là thuật ngữ dùng dể chỉ bộ dụng cụ thước kẻ và compa, lí do

là các tiên đề trong Nguyên lý của Euclid quy định chỉ đưực dùng thước kẻ và compa

và theo các luật ỏ trên nên những dụng cụ này đưọc gọi là các dụng cụ Euclid Cũng cần đặc biệt chú ý rằng ở thước kẻ không hề có ly tấc gì |5, tr.96| Như vậy bộ công

cụ này là bộ công cụ rất lí tưởng Công cụ dựng hình này không nhằm tạo ra hình vật chất (thước thẳng vô tận, compa) Dựng hình không có sô đo và đơn vị.

Trong thời đại của Pythagore (-569 —500), các môn sinh của Pythagore biết dựng hình và giải một số phương trình bằng dựng hình, đổi diện tích bằng dựng hình [5, tr.75| Chúng ta lây 2 bài toán sau để minh họa:

Bài toán 1: Giải phương trình x(a-x) = b' hoặc x“ - ax + b^ = 0, có thể phát biểu lại ở

dạng hình học: Chia một đoạn thẳng cho trước sao cho hình chữ nhật được chứa bời

các hộ phận của đoạn thẳng đó sẽ bằng một hình vuông cho trước, hình vuông này không vượt quá hình vuông trên nửa của đoạn thẳng cho trước Đê giải, gọi AB và b

là 2 đoạn thẳng, b không lớn hơn AB Ta phải chia AB bởi một điểm Q sao cho (AQ) (QB) = b7

- ta dựng từ điểm giữa p của AB một đường

thẳng vuông góc với nó và kíy trên đó PE = b

|5 tr.95|

Chứng minh:

(AQ) (QB) = (PB)' - (PQ)^ = (EQ)' - (PQ)^ = (EP)" = bl Kí hiệu AB có chiều

b' = 0 Các nghiệm đưỢc biểu thị bđi AQ và QB

Bài toán 2: Giải phương trình x(x - a) = b^ hoặc x^ - ax - b^ = 0, có thể dưực phát

biểu ở dạng hình học như sau: Kéo dài I đoạn thẳng cho trước sao cho hình chữ nhật

chứa đoạn thẳng được kéo dài và phần kéo dài sẽ hằng một hình vuông cho trước Ta

lại dặt AB và b là 2 đoạn thẳng Ta phải kéo dài AB đến một điểm Q sao cho (AQ) (QB) = bl

Cách dựng:

- la lây BE = b trên đường thẳng vuông góc AB tại B,

- liíy điểm giữa p của AB làm tâm và PE làm bán kính

vạch một cung tròn cắt AB kéo dài ở điểm Q phải tìm

□ Trong bộ Elements d’Euclide, chúng ta bắt gặp bài toán

nổi tiếng “điểm chia vàng” (mệnh đề 11, quyển II) như sau:

“C/ỉỏi trước doạn thẳng AB (hình), cần chia AB thành 2 phần

hởi điểm G, sao cho diện tích hình chữ nhật GBDK hằng diện

tích hình vuông AJHG, (BD - AB)”

Cách dựng:

- Dựng hình vuông ABDC

- Lây trung điểm E của -AC

- Kéo dài EA đến J sao cho EJ = BE, rồi dựng hình vuông AJHG

- HG kéo dài cắt CD tại K

- Điểm G là điểm chia AB phải dựng

2 2 2

Vậy bài toán đã đưỢc chứng minh

Thời kì này, (TK5 trước CN) xuất hiện 3 bài toán dựng hình không giải đưỢc,

nó xuàt phát từ vân đề cầu phương các nguyệt hình của Hypocrat thành Khiôx, ông là một Pylhagorit;

+ Gap đôi 1 hình lập phương; Dựng 1 hình lập phương có thể tích gap đôi thể tích của hình lập phương có thể tích cho trước

Đánh giá; Qua phần trên, chúng ta thây rằng bài toán dựng hình có thể ra dời

trước thời Pythagore, tuy nhiên với các cứ liệu cỏ đưỢc, chúng tôi chỉ có thể nói rằng bài toán dựng hình ra đời từ thơi Pythagore (-569 - 500) Trong thơi kl này, ngươi la dựng hình luôn tuân thủ bộ compa và thước kẻ, coi nổ như là một bộ dụng cụ chính thông

Đổ Ihííy diiỢc sự khác biệt giữa dựng hình cua các nhà toán học và dựng hình trong giảng dạy, chúng lôi sẽ tiếp tục xét thêm vài chiến lược dựng hình dặc biệt đã xiiât hiện trong lịch sử

1.2 Một sô' chiến iược dựng hình gắn với bộ công cụ Euclide:

1.2.1 Chiên lược dựng hình gần đúng :

đã ra sức giải chúng, từ đỏ cũng thúc đẩy sự phát triển của hình học, người ta cũng dã phát triển dựng hình với nhiều hướng khác nhau về mặt công cụ, nhưng trong phần xem xét ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm các chiến lược dựng hình có liên quan tới 2 dụng cụ thước kẻ và compa Với quan điểm này, chúng tôi xin ghi lại một sô chiến lược sau, để từ đó (và cùng với phần trên) góp phần nêu lên đặc điểm của dựng hình trong lịch sử:

Ngoài việc dựng chính xác một hình, người ta cũng quan tâm tới phép dựng

ịiỏc AOB lù góc ở tâni của I vòng tròn (xem hình) Gọi c ở gần B là điểm chia 3 của

dây AB Từ c dựng đường thẳng góc với AB và cắt dường tròn ở D Với B lùm tâm và

BD làm hán kính vẽ ỉ cung cắt AB ở E Gọi F gần với E

là diểm chia 3 của EC Rồi cũng lấy B lùm tâm và BE

làm hán kính, và Ị cung cắt đường tròn ở G Như vậy

OG là dường chia 3 gần đúng của góc AOB nhưng chỉ

vào khoảng 1 cho góc AOB=6Ở’ và 18 cho góc

ẤÕB = 9Ơ\

[5, tr.l()2 - 128]

Năm 1919, Kopf đưa ra phép dựng gần đúng để chia 3 một góc như sau: (về

sau đưỢc o.Perron và M d'Ocagne cải tiến thêm) Một góc AOB cho trước dược lấy

lù góc ở tâm trong một vòng tròn có dường kính BOC Ttrn D, điểm giữa của oc, rồi p trên oc kéo dài sao cho CP = oc Tại D dựng một dường vuông góc cắt vòng tròn ờ

E và lấy diểm E hên trong c và D sao cho DE = DE/3 Vài F làm tâm và EB lùm hán kính vẽ một cung cắt CA kéo dài ở A Như vậy góc A' BD gần hằng 1/3 của góc AOB.

Năm 1934, M d’Ocagne đưa ra cách chia 3 một góc và nó chính xác một cách

dáng ngạc nhiên cho các gốc nhỏ Lấy gỏc AOB cho trước làm góc à tâm của một

vòng tròn có dường kính BOC Gọi D là điếm giữa của oc và M là điểm giữa của cung AB Như vậy góc MDB xấp xỉ bằng 1/3 của góc AOB (5, Ir 129]

1.2.2 Chiến iược dựng hình tiệm cận:

Bên cạnh phương pháp dựng hình xâp xỉ, có một phương pháp dựng hình cũng đáng chú ý, đó là dựng hình tiệm cận: một phép dựng hình bằng các dụng cụ Euclid nhưng cần phải tiến hành một sô vô hạn các thao tác thì đưỢc gọi là phép dựng hình Euclid liệm cận

Chẳng hạn Fialkiwski dưa ra vào nám 1860, cho bài toán chia 3 như sau: Gọi

OT| là đường phân giác của góc AOB, OT2 là của góc AOT^ , OT3 là của góc T01\ ,

í^oo

đường chia 3 góc AOB

Hoặc lời giải cho bài toán cầu phương; Trên đoạn thẳng AB| kéo dài lây B1B2

tròn Bi(A), B2(A), B3(A) Gọi M| là điểm giữa của nữa đường tròn trên AB2 Vẽ

chiếu của M, lên tiếp tuyến chung của các đường tròn tại A Như vậy lim AN, = 14 của

I ->00

đường tròn Bi(Ạ) [5, tr 124]

1.2.3 Dựng hình với bộ công cụ Euclid bị hạn chê:

niộl sô “biến tướng” của bộ dụng cụ :

+ Dựng hình chỉ bằng compa của Lorenzo Mascheroni(tkl8) xuât hiện năm 1797

trong Geometria del compasso [5, tr.l 15-129] Tuy vậy ý đồ tương tự cũng đã có trong

quyển Euclides Danicus (1672) của Georg Mohr [5, tr 115]

phép dựng hình Euclid đều có thể thực hiện đưỢc), nhưng có thêm một đường tròn và tâm của nó hiện diện trên mặt phẳng dựng hinh thì mọi cách dựng hình Euclid dều có thể thực hiện đưỢc bằng thước kẻ (nằm trong định lí năm 1822) Sau này Jacob Steiner phát triển thêm [5, tr 116]

+ Francesco Sever! (1904) chỉ cần 1 cung tròn và tâm của nó là có thể dựng đưỢc bằng thước kẻ

+ Phép dựng hình Euclid dựng bởi 1 thước kẻ có 2 cạnh, không kể song song hay không (5, tr 116]

Compendium Euclidis Curiosi (1673) Georg Mohr chí ra là trong thực tô mọi cách

dựng hình trong Nguyên lí của Euclid đều có thể thực hiện đưỢc bằng thước kẻ và compa gỉ sét

Tuy vậy, dể chứng minh theo các phương pháp dựng nêu trên thì đòi hỏi người chứng minh phải rất khéo léo Mục này là sự tìm tòi của các nhà toán học nhằm tôi

Lh.1 hóa bộ dụng cụ Euclid Đó là do nhu cầu và ý thức của họ Và cũng cần lưu ý rằng

họ dựng hình là dựng một hình hình học, không đơn vị đo

1.3 Kết luận:

Các phân tích trên chỉ ra rằng: Dựng hình của các nhà Toán học xưa là dựng

hình hình học (không đơn vị đo) Họ đã dựng với bộ thước thẳng và compa, bộ công

cụ này là bộ công cụ râ"t lí tưởng đối với các nhà toán học, bộ công cụ này không phải

là hộ công cụ vật chất, dựng hình không có số đo vù đơn vị Những nhà toán học không tìm cách vẽ mà lù tìm cách dựng và họ phải chứng minh chặt chẽ Họ cũng

không cần để lại dâu vết của phép dựng của họ, tức là các hình vẽ Việc có hình vẽ hay không trong cách giải của các nhà toán học là một điều không bắt buộc Vậy liệu dựng hình sgk có như thế chăng? Có bắt phải dựng bằng thước thẳng không vạch và compa? Có bắt buộc để lại hình khi làm bài toán dựng hình?

CHƯƠNG 2: MÔÌ QUAN HỆ THÊ CHÊ VỚI BÀI TOÁN DựNG HÌNH

Mục đích phân tích:

Trước tiên, chúng tôi cũng xin giải thích về tên gọi của chương 2 Thông thường khi đề cập đến môi quan hệ thể chê thì phải nói về môi quan hệ thể chê đôi với một đối tưỢng kiến thức cụ thể (ví dụ: khái niệm giới hạn, khái niệm liên tục ), còn ở

đây, chúng tôi dùng thuật ngữ: môi quan hệ thể chế đôi với bài toán dựng hình thì

nghe có vẻ không hỢp lắm, bởi vì bài toán dựng hình là đối tưỢng kiến thức khá rộng Tuy nhiên, cũng xin nói rõ là bài toán dựng hình này chỉ là bài toán dựng hình trong chương trình THCS, và hạn hẹp hơn nữa, nó chỉ là những bài toán dựng hình tam giác

và dựng hình thang Cho nên chúng tôi thấy rằng việc đặt tiêu đề của chương như thế cũng là điều hỢp lý Chương này có mục đích thực hiện một nghiên cứu về mối quan

hệ thể chế với bài toán dựng hình nói chung và dựng tam giác và hình thang nói riêng Cụ thể là chúng tôi sẽ đi tim các câu trả lời cho các câu hỏi sau;

1 Bài toán dựng hình đã đưực đưa vào chương trình và sách giáo khoa toán THCS như thế nào? Các tổ chức toán học nào đưỢc xây dựng xung quanh bài toán dựng tam giác và hình thang? Các đặc trưng của chúng?

2 Việc dạy dựng hình ở trường THCS Việt Nam có tương đồng vơi các đặc điểm của dựng hình trong lịch sử toán hay không?

3 Đâu là những điều kiện và ràng buộc của thể chê đôi với việc dạy học bài toán dựng hình nói chung và dựng tam giác, hình thang nói riêng?

4 Hình đưỢc dựng bởi học sinh sẽ là hình gì (hình hình học hay hình vẽ vật chất)?

Để nghiên cứu, chúng tôi lựa chọn bộ chương trình và sgk toán áp dụng từ 2002 cho bậc THCS, cụ thể là một sô tài liệu sau:

1 Chương trình và sgk các lớp 6, 7, 8, 9

2 Tài liệu và sgv các lớp 6, 7, 8, 9

Để làm rõ một aố nội dung, chúng tôi sẽ tham khảo thêm một số tài liệu sau;

3 Chương trình và sgk các lớp 6, 7, 8, 9 bộ sách cũ (bộ sách cải cách)

4 Tài liệu và sgv các lớp 6, 7, 8, 9 bộ sách cũ (bộ sách cải cách)

Bài toán dựng hình trong chương trình và sách giáo khoa THCS:

Chúng tôi phân tích chương trình và sgk Toán bậc THCS theo cấp lớp, cụ thể như sau;

2.1 Giai đoạn trước lớp 8:

2.1.1 Giai đoạn lớp 6:

Ta có ihể xem giai đoạn này bắt đầu từ ví dụ sau của sgk:

_ B C y

Hình 2.1

“Ví dụ 2: Cho đoạn thđnịỊ AB (hình) Hãy vẽ đoạn thẳng CD sao cho CD = AB.

Cách vẽ: Vẽ tia Cy bất kì Khi đó ta đã biết mút c của đoạn thẳng CD Ta vẽ mút D như sau:

- Đặt cornpa sao cho một mũi nhọn trùng với mút A, mũi kia trùng V(ỳi mút B của đoạn thẳng AB cho trước

- Giữ độ mở của compa không đổi, đặt cornpa sao cho một mũi nhọn trùng với gốc c

của tia Cy, mũi kia nằm trên tia sẽ cho ta mút D và CD lù đoạn thẳng phải vẽ ” [6,

tr.l22|

Ví dụ trôn cỏ ý nghĩa dặc biệt, nó dùng dụng cụ là thước thẳng và compa, các đoạn thẳng không srí đo Vậy nó hoàn toàn có thể gọi là “Dựng đoạn thẳng CD sao cho CD = AB, với AB cho trước” Và cũng chính từ ví dụ này mà học sinh biết thêm

một công cụ mới: compa.

Tmh huông thứ 2 có thể kể đến là ví dụ sau của sgk Toán 6, tập 2, trang 94

“Ví dụ: Vẽ một lam giác ABC biết 3 cạnh BC=4cm, AB-3cm, AC=2cm.

Cách vẽ:

- vẽ đoạn thắng BC=4cm

- vẽ cung tròn tâm B, bủn kính 3cm

- vẽ cung tròn tâm c, hán kính 2cm

- lấy một giao điểm của 2 cung trên, gọi giao điểm đó là A.

- vẽ đoạn thẳng AB, AC, ta có tam giác ABC”

Ví dụ này có thể xem là bài toán thứ 2 mà học sinh gặp về dựng hình vì: nó có sử

dụng thước thẳng có vạch và compa Sgk trình bày khá rõ ràng, họ đã dùng từ “cách

vẽ“ (cho cả ví dụ trên kia), tức họ chỉ xem đây là bài toán vẽ hình thôi, không liên

quan gì tới dựng hình cả Thê nhưng sgv nói gì? “Vẽ tam giác biết độ dài 3 cạnh là

bài toán dựng hình đầu tiên sử dụng thước và compa Yêu cầu học sinh sử dụng thành thạo các công cụ này Yêu cầu học sinh dựng đúng trình tự: vẽ trước một cạnh

- xác dinh đỉnh thứ 3 của tam giác, dùng compa” [9, lr.71] Như vậy các tác giả đã

xem đây là bài toán dựng hình đầu tiên, nhưng không nói ra cho học sinh thôi Qua cách trình bày của sgk cũng như sgv, cho phép phán đoán rằng: đây là thao tác đoán

dầu của các tác giả cho bài toán dựng hình Mặt khác, qua liíu ý dựng dúng trình tự

của sgv thì chúng tỗi cũng nhận thây một tư duy thuật toán đã hiện diện trong yêu cầu của bài toán dựng hình ngầm ẩn (ở đây là tuân thủ thuật toán dựng tam giác biết

3 cạnh) Tức là “/ỉợc sinh dựng hình đúng trình tự"

2.1.2 Các “bài toán vẽ hình cơ bản

Chúng tôi gọi tên mục này là “các bài toán vẽ hình cơ bản” là vl những bài toán

này vẽ hình về một đôì tưỢng kiến thức cụ thể nào đó, chúng ta hãy xem các ví dụ

sau:

"Ví dụ: Đoạn thắng AB có độ dài 5 cm Hãy vẽ trung điếm M của đọan thẳng ấy.

Ta có : MA+MB=AB

MA=MB

Suy ra: MA=MB=AB/2=5/2=2,5 cm

Vậy, trên tia AB vẽ điểm M sao cho AM=2,5 cm"

"Ví dụ: Vẽ tia phán giác Oz của góc xOy có số đo 64'

Giải: Cách I : Dùng thước đo góc (h37)

Ta có : xOz - zOy

Mà xOz + zOy= 64* Suy ra xOz = 64V2= 32"

Vẽ tia Oz nằm giữa Ox, Oy sao cho xOz = 32"

f ỊtiOììỊỈ hop diftii (> cho Ịriiitc flam If cu dmoip ííìdiỊị. ; ị

Hoặc: “C//0 ổườn^ llỉânịi a và điểm A nằm ngoài đường thẳng a Hãy vẽ đường thẳng h

âi qua A vù song song với a Một sỏ'cách vẽ được minh họa ở hình 18, 19" Ị10, lr.901

Trong các ví dụ trên, đặc điểm nổi bật nhât đó là tên gọi của bài tập “bài tập

vẽ hình”, các bài lập trên giúp tạo ra trung điểm của đoạn, tạo ra đường phân giác, đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường, đường thẳng qua 1 điểm và song

song với 1 đường, bằng cách học sinh dùng các dụng cụ, có thể đó là thước khắc

vạch, có thể là thước đo góc, có thể là thước êke Như vậy trong thời điểm hiện tại,

đứng trước yêu cầu “vẽ hình” như thế, học sinh có quyền dùng những công cụ trên, nhưng việc dùng các công cụ này có còn theo học sinh khi họ đã học xong bài dựng hình ?

2.1.3 Giai đoạn lớp 7:

Trong giai đoạn này, nổi bật nhât là các bài toán sau:

Ox, Oy theo thứ tự (ỳ A, B (2), (3) vẽ các cung tròn tâm

A và tâm B có cùng hán kính sao cho chúng cắt nhau ở

điểm c nằm trong g(k' xOy (4) nôi o với c (h73).

Chứng minh rằng oc là tia phân giác của góc xOy.

Chú ý: hài toán này cho ta cách dùng thước và cornpa

để vẽ tia phân giác của I góc" (bài tập 20, [lO, tr.l 15J)

"Cho góc xOy và tia Am.(h74a)

Vẽ cung tròn tăm o hán kính r, cung này cắt

Ox, Oy theo thứ tự ở B, c Vẽ cung tròn tâm

A bán kính r, cung này cắt tia Am ở D (h74b)

Vẽ cung tròn tâm D có bán kính bằng BC,

cung này cắt cung tròn tâm A bán kính r ở E

(h74c)

Chứng minh rằng : DAE = vOy

Chú ý: bài toán này cho ta cách dùng thước

và compa để vẽ một góc bằng một góc cho

trước" (bài tập 22, |10,tr.ll5])

Htnh2.8Hoặ c:

"Ta có thể vẽ dường trung trực của MN hằng thước và compa như sau:

tròn có cùng hán kính đó sao cho hai cung tròn này có 2 điểm chung, gọi là F vù Q.

- Dùng thước vẽ đường thẳng PQ, đó là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Chú ý:

- Khi vẽ 2 cung tròn trên, ta phải lấy hán kính lớn hơn V2 MN thì

2 cung tròn đó mới có 2 điểm chung

- Giao điểm của PQ với MN là trung điểm của đoạn MN nên

cách vẽ trên cũng là cách dựng trung điểm của đoạn thẳng

hằng thước vù compa ” (ứng dụng, [11, tr.76])

Hoặc:

“C//0 đưcyng tlicỉng d và điểm p không nằm trên cì Hình 46 minh

họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm p và vuông

góc với đường thẳng d hằng thước và compa như sau:

(]) Vẽ dường tròn tâm p hán kính thích hợp sao cho nó cắt

d tại 2 di ếm A và B

(2) Vẽ 2 dường tròn với bán kính bằng nhau Gọi I giao

diêm của chúng là c (C yỉp)

(3) Vẽ dường thẳng PC

Hãy chứng minh dường tlìẩng PC vuông với d.

Dô: Tìm thêm mật cách dựng nữa (hằng thước và compa)

(bàitập51, [ll,tr.77])

D Nhận xét:

- Với nội dung và cách trình bày trong sgk, cho phép nhận xét rằng giai đoạn này hầu

như chỉ thiếu việc gọi lên từ vẽ sang dựng là ta cổ bài toán dựng hình! Tức là các bài toán này có mọi đặc trưng của bài toán dựng hình, đó là dùng công cụ thước thẳng

không vạch và cotnpa, đó là tạo ra hình hình học.

- Thuật ngữ dùng trong các bài toán trên không thống nhất, lúc thì “vẽ hình '' (bt20, bt

22, Toán 7, tập 1, trang 115), lúc thì "dựng" (bl51, Toán 7, tập 2 và ứng dụng, Toán

7, tập 2, trang 76) Vậy, giáo viên và học sinh phải hiểu sgk đang nói đến việc gì? Dựng hình hay vẽ hình? Chúng ta còn thây lại sự bất cập này ở giai đoạn lớp 8; Đáng

ra phải gọi là dựng hình (sgv gọi như thế, và đúng ra phải như thế) mà sách giáo khoa lại gọi là vẽ hình, gồm: bt25, 26 Toán 8, tập 2, trang 72.

- Hầu hết các bài tập nêu ra đều có dạng là đề (sgk) nêu cách vẽ (bước vẽ, thậm chí

họ còn đánh số, như bt20, Toán 7, tập 1, trang 115; bt51, Toán 7, tập 2, trang 77) và

yêu cầu học sinh chứng minh tính chât nào dó trong cách vẽ Vậy liệu cổ một tính

toán nào dỏ ở các nhà soạn sách trong việc họ trình bày các bài toán này ở dạng nêu

bước vẽ (mà sau này trở thành bước cách dựng), yêu cầu học sinh chứng minh (sau

này là bước chứng minh trong bài toán dựng hình), đế rồi nhằm định hướng rằng: bài

toán dựng hình sau này chỉ gồm 2 bước: cách dựng và chứng minh mà thôi?

- Các bài toán trên đều có hỗ trỢ hình vẽ

- Bộ dụng cụ dựng là thước thẳng không vạch và compa, nên hình có đưỢc là hình hình học

2.1.4 Kết luận giai đoạn trước lớp 8:

Như đã phân tích ở phần trên, ở câ"p lớp 6, lớp 7 thì nội dung bài toán dựng hình hoàn toàn chưa trình bày, nhưng rõ ràng là những cơ sở ban đầu, những bước chuẩn bị để trình bày bài toán dựng hình đã xuât hiện một cách không tường minh

Như đã thây, ví dụ về vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước [6, tr.l22J và ví dụ

về vẽ tam giác biết 3 cạnh là 2 bài toán, có thể xem là 2 bài toán dựng hình đầu tiên

mà học sinh gặp Với ví dụ vẽ đoạn thẳng thì công cụ là compa, đoạn thẳng không có

số đo, tới ví dụ vẽ tam giác thì cỏ sô do centimet, nó đưỢc vẽ bởi compa và thước khắc vạch Hiển nhiên, lúc này chỉ nêu ra cách dựng mà thôi Tiêp theo khi mà chương trình trình bày các kiến thức: trung điểm, tia phân giác, đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông vơi 1 đường, dường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 dường thì

xuât hiện "những hài toán vẽ hình cơhản"^ Công cụ để thực hiện những bài toán này

là: Thưức khắc vạch, êke, thươc đo dộ và sách chỉ nêu cách vẽ Cho tới lúc này cũng chưa xuất hiện từ ngữ “diíng hình"

Cũng trong giai đoạn lớp 7, chúng ta đặc biệt chú ý dến loạt bài tập ở dạng: đề

bài nêu cách vẽ, rồi bảo học sinh chứng minh điều gì đây Thực ra họ nêu cách dựng một đối tưỢng, yêu cầu học sinh chứng minh rằng dựng như thế là đạt đưỢc đối tưỢng đó, và đáng chú ý hơn, hình học sinh “dựng” đưỢc là hình hình học, không sô

đo, bộ công cụ thước không vạch và compa (để ngoặc kép từ “dựng” vì lúc này chưa

có thuật ngữ này, nhưng nếu nói là dựng thì cũng không sai) Những bài toán này nếu

ta đổi thuật ngữ “vẽ” sang “dựng” thì sẽ có bài dựng hình, hơn nữa hình dựng dưực lại là hình hình học

Qua phân tích, ta thấy giai đoạn lớp 6, lớp 7 có thể gọi là giai đoạn ngầm ẩn

đối vơi bài toán dựng hình, giai đoạn này ít nhiều cũng tạo một cơ sở ban đầu để học sinh sau này có thể tiếp thu lí thuyết dựng hình tôt hơn Họ làm quen trước với

"những bài toán vẽ hình cơ bản", làm quen các công cụ dựng hình, biết đưỢc trình tự

vẽ hình Hơn thế, nếu người giáo viên quan tâm thì cũng có thể hướng dẫn để học

Xciii mục 2.1.2

sinh biết rằng bài toán dựng hình sau này chỉ có 2 bước: cách dựng và chứng minh

Do đó, giai đoạn này cổ vai trò quan trọng trong việc dạy dựng hình ở trường THCS

2.2 Giai đoạn từ lớp 8 về sau:

2.2.1 Giai đoạn lớp 8:

Nói chung, lí thuyết về dựng hình ở THCS được các tác giả trình bày khá gọn gàng chỉ trong một bài “Dựng hình bằng thước và compa - Dựng hình thang” Tuy nhiên chúng ta có thể phân tích bài này ra 3 phần:

2.2.1.1 Tinh huông đưa vào định nghĩa bài toán dựng hình:

Các bài toán dựng hình trong lịch sử toán là các bài toán khá nổi tiếng và góp phầnvào việc phát triển toán học (xem phân tích trên) nhưng thể chế Việt Nam trình bàybài toán dựng hình rât ngán Chúng ta hãy xem xét vài vấn đề sau đây:

‘Tơ đã hiết vẽ hìnìi bằng nhiều dụng cụ: thước (thước thẳng), compa, êke, thước đo

góc, Ta xét các hùi toán vẽ hình mà chỉ sử dụng 2 dụng cụ là thước và conipa, chúng được gọi là các bài toán dựng hình.

V(ỷi thước, ta có thể:

- Vẽ được ỉ đường thẳng khi biết 2 điểm của nó.

- Vẽ dược 1 doụn thẳng khi biêt 2 dầu mút của nó.

- Vẽ dược ỉ tia khi biết gốc và ỉ điểm của tia.

Với compa, ta có thể vẽ được một dường tròn khi biết tâm và bán kính của nó" 114,

tr.81|

Chúng ta thây sgk đã phân biệt "thước (thước thẳng)" khác thước đo góc,

"thước" khác êke Như vậy dựng hình là dùng 2 dụng cụ : thước và compa thì phải

hiểu là: thước dùng không đưỢc là thước đo góc hoặc êke Thế nhưng khi sang phần bài tập "Thước" là gì? Thước thẳng có vạch? Thước thẳng không vạch? Thước êke?

Thước đo góc? Hay tât cả chúng đều nằm trong từ thước của sgk?

Bây giờ chúng ta sẽ xét qua bài lập một chút để xem "thước ” là gì?

Ta có thể lấy bài tập 29, Toán 8, tập 1, trang 83: "Dựng tam giác ABC vuông tại A,

biết cạnh huyền BC=4 cm, góc nhọn B = 65'’" Chúng tôi không biết làm sao học sinh

dựng góc 65*’ đây?

Sách giáo viên giải: Dựng đoạn BC = 4cm

- Dựng góc CBx = 65”.

- Dựng CA vuông Bx"

Người ta không nói công cụ để tạo ra góc 65*’ nhưng có thể hiểu là dùng thước

đo độ, vậy ihước có thể là thước đo độ, điều này còn gặp lại ở nhiều bài toán và ví dụ

khác: ví dụ trang 82; bt33/T$ĩ/83; btỹ|fỊ|2rỊf iNhư vậylcác tác giả đã trình bày

•, Truòr-in

trong lí thuyôt là thước thẳng, nhưng khi áp dụng lại không hoàn toàn là thước

thẳng.

Tuy nhiên có ngoại lệ mà chúng tôi không biết phải lí giải như thế nào, đó là

bài lập 32, trang 83 sgk: “//ữy dựng một góc bằng 3Ờ’" Góc 3()" là 1 góc mà như

chúng ta thường gọi là góc đặc biệt Với bài toán này thi lần đầu tiên kiểu nhiệm vụ

hướng dẫn giải như thế nào?

Lời hướng dẫn giải từ sách giáo viên: "Dựng một tam giác đều hất kĩ để có góc

6Ờ\ sau dó dựng tia phân giác của góc ỐỜ'"

Nghe qua lời hướng dẫn trên thì có vẽ không hỢp lý lắm vì đã tạo đưỢc góc 65^* bằng đo độ thế thì tại sao lại không dùng nó để tạo ra góc 30*’ luôn? Lời hướng dẫn giải này chính là mong muôn của thể chế, hay khác đi, đó cũng chính là yêu cầu của thể chế Ọua cách giải trên có thể hiểu rằng thể chế đã yêu cầu dựng góc đặc biệt 30*’ bằng compa và thước thẳng, không được dùng thước đo độ để dựng

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã xét thêm các bài toán ở sách bài tập và phát

hiện bài tập 59, trang 66 cũng thuộc kiểu nhiệm vụ T*, bài tập này yêu cầu "Dựng

góc 75'’ hằng thước vù conipa" Bài toán này là cơ hội lần 2 cho học sinh rèn luyện,

hoàn thiện kỹ thuật cho kiểu nhiệm vụ T*, lời giải của sách

bài tập như sau:

"Cách dựng:

- Dựng tam giác AOB đều

- Dựng tia Ox vuông OA ịOx và B thuộc cùng I nửa mặt phẳng

hờ OA)

- Dựng tia Oy là tia phân giác của góc BOx Ta có AOy = 75*’

Chứng minh: Học sinh tự giải"

Và như vậy một lần nữa thể chế đã giải bằng compa và thước thẳng đôi với kiểu nhiệm vụ T*, học sinh không nên dùng thước đo độ để giải quyết T*

Qua phần trên, cho phép chúng tôi phán đoán rằng; Khi giải quyết kiểu nhiệm

vụ T*: “Dựng một góc có sô đo đặc biệt”, thể chế dạy học yêu cầu giáo viên và học

sinh phải giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng thước thẳng và compa, không đưỢc

dùng thước do độ để giải quyết Từ đây có 1 câu hỏi đưỢc đặt ra: Khi T* là một phần

trong kỹ thuật của một kiểu nhiệm vụ khác, thì thể chế có cần giải bằng thước thẳng

và compa? Giáo viên có mong đợi học sinh làm bằng compa và thước thẳng? Và học

sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống này? Họ sẽ vẫn giải bằng compa và thước thẳng hay sẽ lấy thước đo độ dể lùm?

Chúng lôi dặt ra giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hỢp đồng RI sau;

Rl: Khi gặp kiểu nhiệm vụ dựng góc có sô" đo đặc hiệt thì sử dụng bộ công cụ thước thẳng và compa Và khi kiểu nhiệm vụ này là một phần kỹ thuật của 1 kiểu nhiệm vụ khác thì có thể sử dụng thước đo độ.

Chúng ta lây ví dụ khác: “DựAỉg tam giác vuông tại B, biết cạnh huyền AC =4

cm, cạnh góc vuông BC = 2cm'\ Với bài toán này, hiển nhiên để dựng đưỢc thì người

ta sẽ dùng thước khắc vạch, do đó: Thước có thể là thước khắc vạch.

Vậy, hiện tại nội dung dựng hình ở THCS là dựng hình có sô đo, cỏ đơn vị đo, học sinh có quyền dùng thước khắc vạch, thước chia độ, kể cả êke Điều này khemg giống với lịch sử

Tóm lại, thước mà sgk nói là thước khắc vạch hoặc thước đo độ và cả thước

thẳng Do vậy, dựng hình mà sgk trình bày không còn là dựng hình theo nghĩa Euclid

điều khác biệt rất cơ bản đối với dựng hình của nhà toán học Các nhà viết sách cỏ ý dịnh trình bày trong phần lí thuyết là bộ dụng cụ thưđc thẳng và compa Thế nhưng

vào phần bài tập thì "'đểphù hợp khà năng học tập của đa sô' học sinh" (sgv/T81/6)

nên phải sử dụng những công cụ thước vạch, thước đo độ mà không giđi thiệu tường minh cho học sinh Như vậy, sgk trình bày việc tiếp cận bài toán dựng hình dựa trên phương diện sô do, dơn vị dài

Bảng 2.1: Bảng thống kê dùng thước đo độ và khắc vạch.

Như vậy, theo những gì sgk trình bày, cho phép chúng ta khẳng định rằng:

Dựng hình trong chương trình không bắt buộc phải dùng bộ dụng cụ thước thẳng và compa, mà có thể kết hỢp thêm với thước đo góc hoặc thước khắc vạch.

2.2.I.2 Tmh huông đưa vào “Các bài toán dựng hình đã biê"t”:

Trước hết chúng tôi sẽ nêu lại toàn bộ tình huông này theo sgk, kế đến sẽ là phần nhận xét Sách giáo khoa Toán 8, tập 1, trang 81 trình bày như sau;

"ở hĩnh học lớp 6 và hình học lớp 7, với thước và compa, ta đã biết cách giải các bài toán dựng hình sau:

cư Dựng một đoạn thẳng hằng một đọan thẳng cho trước (h 46a)

h/ Dựng một g()c hằng một góc cho trước (h 46b)

c/ Dựnị> dường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung diêm của một doạn thẳng cho trước (h 46c)

" 1 s

\ V N

>

1

i i i

/

/

h 46c

Hình 2.12

d/ Dựng tia phân giác của một góc cho trước (h 47a)

e/ Qua 1 diểni cho trước, dựng đường thẳng vuông góc vài một dường thẳng cho trước (h.47h)

g/ Qua Ị diểm nằm ngoài 1 dường thẳng cho trước, dựng dường thắng song song với một dường thẳng cho trước ịh 47c)

Ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là các nhà soạn sách cố ý áp đặt về mặt thuật ngữ

“dựng” vì he) nói; ”ở hình học lớp 6 và hĩnh học l(ỷp 7, với thước và compa, ta dã biết

cách giải các bài toán dựng hình sau” Điều này là một mâu thuẫn lớn Chương trình

chưa dạy bài toán dựng hình mà sao bảo là đã biết cách giải các bài toán dựng hình?

Chúng ta cũng cần nhắc lại rằng khi sgk trình bày các bài toán mà chúng tôi đưa vào

phần Giai đoạn lớp 7 thì sgv có yêu cầu giáo viên rằng: “Trong chương này (chương

I, hình học 7, tập ỉ) chưa dạy học sinh vẽ hình bằng thước và compa Giáo viên không

áp đíỊt HS phải sử dụng công cụ nào dể vẽ và phải vẽ theo trình tự nào, chỉ yêu cầu HS

vẽ cẩn thận, hợp lí (càng ít thao tác càng tốt)” (Cẩn thận mang ý nghĩa về sô" đo chứ

không là tính chất hình học) Như vậy các nhà soạn sách đã nhắc giáo viên rằng đó không là những bài dựng hình, chỉ là vẽ hình thôi Chúng tôi tin giáo viên không thể làm trái yêu cầu này Từ đó chắc chắn học sinh cũng chẳng có â"n tưựng gì về các bài toán này (vì nó như bao bài vẽ hình khác) Tới lúc này, sách bảo rằng đó là những bài toán dựng hình cơ bản thì không biết học sinh có nhớ những bài này đã đưỢc học

ở đâu? cách giải nó ra sao?

Như vậy, dể học sinh nắm đưỢc bài này thì có lẽ người giáo viên sẽ:

1/ Dạy lại cách dựng 7 bài toán cơ bản này Nhưng điều này thì tốn thời gian mà thời gian thì gv không có nhiều, họ chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập! Nên họ muốn đôì phổ thì cho hoc sinh ôn ở nhà (theo sgv), nhưng điều này liệu có mang lại hiệu quả không?

2/ Khi dạy những bài toán, những ví dụ mà chúng tôi gọi là ngầm ẩn thì họ sẽ đánh vào trọng tâm và nhấn mạnh là những bài toán dựng hình mà các em sẽ dùng sau này, để gây sự chú ý và tập trung ở học sinh Nhưng như vậy thì trái với chỉ dạo của thể chế, của chương trình

Vậy, dạy theo một trong hai hướng trên hay theo sgk dều không thể vẹn toàn Người giáo viên làm sao để học sinh có thể tiếp thu tốt nhât bài học này? Chúng ta

sẽ biết rõ hơn điều này trong phần thực nghiệm giáo viên mà chúng lôi tiến hành trong chương 3

Nhận xét 2:

Học sinh được sử dụng các hài toán dựng hình trên đê giải các bài toán dựng hình

khác Thế thì chúng ta có thể hiểu rằng: '"Những hùi toán dựng hình cơ hỏn là các

“tiên dề” về dựng hình"

Như vậy, mục này nhìn chung, người ta chỉ nêu lại tên của những bài toán dựng hình (mà trước kia đưỢc gọi là vẽ hình) Vậy theo chúng tôi, tầm quan trọng của giai đoạn trước lớp 8 (giai đoạn ngầm ẩn) là vô cùng quan trọng, dù rằng giai đoạn này chưa nêu tên, chưa học định nghĩa, nhưng nội hàm của khái niệm bài toán dựng hình đã đưỢc thể hiện và hoàn thiện dần theo từng giai đoạn lớp Có thể nói rằng trong tình huống trình bày này, các tác giả làm một cổng việc đơn giản, đó là thay tên, đổi họ!

Nhận xét cuôi cùng cho mục này, cấc bài toán dựng hình cơ bản không có sô đo,

chúng tạo ra hĩnh hình học Thê nhưng thể chê có tiếp tục trình bày với ý đồ này?

Vân đề này, chúng ta có thể quay về bộ sách chỉnh lí (vừa bỏ) để xem xét thêm, ở

bộ sách đó, sách giáo viên Toán 8 (1986), trang 22 viết; "ở lớp 7 học sinh đã dược

học một số bài toán dựng hình cơ bản Đó là:

- Dựng ỉ tam giác biết:

một góc xen giữa hai cạnh

hai góc kề với ỉ cạnh

ba cạnh

- Dựng một góc hằng góc cho trước

- Dựng tia phún giác của 1 góc

- Dựng trung điểm của đoạn thẳng cho trước

- Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước”

Tuy nhiên, họ nói vậy là có cơ sở vì lớp 7 họ đã dạy bài toán dựng hình rồi(cần nói rõ là chỉ có 2 bước cách dựng và chứng minh) và học sinh đã có thể giải các bài toán dựng hình đơn giản, ở đây ý đồ của các tác giả là: Trình bày tường minh bài toán dựng hình qua 2 cap độ, câp thứ 1: ở lớp 7 dạy dựng 2 bước, câp thứ 2: ở Iđp 8 dạy dựng 4 bước và các bài toán khó hơn

2.2.I.3 Tinh huông “Dựng hình thang”:

Theo như sgv chỉ đạo rằng: ''Giáo viên nên cho học sinh ôn tập mục 2 ở nhà để

dành nhiều thời gian cho mục 3 (mục dựng hình thang)”, cho thây thể chê đã đặt nặng

trọng tâm vào dựng hình thang Hơn nữa, ngay mục tiêu đề “Dựng hình bằng thước

và compa - Dựng hình thang” cũng đã nói lên phần nào về sự quan trọng này Với

cách trình bày như vậy, tạo cảm giác rằng mục đích của việc dạy dựng hình là để phục vụ cho việc dựng một hình thang! Vậy có phải bài toán dựng hình được xây dựng thông qua bài toán dựng hình thang? Chúng tôi không thây bât cứ lời giải thích nào lừ sách giáo khoa, cũng như trong sách giáo viên cho diều này Chúng ta có thể phỏng doán rằng: có thể là do hình thang không đến nỗi quá dễ hoặc quá khó để mà học sinh có thể lĩnh hội về khái niệm dựng hình Bây giờ xét xem sgk 1986 trình bày như thê nào?

Trong sách 1986, họ vẫn dùng dựng hình thang để nêu lai bài toán dựng hình ở lớp 8 Và lí do họ dưa ra là: "Dựng hình thang và bài toán dựng hình dược trình bày ở

mục c (sgk) nhằm trước hết cũng cố các kiến thức về hình thang, dồng thời để nêu lược dồ trình bày lời giải của các bài toán dựng hình Bởi vậy, sgk nêu ra những bài toán dựng hình đơn giản, trong dó các dừ kiện đều cho ở dạng sô đo cụ thể (theo dơn

vị cm) Nhờ dó lự)c sinh chưa phải biện luận phức tạp, nhưng được rèn luyện kĩ năng

vẽ hình” (sgv Toán 8, 1986, tr31)

Sau dây chúng ta nêu lại ví dụ dựng hình thang của sách 2000:

"Ví dụ: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3cm, đáy CD = 4cm, cạnh bên

AD = 2cm, ĩ) = 7Ơ\

- B nằm trên dường thẳng đi qua A và song song với CD.

- B cách A một khoảng 3 cm nên nằm trên dường tròn tâm A hán kính 3 cm

h/ Cách dựng:

- Dựng tam giác ACD có D = 70", DC = 4 cm, DA = 2 cm

- Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và c nằm trong cùng một nửa mặt phẳng hí/ AD).

- Dựng diếm B trên tia Av sao cho AB = 3cm Kẻ doạn thắng BC

c/ Chững nành:

Tứ giác ABCD lù hình thang vì AB // CD.

Hình thang ABCD có CD = 4cm, D = 7(f\ AD = 2cm, AB = 3cm nên thỏa mãn yêu cầu của bùi toán,

- về phần biện luận, “ta luôn dựng dược 1 hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài" liệu

có “ám ánh” học sinh ở các bài toán dựng hình khác cho dù rằng bước biện luận

trình bày ví dụ về dựng hình thang nhiừig ví dụ của họ có 2 nghiêm hình, nên sẽ giúp cho học sinh nghĩ rằng bài toán không phải bao giờ cũng chỉ có 1 nghiệm hình

- Học sinh sẽ “Dựng tia Ax song song với DC" như thế nào? Theo chương trình 1986,

học sinh có thể dựng hai đường thẳng song song dựa trên công nghệ:

+ góc so le trong

□ về phần chứng minh: Dường như chứng minh trong bài toán dựng hình sgk mới chỉ đơn giản là “làm có lệ” vì:

1 chứng minh chỉ đơn giản là thông báo lại việc đã làm

2 chỉ ra rằng hình dựng đưỢc thỏa số đo của đề bài

3 sách giáo viên không quan tâm lắm tới bước này (cổ bài họ ghi chứng minh, cỏ bài không) Cái mà họ quan tâm là bước cách dựng

Trong tất cả các bài toán dựng hình ở giai doạn tường minh của chương trình

2002, chí có 2 bài, thứ nhíít là ví dụ ở sgk, thứ hai là bài toán 29/83 T81 là sgk, sgv có nêu bươc chứng minh Còn tâ4 cả các bài còn lại, sgv chỉ nêu ra cách dựng, họ không nổi gì đến bước chứng minh Chúng ta có thể hiểu rằng các tác giả không hoàn toàn

bỏ bước chứng minh, nhưng cũng cho thây họ không đánh giá cao bước này trong bài toán dựng hình Như vậy việc chứng minh trong bài toán dựng hình đưỢc “ủy quyền” cho giáo viên và học sinh Những người này có thể viết phần chứng minh hoặc không? Giáo viên và học sinh sẽ viết gì trong phần chứng minh? Học sinh sẽ viết:

''Theo bước dựng ta có hĩnh vẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán ”?

Khi dạy bài toán dựng hình là một cơ hội lơn để người giáo viên rèn luyện cho học sinh hoàn thiện hơn về các thao tác tư duy, cụ thể là rèn luyện khả năng chứng minh hình học cho học sinh Tuy vậy như đã thây, sgk, sgv đã không chú tâm vào yêu cầu này lắm

Giai đoạn không tường minh học sinh làm việc vơi hình hình học, giai đoạn tường minh, học sinh lại làm việc với các con sô" (!)

2.2.2 Giai đoạn lớp 9: Vai trò công cụ của bài toán dựng hình

Bài toán dựng hình đưỢc trình bày ở học kì 1 của lớp 8, như thế sang học kì II

hoặc sang lứp 9 thì có thể cho rằng học sinh có thể ứng dụng dựng hình vào một sô" vân đề toán học khác Nói khác đi là có thể xem lúc này bài toán dựng hình trỏ thành

công cụ của việc dạy học, có thể là không lớn lắm, (theo ý là cho thây đưỢc sự tồn tại ciía các đôi tưỢng: đường tròn ngoại tiếp, tiếp tuyến hoặc là công cụ để rèn

luyện khả năng suy luận, giáo dục học sinh một quỵ trình làm việc khoa học cần thiết

trong cuộc sống ) Các bài toán sau là cơ hội để học sinh ôn lại kiến thức bài toán

dựng hình, đồng thời đó cũng là cơ hội để các tác giả cho chúng ta thấy vai trò thứ 2 của bài toán dựng hình, đó là vai trò công cụ

Ví dụ như sgk Toán 8, trang 90, tập 1, đã định nghĩa khái niệm ‘7ỉì/í/ỉ bình

hành là tứ giác có các cạnh đối song song”, thế nhưng học sinh chưa thây đưỢc bằng

hình vẽ nó như thế nào, làm sao để tạo ra nó? Để giải quyết điều này, dựng hình đã xuât hiện, dựng hình đã đưa ra cách tạo hình bình hành (chỉ ra sự tồn lại của đríi tưỢng này), đó là bài tập 89/69 sách bài tập (SBT), toán 8, tập 1

Hoàn toàn tương tự vậy, dựng hình đã đưa ra:

+ cách tạo ra cung chứa góc (bt 34, [25, tr.78])

* Dùng dựng hình để tạo ra những yêu cầu đặc hiệt liên quan tới tam giác:

+ dựng tam giác vuông, biết huyền 4 cm, 1 cạnh góc vuông là 2,5 cm (Áp dụng về góc nội tiếp) (bl 25, [21, tr.76])

+ cách vẽ cung chứa góc, [21, tr.86|

+ dựng cung chứa góc 55'’ trên AB = 3 cm (áp dụng về cung chứa góc) (bt46, (21, tr.861)

+ dựng tam giác biết BC = 6 cm, Ă = 40*’, đường cao AH = 4 cm (bt49, [21, tr.871)

+ dựng tam giác biê^t 1 cạnh, 1 góc, đường cao (bt99, [21, tr.l05J)

+ dựng tam giác ABC, BC = 4 cm, A = 60*’, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

bằng 1 cm (btl4, [21, tr.l35])

ùng dựng hình để tạo ra những yêu cầu đặc biệt liên quan tới đường tròn:

đường tròn ngoại tiếp tam giác (bài 5, [20, tr 100])

+ dựng tiếp tuyến của đường tròn (Áp dụng 111, [20, tr Ill])

+ tiếp tuyên chung của 2 dường tròn [20, tr 1211

* Dùng

+

+ dựng đường tròn tâm (O) qua B, c (bt8, [20, tr 101])

+ dựng (O) tiếp xúc Ax ở B, tiếp xúc Ay (bt29, [20, tr.l 16])

+ dựng đường tròn qua 1 điểm tiếp xúc với 1 đường (bài 22, [20, tr 111 ])

+ dựng đường kính COD sao cho: AC = BD (btl4, [24, tr.l30[)

+ dựng 2 dây song song và bằng nhau (bt34, [24, tr 132])

+ dựng hình liên quan đường tròn (bt42, 43, 46, 47[24, tr.l34]) hay bt80, [24, tr.l40])

□ Đáng lưu ý:

- Sách giáo viên yêu cầu "‘’biết dựng cung chứa góc và biết áp dụng cung chứa góc

vào bài toán dựng hình “ (sgv Toán 9, tập 2, tr 100)

- hài 46/86 và 49/87: Dùng cả thước khắc vạch, thước thẳng, thước đo góc, êke! Sách

gv có cách dựng (trình tự dựng) trang 102, không chứng minh

- bt49, tr 87; sgv cũng ghi: “trình tự dựng gồm 3 bước”, và hình vẽ, không chứng minh

□ Lớp 9, dựng hình vẫn bị ràng buộc bởi sô do, tức không tiến triển gì về kiến thức dựng hình, chỉ tiến triển về kiểu nhiệm vụ dựng hình mà thôi Lớp 9 chủ yếu là dựng: góc nhọn, đường tròn, tam giác, nhằm mục đích vận dụng các kiến thức đưỢc học,

gồm: hệ thức lượng tam giác vuông, tiếp tuyến, góc nội tiếp, cung chứa góc.

Một vài ghi nhận về các bài tập ở phần trên giúp khẳng định rằng: dựng hình

còn là công cụ dể học sinh hiểu rõ hơn về các kiến thức dã học, điều này đã thể hiện rất rõ trong lớp 9 Ngoài ra cũng cần nhâVi mạnh rằng cho tới lớp 9 này, lược đồ giải bài toán dựng hình cũng chỉ có 2 bước cho dù học sinh đã phát triển suy luận tốt hơn trước Đặc biệt ở bài tập 46, Toán 9, tập 2, trang 86 và bài tập 49, Toán 9, tập 2,

trang 87, sgv cho lời giải dùng cả thước khắc vạch, thước đo góc, thước thẳng, êke.

2.2.3 Kết luận giai đoạn từ lớp 8 về sau:

Trong giai đoạn này, bài toán dựng hình đã đưỢc dạy cho học sinh qua bài:

thích đưỢc thê nào là bài toán dựng hình, công cụ trong bài toán dựng hình, kèm theo

đó là 1 ví dụ minh họa dựng hình thang Sang lớp 9, bài toán dựng hình cổ một phần nhỏ vai trò công cụ trong việc dạy học hình học

Từ đó, chúng tôi gọi giai đoạn này là giai đoạn tường minh của bài

toán dựng hình ở trường THCS

2.3 Một sô khác biệt cơ bản về dựng hình của các sách giáo khoa 1986 và 2002:

2.3.1 Các khác biệt:

Chúng tôi xin trình bày một số khác biệt cơ bản giữa 2 bộ sách 1986 và 2002;

- Sách 1986 trình bày qua 2 cap độ: Dựng 2 bước ở lớp 7, dựng 4 bước ở lớp 8 Còn sách 2002 chỉ trình bày tường minh 1 cấp độ 2 bước ở lớp 8

- Giảm số bước ở bài toán dựng hình trong sách mới

- Sách cũ cỏ thể có nhiều bài tổng quát (sử dụng bộ thước thẳng và compa) hơn sách mới Sự chênh lệch về bài toán tổng quát giữa 2 bộ sách là đáng quan tâm, hỏi vì chúng ta thây trong bộ cũ là (7 + 11 + 11) bài thì trong bộ mới chỉ còn (4 + 8) bài Đây là một sự chênh lệch lớn Điều này cho thây những bài toán không sô đo, không

đơn vị rât ít đưỢc quan tâm ở bộ sách 2002, và cũng nhận xét rằng 66,7% (8/12)

những bài dạng này rơi vào lớp 9

0Tốngquát

Tổngcộng

Bộ cũ

7

Tườngminh

minh

Bảng 2.2

Những bài toán mà chúng tôi gọi là bài tổng quát, ví dụ như;

* Bài toán 14, trang 64, Toán 8, tập 2: “C/ỉơ 3 đoạn thắng có dộ dùi lù m, n, p (cùng

■ Vẽ hai tia Ox, Oy

■ Trên tia Ox dặt đoạn thẳng OA = 2 dơn vị, OB = 3 dơn vị

■ Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n và xác định diểni A' sao

cho OA/OB = 0A70B'

■ Từ đó ta cỏ OA' = A'

* Bài toán 25, trang 72, Toán 8, tạp 2: “C//0 tam giác ABC Hãy vẽ một tam giác dồng

dạng với tam giác ABC theo ti số V 2 "

* Bài toán 26, trang 72, Toán 8, tập 2: “C/ỉo tam giác ABC, vẽ tam giác A'B'C’ dồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2/2”

Đôi vơi lớp 9, phần lớn các bài dạng này đều nằm trong phần dựng đường tròn;

sao cho tâm o nằm trên tia Ay" (bài 8/T91/101)

“C/iơ dường thẳng d, diểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng

d Hãy dựng dường tròn (O) đi qua diểm B vù tiếp xúc với đường thẳng d tại A” (bài

22/T91/111)

Theo trên, thây rằng các bài toán dạng này ở lớp 8 tập trung vào các bài đồng dạng, và như vậy các lác giả không cho đơn vị cũng là điều hỢp lí Còn trong lớp 9,

thì “ỡế/7 lớp 9, học sinh đã được chuẩn bị kiến thức một cách căn bản từ các lớp ố, 7,

8, vì vậy cần chú trọng: Tăng cường rèn luyện suy luận, chứng mintT\

Tóm lại, các bài dạng tổng quát chiếm sô lượng khá ít trong chương trình, liệu chúng cổ góp phần vào việc rèn luyện suy luận và chứng minh hình học ở học sinh? Học sinh chỉ hoạt động chủ yếu trên các hình có sô" đo và đơn vị đo Như vậy liệu có tồn tại quy tắc hỢp đồng:

R2: Học sinh không nhận biêt đưỢc trách nhiệm phải tạo ra 1 hình hình học

2.3.2 Lí do của các khác biệt:

Chúng tôi đã cô gắng đi tìm các lời giải thích từ sgv, sgk mà có thể cho phép lí giải phần nào các khác biệt ở trên:

□ Trong thể chê 1986;

- Lí do các tác giả đưa dựng hình vào lớp 7: “là giúp học sinh nắm vLÌng hơn

tính chất các hình hình học cơ bản được học trong chương trình, đồng tluyi nó lù kĩ năng mang tính chất kỹ thuật tổng hợp cần thiết cho học vấn phô' thông của người lao động" (sgv Toán 7, trang 10) Và “có kĩ nâng thành thạo trong dựng tam giác, trọng tâm, trực tâm, diêm cách dều 3 dỉntĩ, điểm cách dều 3 cạnh của tam giác” (sgv, trang

14)

- Kê đến là do ràng buộc của thế chế:

Sang lớp 8: “khi trình bày hài toán dựng hình, phải qua 4 bước: phân tích, cách

dựng, chứng minh, hiện luận Trong giảng dạy dựng hình, yêu cầu vững chắc thế hiện

ở các điểm sau: học sinh phải giải đúng, lập luận đủ các bước” (sgv Toán 8, trang

10).

Sang lớp 9: “kĩ năng vận dụng các kiến thức hình học dã học vào giải toán và

đời sống Phải thành thạo kĩ năng dựng hình và giải toán dựng hình, dặc hiệt thành thạo trong việc dựng dường tròn đi qua I điểm, 2 điểm, 3 điểm không thẳng hàng và dựng tiếp tuyến” (sgv Toán 9, trang 4).

^'Khânị> xây dựng hình học như một khoa học suy diễn thuần túy (tức lù không xuât phát từ một hệ tiên đề rồi hằng các chứng minh chặt chẽ dể đi dến các định lý, tính chất)

Giảm nhẹ chứng minh (dặc biệt ở lớp 6 và lớp 7) [8, tr.5]

'"Quan diểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm dược thế hiện rõ nét trong chương trình

2002, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng kiến thức toán học vào cuộc sống và vào các môn khoa học khác” [22, tr.8]

- Lí do sách 2002 chỉ trình bày dựng hình ở lớp 8 (không trình bày vừa ở lớp 7, vừa ở lớp 8 như sách 1986) có thể là do đã chuyển câp độ lớp 7 ở sách cũ sang giai doạn bài toán ngầm ẩn (trước lớp 8) trong bộ sách mới

- Lí do của sự chọn lựa 2 bước có thể là do;

'"Khi trình háy bải toán dựng hình cần nêu đủ 4 bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận, diều này có tác dụng giáo dục học sinh một quy trình làm việc khoa

học cần thiết trong cuộc sống Tuy nhiên, đế phù hỢp với khả năng học tập của đa sô học sinh, chí yêu cầu học sinh giải các bài toán dựng hình với các yếu tố bằng sô' cho

trước và trình bày lời giãi theo 2 hước: cách dựng, chứng minh” [16, tr.6]

"-Theo cluử/ng trình quy dịnh, không yêu cầu học sinh viết các phần phân tích và biện luận trong hài làm Tuy nhiên, giáo viên cần biết các phần dó

-Với diện dại trà, chỉ yêu cầu học sinh nắm dược các hài toán dựng hình cơ hàn, chu

yếu là dựng tia phân giác của một góc, dựng đường trung trực của doạn thẳng Giáo viên không nên đi sâu vào các hài toán dựng hĩnh ”

"Các hùi tập cho trong sgk đều cho độ dài doạn thẳng và sô'đo góc bằng sô' cụ thể để không phải xét nhiều trường hợp” [16, tr 114]

thể hình thành ở học sinh, vì mâ"t bước phân tích thì xem như ta không có cơ sở tạo ra

thuật toán để giải bài toán, không biết giải bài toán nên bắt đầu từ đâu, nếu bắt đầu

từ cách dựng thì lời giải như từ trên trời rơi xuố^ng vậy! Và do đó sẽ ảnh hưởng nhiều đến khả năng phân tích, tổng hỢp của học sinh

độ dài dọan thẳng và sô' đo góc bằng sô' cụ thể để không phải xét nhiều trường hợp”

116, tr 114), hoặc nêu thẳng "vẽ một tam giác ” [7, tr.94] ngay ở đề Không có bước

biện luận thì học sinh sẽ không ý thức được tính đa dạng của bài toán, họ sẽ thụ động tin rằng bài toán chỉ có 1 nghiệm hình Có thể học sinh sẽ quan niệm rằng: bài toán dựng hĩnh được cho trong chương trình luôn có nghiệm Từ đó làm học sinh

không cổ thói quen kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bài toán dựng hình

2.4 Các tổ chức toán học đưỢc xây dựng xung quanh bài toán dựng hình tam

giác, hình thang:

Trước hết, chúng tôi cần lí giải tại sao lại chọn đôi tưỢng xét ở đây là dựng tam giác và hình thang Bởi một sô" lí do sau:

+ Đối tưỢng tam giác tồn tại nhiều trong thể chê dạy học câp THCS

+ Như đã phân tích, đối tưỢng hình thang có sự quan tâm đặc biệt của các tác giả, đặc biệt là trong bài toán dựng hình

+ Nhằm hạn chế lại nội dung xem xét để từ đó chúng tôi có thể đào sâu hơn các đôi tưỢng mà chúng tôi đề cập

+ Tam giác và hình thang có sự gắn bó chặt chẽ nhau

Bây giờ chúng ta xét các lổ chức toán học đưỢc xây dựng xung quanh 2 đôì tưỢng này

2.4.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ Ti “Dựng tam giác biết 3 cạnh”

Kiểu nhiệm vụ này đầu tiên xuât hiện ở Toán 6, tập 2, trang 94 trong phần giới

thiệu dinh nghĩa thế nào là tam giác và ở bài '"Trường hỢp bằng nhau thứ nhất của

tam giác, cạnh - cạnh - cạnh" Toán 7, tập 1, trang 112 Vậy kiểu nhiệm vụ này

đưỢc trình bày ở 2 lớp khác nhau và đều nằm trong phần lí thuyết, điều này chứng tỏ

tầm quan trọng của nó Cả 2 lần dều vẽ tam giác có số do lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm

Xin nêu lại bài toán như sau: "Vẽ tam giác ABC, biết AB = 2 cm, BC = 4 cm, AC = 3

- Hai cung tròn trên cắt nhau ở A

Công nghệ ớ| •

- Những điểm thuộc đường tròn (B, r) thì cách B một đoạn r

- Đường tròn là đường cong liên tục

- Vị trí tương đôi của 2 đường tròn (hay; định lí về bdt tam giác: “Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bâ"t kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại”)

ớ đây có một điều hết sức đặc biệt đã xảy ra, đó là Công nghệ ớ, cho Kỹ thuật r, trên chưa hề xuâ"t hiện cho tới lúc r, ra đời, mà phải đợi sang học kì sau của

Hlnh 2,15

năm học lớp 7 mới cổ (thuộc bài “Quan hệ giữa 3 cạnh của 1 tam giác - bât đẳng thức tam giác”) Như vậy học sinh không có cơ sở để phán xét xem bài toán đã cho là

cỏ dựng đưỢc hay không Các tác giả đã khắc phục điều này bằng cách cho độ dài

hằnịỉ các con số cụ thể Điều này đảm bảo chor, tồn tại một cách hỢp lí và học sinh

chẳng cần kiểm tra điều kiện tồn tại của 3 cạnh tam giác này Hơn nữa, trong sgv Toán 7, tập 1, trang 125 có trình bày điều kiện để vẽ đưỢc một tam giác khi biết 3 cạnh, càng làm cho chúng tôi tin rằng: Thói quen xem xét bài toán có nghiệm không thuộc về học sinh mà thuộc về giáo viên Liệu thói quen này tiếp tục còn và gây khó

khăn cho họ khi họ dựng lại tam giác ở lớp 8 (khi họ học xong định lí bât đẳng thức

về tam giác) Như vậy 1 lần nữa, trong kiểu nhiệm vụ này học sinh lại được dịp nghĩ

rằng: bài toán dựng hình được cho trong chương trình luôn có nghiệm.

cạnh bên bằng 4 cm” (bt46a, [10, tr.l27|) và “Dựng tam giác đều” (bt46b, [10, lr.l27|); (bt62a, [21, tr.97|)

- Dụng cụ: compa, thước vạch

- Sách giáo khoa giải có kèm hình vẽ

- Độ dài cổ sô" đo theo đơn vị là cm

- Các số do này thỏa dinh lí bdt tam giác

- Hình dạt dưỢc là 1 hình vật chât, 1 nghiệm hình

- Kiểu nhiệm vụ này xuâ"t hiện ở 2 ví dụ (vd, (7, tr.94]; vd, [10, tr.l 12]) và 3 bài tập (46a, 46b, 110, tr 127|; 62a, [21, tr.97|) Chúng đều thuộc giai đoạn ngầm ẩn

- Chỉ tạo ra 1 hình duy nhâ"t

- Góp vai trò kỹ thuật trong dựng hình thang

2.4.2 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 :Dựng tam giác biết 2 cạnh, 1

góc :

Tổ chức toán học này đưỢc dưa vào giai đoạn ngầm ẩn Lúc này người ta dự định

trình bày 2 tam giác bằng nhau c - g - c “ Vẽ tam giác ABC biết AB = 2 cm, BC = 3

cm, B = 7d*'\ Nó có kỹ thuật như sau;

CônỊ> nghệ Oj:

- Những điểm thuộc đường tròn (B, r) thì cách B một đoạn r

- Đường tròn và đường thẳng là những đường cong liên tục

Thể chê mong mu()n gì ở kiểu nhiệm vụ này? Theo sgv thì “ổà/ toán vẽ tam

giác hiết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh đó nhằm chuẩn hị cho học sinh tiếp nhận tnũĩng hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh” Tuy nhiên nếu chúng ta nhìn xa hơn thì nó

là một bài toán dựng hình và xa hơn nữa nó đóng vai trò quan trọng trong dựng hình thang

- Dụng cụ: thước vạch, thước đo độ, compa

- Độ dài có sô đo đơn vị centimet, góc có đo độ

- Sách giáo khoa giải có kèm hình vẽ

Chúng tôi dã xếp bài toán này vào giai đoạn ngầm ẩn Xin nêu lại bài toán như sau:

”Vẽ tam giác ABC có BC = 4 cm, góc ĩì = ổỡ", C = 4Ờ'”

Kỹ thuật r,.’

- Vẽ BC = 4 cm

- Từ B, vẽ tia Bx sao cho CBx = 60"

- Hai tia trên cắt nhau ở A, ta dưỢc tam giác ABC

Công nghệ Ớ3 ■

- Sự liên tục của 2 dường thẳng

- Hai đương thẳng phân biệt không song song thì cất nhau

- Dụng cụ : thước vạch, thước đo độ

- Độ dài có sô đo đơn vị là cm, góc có số đo độ

- Sách giáo khoa giải có kèm hình vẽ

- Hình đạt đưỢc là 1 hình vật châd, tạo 1 hình

- Kiểu nhiệm vụ này xuât hiện ở 1 ví dụ (vd, [10, tr.l21|) và 1 bài tập (bt33, [10,

tr.l23|, có 1 gck 90" )

□ Theo sgv thì thể chế mong đợi “Bài toán vẽ tam giác biết ỉ cạnh và 2 góc kề

cạnh đó nhằm chuẩn bị cho học sinh tiếp nhận trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc" Cũng như 2 kiểu nhiệm vụ trên, ở kiểu nhiệm vụ này mục đích hỗ trỌ dựng

hình, cụ thể là dựng hình thang, chỉ là cách nhìn xa của chúng tôi mà thôi

2.4.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : “Dựng tam giác vuông biết

Câng nghệ 0ị sau đưỢc giải thích cho hai kỹ thuật Tị và r/ ở trên;

- Các hài toán diíng hình cơ bản

- Tổng các góc trong của tam giác là I80" (vì khi đó CBx < 90",

nên Cx và By mới cắt nhau)

- Sự liên tục của đường thẳng, đường tròn