Tìm điểm M trên đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị C tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.. Giải bất phương trình Câu III.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
Ngày thi 29/12/2012
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y x
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận của đồ
thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình tan 2 tan 1(sin 4 sin 2 )
6
2 Giải bất phương trình 1 2− x+ 1 2+ x≥2−x2
Câu III (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = a Biết ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a, BC = 2a và SC vuông góc với BD
1. Tính tang của góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)
2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.Với M là trung điểm BC
Câu IV (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng : a 4b 9c 4
b+c+c+a+a+b>
Câu V (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Đường thẳng BC có
phương trình 3x−y− 3 0= Biết hai đỉnh A, B nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
2. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Lẫy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử của X Tính xác suất để hai số lấy được đều là số chẵn
Câu VI (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
9
2
2 log 2 2 9.2 log 9 log
x
y
+
− =
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A, A1
( Đáp án – thang điểm có 04 trang)
1 TXĐ : ℝ { } ; Có
( )2
1
2
x
−
− nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 2)
và (2; +∞); hàm số không có cực trị
2
lim
x
y
→±∞
= ⇒ đths có TCN y = 2
;
= +∞ = −∞ ⇒đths có TCĐ : x = 2
BBT x −∞ 2 +∞
y’ – –
2 +∞
y
−∞ 2
Đồ thị : Giao Ox : 3;0
2
; Giao Oy : 0;3
2
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
I
2
Vì M∈(C) nên g/s 0
0 0
; 2
x
M x
x
−
Tiếp tuyến của (C) tại M có pt là :
0 0 2
0 0
1
2 2
x
x x
−
−
−
−
( )∆ giao TCĐ tại 0
0
2;
2
x A x
−
; ( )∆ giao TCN tại B(2x −0 2; 2)
2
x
Vậy ABmin =2 2 khi ( )
( ) ( )
0 0
1 2
2
x
x
= ⇒
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 31
Điều kiện : os2 0 4 2 , ,( )
cos 0
2
k l x
π π
≠
≠
ℤ
Pt sin 2 cos cos 2 sin 1(sin 4 sin 2 )
−
( )
2
6sin cos cos 2 sin 2 2cos 2 1
2cos cos 2 2cos 2 1 6 *
π
⇔
( )
* 1 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 6
Vậy pt có nghiệm x=kπ, k∈ ℤ
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
II
2
Điều kiện : 1 1
− ≤ ≤ Khi đó 2−x2 >0 Bpt ⇔2 2 1 4+ − x2 ≥4 4− x2+x4 ⇔2 1 4− x2 ≥2 4− x2+x4 (1)
− ≤ ≤ nên 2 4− x2 >0⇒ −2 4x2+x4 >0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
1.0
0.25
0.25
0.5
1 Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình
chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
Do đó góc giữa SC với mặt phẳng
(ABCD) là góc giữa SC với AC và
bằng SCA (vì tam giác SAC vuông
tại A nên SCA < 90° )
Theo gt, hình thang ABCD vuông tại
A và B nên tam giác ABC vuông tại
B và có AC = AB2+BC2 =a 5
Trong tam giác vuông SAC có
1 tan
5
SA SCA
AC
0.5
0.25
0.25 III
2 Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên SC ⊥ BD
Đặt AD = x , x > 0 ta có BD = 2 2
ABCD
S = AC BD= AD+BC AB ⇔a 5 a2+x2 =(x+2 a a)
4 2 4 2 0
2
a
2
a
AD =
1.0
0.25 0.25
Trang 42
ABCD
mà SA ⊥ (ABCD) nên
.
S ABCD ABCD
0.25 0.25
3 Ta có M là trung điểm BC nên BM = 1
2BC=a
Gọi N là điểm đối xứng với A qua D thì AN = 2AD = a
Khi đó BM = AN = AB = a và BM // AN nên tứ giác ABMN là hình vuông
⇒ AB // MN ⇒ AB // (SMN) mà SM ⊂ (SMN) nên d(AB SM, ) =d(AB SMN,( )) =d(A SMN,( ))
Vì MN // AB ⇒ MN ⊥ AN và MN ⊥ SA nên MN ⊥ (SAN)
Từ A kẻ AH ⊥ SN tại H thì AH ⊥ (SMN) ⇒d(A SMN,( )) =AH
Do tam giác SAN vuông cân tại A nên H là trung điểm SN 1 2
a
0.5
0.25
0.25
x=b+c y= +c a z=a+b⇒ =a − + + b= − + c= + −
Do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0 Khi đó :
− + +
= − − − + + + + + +
≥ − + + +7 2 3 6 4=
2
3
0 3
c
=
=
(loại)
Vậy đẳng thức không xảy ra , do đó ta có điều phải chứng minh
1.0
0.25
0.25
0.25 0.25
V 1 Vì B=BC∩Ox⇒B(1;0)
Đường thẳng BC có vtpt n( 3; 1− )
Trục Ox có vtpt j(0;1)
Do tam giác ABC vuông tại A nên góc B nhọn
cos cos ,
2
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
⇒ ABI = 30°
Dựng IH ⊥ AB tại H thì IH là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC ⇒ IH = 2
Trong tam giác vuông IHB có HB = 2 3
tan 30
IH
=
° mà AH = 2 (cách dựng ) nên
AB = AH + HB = 2( 3 1+ )
Do A ∈Oxnên giả sử A(a; 0) thì AB = 1 2( 3 1) 2 3 3
2 3 1
a a
a
1.0
0.25
0.25
Trang 5Vì AC ⊥ AB và A,B Ox∈ nên C và A có cùng hoành độ, C BC∈ : 3x−y− 3 0=
+ Với a=2 3 3+ ⇒A(2 3 3;0 ,+ ) (C 2 3 3;6 2 3+ + )
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là : 4 3 7 6 2 3;
+ Với a= −2 3 1− ⇒ A(−2 3 1;0 ,− ) (C −2 3 1; 6 2 3− − − )
4 3 1 6 2 3;
G− − − −
0.25
0.25
2 Gọi số có hai chữ số khác nhau là ab với a ≠0 và a b ∈, {0;1; 2;3; 4;5;6}
Vì a ≠0 nên a có 6 cách chọn ; b a≠ nên b có 6 cách chọn
Do đó có tất cả 6.6 = 36 số có hai chữ số khác nhau ⇒n X( )=36
Lẫy ngẫu nhiên hai số trong X có 2
36 630
C = cách ⇒n( )Ω =630
Gọi A: “Lấy được hai số đều là số chẵn”
Xét ab là số chẵn thì b ∈{0; 2; 4;6}
Nếu b = 0 thì a có 6 cách chọn ⇒ có 6 số
Nếu b ≠0 thì b có 3 cách chọn và a có 5 cách chọn vì a ≠0, b a≠ ⇒ có 15 số
Do đó trong X có tất cả 6 + 15 = 21 số chẵn gồm hai chữ số khác nhau
Lẫy ngẫu nhiên hai số chẵn có 2
21 210
C = cách ⇒ n(A) = 210
Vậy ( ) ( )
( )
210 1
630 3
n A
P A
n
1.0
0.25 0.25
0.25
0.25
VI Điều kiện : y > 0
( )
2 3
2
x
y
⇔
− =
Từ (1)
2 3
log
2
x x
⇒ = Thế vào (2) ta được :
( ) ( )
2 2
2
2
x
x
vn
= −
1.0
0.25
0.25
0.5
Lưu ý : Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương từng phần